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2022-2023学年福建省福州市仓山区时代中学八年级（下）期末数学试卷（含解析）
展开这是一份2022-2023学年福建省福州市仓山区时代中学八年级（下）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省福州市仓山区时代中学八年级（下）期末数学试卷
副标题
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知x=1是关于x的一元二次方程x2+x+2a=0的一个解，则a的值为( )
A. 0 B. −1 C. 1 D. 2
2. 如图，在▱ABCD中，若∠B+∠D=110°，则∠B的度数为( )
A. 45°
B. 55°
C. 65°
D. 70°
3. 一本笔记本5元，买x本共付y元，在这个过程中，变量是( )
A. 5和x B. 5和y C. x和y D. 5，x和y
4. 二次函数y=2(x−3)2+1的图象的顶点坐标是( )
A. (2,3) B. (2,1) C. (3,−1) D. (3,1)
5. 小红在“养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长”读书大赛活动中，随机调查了本校初二年级20名同学，在近5个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示：
人数
3
4
8
5
课外书数量(本)
12
13
15
18
则阅读课外书数量的中位数和众数分别是( )
A. 35，15 B. 14，15 C. 13，18 D. 15，15
6. 如图，四边形ABCD的两条对角线AC、BD交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A. AO=CO，BO=DO B. AB=CD，AD=BC
C. AB//CD，AB=CD D. AB//CD，AD=BC
7. 我国党的二十大报告指出从2020年到2035年基本实现社会主义现代化，从2035年到本世纪中叶把我国建成富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国.2020年我国GDP约为99万亿元，如果以后每年按相同的增长率增长，两年后我国GDP约达125万亿元，将增长率记作x，可列方程为( )
A. 99+99(1+x)=125 B. 99(1+x)=125
C. 99(1+x)2=125 D. 99(1+x)+99(1+x)2=125
8. 如图，直线y=kx+3经过点(2,0)，则关于x的不等式kx+3<0的解集是( )
A. x>2
B. x<2
C. x≥2
D. x≤2
9. 如图，以矩形ABCD的顶点A为圆心，AD长为半径画弧交CB的延长线于E；过点D作DF//AE交BC于点F，连接AF.AB=4，AD=5，则AF的长是( )
A. 2 5 B. 3 5 C. 3 D. 3 3
10. 已知抛物线y=x2−4mx+m，当−2
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 函数y=x−2x+3中，自变量x的取值范围是______ ．
12. 如图，把两根钢条OA，OB的一个端点连在一起，点C，D分别是OA，OB的中点，若CD=4cm，则该工件内槽宽AB的长为______ cm．
13. 如图是甲、乙两人5次足球点球测试(每次点球10个)成绩的统计图，甲、乙两人测试成绩的方差分别记作S甲2、S乙2，则S甲2 ______ S乙2(填“>”“=”或“<”)．
14. 抛物线y=ax2−2ax+c经过点(4,0)，则关于x的一元二次方程ax2−2ax+c=0的根是______ ．
15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的一个顶点在原点O处，点A在y轴正半轴上，点B在第一象限内，且∠AOC=60°，则直线OB的函数表达式是______ ．
16. 已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=2时，该函数取最大值12.设该函数图象与x轴的一个交点的横坐标为x1，若x1>4，则a的取值范围是______．
三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
解一元二次方程x2−4x−12=0．
18. (本小题8.0分)
如图，在矩形ABCD中，E是AD中点，连接BE，EC.证明：EB=EC．
19. (本小题8.0分)
