2019年广东省广州市花都区中考数学一模试题（解析版）

这是一份2019年广东省广州市花都区中考数学一模试题（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2019年广东省广州市花都区中考数学一模试卷
一、选择题
1.下列实数中，最大的是（　　）
A. -2 B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】
根据实数的大小比较法则，正数大于0，0大于负数，两个负数相比，绝对值大的反而小．因此由 ，∴最大的是2.
故选B.
2.下列“数字图形”中，不是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据中心对称图形的定义解答即可．
【详解】A．是中心对称图形，不符合题意；
B．是中心对称图形，不符合题意；
C．是中心对称图形，不符合题意；
D．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180度以后，能够与它本身重合，即不满足中心对称图形的定义．符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念．掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．
3.一组数据-2，3，0，2，3的中位数和众数分别是（　　）
A. 0，3 B. 2，2 C. 3，3 D. 2，3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据中位数和众数的定义解答即可．
【详解】将这组数据从小到大的顺序排列为：﹣2，0，2，3，3，最中间的数是2，则中位数是2；
在这一组数据中3是出现次数最多的，故众数是3．
故选D．
【点睛】本题考查了众数与中位数的意义．将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数；如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
4.如图，点A、B、C在⊙O上，，则度数为（　　）

A. 11° B. 22° C. 44° D. 66°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据圆周角定理得出∠AOB=2∠ACB，代入求出即可．
【详解】∵对的圆心角是∠AOB，对的圆周角是∠ACB，∴∠AOB=2∠ACB=2×22°=44°．
故选C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答此题的关键．
5.下列代数式运算正确的是（　　）
A. a（a+b）＝a2+b B. （a3）2＝a6
C. （a+b）2＝a2+b2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用单项式乘多项式的法则判断A；利用幂的乘方法则判断B；利用完全平方公式判断C；利用异分母分式加法法则判断D．
【详解】A、a（a+b）＝a2+ab，故本选项错误；
B、（a3）2＝a6，故本选项正确；
C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故本选项错误；
D、，故本选项错误；
故选B．
【点睛】本题考查了单项式乘多项式、幂的乘方、完全平方公式，异分母分式的加法，熟练掌握运算法则和乘法公式是解题的关键．
6.某商品原售价225元，经过连续两次降价后售价为196元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程中正确的是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣降低的百分率）=225，把相应数值代入即可求解．
【详解】第一次降价后的价格为225×（1﹣x），第二次降价后的价格为225×（1﹣x）×（1﹣x），则225（1﹣x）2=196．
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用-增长率问题．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
7.如图，直线，点、分别在直线、上，，若点C在直线b上，，且直线a和b的距离为3，则线段的长度为（　　）

A. B. C. 3 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】
过C作CD⊥直线a，根据30°角所对直角边等于斜边的一半即可得到结论．
【详解】过C作CD⊥直线a，∴∠ADC=90°．
∵∠1=45°，∠BAC=105°，∴∠DAC=30°．
∵CD=3，∴AC=2CD=6．
故选D．

【点睛】本题考查了平行线间的距离，含30°角的直角三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．
8.如图，矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm．现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CB1的长为（　　）

A. cm B. cm C. 8cm D. 10cm
【答案】B
【解析】
【分析】
根据翻折变换的性质可以证明四边形ABEB1为正方形，得到BE＝AB，根据EC＝BC﹣BE计算得到EC，再根据勾股定理可求答案．
【详解】解：∵∠AB1E＝∠B＝90°，∠BAB1＝90°，
∴四边形ABEB1为矩形，
又∵AB＝AB1，
∴四边形ABEB1为正方形，
∴BE＝AB＝6cm，
∴EC＝BC﹣BE＝2cm，
∴CB1＝cm．
故选B．
【点睛】本题考查的是翻折变换、矩形和正方形的判定和性质，掌握翻折变换的性质及矩形、正方形的判定定理和性质定理是解题的关键．
9.已知函数y＝（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数y＝ax+b的图象大致是（　　）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由抛物线的开口方向判断抛物线二次项系数的符号，由抛物线与y轴的交点判断常数项的符号，然后根据对称轴及抛物线中二次项系数的符号，来确定a和b的符号，然后根据一次函数图象的性质来分析判断即可.
【详解】解：∵y＝（x﹣a）（x﹣b）＝x2﹣（a+b）x+ab，
∵抛物线的开口向上知二次项系数＞0，与y轴的交点为在y轴负半轴上，∴ab＜0，
∵对称轴在y轴的右侧，二次项系数大于0，
∴﹣（a+b）＞0．
∴a+b＜0，
∵a＞b，
∴a＞0，b＜0，
∴y＝ax+b的图象是C选项，
故选C．
【点睛】本题考查的是二次函数图象及一次函数图象与系数的关系，掌握函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键.
10.对于实数、，定义一种新运算“⊗”为：，这里等式右边是通常的四则运算．若，则x的值为（　　）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
利用题中的新定义变形已知等式，然后解方程即可．
【详解】根据题中的新定义化简得：，去分母得：12﹣6x=27+9x，解得：x=﹣1，经检验x=﹣1是分式方程的解．
故选B．
【点睛】本题考查了新定义和解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
二、填空题
11.因式分解：m2﹣mn=_____．
【答案】m（m﹣n）
【解析】
要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，直接提取公因式m即可：m2﹣mn=m（m﹣n）．
12.已知△ABC∽△DEF，且它们的周长之比为1：3，则它们的相似比为_____．
【答案】1：3．
【解析】
【分析】
运用相似三角形的周长之比等于相似比进行解答.
【详解】解：∵△ABC∽△DEF，周长之比为1：3，
∴它们的相似比为1：3，
故答案为1：3．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，牢记相似三角形的周长之比等于相似比是解此题的关键.
13.计算：=_____．
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质化简即可．
【详解】||．
故答案为．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，正确化简二次根式是解题的关键．
14.如图，中，，为的角平分线，与相交于点，若，，则的面积是_____．

