2022-2023学年福建省福州市台江区华南中学八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省福州市台江区华南中学八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列四个二次根式中，最简二次根式是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列方程中，属于一元二次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  一次函数的图象经过原点，则(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

4.  下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

5.  下列条件中，能判定四边形是菱形的是(    )

A. 两组对边分别相等 B. 两条对角线互相平分且相等
C. 两条对角线相等且互相垂直 D. 两条对角线互相垂直平分

6.  甲、乙两人各射击次，成绩如表根据数据分析，在两人的这次成绩中(    )

A. 甲的平均数大于乙的平均数 B. 甲的中位数小于乙的中位数
C. 甲的众数大于乙的众数 D. 甲的方差小于乙的方差

7.  电影我和我的祖国一上映，第一天票房约亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达亿元，若增长率记作，方程可以列为(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，平面直角坐标系中，一次函数与的图象分别为直线和直线，下列结论错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，在中，点、、分别在边、、上，且，，下列四个判断中，不正确的是(    )

A. 四边形是平行四边形
B. 如果，那么四边形是矩形
C. 如果平分，那么四边形是菱形
D. 如果且，那么四边形是正方形
 

10.  对于二次函数，规定函数是它的相关函数已知点，的坐标分别为，，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则的取值范围为(    )

A. 或 B. 或
C. 或 D. 或

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  若在实数范围内有意义，则的取值范围是______．

12.  抛物线的顶点坐标为______ ．

13.  已知：函数，，若，则 ______ 填“”或“”或“”．

14.  已知一组数据是，，，，则这组数据的方差是______ ．

15.  ，，，则，，的大小关系是______ ．

16.  如图，正方形的边长为，点、分别是、的中点，与交于点，连接，则______．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
；
．

18.  本小题分
解下列方程：
；
．

19.  本小题分
如图，、为四边形对角线上的两点，于点，于点，，．
求证：四边形是▱．

20.  本小题分
如图，在中，，，，垂足为，求的长．

21.  本小题分
某校举行知识问答竞赛，每班选名同学参加比赛，根据答对的题目数量，得分等级分为分，分，分，分，学校将八年级甲班和乙班的成绩整理并绘制成统计图．

请把甲班知识问答成绩统计图补充完整不用写计算过程；
通过统计得到如表格中的数据，请求出表中数据，的值；
根据的结果，你认为甲，乙两班哪个班级成绩更好？写出你的理由．

22.  本小题分
某服装公司在新春到来之际，新上市型和型两款童装，准备将件型童装和件型童装分配给甲、乙两个电商平台专卖店销售型童装成本价元，型童装成本价元，其中件给甲电商平台专卖店，件给乙电商平台专卖店，且都能卖完两电商平台专卖店销售这两种童装每件的价格元如下表：

设分配给甲电商专卖店型产品件，如果记这家服装公司卖出这件童装的总利润为元，求关于的函数关系式；
如果要使得总利润最大，服装厂应当如何分配？最大利润是多少？

23.  本小题分
已知：关于的一元二次方程．
求证：无论取任何实数，此方程总有实数根；
若方程有一个根大于，求的取值范围．

24.  本小题分
如图，是▱边上的一点，连接，以为边作▱，使点在线段上不与端点重合．
求证：；
如图，连接，当点是中点且时，求证：四边形是矩形；
在的情况下，当且时，判断线段和的数量关系，并证明．
 

25.  本小题分
已知：如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴的交点分别为、，将对折，使点的对应点落在直线上，折痕交轴于点．
直接写出点的坐标，并求过、、三点的抛物线的解析式；
若抛物线的顶点为，在直线上是否存在点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；
设抛物线的对称轴与直线的交点为，为线段上一点，直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，因此不符合题意；
符合最简二次根式的定义，因此符合题意；
的被开方数是小数，因此不是最简二次根式；
的被开方数是分数，因此不是最简二次根式；
故选：．
根据最简二次根式的意义逐个进行判断即可．
本题考查最简二次根式，掌握被开方数为整数，且不含有能开得尽方的因数或因式的二次根式是最简二次根式是正确判断的前提．
 

2.【答案】 

【解析】解：方程是二元一次方程，选项A不符合题意；
B.方程是分式方程，选项B不符合题意；
C.方程是二元二次方程，选项C不符合题意；
D.方程是一元二次方程，选项D符合题意．
故选：．
利用一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象经过原点，
，．
故选：．
利用一次函数的定义及一次函数图象上点的坐标特征，可得出，．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的定义，利用一次函数的定义，找出是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，则能构成直角三角形，故此选项不合题意；
B.，则不能构成直角三角形，故此选项符合题意；
C.，则能构成直角三角形，故此选项不合题意；
D.，则能构成直角三角形，故此选项不合题意；
故选：．
利用勾股定理逆定理进行计算即可．
此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
 

