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2022-2023学年四川省达州市达川区七年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年四川省达州市达川区七年级（下）期末数学试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列图形中，不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 下列运算正确的是( )
A. a2÷a2=a3B. (−a2)3=a6C. a2⋅a3=a6D. (3a)2=9a2
3. 下列事件为必然事件的是( )
A. 一名射击运动员射击一次，中靶
B. 彩票的中奖率是15%，那么买100张彩票必有15张中奖
C. 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是质数
D. 一个三角形，其任意两边之和大于第三边
4. 一个学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如下数据：
下列说法正确的是( )
A. 当h=70cm时，t=1.50s
B. 随着h逐渐升高，t也逐渐变大
C. h每增加10cm，t减小1.23s
D. 随着h逐渐升高，小车下滑的平均速度逐渐加快
5. 如图，直线m、n被直线a、b所截，下列条件中，不能判断直线m//n的是( )
A. ∠2=∠5
B. ∠3+∠4=180°
C. ∠3=∠5
D. ∠1=∠6
6. 如图，已知AE=AC，∠C=∠E，下列条件中，无法判定△ABC≌△ADE的是( )
A. ∠B=∠DB. BC=DEC. ∠1=∠2D. AB=AD
7. 如图，把一张长方形的纸片沿着EF折叠，点C−y+1−m=0、D分别落在C′、D′的位置，ED′的延长线与BC交于点G，若∠EFC′=118°，则∠1=( )
A. 112°B. 102°C. 118°D. 124°
8. 如图，在长方形ABCD的中，已知AB=6cm，BC=10cm，点P以4cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q以acm/s的速度由点C向点D运动，若以A，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，则a的值为( )
A. 4B. 6C. 4或92D. 4或245
9. 如图，图1中的阴影部分移动成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式( )
A. (a+b)(a−b)=a2−b2B. (a−b)2=a2−2ab+b2
C. (a+b)2=a2+2ab+b2D. (a+b)2=4ab+(a−b)2
10. 如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于D，延长BC到E，使CE=12BC，F是AC的中点，连接EF并延长EF交AB于G，BG的垂直平分线分别交BG，AD于点M，点N，连接GN，CN，下列结论：
①EG⊥AB；
②GF=12EF；
③∠GNC=120°；
④S四边形AGNC=4S△MGN．
其中正确的结论序号是( )
A. ①②③B. ②③④C. ①③④D. ①②③④
二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）
11. 如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为点O，若∠BOE=40°，则∠AOC的度数为______ ．
12. 有5张相同的卡片，卡片正面分别标有−2，|−3|，(−2)2，−(−14)0，(−1)−2，将卡片背面朝上，从中随机抽取1张，则抽取的卡片上的数是正数的概率为______．
13. 已知m2−8m+1=0，则2m2−8m+1m2= ．
14. 如图，把三角形纸片ABC沿ED折叠，使点A落在四边形BCDE外部，已知∠1=80°，∠2=30°，则∠A的度数为______ ．
15. 如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AD的中点，点F在BE上，且EF=2BF，若S△BCF=2cm2，则S△ABC等于 ．
三、解答题（本大题共10小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
计算：
(1)(−2)2+(3.14−π)0−|−2|+(12)−1；
(2)(4x2−2x3+6x)÷(−2x)−(2x−1)2．
17. (本小题8.0分)
如图，已知AB//DC，∠B=30°，∠BEC=62°，下面求∠C的度数，请填写推理的根据：
解：如图，过点E作EF//AB，
∵AB//DC(已知)
∴EF//DC(______ )
∴∠B=∠BEF(______ )
∠C=∠CEF(______ )
∴∠B+∠C=∠BEF+∠CEF(______ )
即∠B+∠C=∠BEC
∴∠C=∠BEC−∠B=62°−30°=32°．
18. (本小题8.0分)
化简求值：
(1)化简求值：5x2−[x2−2x−2(x2−3x+1)]，其中3x2−2x−1=0；
(2)已知A=2a2+3ma−2a−1，B=a2+ma−1，且2A−4B的值不含a的一次项，求m的值．
19. (本小题8.0分)
如图：在正方形网格上有一个△ABC．
(1)作△ABC关于直线MN的对称图形△A′B′C′(不写作法)．
(2)若网格上的最小正方形的边长为1，求△ABC的面积．
20. (本小题8.0分)
2022年3月23日，“天宫课堂”第二课在中国空间站正式开讲，航天员王亚平、叶光富、翟志刚为学生们上了一堂豪华的太空课，引发了学生了解科学知识的新热潮.八(1)班社团通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系：
(1)在这个变化过程中，______ 是自变量，______ 是因变量．
(2)从表中数据可知，气温每升高1℃，声音在空气中传播的速度就提高______ m/s．
(3)声音在空气中的传播速度v/(m/s)与气温t(℃)的关系式可以表示为______ ；
(4)某日的气温为22℃，小乐看到烟花燃放5s后才听到声响，那么小乐与燃放烟花所在地大约相距多远？
21. (本小题9.0分)
2022年“新课标”提出，义务教育劳动课程以丰富开放的劳动项目为载体.南开中学积极发挥劳动教育的融合性特征，从课程设计、课余生活等多维度，鼓励学生积极参与劳动.为了解七年级学生一周参与劳动时间的情况，随机抽取部分学生，统计了他们每周劳动时间(单位：h)，并将收集到的数据整理分析，共分为五组：(A：x<1，B：1≤x<2，C：2≤x<3，D：3≤x<4，E：x≥4，其中每周劳动时间不少于3小时为达标)，绘制了如下两幅不完整的统计图：
结合图中提供的信息，解答下列问题：
(1)本次调查的总人数为______ 人，a= ______ ；
(2)把频数分布直方图补充完整；
(3)为了让全校学生重视劳动学习，学校准备从这些达标学生中随机抽取1名学生给全校学生分享劳动收获心得，若已知在这些达标学生中有男生13人，求抽中女生的概率．
22. (本小题9.0分)
如图，在△ABC和△BCD中，AC=CD，∠BAC+∠BDC=180°，在BD的延长线上取
点E，使DE=AB，连接CE．
(1)试说明：∠ABC=∠DBC；
(2)连接AD交BC于点F，若∠ABD=60°，∠ADB=40°，试说明：BD=AB+AF．
23. (本小题10.0分)
图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀剪下全等的四块小长方形，然后按图2拼成一个正方形．
(1)观察图2，请直接写出代数式(m+n)2，(m−n)2，mn之间的等量关系；
(2)根据(1)中的等量关系，若x+2y=6，xy=4，则x−2y的值为______ ；
(3)已知(2024−a)(2022−a)=1，求(2024−a)2+(2022−a)2的值．
24. (本小题10.0分)
已知△ABC．
(1)如图1，按如下要求用尺规作图：
①作出△ABC的中线CD；
②延长CD至E，使DE=CD，连接AE；(不要求写出作法，但要保留作图痕迹.)