已知关于x的一元二次方程x2−(m−1)x+m−2=0．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程两个实数根的差为3，求m的值．
20. (本小题8.0分)
若点(m,n)在一次函数y=2x−3的图象上．
(1)求代数式3n−6m+2032的值；
(2)点A(5m−6,5n)在直线y=2x−3上吗？为什么？
21. (本小题8.0分)
端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗.在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩(单位：分)均为不低于6的整数.为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下：
八年级10名学生活动成绩统计表
成绩/分
6
7
8
9
10
人数
1
2
a
b
2
已知八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分．
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)样本中，七年级活动成绩为7分的学生数是______ ，七年级活动成绩的众数为______ 分；
(2)a= ______ ，b= ______ ；
(3)若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由．
22. (本小题12.0分)
如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B分别在y轴正半轴、x轴正半轴上，过点D作DF⊥x轴交x轴于点F，交对角线AC于点E．
(1)求证：BE=DE；
(2)判断∠EBC、∠FBC的数量关系，并说明理由；
(3)若点A，B坐标分别为(0,12)、(5,0)，则△BEF的周长为______ ．
23. (本小题14.0分)
如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴分别交于A(1−m,0)，B(m−3,0)两点，其中点B在原点左侧，与y轴交于点C(0,−3)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知抛物线顶点为P，点M在第三象限的抛物线上，
①若直线CM与直线BP关于直线y=x对称，求点M的坐标；
②如图2，若直线y=2x+n与抛物线交于点D，E，−1
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵x=1是方程的解，
∴1+1+2a=0，
∴a=−1．
故选：B．
把方程的解代入方程，可以求出字母系数a的值．
本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程可以求出字母系数的值．
2.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵∠B+∠D=110°，
∴∠B=∠D=55°，
故选：B．
根据平行四边形的性质可知∠B=∠D，再根据∠B+∠D=110°，即可得到∠B的度数．
本题考查平行四边形的性质，解答本题的关键是明确平行四边形的对角相等．
3.【答案】C
【解析】解：一本笔记本5元，买x本共付y元，在这个过程中，变量是买的本数x本和所付的金额y元，
故选：C．
根据变量和常量的定义进行判断即可．
本题考查常量、变量，理解常量、变量的定义是正确解答的关键．
4.【答案】D
【解析】解：根据二次函数的顶点式方程y=2(x−3)2+1知，该函数的顶点坐标是：(3,1)．
故选：D．
二次函数y=a(x−h)2+k(a≠0)的顶点坐标是(h,k)．
本题考查了二次函数的性质和二次函数的三种形式．解答该题时，需熟悉二次函数的顶点式方程y=a(x−h)2+k中的h、k所表示的意义．
5.【答案】D
【解析】解：中位数为第10个和第11个的平均数15+152=15，众数为15．
故选：D．
利用中位数，众数的定义即可解决问题．
本题考查了中位数和众数，解答本题的关键是掌握中位数和众数的概念．
6.【答案】D
【解析】解：A、∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵AB//CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、由AB//CD，AD=BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形(如等腰梯形)，故选项D符合题意；