5.【答案】 

【解析】解：、两组对边分别相等．不能判断是菱形，只能判断是平行四边形；本选项不符合题意；
B、两条对角线互相平分且相等．不能判断是菱形，只能判断是矩形；本选项不符合题意；
C、两条对角线相等且互相垂直．无法判断是菱形，本选项不符合题意；
D、两条对角线互相垂直平分．能判断是菱形，本选项符合题意；
故选：．
根据菱形的判定方法一一判断即可；
本题考查菱形的判定，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，属于中考常考题型．
 

6.【答案】 

【解析】解：、甲的成绩的平均数环，乙的成绩的平均数环，所以选项说法错误，不符合题意；
B、甲的成绩的中位数为环．乙的成绩的中位数为环，所以选项说法错误，不符合题意；
C、甲的成绩的众数为环，乙的成绩的极差为环；所以选项说法正确，符合题意；
D、，，所以选项说法错误，不符合题意．
故选：．
计算甲乙的平均数可对进行判断；计算甲乙的中位数可对进行判断；计算甲乙的众数可对进行判断；计算甲乙的方差可对进行判断．
本题考查了平均数，中位数，众数，方差的意义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．掌握定义是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设平均每天票房的增长率为，
根据题意得：．
故选：．
第一天为，根据增长率为得出第二天为，第三天为，根据三天累计为，即可得出关于的一元二次方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象过一、二、四象限，
，，
一次函数的图象过二、三、四象限，
，，
、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据一次函数与的图象位置，可得，，，，然后逐一判断即可解答．
本题考查一次函数的性质，解题的关键是掌握一次函数的性质，属于中考常考题型．
 

9.【答案】 

【解析】解：、因为，，所以四边形是平行四边形．故A选项正确．
B、如果，四边形是平行四边形，所以四边形是矩形．故B选项正确．
C、因为平分，所以，，，，，又因为四边形是平行四边形，所以是菱形．故C选项正确．
D、如果且，所以四边形是菱形，故D选项错误．
故选：．
两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一个角是的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，四个角都是直角，且四个边都相等的是正方形．
本题考查了平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理，和正方形的判定定理等知识点，熟练掌握判定定理是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有个公共点．

所以当时，，即，解得．
如图所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有个公共点．

抛物线与轴交点纵坐标为，
，解得：．
当时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有个公共点．
如图所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有个公共点．

抛物线经过点，
．
如图所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有个公共点．

抛物线经过点，
，解得：．
时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有个公共点．
综上所述，的取值范围是或，
故选：．
首先确定出二次函数的相关函数与线段恰好有个交点、个交点、个交点时的值，然后结合函数图象可确定出的取值范围．
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数的相关函数与线段恰好有个交点、个交点、个交点时的值是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：使在实数范围内有意义，
，
解得．
故答案为：．
先根据二次根式有意义的条件得出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于或等于．
 

12.【答案】 

【解析】解：

，
抛物线的顶点坐标为．
故答案为：．
把抛物线配方即可解答．
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握用配方法求二次函数顶点坐标．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图所示：
联立方程组可得：，
解得：，
两个函数的交点坐标为，

若，则，
故答案为：．
根据正比例函数的性质和一次函数的性质解答即可．
此题考查正比例函数的性质，关键是根据正比例函数的性质和一次函数的性质画出图象解答．
 

14.【答案】 

【解析】解：这组数据的平均数是：，
这组数据的方差是：．
故答案为：．
先由平均数的公式计算出这组数据的平均数，再根据方差的公式计算即可．
本题考查方差的定义：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
 

15.【答案】 

【解析】解：


，



，

．
故答案为：．
根据题意中提取公因式可得，即可得出，根据二次根式的性质可得，的被开方数可化为，根据完全平方公式的变式应用可化为，可得，再根据二次根式比较大小的方法进行求解即可得出答案．
本题主要考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，二次根式的比较大小，熟练掌握二次根式的性质与化简，完全平方公式，二次根式的比较大小进行求解是解决本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，作交的延长线于．

则，
四边形是边长为的正方形，
，，
、分别为、中点，
，
，
，
，，
在和中：

≌，
，
，
，
，
在和中：

≌，
，，
为等腰直角三角形，
，
．
故答案为．
由≌可导出四边形对角互补，而，于是将绕点逆时针旋转至，可得是等腰直角三角形，从而，求出和的长度即可求出的长度．
本题为正方形背景下的几何计算题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．对于型如的四边形，即两个对角是直角，并且有一个直角的两边长度相等，则直角顶点的连线长度的根号二倍等于另一个直角的两边长度之和，这一经典性质，值得重视和熟悉．
 