(2)如图2，若∠ACB=90°，CD是中线，试探究CD与AB之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，若∠ACB=45°，AC=BC，CD是△ABC的中线，过点B作BE⊥AC于E，交CD于点F，连接DE，若CF=4，求DE的长．
25. (本小题12.0分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，边CA沿着过点A的某条直线对折得到得到DA，连接CD，以CD为边在左侧作△CDE，其中∠CDE=90°，CD=DE，AD与CE交于点F，连接BD．
(1)如图1，连接AE，当点D在△ABC外部时，试说明△ADE≌△BCD；
(2)如图2，连接AE，当点D在△ABC的斜边AB上时，试判断△AEF的形状并说明理由；
(3)如图3，当点D在△ABC的内部时，若点F为AD的中点，且EF=2，求BD的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：选项A、B、C的图形都是轴对称图形，选项D的图形不是轴对称图形．
故选：D．
根据轴对称的定义，即图形沿某条直线折叠后，能与原图形的另一部分重合，据此即可一一判定．
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】D
【解析】解：A、a2÷a2=1，故A不符合题意；
B、(−a2)3=−a6，故B不符合题意；
C、a2⋅a3=a5，故C不符合题意；
D、(3a)2=9a2，故D符合题意；
故选：D．
利用同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3.【答案】D
【解析】解：A、一名射击运动员射击一次，中靶，是随机事件，故A不符合题意；
B、彩票的中奖率是15%，那么买100张彩票不一定有15张中奖，故B不符合题意；
C、掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是质数，是随机事件，故C不符合题意；
D、一个三角形，其任意两边之和大于第三边，是必然事件，故D符合题意；
故选：D．
根据概率的意义，随机事件，必然事件，不可能事件的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了概率的意义，随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、当h=70cm时，t=1.59s，原说法错误，该选项不符合题意；
B、随着h逐渐升高，t逐渐变小，原说法错误，该选项不符合题意；
C、h每增加10cm，t减小的值不一定，原说法错误，该选项不符合题意；
D、随着h逐渐升高，小车下滑的平均速度逐渐加快，该选项符合题意．
故选：D．
根据表格中的数据，分析其中的规律，即可做出正确的判断．
根据表格中的数据，分析其中的规律，即可做出正确的判断．
5.【答案】C
【解析】解：∵∠2=∠5，
∴m//n，
故A不符合题意；
∵∠3+∠4=180°，
∴m//n，
故B不符合题意；
由∠3=∠5，不能判定m//n，
故C符合题意；
∵∠1=∠6，
∴m//n，
故D不符合题意；
故选：C．
根据平行线的判定定理求解即可．
此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：A、添加∠B=∠D，由“AAS”可证△ABC≌△ADE，故选项A不合题意；
B、添加BC=DE，由“SAS”可证△ABC≌△ADE，故选项B不合题意；
C、添加∠1=∠2，由“ASA”可证△ABC≌△ADE，故选项C不合题意；
D、添加AB=AD，不能证明△ABC≌△ADE，故选项D符合题意；
故选：D．
由全等三角形的判定依次判断可求解．
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是本题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：根据折叠的性质可得，∠EFC=∠EFC′=118°，∠GEF=∠DEF，
∴∠EFG=180°−∠EFC=180°−118°=62°，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD//BC，
∴∠DEF=∠EFG=62°，
∴∠GEF=∠DEF=62°，
∴∠1=∠GEF+∠EFG=62°+62°=124°，
故选：D．
首先根据折叠的性质可得，∠EFC=∠EFC′=118°，可求得∠EFG=62°，再根据平行线及折叠的性质，可求得∠GEF=∠DEF=∠EFG=62°，再由三角形的外角性质，即可求解．
本题考查了折叠的性质，平行线的性质以及三角形的外角性质，熟练掌握和运用折叠的性质是解决本题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：由已知得：PC=BC−BP=(10−4t)cm；
①若△ABP≌△PCQ．
则AB=PC=6cm，
∴6=10−4t，
∴t=1．
∴a=4；
②若△ABP≌△QCP．
则AB=CQ=6cm，BP=CP=(10−4t)cm，则t=54．
得：54a=6．
解得：a=245．
综上，a的值为4或245．
故选：D．
先表示出CP长度，分△BPA≌△CPQ和△BPA≌△CQP两种情况进行解答．
本题考查的是矩形的性质和全等三角形的性质，正确运用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：根据题意得：图1中阴影部分的面积为(a−b)2，
图2中阴影部分的面积a2−2ab+b2，
根据图1与图2中阴影部分的面积相等可得(a−b)2=a2−2ab+b2．
故选：B．
根据图形确定出图1与图2中阴影部分的面积，即可作出判断．
此题考查了完全平方公式的几何背景，弄清阴影部分面积的求法是解本题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=CA，∠B=∠BCA=∠CAB=60°．
①∵点F为AC的中点，
∴CF=FA=12AC，
又CE=12BC，BC=AC，
∴CE=CF，
∴∠E=∠CFE，
∵∠BCA=∠E+∠CFE=60°，
∴∠E=∠CFE=30°，
∴∠AFG=∠CFE=30°，
∴∠AGE=180°−∠CAB−∠AFG=180°−60°−30°=90°，
∴EG⊥AB，
∴结论①正确；
②设AG=a，
由①正确可知：∠AGE=90°，∠AFG=30°，
∴FA=2a，FG= 3a，
∴AC=BC=AB=4a，
∴BG=AB−AG=3a，BE=BC+CE=4a+2a=6a，
在Rt△BEG中，BG=3a，BE=6a，
由勾股定理得：EG= BE2−BG2=3 3a，
∴EF=GE−FG=3 3a− 3a=2 3a，
∴EF=2FE，
∴结论②正确；
③过点N作NH⊥AC于点H，连接BN，如图所示：
∵MN为BG的垂直平分线，
∴BN=GN，∠GMN=90°，
∵△ABC为等边三角形，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD=30°，AD为BC的垂直平分线，
∴MN=HN，BN=CN，
∴GN=CN，