故选：D．
由平行四边形的判定定理分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：根据题意得：2021年我国GDP约为99(1+x)万亿元，
2022年我国GDP约为99(1+x)(1+x)=99(1+x)2万亿元，
∴可列方程为99(1+x)2=125．
故选：C．
根据题意直接列出方程即可．
本题考查一元二次方程的实际应用．理解题意，找出等量关系，正确列出等式是解题关键．
8.【答案】A
【解析】解：当x>2时，y<0．
所以关于x的不等式kx+3<0的解集是x>2．
故选：A．
写出函数图象在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
9.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，AB=4，AD=5，
∴AD//BC，∠ABC=90°，
∴∠ABE=90°，
∵DF//AE，AD//EF，
∴四边形ADFE是平行四边形，
由作图得AE=AD=5，
∴四边形ADFE是菱形，
∴FE=AE=5，
∵BE= AE2−AB2= 52−42=3，
∴BF=FE−BE=5−3=2，
∴AF= AB2+AF2= 42+22=2 5，
故选：A．
由矩形的性质得AD//BC，∠ABC=90°，则∠ABE=90°，再证明四边形ADFE是平行四边形，由作图得AE=AD=5，则四边形ADFE是菱形，所以FE=AE=5，则BE= AE2−AB2=3，可求得BF=2，则AF= AB2+AF2=2 5，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定、勾股定理等知识，证明四边形ADFE是菱形是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：由题意知a>0，
∴开口向上，
∵当−2
∴顶点在第三象限．
故选C．
由抛物线的解析式知开口方向向上，当−2
11.【答案】x≠−3
【解析】解：由题意得：
x+3≠0，
解得：x≠−3，
故答案为：x≠−3．
根据分母不为0可得：x+3≠0，然后进行计算即可解答．
本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为0是解题的关键．
12.【答案】8
【解析】解：∵点C，D分别是OA，OB的中点，
∴CD是△AOB的中位线，
∴AB=2CD，
∵CD=4cm，
∴AB=2CD=8(cm)，
故答案为：8．
根据三角形中位线定理即可得到结论．
本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
13.【答案】<
【解析】解：由统计图可知：
甲的成绩为：6，5，6，4，7；
乙的成绩为：5，2，5，7，3，
∴x甲−=6+5+6+4+75=5.6，
S甲2=(6−5.6)2+(5−5.6)2+(6−5.6)2+(4−5.6)2+(7−5.6)25=1.04；
x乙−=5+2+5+7+35=4.4，
S乙2=(5−4.4)2+(2−4.4)2+(5−4.4)2+(7−4.4)2+(3−4.4)25=3.04，
∵1.04<3.04，
∴S甲2
从统计图中分别获取甲、乙两人测试成绩，利用方差公式计算即可．
本题考查方差的计算，熟悉方差的计算公式是解题的关键．本题也可直接根据方差的意义，通过观察统计图数据的判断波动情况作出判断．
14.【答案】x1=−2，x2=4
【解析】解：抛物线的对称轴为直线x=−(−2a2a)=1，
∵抛物线y=ax2−2ax+c经过点A(4,0)，
∴抛物线y=ax2−2ax+c与x轴的另一个交点坐标为(−2,0)，
∴关于x的一元二次方程ax2−2ax+c=0的解为x1=−2，x2=4．
故答案为：x1=−2，x2=4．
先求出抛物线的对称轴，利用抛物线的对称性得到抛物线y=ax2+2ax+c与x轴的另一个交点坐标为(4,0)，然后根据抛物线与x轴的交点问题求解．
本题考查了抛物线与x轴的交点，把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题的关键．
15.【答案】y= 3x
【解析】解：∵四边形OABC是菱形，∠AOC=60°，
∴∠AOB=∠BOC=12∠AOC=30°，
过点B作BH⊥y轴于点H，
设B(m,n)，则BH=m，OH=n，
∴OB=2BH=2m，
∴OH=n= OB2−BH2= 3m，
∴B(m, 3m)，
设OB的函数表达式为y=kx，
∴ 3m=km，
∴k= 3，
∴OB的函数表达式为y= 3x.
故答案为：y= 3x.