【答案】15
【解析】
【分析】
作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质求出DE，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】作DE⊥AB于E．
∵AD为∠BAC的角平分线，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=DC=3，∴△ABD的面积AB×DE10×3=15．
故答案为15．

【点睛】本题考查了角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
15.将一个半径为，面积为的扇形铁皮围成一个圆锥形容器（不计接缝），那么这个圆锥形容器的底面半径为_____cm．
【答案】4
【解析】
【分析】
首先设出扇形的半径，然后表示出扇形的底面周长，利用扇形的面积公式求得底面半径即可．
【详解】设底面半径为R，由底面周长=2Rπ，扇形的面积2Rπ×8=8Rπ=32π，∴R=4cm．
故答案为4．
【点睛】本题考查了圆锥计算，解题的关键是能够了解扇形的面积公式．
16.正方形，，，…按如图所示方式放置．点，，…和点，，，…分别在直线（）和轴上，已知点（1，1），（3，2），则的坐标是_____，的坐标是_____．

【答案】 (1). （7，4） (2). （1023，512）
【解析】
【分析】
根据已知B1（1，1），B2（3，2），求出A1（0，1），A2（1，2），用待定系数法可以确定一次函数的解析式；根据图象能够求得B3（7，4），通过观察图象可以得到Bn的横坐标是An+1的横坐标，Bn的纵坐标是An的纵坐标；再通过An（2n﹣1﹣1，2n﹣1）的规律，确定Bn（2n﹣1，2n﹣1）的规律，进而求解答本题．
【详解】∵点B1（1，1），B2（3，2），∴A1（0，1），A2（1，2），将点A1，A2代入直线y=kx+b得：，解得：，∴y=x+1，通过观察图象可知Bn的横坐标是An+1的横坐标，Bn的纵坐标是An的纵坐标．
∵A3（3，4），A4（7，8），∴An（2n﹣1﹣1，2n﹣1），∴Bn（2n﹣1，2n﹣1），∴B3（7，4），B10（1023，512）．
故答案为（7，4），（1023，512）．
【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数解析式以及点的坐标的规律．确定点的坐标的规律是解答本题的关键．
三、解答题
17.解方程组：
【答案】
【解析】
【分析】
方程组利用加减消元法求出解即可.
【详解】解：，
①+②得：3x＝15，
解得：x＝5，
把x＝5代入②得：y＝﹣1，
则方程组的解为．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
18.如图，在平行四边形中，、分别是、上的点，且．求证：．

【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】
根据平行四边形对边平行且相等证得四边形AECF为平行四边形，即可得出结论．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC；
又∵BF=DE，∴AE∥CF，AE=CF，∴四边形AECF为平行四边形（对边平行且相等的四边形为平行四边形），∴AF=CE（平行四边形的对边相等）．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质．熟练掌握平行四边形的判定是解答本题的关键．
19.为了解学生对学校饭菜的满意程度，某中学数学兴趣小组对在校就餐的学生进行了抽样调查，得到如下不完整的统计图．