在Rt△GMN和Rt△CHN中，
GN=CNMN=HN，
∴Rt△GMN≌Rt△CHN(HL)，
∴∠GNM=∠CNH，
∵∠BAD=∠CAD=30°，∠GMN=90°，NH⊥AC，
∴∠ANM=∠ANH=60°，
∴∠GNC=∠ANG+∠ANH+∠GNM=∠ANM+∠ANH=120°，
∴结论③正确；
④设AG=a，MN=b，
由②可知：BG=3a，AC=4a，
由③可知：NH=MN=b，MG=12BG=3a2，
∴S△MGN=12MG⋅MN=12⋅3a2⋅b=3ab4，
又S△ANG=12AG⋅MN=12⋅a⋅b=ab2，S△ANC=12AC⋅NH=12⋅4ab=2ab，
∴S四边形AGNC=S△ANG+S△ANC=ab2+2ab=5ab2，
∴S四边形AGNC≠4S△MGN，
∴结论④不正确．
综上所述：正确的结论是①②③．
故选：A．
①由点F为AC的中点，CE=12BC可得CE=CF，据此可求出∠E=∠CFE=30°，进而可求得∠AGE=90°，据此可对结论①进行判断；
②设AG=a，则FA=2a，FG= 3a，AC=BC=AB=4a，BG=3a，BE=6a，进而在Rt△BEG中由勾股定理得EG=3 3a，据此可对结论②进行判断；
③过点N作NH⊥AC于点H，连接BN，先证GN=CN，MN=HN，进而依据“HL”判定Rt△GMN和Rt△CHN全等得∠GNM=∠CNH，最后再根据∠ANM=∠ANH=60°可得∠GNC的度数，进而可对结论③进行判断；
④设AG=a，MN=b，由②可知BG=3a，AC=4a，由③可：NH=MN=b，MG=12BG=3a2，于是可求出S△MGN=3ab4，S△ANG=ab2，S△ANC=2ab，则S四边形AGNC=5ab2，据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案．
此题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，线段垂直平分线的性质等，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，理解等边三角形相关性质，在直角三角形中，30°的角所对的边等于斜边的一半，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
11.【答案】50°
【解析】解：∵OE⊥CD，
∴∠EOD=90°，
∵∠BOE=40°，
∴∠BOD=90°−40°=50°，
∴∠AOC=∠BOD=50°．
故答案为：50°．
直接利用垂直的定义结合对顶角的性质得出答案．
此题主要考查了垂线以及对顶角，正确得出∠BOD的度数是解题关键．
12.【答案】35
【解析】解：∵|−3|=3，(−2)2=4，−(−14)0=−1，(−1)−2=1，
∴5个数在有3个正数，
∴从中随机抽取1张，则抽取的卡片上的数是正数的概率为35．
故答案为：35．
先化简给出的各数，然后找出正数的个数，再根据概率公式可得答案．
此题主要考查了概率公式和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
13.【答案】61
【解析】解：∵m2−8m+1=0，m≠0，
∴m+1m=8，m2−8m=−1，
两边平方得：(m+1m)2=64，
∴m2+1m2+2=64，即m2+1m2=62，
则原式=(m2−8m)+(m2+1m2)
=−1+62
=61．
故答案为：61．
根据m不为0，已知等式两边除以m表示求出m+1m的值，平方并利用完全平方公式化简求出m2+1m2的值，原式变形后代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14.【答案】25°
【解析】解：如图，设AC与A′E交于点M，
由折叠性质可得∠A′=∠A，
∵∠1=∠A+∠AME，∠AME=∠2+∠A′，
∴∠1=∠A+∠2+∠A′=2∠A+∠2，
∵∠1=80°，∠2=30°，
∴2∠A+30°=80°，
∴∠A=25°，
故答案为：25°．
设AC与A′E交于点M，然后利用折叠性质及三角形的外角性质可得∠1=2∠A+∠2，结合已知条件计算即可．
本题考查折叠性质及三角形的外角性质，结合已知条件求得∠1=2∠A+∠2是解题的关键．
15.【答案】12cm2
【解析】解：如图，∵EF=2BF，S△BCF=2cm2，
∴S△BEC=3S△BCF=3×2=6cm2，
∵D是BC的中点，
∴S△BDE=S△CDE=12S△BEC=3cm2，
∵E是AD的中点，
∴S△ABD=S△ACD=2S△BDE=6cm2，
∴S△ABC=2S△ABD=12cm2，
∴△ABC的面积为12cm2，
故答案为：12cm2．
根据EF=2BF，S△BCF=2cm2，求得S△BEC=3S△BCF=6cm2，根据三角形中线把三角形分成两个面积相等的三角形可得S△BDE=S△CDE=12S△BEC=3cm2，从而求出S△ABD=S△ACD=2S△BDE=6cm2，再根据S△ABC=2S△ABD计算即可得解．
本题考查了三角形的面积，解题主要利用了三角形中线把三角形分成两个面积相等的三角形，理论依据是等底等高的三角形的面积相等，需熟记．
16.【答案】解：(1)原式=4+1−2+2
=5；
(2)原式=−2x+x2−3−4x2+4x−1
=−3x2+2x−4．
【解析】(1)根据幂的乘方，零指数幂，负指数幂的性质求解即可；
(2)先计算乘除，后计算加减可得结论．
本题考查整式的加减，实数的运算等知识，解题的关键是掌握整式的混合运算的法则，属于中考常考题型．
17.【答案】两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行 两直线平行，内错角相等 两直线平行，内错角相等 等量代换
【解析】解：∵AB//DC，EF//AB，
∴EF//DC(两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行)，
∴∠B=∠BEF(两直线平行，内错角相等)，
∠C=∠CEF(两直线平行，内错角相等)，
∴∠B+∠C=∠BEF+∠CEF，(等量代换)，
即∠B+∠C=∠BEC，
∴∠C=∠BEC−∠B=62°−30°=32°．
故答案为：两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，内错角相等；等量代换．
根据平行线的性质解答即可．
本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a//b，b//c⇒a//c．
18.【答案】解：(1)原式=5x2−x2+2x+2(x2−3x+1)
=5x2−x2+2x+2x2−6x+2
=6x2−4x+2，
∵3x2−2x−1=0，
∴3x2−2x=1，
∴6x2−4x=2，
∴原式=2+2=4；
(2)∵A=2a2+3ma−2a−1，B=a2+ma−1，
∴2A−4B
=2(2a2+3ma−2a−1)−4(a2+ma−1)
=4a2+6ma−4a−2−4a2−4ma+4
=2ma−4a+2，
∵2A−4B的值不含a的一次项，
∴2m−4=0，
解得：m=2．
【解析】(1)先去括号，再合并同类项，最后整体代换即可求出答案；
(2)先化简2A−4B，根据不含a的一次项，即可求出m的值．