由菱形的性质求得∠AOB=30°，由含30度直角三角形的性质得到B(m, 3m)，根据待定系数法即可求得答案．
本题主要考查了菱形的性质，含30度直角三角形的性质，待定系数法，根据菱形的性质和含30度直角三角形的性质求得点B的坐标是解决问题的关键．
16.【答案】−3
∴a<0，该函数解析式可以写成y=a(x−2)2+12，
∵设该函数图象与x轴的一个交点的横坐标为x1，x1>4，
∴当x=4时，y>0，
即a(4−2)2+12>0，解得，a>−3，
∴a的取值范围是−3
本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的最值、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
17.【答案】解：∵x2−4x−12=0，
∴(x−6)(x+2)=0，
则x−6=0或x+2=0，
∴x1=6，x2=−2．
【解析】利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠A=∠D=90°，
∵E是AD中点，
∴AE=DE，
在△BAE与△CDE中，
AB=CD∠A=∠D=90°AE=DE，
∴△BAE≌△CDE(SAS)，
∴EB=EC．
【解析】根据矩形的性质得出AB=CD，∠A=∠D=90°，利用全等三角形的判定和性质解答即可．
此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质得出AB=CD，∠A=∠D=90°解答．
19.【答案】(1)证明：∵一元二次方程x2−(m−1)x+m−2=0，
∴Δ=(1−m)2−4(m−2)
=m2−2m+1−4m+8
=(m−3)2．
∵(m−3)2≥0，
∴Δ≥0．
∴该方程总有两个实数根．
(2)解：∵一元二次方程x2−(m−1)x+m−2=0，
解方程，得x1=1，x2=m−2．
∵该方程的两个实数根的差为3，
∴|1−(m−2)|=3．
∴m=0或m=6．
综上所述，m的值是0或6．
【解析】(1)证明一元二次方程的判别式大于等于零即可；
(2)用m表示出方程的两个根，比较大小后，作差计算即可．
本题考查了一元二次方程根的判别式，方程的解法，熟练掌握判别式，并灵活运用实数的非负性是解题的关键．
20.【答案】解：(1)∵点(m,n)在一次函数y=2x−3的图象上，
∴n=2m−3，
∴3n−6m+2032
=3(2m−3)−6m+2032
=6m−9−6m+2032
=2023；
(2)点A(5m−6,5n)在直线y=2x−3上．
∵当x=5m−6时，
y=2(5m−6)−3
=10m−15
=5(2m−3)
=5n．
∴点A(5m−6,5n)在直线y=2x−3上．
【解析】(1)直接把点(m,n)代入一次函数y=2x−3求出m、n的关系，代入代数式进行计算即可；
(2)把x=5m−6代入直线y=2x−3，求出y的值即可．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
21.【答案】1 8 2 3
【解析】解：(1)由扇形统计图可得，成绩为8分的人数为10×50%=5(人)，
成绩为9分的人数为10×20%=2(人)，
成绩为10分的人数为10×20%=2(人)，
则成绩为7分的学生数为10−5−2−2=1(人)，
∵出现次数最多的为8分，
∴七年级活动成绩的众数为8分，
故答案为：1；8；
(2)由题意，将八年级的活动成绩从小到大排列后，它的中位数应是第5个和第6个数据的平均数，
∵八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分，
∴第5个和第6个数据的和为8.5×2=17=8+9，
∴第5个和第6个数据分别为8分，9分，
∵成绩为6分和7分的人数为1+2=3(人)，
∴成绩为8分的人数为5−3=2(人)，成绩为9分的人数为10−5−2=3(人)，
即a=2，b=3，
故答案为：2；3；
(3)不是，理由如下：
结合(1)(2)中所求可得七年级的优秀率为2+210×100%=40%，八年级的优秀率为3+210×100%=50%，
七年级的平均成绩为1×7+5×8+2×9+2×1010=8.5(分)，八年级的平均成绩为1×6+2×7+2×8+3×9+2×1010=8.3(分)，
∵40%<50%，8.5>8.3，
∴本次活动中优秀率高的年级并不是平均成绩也高．
(1)分别求得成绩为8分，9分，10分的人数，再结合总人数为10人列式计算即可求得成绩为7分的学生数，然后根据众数定义即可求得众数；
