2023山西大学附中高二上学期11月期中数学试题含解析

山西大学附中

2022～2023学年第一学期高二年级期中考试

数 学 试 题

考试时间：120分钟             满分：  150分

命题人：苏兆忠                审核人：张耀军

一、单选题（每小题5分，共60分）

1. 已知点，则直线的倾斜角是（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知圆内一点P(2，1)，则过P点的最短弦所在的直线方程是（    ）

A.  B.

C.  D.

3. 直线关于直线对称直线方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

4. “”是“直线与互相垂直”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件

5. 若两条平行直线与之间的距离是，则（    ）

A. 0 B. 1 C.  D.

6. 以下四个命题表述正确的是（    ）

A. 直线恒过定点

B. 两圆与公共弦所在的直线方程为

C. 已知圆：，为直线上一动点，过点向圆引条切线，其中A为切点，则最小值为

D. 圆：与圆：恰有三条公切线

7. 已知中心在原点,焦点在轴上,焦距为4的椭圆被直线：截得的弦的中点的横坐标为-2,则此椭圆的方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 在一平面直角坐标系中，已知，，现沿轴将坐标平面折成60°二面角，则折叠后，两点间的距离为（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 已知是椭圆的右焦点，为椭圆上一点，为椭圆外一点，则的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A、B间的距离为2，动点P与A、B距离之比为，当面积最大时，（    ）

A.  B.  C. 8 D. 16

11. 如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，点P在线段上，点P到直线的距离的最小值为（    ）

A. 1 B.  C.  D.

12. 我国南北朝时期的著名数学家祖暅原提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图①）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图②），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等，即.现将椭圆绕轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图③），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（    ）

A.  B.  C.  D.

二、填空题（每小题5分，共20分）

13. 若P是上的一点，是其焦点，若，则的面积为________．

14. 实数满足，那么的最大值为___________.

15. 如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，，，，与平面交于点，则______．

16. 已知椭圆的左、右焦点分别是，，斜率为的直线经过左焦点且交于，两点（点在第一象限），设的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则椭圆的离心率______．

三、解答题（17题10分，其余每题12分）

17. 已知，，求：

（1）(－)·(＋)；

（2）以，为邻边的平行四边形的面积.

18. 已知圆，圆，直线过点.

（1）求圆的圆心和半径；

（2）若直线与圆相切，求直线的方程；

（3）求圆和圆的公共弦长.

19. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为4，且过点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）倾斜角为的直线过椭圆的右焦点交椭圆于两点，求的面积.

20. 如图，四棱锥中，底面，M为的中点，.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

21. 如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为正方形，为中点，且.

（1）求证：平面；

（2）若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离.

22. 已知点在椭圆C：（）上，椭圆C的左､右焦点分别为F1，F2，的面积为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设点A，B在椭圆C上，直线PA，PB均与圆O：（）相切，试判断直线AB是否过定点，并证明你的结论.