请结合图中信息，解决下列问题：
（1）此次调查中接受调查的人数为人，其中“非常满意”的人数为_ _
（2）兴趣小组准备从“不满意”的4位学生中随机抽取2位进行回访，已知这4位学生中有2位男生2位女生，请用列举法求出随机抽取的学生是一男一女的概率．
【答案】（1）18；（2）随机抽取的学生是一男一女的概率为．
【解析】
【分析】
（1）用“满意”的人数除以它所占的百分比可计算出调查的总人数，然后总人数乘以36%得到“非常满意”的人数；
（2）画树状图得到所有12种等可能的结果数，再找出抽取的学生是一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）此次调查中接受调查的人数为20÷40%=50（人），“非常满意”的人数为50×36%=18（人）．
故答案为18人；
（2）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中随机抽取的学生是一男一女的结果数为8，所以随机抽取的学生是一男一女的概率．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
20.已知：
（1）化简；
（2）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值．
【答案】（1）A；（2），．
【解析】
分析】
（1）根据整式的混合运算法则计算即可；
（2）若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△= 0，建立关于m的等式，解方程求出m的值，代入A中求值即可．
【详解】（1）A=（m+1）（m﹣1）﹣（m+2）（m﹣3）=m2﹣1﹣（m2﹣m﹣6）=m2﹣1﹣m2+m+6=m+5，（2）∵一元二次方程x2+（m+2）xm2=0有两个相等的实数根，∴△=0，即△=（m+2）2﹣40，解得：m=﹣1．
当m=﹣1时，A=m+5=﹣1+5=4．
【点睛】本题考查了整式的化简求值及根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的个数与根的判别式的关系是解答此题的关键．
21.如图，水坝的横断面是梯形，背水坡的坡角，坡长，为加强水坝强度，将坝底从A处向后水平延伸到E处，使新的背水坡的坡度为1：2，求的长度（结果精确到1米．参考数据：，）

【答案】的长度约为25米．
【解析】
【分析】
作BH⊥AD于H，解Rt△ABH求出BH，AH，根据坡度的定义求出EH，即可得出结论．
【详解】作BH⊥AD于H．在Rt△ABH中，sin∠BAH，则BH=AB•sin∠BAH=2010，AHAB=10．在Rt△EBH中，∵BE的坡度为1：2，BH=10，∴EH=20，∴AE=EH﹣AH=2010≈25（米）．
答：AE的长度约为25米．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
22.如图，中，是的角平分线．

（1）尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）连接，若，，求的长．
【答案】（1）作图见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）利用基本作图，作线段BD的垂直平分线；
（2）先根据线段垂直平分线的性质得到EB=ED=4，再证明∠EDB=∠CBD得到DE∥BC，则可判定△ADE∽△ACB，然后利用相似三角形的性质可计算出BC的长．
【详解】（1）如图，EF为所作；

（2）∵EF垂直平分BD，∴EB=ED=4，∴∠EDB=∠EBC．
∵∠ABD=∠CBD，∴∠EDB=∠CBD，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∴，即，∴BC．
【点睛】本题考查了作图﹣基本作图和相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
23.如图，已知点A、B分别在反比例函数（x＞0），（k＜0，x＞0）的图象上．点B的横坐标为4，且点B在直线y＝x﹣5上．

（1）求k的值；（2）若OA⊥OB，求tan∠ABO的值．
【答案】（1）k＝-4；（2）tan∠ABO=．
【解析】
【分析】
（1）根据一次函数图象上点的坐标特征，求得B点的坐标，然后根据待定系数法即可求得k的值；
（2）过A作AC垂直于y轴，过B作BD垂直于y轴，易证△AOC∽△OBD，利用反比例函数k的几何意义求出两三角形的面积，进一步求得OA与OB的比值，在直角三角形AOB中，利用锐角三角函数定义即可求出tan∠B的值．
【详解】解：（1）∵点B的横坐标为4，且点B在直线y＝x﹣5上．
∴点B的纵坐标为y＝4﹣5＝﹣1，
∴B（4，﹣1），
∵B在反比例函数y＝（k＜0，x＞0）的图象上
∴k＝4×（﹣1）＝﹣4；
（2）过A作AC⊥y轴，过B作BD⊥y轴，可得∠ACO＝∠BDO＝90°，
∴∠AOC+∠OAC＝90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∴∠OAC＝∠BOD，
∴△AOC∽△OBD，
∵点A、B分别在反比例函数y＝（x＞0），y＝（x＞0）的图象上，
∴S△AOC＝ ，S△OBD＝，
∴S△AOC：S△OBD＝1：|k|，
∴，
∴，
则在Rt△AOB中，tan∠ABO＝．

【点睛】本题考查了相似三角形判定与性质，锐角三角函数定义，以及反比例函数k的几何意义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
24.如图，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（2，0），点B（0，2），动点D以1个单位长度/秒的速度从点A出发向x轴负半轴运动，同时动点E以个单位长度/秒的速度从点B出发向y轴负半轴运动，设运动时间为t秒，以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB相交于点F