本题主要考查了整式的加减—化简求值，掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键．
19.【答案】解：(1)如图所示：△A′B′C′即为所求；
(2)△ABC的面积为：2×3−12×1×2−12×1×3−12×1×2=2.5
【解析】此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
(1)直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
(2)直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．
20.【答案】气温 声音在空气中的传播速度 0.6 v=331+0.6t
【解析】解：(1)根据题意可知，气温是自变量，声音在空气中的传播速度是因变量，
故答案为：气温，声音在空气中的传播速度；
(2)由表中数据可知，气温每升高1℃，声音在空气中传播的速度就提高3÷5=0.6m/s，
故答案为：0.6；
(3)由表格中两个变量对应值的变化规律可得，v=331+3t5=331+0.6t，
故答案为：v=331+0.6t；
(4)当t=22时，v=331+13.2=344.2(m/s)，
344.2×5=1721(m)，
答：小乐与燃放烟花所在地大约相距1721m．
(1)根据题意和表格中的两个量的变化关系得出答案；
(2)从表格中两个变量对应值的变化规律得出答案；
(3)利用(2)中的变化关系得出函数关系式；
(4)当t=22时，求出v，再根据路程等于速度乘以时间进行计算即可．
本题考查函数的表示方法，常量与变量，理解常量与变量的定义，求出函数的关系式是正确解答的前提．
21.【答案】50 36
【解析】解：(1)12÷24%=50(人)，
即调查的总人数为60人，
a%=1850=36%，a=36．
故答案为50，36；
(2)B组人数为50−(2+12+18+10)=8(人)．
补全频数分布直方图如图所示：
(3)∵每周劳动时间不少于3小时为达标，
∴达标总人数为18+10=28(人)，
∵这些达标学生中有男生13人，
∴女生有28−13=15(人)，
∴抽中女生的概率为1528．
(1)根据C组的频数和百分比求出总人数，再用D组频数除以总人数求出a的值；
(2)先求出B组人数，再补全频数分布直方图；
(3)用达标学生中女生的人数除以达标总人数即可．
本题考查频数分布直方图、扇形统计图、概率公式等知识，解题的关键是掌握基本概念，属于中考常考题型．
22.【答案】解：(1)∵∠BAC+∠BDC=180°，∠CDE+∠BDC=180°，
∴∠CDE=∠BAC，
在△BAC和△EDC中，
AC=CD∠BAC=∠CDEAB=DE，
∴△BAC≌△EDC(SAS)，
∴∠ABC=∠CEB，BC=CE，
∴∠CEB=∠CBE，
∴∠ABC=∠DBC；
(2)如图，在BD上截取BH=AB，连接FH，
∵∠ABD=60°，∠ADB=40°，
∴∠BAD=80°，
在△ABF和△HBF中，
AB=BH∠ABF=∠HBFBF=BF，
∴△ABF≌△HBF(SAS)，
∴∠BAD=∠BHF=80°，AF=FH，
∵∠BHF=∠ADB+∠DFH，
∴∠DFH=40°=∠ADB，
∴DH=FH=AF，
∴BD=BH+DH=AB+AF．
【解析】(1)由“SAS”可证△BAC≌△EDC，可得∠ABC=∠CEB，BC=CE，由等腰三角形的性质可得∠ABC=∠CEB=∠CBE；
(2)由“SAS”可证△ABF≌△HBF，可得∠BAD=∠BHF=80°，AF=FH，可证FH=DH，即可得结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
23.【答案】±2
【解析】解：(1)图2中阴影部分是边长为(m−n)的正方形，因此阴影部分面积为(m−n)2；
图2中阴影部分面积也可以看作从边长为(m+n)的正方形面积减去4个长为m，宽为n的长方形面积，即(m+n)2−4mn，
因此有(m−n)2=(m+n)2−4mn；
(2)由(1)可知，
(x−2y)2=(x+2y)2−4x⋅2y
=(x+2y)2−8xy
=62−8×4
=36−32
=4，
∴x−2y=± 4=±2，
故答案为：±2；
(3)设x=2024−a，y=2022−a，则x−y=2，xy=(2024−a)(2022−a)=1，
∴(2024−a)2+(2022−a)2
=x2+y2
=(x−y)2+2xy
=4+2
=6，
答：(2024−a)2+(2022−a)2的值为6．
(1)由拼图可知图2中阴影部分是边长为(m−n)的正方形，可表示面积；大正方形面积减去四个长方形面积也可以得出阴影部分的面积，进而得出关系式；
(2)由(1)得(x−2y)2=(x+2y)2−4x⋅2y，再代入计算即可；
(3)设x=2024−a，y=2022−a，由题意可得x−y=2，xy=1，根据
x2+y2=(x−y)2+2xy，求出x2+y2的值即可．
本题考查了完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
24.【答案】解：(1)①如图1所示，线段CD即为所求．
②如图1中，线段DE，AE即为所求．
(2)AB与CD的数量关系是：AB=2CD，理由如下：
如图2，延长CD至E，使DE=DC，连接BE，
∵CD是中线，
∴AD=BD，
在△ADC和△BDE中，
AD=BD∠ADC=∠BDEDC=DE，
∴△ADC≌△BDE(SAS)，
∴∠E=∠ACD，AC=BE，
∴AC//BE，
∴∠ACB+∠EBC=180°，
∵∠ACB=90°，
∴∠EBC=90°，
在△ACB和△EBC中，
AC=BE∠ACB=∠EBCCB=BC，
∴△ACB≌△EBC(SAS)，
∴AB=CE，
∵CE=2CD，
∴AB=2CD．
(3)∵BE⊥AC，∠ACB=45°，
∴∠CEB=∠BEA=90°，∠ECB=∠EBC=45°，
∴EC=EB，
∵AC=BC，CD是中线，
∴CD⊥AB，
∵∠CEF=∠BDF=90°，∠CFE=∠BFD，
∴∠ECF=∠ABE，
在△CEF和△BEA中，
∠ECF=∠EBACE=BE∠CEF=∠BEA，
∴△CEF≌△BEA(ASA)，
∴CF=AB=4，
∵AD=BD，∠AEB=90°，
∴DE=12AB=2．
【解析】(1)①根据三角形的中线的定义作出图形即可；
②根据要求作出图形即可；
(2)结论：AB=2CD.利用全等三角形的判定和性质证明即可；
(3)利用全等三角形的性质证明AB=CF，再利用(2)中结论解决问题．
本题是三角形综合题，考查了三角形的中线的定义，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会倍长中线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
25.【答案】(1)证明：如图1中，
∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
∵∠ACB=∠CDE=90°，
∴∠BCD+∠ACD=90°，∠ADC+∠ADE=90°，
∴∠BCD=∠ADE，
∵CA=CB，AC=AD，
∴DA=CB，
在Rt△ADE和△BCD中，
DA=CB∠ADE=∠BCDDE=CD，