17.【答案】解：

；


． 

【解析】先进行二次根式的乘法运算，化简运算，再算加减即可；
先算绝对值，零指数幂，二次根式的乘法，再算加减即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

18.【答案】解：，
，
或，
，．
，
，
，
或，
，． 

【解析】利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答；
利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握解一元二次方程因式分解法是解题的关键．
 

19.【答案】证明：于点，于点，
，
，
．
，
≌，
，，
，
四边形是平行四边形． 

【解析】只要证明≌，可得，，可得，推出即可证明；
本题考查平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

20.【答案】解：，
，
在中，，
设，则，
在中，，即，
解得，，即． 

【解析】根据勾股定理求出，设，得到，根据勾股定理列方程，解方程得到答案．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
 

21.【答案】解：甲班得分为分的人数为人，
补全图形如下：

，乙班的成绩中分的占的百分比最多，所以众数为；
甲班成绩更好，理由如下：
在甲、乙班平均得分相等的前提下，甲班成绩的中位数大于乙班，
所以甲班高分人数多于乙班，
甲班成绩更好答案不唯一． 

【解析】根据各得分人数和为求出得分为分的人数即可补全图形；
根据平均数与众数的定义求解即可；
根据中位数、众数的意义求解即可答案不唯一．
本题考查扇形统计图、统计表的意义和表示数据的特征，理解平均数、中位数、众数的意义是正确解答的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
 

22.【答案】解：由题意，得：，
整理，得，
即关于的函数关系式是；
由，
，
随的增大而增大，
当时，总利润最大，最大利润为：，
答：分配给甲电商专卖店型产品件，型产品件，分配给乙电商专卖店型产品件，型产品件时总利润最大，最大利润为元． 

【解析】根据题意和表格中的数据，可以写出关于的函数关系式；
根据一次函数的性质解答即可．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
 

23.【答案】证明：，
无论取任何实数，此方程总有实数根；
解：，
即，
解得：，，
又方程有一个根大于，
，
解得：，
的取值范围为． 

【解析】根据方程的系数，结合根的判别式，可得出，进而可证出：无论取任何实数，此方程总有实数根；
利用因式分解法，可求出方程的解，结合方程有一个根大于，即可求出的取值范围．
本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：牢记“当时，方程有两个实数根”；利用因式分解法，求出方程的两个实数根．
 

24.【答案】证明：四边形和四边形是平行四边形，
，，
，，
；
解：延长，交于点，

四边形是平行四边形，
，
是的中点，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
即，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形；
．
理由如下：连接，设，

，且，四边形是平行四边形，
平行四边形是正方形，
，，，
在和中，，，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，
在中，，
，
，
． 

【解析】由平行四边形的性质得出，，由平行线的性质得出，，则可得出结论；
延长，交于点，证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得出，证出，由矩形的判定可得出结论；
连接，设，证明四边形是正方形，得出，，，由勾股定理求出，的长，根据三角形的面积可求出，求出的长则可得出答案．
此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形性质，矩形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明四边形是矩形是解本题的关键．
 

25.【答案】解：点的坐标为分
点、的坐标分别为，，
可设过、、三点的抛物线的解析式为．
将，代入抛物线的解析式，
得分
过、、三点的抛物线的解析式为分

可得抛物线的对称轴为直线，顶点的坐标为，
设抛物线的对称轴与轴的交点为．
直线的解析式为分
设点的坐标为．
解法一：如图，作交直线于点，
连接，作轴于点．
，
，．
，
即．
解得．
经检验是原方程的解．
此时点的坐标为分
但此时，．
，
，即四边形的对边与平行但不相等，
直线上不存在符合条件的点分

解法二：如图，取的中点，
作点关于点的对称点，作轴于
点则，．
可得≌．
由，可得点的坐标为．
，，．
点的坐标为分
时，，
点不在直线上．
直线上不存在符合条件的点分


的取值范围是分
当在的垂直平分线上与直线的交点时，如点处，此时，则，
当在的延长线与直线交点时，此时最大，
直线的解析式为：，直线的解析式为：，
联立可得：交点为，
，，
，
的取值范围是：．
 

【解析】点的坐标是纵坐标为，得横坐标为，所以点的坐标为；
点的坐标是横坐标为，解得纵坐标为，所以点的坐标为；
由题意得：是的角平分线，所以，
，，
设，则
由勾股定理得：
点的坐标为
将此三点代入二次函数一般式，列的方程组即可求得；
求得直线的解析式，根据平行四边形的性质，对角相等，对边平行且相等，借助于三角函数即可求得；
如图，由对称性可知，．
当点与点重合时，、、三点共线，
取得最大值即为的长；
设线段的垂直平分线与直线的交点为，
当点与点重合时，取得最小值．
此题考查了二次函数与一次函数以及平行四边形的综合知识，解题的关键是认真识图，注意数形结合思想的应用．