(2)根据中位数的定义将八年级的活动成绩从小到大排列，那么其中位数应是第5个和第6个数据的平均数，结合已知条件易得第5个和第6个数据分别为8，9，再根据表格中数据即可求得答案；
(3)结合(1)(2)中所求，分别求得两个年级优秀率及平均成绩后进行比较即可．
本题主要考查众数，中位数及平均数，数据分析相关知识点是必考且重要知识点，必须熟练掌握，(2)中根据中位数定义及已知条件确定第5个和第6个数据分别为8分，9分是解题的关键．
22.【答案】24
【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAE=∠BAE，
在△ADE与△ABE中，
AD=AB∠DAE=∠BAEAE=AE，
∴△ADE≌△ABE(SAS)
∴BE=DE；
(2)解：∠EBC=∠FBC，理由如下：
如图所示，设BC，DF交于点H，
∵DF⊥x轴，∠DCH=90°
∴∠HFB=∠DCH，
又∵∠DHC=∠BHF，
∴∠CBF=∠CDF，
∵△ADE≌△ABE
∴∠ADE=∠ABE，
又∵∠ADC=∠ABC=90°，
∴∠ADC−∠ADE=∠ABC−∠ABE，即∠EBC=∠EDC，
∴∠EBC=∠FBC；
(3)解：如图所示，过点D作DG⊥y轴于点G，
则四边形OGDF是矩形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠BAD=90°，
∵∠DGA=∠AOB=90°，
∴∠BAO=90°−∠GAD=∠ADG，
∴△BAO≌△ADG(AAS)，
∴GD=AO，AG=OB，
∵点A，B坐标分别为(0,12)、(5,0)，
∴OA=GD=12，AG=OB=5，
∴DF=OG=12+5=17，BF=OF−BO=GD−OB=12−5=7，
∵BE=DE，
∴△BEF的周长为BE+EF+BF=DE+EF+BF=DF+BF=17+7=24．
故答案为：24．
(1)证明△ADE≌△ABE(SAS)，即可得证；
(2)设BC，DF交于点H，根据三角形内角和定理得出∠CBF=∠CDF，根据△ADE≌△ABE得出∠ADE=∠ABE，进而得出∠EBC=∠EDC，等量代换即可求解；
(3)过点D作DG⊥y轴于点G，证明△BAO≌ADG(AAS)，得出OA=GD=12，AG=OB=5.DF=17，BF=7，进而即可求解．
本题考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)把A(1−m,0)，B(m−3,0)，C(0,−3)代入y=x2+bx+c得：
(1−m)2+b(1−m)+c=0(m−3)2+b(m−3)+c=0c=−3，
解得m=0b=2c=−3，
∴抛物线的解析式为y=x2+2x−3；
(2)①设直线y=x交BP于K，如图：
由(1)可得B(−3,0)，
∵y=x2+2x−3=(x+1)2−4，
∴P(−1,−4)，
由B(−3,0)，P(−1,−4)可得直线BP解析式为y=−2x−6；
联立y=−2x−6y=x，解得x=−2y=−2，
∴K(−2,−2)，
由K(−2,−2)，C(0,−3)得直线CM的解析式为y=−12x−3，
联立y=−12x−3y=x2+2x−3，解得x=0y=−3或x=−52y=−74，
∴M(−52,−74)；
②由y=2x+ny=x2+2x−3得x=− n+3y=−2 n+3+n或x= n+3y=2 n+3+n，
∴D(− n+3,−2 n+3+n)，E( n+3,2 n+3+n)，
∵DM⊥l，抛物线对称轴为直线x=−1，
∴DM=2[− n+3−(−1)]=2−2 n+3，
在y=2x+n中，令x=−1得y=n−2，
∴H(−1,n−2)，
∴S△MEH=12DM⋅(yE−yH)=12(2−2 n+3)(2 n+3+n−n+2)=−2n−4；
∵−1
∴−3
∴0
(2)①设直线y=x交BP于K，求出B(−3,0)，P(−1,−4)，可得直线BP解析式为y=−2x−6；故K(−2,−2)，直线CM的解析式为y=−12x−3，联立y=−12x−3y=x2+2x−3，即可解得M(−52,−74)；
②由y=2x+ny=x2+2x−3D(− n+3,−2 n+3+n)，E( n+3,2 n+3+n)，可得DM=2[− n+3−(−1)]=2−2 n+3，由y=2x+n得H(−1,n−2)，故S△MEH=12DM⋅(yE−yH)=12(2−2 n+3)(2 n+3+n−n+2)=−2n−4；根据−1
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