∴△ADE≌△BCD(SAS)；
(2)解：结论：△AEF是等腰三角形．
理由：如图2中，
∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠B=45°，
∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC=75°，
∵△ADE≌△BCD，
∴∠DAE=∠B=45°，
∴∠EAF=∠DCF，
∵∠AFE=∠CFD，
∴∠AEF=∠CDF=67.5°，
∴∠AFE=180°−45°−67.5°=67.5°，
∴∠AFE=∠AEF=67.5°，
∴△AEF是等腰三角形；
(3)解：如图3中，延长CF到T，使得FT=CF，连接AT，DT．
∵AF=DF，CF=FT，
∴四边形ATDC是平行四边形，
∴AC=DT，AC//DT，
∴∠CAD=∠ADT，
∵AC=AD，
∴DA=DT，
∵∠ACD+∠DCB=90°，∠CAD+2∠ACD=180°，
∴12∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠DCB=12∠CAD，
∴∠CAD=∠ADT=2∠DCB，
∵∠DCB=∠ADE，
∴∠ADE=∠TDE，
∵DA=DT，
∴DE⊥AT，
∴DE平分AT，
∵AF=FD，
∴点E是△ADT是重心，
∴ET=2EF=4，
∵DE垂直平分线段AT，
∴EA=ET=4，
∵△ADE≌△BCD，
∴BD=AE=4．
【解析】(1)根据SAS证明三角形全等即可；
(2)△AEF是等腰三角形．证明∠AEF=∠AFE=75°即可；
(3)如图3中，延长CF到T，使得FT=CF，连接AT，DT.证明△ADT是等腰三角形，推出点E是三角形的重心，可得ET=2EF=4，再证明EA=ET，可得结论．
本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的重心的性质，属于中考压轴题．
支撑物的高度h(cm)
10
20
30
40
50
60
70
小车下滑的时间t(s)
4.23
3.00
2.45
2.13
1.89
1.71
1.59
气温t/℃
0
5
10
15
20
25
声音在空气中的传播速度v/(m/s)
331
334
337
340
343
346
1. 下列图形中，不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 下列运算正确的是( )
A. a2÷a2=a3B. (−a2)3=a6C. a2⋅a3=a6D. (3a)2=9a2
3. 下列事件为必然事件的是( )
A. 一名射击运动员射击一次，中靶
B. 彩票的中奖率是15%，那么买100张彩票必有15张中奖
C. 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是质数
D. 一个三角形，其任意两边之和大于第三边
4. 一个学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如下数据：
下列说法正确的是( )
A. 当h=70cm时，t=1.50s
B. 随着h逐渐升高，t也逐渐变大
C. h每增加10cm，t减小1.23s
D. 随着h逐渐升高，小车下滑的平均速度逐渐加快
5. 如图，直线m、n被直线a、b所截，下列条件中，不能判断直线m//n的是( )
A. ∠2=∠5
B. ∠3+∠4=180°
C. ∠3=∠5
D. ∠1=∠6
6. 如图，已知AE=AC，∠C=∠E，下列条件中，无法判定△ABC≌△ADE的是( )
A. ∠B=∠DB. BC=DEC. ∠1=∠2D. AB=AD
7. 如图，把一张长方形的纸片沿着EF折叠，点C−y+1−m=0、D分别落在C′、D′的位置，ED′的延长线与BC交于点G，若∠EFC′=118°，则∠1=( )
A. 112°B. 102°C. 118°D. 124°
8. 如图，在长方形ABCD的中，已知AB=6cm，BC=10cm，点P以4cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q以acm/s的速度由点C向点D运动，若以A，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，则a的值为( )
A. 4B. 6C. 4或92D. 4或245
9. 如图，图1中的阴影部分移动成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式( )
A. (a+b)(a−b)=a2−b2B. (a−b)2=a2−2ab+b2
C. (a+b)2=a2+2ab+b2D. (a+b)2=4ab+(a−b)2
10. 如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于D，延长BC到E，使CE=12BC，F是AC的中点，连接EF并延长EF交AB于G，BG的垂直平分线分别交BG，AD于点M，点N，连接GN，CN，下列结论：
①EG⊥AB；
②GF=12EF；
③∠GNC=120°；
④S四边形AGNC=4S△MGN．
其中正确的结论序号是( )
A. ①②③B. ②③④C. ①③④D. ①②③④
二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）
11. 如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为点O，若∠BOE=40°，则∠AOC的度数为______ ．
12. 有5张相同的卡片，卡片正面分别标有−2，|−3|，(−2)2，−(−14)0，(−1)−2，将卡片背面朝上，从中随机抽取1张，则抽取的卡片上的数是正数的概率为______．
13. 已知m2−8m+1=0，则2m2−8m+1m2= ．
14. 如图，把三角形纸片ABC沿ED折叠，使点A落在四边形BCDE外部，已知∠1=80°，∠2=30°，则∠A的度数为______ ．
15. 如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AD的中点，点F在BE上，且EF=2BF，若S△BCF=2cm2，则S△ABC等于 ．
三、解答题（本大题共10小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
计算：
(1)(−2)2+(3.14−π)0−|−2|+(12)−1；
(2)(4x2−2x3+6x)÷(−2x)−(2x−1)2．
17. (本小题8.0分)
如图，已知AB//DC，∠B=30°，∠BEC=62°，下面求∠C的度数，请填写推理的根据：
解：如图，过点E作EF//AB，
∵AB//DC(已知)
∴EF//DC(______ )
∴∠B=∠BEF(______ )
∠C=∠CEF(______ )
∴∠B+∠C=∠BEF+∠CEF(______ )
即∠B+∠C=∠BEC
∴∠C=∠BEC−∠B=62°−30°=32°．
18. (本小题8.0分)
化简求值：
(1)化简求值：5x2−[x2−2x−2(x2−3x+1)]，其中3x2−2x−1=0；
(2)已知A=2a2+3ma−2a−1，B=a2+ma−1，且2A−4B的值不含a的一次项，求m的值．