（1）求∠OAB度数；
（2）当t为何值时，四边形ADEF为菱形，请求出此时二次函数解析式；
（3）是否存在实数t，使△AGF为直角三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）∠OAB＝60°；（2）t＝或t＝4，四边形ADEF为菱形，；（3）存在，t＝，使△AGF为直角三角形，见解析.
【解析】
【分析】
（1）在Rt△BOA中，OA＝2，OB＝2，根据锐角三角函数的定义即可得出tan∠OAB的值，进而得出∠OAB的度数；
（2）证明DE∥AB，可得四边形ADEF为平行四边形，当AD＝DE时，四边形ADEF为菱形，用t表示出AD，DE的长，解方程即可得出t的值，再设顶点式可求得此时二次函数的解析式；
（3）由题意可得∠GFA＝∠BAO＝60°，∠FGA≠90°，所以使△AGF为直角三角形，只能是∠FAG＝90°，用t分别表示出AF，FG的长，根据FG＝2AF，即可得出t的值．
【详解】解：（1）∵直线AB与x轴，y轴分别交于点A（2，0），点B（0，2），∠BOA＝90°，
∴OA＝2，OB＝2，
∴tan∠OAB＝，
∴∠OAB＝60°；
（2）∵AD＝t，BE＝tm
∴，
∴DE∥AB，
∴∠EDO＝∠BAO＝60°，
∵过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB相交于点F，
∴四边形ADEF为平行四边形，
当AD＝DE时，四边形ADEF为菱形，
∵OD＝2﹣t或OD＝t﹣2，DE＝2OD，
∴DE＝4﹣2t或DE＝2t﹣4，
∴t＝4﹣2t或t＝2t﹣4，
解得：t＝或t＝4，
当t＝时，点E坐标为（0，），
设二次函数解析式为y＝a（x﹣2）2，
将点E坐标代入，可得a＝，
∴二次函数解析式为y＝（x﹣2）2；
当t＝4时，点E坐标为（0，），
设二次函数解析式为y＝a（x﹣2）2，
将点E坐标代入，可得a＝，
∴二次函数解析式为y＝（x﹣2）2；
（3）∵EG∥OA，
∴∠GFA＝∠BAO＝60°，
∵G在二次函数图象上，
∴∠FGA≠90°，
∴使△AGF为直角三角形，只能是∠FAG＝90°，
由对称性可得，EG＝4，
∵四边形ADEF为平行四边形，
∴EF＝AD＝t，AF＝DE＝2（2﹣t），
∵FG＝2AF，
∴4﹣t＝4（2﹣t），
解得：t＝，
∴存在实数t＝，使△AGF为直角三角形．
【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数的表达式，锐角三角函数的定义，平行四边形、菱形的判定，本题需注意分类讨论，不要漏解．
25.如图，是的直径，弦，

（1）求证：是等边三角形．
（2）若点是的中点，连接，过点作，垂足为，若，求线段的长；
（3）若的半径为4，点是弦的中点，点是直线上的任意一点，将点绕点逆时针旋转60°得点，求线段的最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．
【解析】
【分析】
（1）利用垂径定理的推论证明AB垂直平分DC，得到AD=AC，再证明∠DAC=60°即可推出△ACD是等边三角形；
（2）连接OC，OE，先证明∠OCF=90°，再求出半径OC的长．在Rt△OCF中通过勾股定理即可求出OF的长；
（3）先判断点P'的轨迹是直线DB，过点Q作QP''⊥DB于点P''，则QP''的值最小，连接DQ，再求出DQ的长度．解Rt△QDP''即可得出结论．
【详解】（1）如图1．

设AB与DC交点为H．
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴DH=CH，，，∴AD=AC，∠CAB=∠DAB=30°，∴∠DAC=60°，∴△ACD是等边三角形；
（2）如图2，连接OC，OE．

∵△ACD是等边三角形，∴∠D=60°，∴∠AOC=2∠D=120°．
∵∠CAB=30°，∴∠HOC=60°．
∵E为中点，∴，∴∠EOC=∠EOA120°=60°，∴∠EAC∠EOC=30°．在Rt△ACF中，∵CF=2，∠EAC=30°，∴AC=4，∠ACF=60°，∴∠OCF=∠OCA+∠ACF=90°，∴DC=AC=4，∴CHDC=2．在Rt△OHC中，∵∠HOC=60°，∠OCH=30°，∴OC=2．在Rt△OCF中，OF；
（3）如图3，随着点P的运动，点P'的轨迹为直线DB，过点Q作QP''⊥DB于点P''，则QP''的值最小，连接DQ．

∵Q为AC中点，∴AQ=CQAC，∠ADQ=∠CDQ∠ADC=30°，∴∠OCH=30°．在Rt△OCH中，OC=4，∴HC=42，∴DC=4．在Rt△DCQ中，∠DCQ=60°，∴DQ=46．在Rt△QDP''中，∠QDP''=90°﹣∠ADQ=60°，∴QP''=63．
【点睛】本题考查了垂径定理等圆的有关性质，还考查了勾股定理等，解题的关键是能够判断P'的轨迹是直线DB．