19. (本小题8.0分)
如图：在正方形网格上有一个△ABC．
(1)作△ABC关于直线MN的对称图形△A′B′C′(不写作法)．
(2)若网格上的最小正方形的边长为1，求△ABC的面积．
20. (本小题8.0分)
2022年3月23日，“天宫课堂”第二课在中国空间站正式开讲，航天员王亚平、叶光富、翟志刚为学生们上了一堂豪华的太空课，引发了学生了解科学知识的新热潮.八(1)班社团通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系：
(1)在这个变化过程中，______ 是自变量，______ 是因变量．
(2)从表中数据可知，气温每升高1℃，声音在空气中传播的速度就提高______ m/s．
(3)声音在空气中的传播速度v/(m/s)与气温t(℃)的关系式可以表示为______ ；
(4)某日的气温为22℃，小乐看到烟花燃放5s后才听到声响，那么小乐与燃放烟花所在地大约相距多远？
21. (本小题9.0分)
2022年“新课标”提出，义务教育劳动课程以丰富开放的劳动项目为载体.南开中学积极发挥劳动教育的融合性特征，从课程设计、课余生活等多维度，鼓励学生积极参与劳动.为了解七年级学生一周参与劳动时间的情况，随机抽取部分学生，统计了他们每周劳动时间(单位：h)，并将收集到的数据整理分析，共分为五组：(A：x<1，B：1≤x<2，C：2≤x<3，D：3≤x<4，E：x≥4，其中每周劳动时间不少于3小时为达标)，绘制了如下两幅不完整的统计图：
结合图中提供的信息，解答下列问题：
(1)本次调查的总人数为______ 人，a= ______ ；
(2)把频数分布直方图补充完整；
(3)为了让全校学生重视劳动学习，学校准备从这些达标学生中随机抽取1名学生给全校学生分享劳动收获心得，若已知在这些达标学生中有男生13人，求抽中女生的概率．
22. (本小题9.0分)
如图，在△ABC和△BCD中，AC=CD，∠BAC+∠BDC=180°，在BD的延长线上取
点E，使DE=AB，连接CE．
(1)试说明：∠ABC=∠DBC；
(2)连接AD交BC于点F，若∠ABD=60°，∠ADB=40°，试说明：BD=AB+AF．
23. (本小题10.0分)
图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀剪下全等的四块小长方形，然后按图2拼成一个正方形．
(1)观察图2，请直接写出代数式(m+n)2，(m−n)2，mn之间的等量关系；
(2)根据(1)中的等量关系，若x+2y=6，xy=4，则x−2y的值为______ ；
(3)已知(2024−a)(2022−a)=1，求(2024−a)2+(2022−a)2的值．
24. (本小题10.0分)
已知△ABC．
(1)如图1，按如下要求用尺规作图：
①作出△ABC的中线CD；
②延长CD至E，使DE=CD，连接AE；(不要求写出作法，但要保留作图痕迹.)
(2)如图2，若∠ACB=90°，CD是中线，试探究CD与AB之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，若∠ACB=45°，AC=BC，CD是△ABC的中线，过点B作BE⊥AC于E，交CD于点F，连接DE，若CF=4，求DE的长．
25. (本小题12.0分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，边CA沿着过点A的某条直线对折得到得到DA，连接CD，以CD为边在左侧作△CDE，其中∠CDE=90°，CD=DE，AD与CE交于点F，连接BD．
(1)如图1，连接AE，当点D在△ABC外部时，试说明△ADE≌△BCD；
(2)如图2，连接AE，当点D在△ABC的斜边AB上时，试判断△AEF的形状并说明理由；
(3)如图3，当点D在△ABC的内部时，若点F为AD的中点，且EF=2，求BD的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：选项A、B、C的图形都是轴对称图形，选项D的图形不是轴对称图形．
故选：D．
根据轴对称的定义，即图形沿某条直线折叠后，能与原图形的另一部分重合，据此即可一一判定．
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】D
【解析】解：A、a2÷a2=1，故A不符合题意；
B、(−a2)3=−a6，故B不符合题意；
C、a2⋅a3=a5，故C不符合题意；
D、(3a)2=9a2，故D符合题意；
故选：D．
利用同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3.【答案】D
【解析】解：A、一名射击运动员射击一次，中靶，是随机事件，故A不符合题意；
B、彩票的中奖率是15%，那么买100张彩票不一定有15张中奖，故B不符合题意；
C、掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是质数，是随机事件，故C不符合题意；
D、一个三角形，其任意两边之和大于第三边，是必然事件，故D符合题意；
故选：D．
根据概率的意义，随机事件，必然事件，不可能事件的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了概率的意义，随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、当h=70cm时，t=1.59s，原说法错误，该选项不符合题意；
B、随着h逐渐升高，t逐渐变小，原说法错误，该选项不符合题意；
C、h每增加10cm，t减小的值不一定，原说法错误，该选项不符合题意；
D、随着h逐渐升高，小车下滑的平均速度逐渐加快，该选项符合题意．
故选：D．
根据表格中的数据，分析其中的规律，即可做出正确的判断．
根据表格中的数据，分析其中的规律，即可做出正确的判断．
5.【答案】C
【解析】解：∵∠2=∠5，
∴m//n，
故A不符合题意；
∵∠3+∠4=180°，
∴m//n，
故B不符合题意；
由∠3=∠5，不能判定m//n，
故C符合题意；
∵∠1=∠6，
∴m//n，
故D不符合题意；
故选：C．
根据平行线的判定定理求解即可．
此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：A、添加∠B=∠D，由“AAS”可证△ABC≌△ADE，故选项A不合题意；
B、添加BC=DE，由“SAS”可证△ABC≌△ADE，故选项B不合题意；
C、添加∠1=∠2，由“ASA”可证△ABC≌△ADE，故选项C不合题意；
D、添加AB=AD，不能证明△ABC≌△ADE，故选项D符合题意；
故选：D．
由全等三角形的判定依次判断可求解．
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是本题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：根据折叠的性质可得，∠EFC=∠EFC′=118°，∠GEF=∠DEF，
∴∠EFG=180°−∠EFC=180°−118°=62°，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD//BC，
∴∠DEF=∠EFG=62°，
∴∠GEF=∠DEF=62°，
∴∠1=∠GEF+∠EFG=62°+62°=124°，
故选：D．
首先根据折叠的性质可得，∠EFC=∠EFC′=118°，可求得∠EFG=62°，再根据平行线及折叠的性质，可求得∠GEF=∠DEF=∠EFG=62°，再由三角形的外角性质，即可求解．
本题考查了折叠的性质，平行线的性质以及三角形的外角性质，熟练掌握和运用折叠的性质是解决本题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：由已知得：PC=BC−BP=(10−4t)cm；
①若△ABP≌△PCQ．
则AB=PC=6cm，
∴6=10−4t，
∴t=1．
∴a=4；
②若△ABP≌△QCP．
则AB=CQ=6cm，BP=CP=(10−4t)cm，则t=54．
得：54a=6．
解得：a=245．
综上，a的值为4或245．
故选：D．
先表示出CP长度，分△BPA≌△CPQ和△BPA≌△CQP两种情况进行解答．
本题考查的是矩形的性质和全等三角形的性质，正确运用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：根据题意得：图1中阴影部分的面积为(a−b)2，
图2中阴影部分的面积a2−2ab+b2，
根据图1与图2中阴影部分的面积相等可得(a−b)2=a2−2ab+b2．
故选：B．
根据图形确定出图1与图2中阴影部分的面积，即可作出判断．
此题考查了完全平方公式的几何背景，弄清阴影部分面积的求法是解本题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=CA，∠B=∠BCA=∠CAB=60°．
①∵点F为AC的中点，
∴CF=FA=12AC，
又CE=12BC，BC=AC，
∴CE=CF，
∴∠E=∠CFE，
∵∠BCA=∠E+∠CFE=60°，
∴∠E=∠CFE=30°，
∴∠AFG=∠CFE=30°，
∴∠AGE=180°−∠CAB−∠AFG=180°−60°−30°=90°，
∴EG⊥AB，
∴结论①正确；
②设AG=a，
由①正确可知：∠AGE=90°，∠AFG=30°，
∴FA=2a，FG= 3a，
∴AC=BC=AB=4a，
∴BG=AB−AG=3a，BE=BC+CE=4a+2a=6a，
在Rt△BEG中，BG=3a，BE=6a，
由勾股定理得：EG= BE2−BG2=3 3a，
∴EF=GE−FG=3 3a− 3a=2 3a，
∴EF=2FE，
∴结论②正确；
③过点N作NH⊥AC于点H，连接BN，如图所示：
∵MN为BG的垂直平分线，
∴BN=GN，∠GMN=90°，
∵△ABC为等边三角形，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD=30°，AD为BC的垂直平分线，
∴MN=HN，BN=CN，
∴GN=CN，
在Rt△GMN和Rt△CHN中，
GN=CNMN=HN，
∴Rt△GMN≌Rt△CHN(HL)，
∴∠GNM=∠CNH，
∵∠BAD=∠CAD=30°，∠GMN=90°，NH⊥AC，
∴∠ANM=∠ANH=60°，
∴∠GNC=∠ANG+∠ANH+∠GNM=∠ANM+∠ANH=120°，
∴结论③正确；
④设AG=a，MN=b，
由②可知：BG=3a，AC=4a，
由③可知：NH=MN=b，MG=12BG=3a2，
∴S△MGN=12MG⋅MN=12⋅3a2⋅b=3ab4，
又S△ANG=12AG⋅MN=12⋅a⋅b=ab2，S△ANC=12AC⋅NH=12⋅4ab=2ab，
∴S四边形AGNC=S△ANG+S△ANC=ab2+2ab=5ab2，
∴S四边形AGNC≠4S△MGN，
∴结论④不正确．
综上所述：正确的结论是①②③．
故选：A．
①由点F为AC的中点，CE=12BC可得CE=CF，据此可求出∠E=∠CFE=30°，进而可求得∠AGE=90°，据此可对结论①进行判断；
②设AG=a，则FA=2a，FG= 3a，AC=BC=AB=4a，BG=3a，BE=6a，进而在Rt△BEG中由勾股定理得EG=3 3a，据此可对结论②进行判断；
③过点N作NH⊥AC于点H，连接BN，先证GN=CN，MN=HN，进而依据“HL”判定Rt△GMN和Rt△CHN全等得∠GNM=∠CNH，最后再根据∠ANM=∠ANH=60°可得∠GNC的度数，进而可对结论③进行判断；
④设AG=a，MN=b，由②可知BG=3a，AC=4a，由③可：NH=MN=b，MG=12BG=3a2，于是可求出S△MGN=3ab4，S△ANG=ab2，S△ANC=2ab，则S四边形AGNC=5ab2，据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案．
此题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，线段垂直平分线的性质等，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，理解等边三角形相关性质，在直角三角形中，30°的角所对的边等于斜边的一半，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
11.【答案】50°
【解析】解：∵OE⊥CD，
∴∠EOD=90°，
∵∠BOE=40°，
∴∠BOD=90°−40°=50°，
∴∠AOC=∠BOD=50°．
故答案为：50°．
直接利用垂直的定义结合对顶角的性质得出答案．
此题主要考查了垂线以及对顶角，正确得出∠BOD的度数是解题关键．
12.【答案】35
【解析】解：∵|−3|=3，(−2)2=4，−(−14)0=−1，(−1)−2=1，
∴5个数在有3个正数，
∴从中随机抽取1张，则抽取的卡片上的数是正数的概率为35．
故答案为：35．
先化简给出的各数，然后找出正数的个数，再根据概率公式可得答案．
此题主要考查了概率公式和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
13.【答案】61
【解析】解：∵m2−8m+1=0，m≠0，
∴m+1m=8，m2−8m=−1，
两边平方得：(m+1m)2=64，
∴m2+1m2+2=64，即m2+1m2=62，
则原式=(m2−8m)+(m2+1m2)
=−1+62
=61．
故答案为：61．
根据m不为0，已知等式两边除以m表示求出m+1m的值，平方并利用完全平方公式化简求出m2+1m2的值，原式变形后代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14.【答案】25°
【解析】解：如图，设AC与A′E交于点M，
由折叠性质可得∠A′=∠A，
∵∠1=∠A+∠AME，∠AME=∠2+∠A′，
∴∠1=∠A+∠2+∠A′=2∠A+∠2，
∵∠1=80°，∠2=30°，
∴2∠A+30°=80°，
∴∠A=25°，
故答案为：25°．
设AC与A′E交于点M，然后利用折叠性质及三角形的外角性质可得∠1=2∠A+∠2，结合已知条件计算即可．
本题考查折叠性质及三角形的外角性质，结合已知条件求得∠1=2∠A+∠2是解题的关键．
15.【答案】12cm2
【解析】解：如图，∵EF=2BF，S△BCF=2cm2，
∴S△BEC=3S△BCF=3×2=6cm2，
∵D是BC的中点，
∴S△BDE=S△CDE=12S△BEC=3cm2，
∵E是AD的中点，
∴S△ABD=S△ACD=2S△BDE=6cm2，
∴S△ABC=2S△ABD=12cm2，
∴△ABC的面积为12cm2，
故答案为：12cm2．
根据EF=2BF，S△BCF=2cm2，求得S△BEC=3S△BCF=6cm2，根据三角形中线把三角形分成两个面积相等的三角形可得S△BDE=S△CDE=12S△BEC=3cm2，从而求出S△ABD=S△ACD=2S△BDE=6cm2，再根据S△ABC=2S△ABD计算即可得解．
本题考查了三角形的面积，解题主要利用了三角形中线把三角形分成两个面积相等的三角形，理论依据是等底等高的三角形的面积相等，需熟记．
16.【答案】解：(1)原式=4+1−2+2
=5；
(2)原式=−2x+x2−3−4x2+4x−1
=−3x2+2x−4．
【解析】(1)根据幂的乘方，零指数幂，负指数幂的性质求解即可；
(2)先计算乘除，后计算加减可得结论．
本题考查整式的加减，实数的运算等知识，解题的关键是掌握整式的混合运算的法则，属于中考常考题型．
17.【答案】两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行 两直线平行，内错角相等 两直线平行，内错角相等 等量代换
【解析】解：∵AB//DC，EF//AB，
∴EF//DC(两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行)，
∴∠B=∠BEF(两直线平行，内错角相等)，
∠C=∠CEF(两直线平行，内错角相等)，
∴∠B+∠C=∠BEF+∠CEF，(等量代换)，
即∠B+∠C=∠BEC，
∴∠C=∠BEC−∠B=62°−30°=32°．
故答案为：两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，内错角相等；等量代换．
根据平行线的性质解答即可．
本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a//b，b//c⇒a//c．
18.【答案】解：(1)原式=5x2−x2+2x+2(x2−3x+1)
=5x2−x2+2x+2x2−6x+2
=6x2−4x+2，
∵3x2−2x−1=0，
∴3x2−2x=1，
∴6x2−4x=2，
∴原式=2+2=4；
(2)∵A=2a2+3ma−2a−1，B=a2+ma−1，
∴2A−4B
=2(2a2+3ma−2a−1)−4(a2+ma−1)
=4a2+6ma−4a−2−4a2−4ma+4
=2ma−4a+2，
∵2A−4B的值不含a的一次项，
∴2m−4=0，
解得：m=2．
【解析】(1)先去括号，再合并同类项，最后整体代换即可求出答案；
(2)先化简2A−4B，根据不含a的一次项，即可求出m的值．
本题主要考查了整式的加减—化简求值，掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键．
19.【答案】解：(1)如图所示：△A′B′C′即为所求；
(2)△ABC的面积为：2×3−12×1×2−12×1×3−12×1×2=2.5
【解析】此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
(1)直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
(2)直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．
20.【答案】气温 声音在空气中的传播速度 0.6 v=331+0.6t
【解析】解：(1)根据题意可知，气温是自变量，声音在空气中的传播速度是因变量，
故答案为：气温，声音在空气中的传播速度；
(2)由表中数据可知，气温每升高1℃，声音在空气中传播的速度就提高3÷5=0.6m/s，
故答案为：0.6；
(3)由表格中两个变量对应值的变化规律可得，v=331+3t5=331+0.6t，
故答案为：v=331+0.6t；
(4)当t=22时，v=331+13.2=344.2(m/s)，
344.2×5=1721(m)，
答：小乐与燃放烟花所在地大约相距1721m．
(1)根据题意和表格中的两个量的变化关系得出答案；
(2)从表格中两个变量对应值的变化规律得出答案；
(3)利用(2)中的变化关系得出函数关系式；
(4)当t=22时，求出v，再根据路程等于速度乘以时间进行计算即可．
本题考查函数的表示方法，常量与变量，理解常量与变量的定义，求出函数的关系式是正确解答的前提．
21.【答案】50 36
【解析】解：(1)12÷24%=50(人)，
即调查的总人数为60人，
a%=1850=36%，a=36．
故答案为50，36；
(2)B组人数为50−(2+12+18+10)=8(人)．
补全频数分布直方图如图所示：
(3)∵每周劳动时间不少于3小时为达标，
∴达标总人数为18+10=28(人)，
∵这些达标学生中有男生13人，
∴女生有28−13=15(人)，
∴抽中女生的概率为1528．
(1)根据C组的频数和百分比求出总人数，再用D组频数除以总人数求出a的值；
(2)先求出B组人数，再补全频数分布直方图；
(3)用达标学生中女生的人数除以达标总人数即可．
本题考查频数分布直方图、扇形统计图、概率公式等知识，解题的关键是掌握基本概念，属于中考常考题型．
22.【答案】解：(1)∵∠BAC+∠BDC=180°，∠CDE+∠BDC=180°，
∴∠CDE=∠BAC，
在△BAC和△EDC中，
AC=CD∠BAC=∠CDEAB=DE，
∴△BAC≌△EDC(SAS)，
∴∠ABC=∠CEB，BC=CE，
∴∠CEB=∠CBE，
∴∠ABC=∠DBC；
(2)如图，在BD上截取BH=AB，连接FH，
∵∠ABD=60°，∠ADB=40°，
∴∠BAD=80°，
在△ABF和△HBF中，
AB=BH∠ABF=∠HBFBF=BF，
∴△ABF≌△HBF(SAS)，
∴∠BAD=∠BHF=80°，AF=FH，
∵∠BHF=∠ADB+∠DFH，
∴∠DFH=40°=∠ADB，
∴DH=FH=AF，
∴BD=BH+DH=AB+AF．
【解析】(1)由“SAS”可证△BAC≌△EDC，可得∠ABC=∠CEB，BC=CE，由等腰三角形的性质可得∠ABC=∠CEB=∠CBE；
(2)由“SAS”可证△ABF≌△HBF，可得∠BAD=∠BHF=80°，AF=FH，可证FH=DH，即可得结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
23.【答案】±2
【解析】解：(1)图2中阴影部分是边长为(m−n)的正方形，因此阴影部分面积为(m−n)2；
图2中阴影部分面积也可以看作从边长为(m+n)的正方形面积减去4个长为m，宽为n的长方形面积，即(m+n)2−4mn，
因此有(m−n)2=(m+n)2−4mn；
(2)由(1)可知，
(x−2y)2=(x+2y)2−4x⋅2y
=(x+2y)2−8xy
=62−8×4
=36−32
=4，
∴x−2y=± 4=±2，
故答案为：±2；
(3)设x=2024−a，y=2022−a，则x−y=2，xy=(2024−a)(2022−a)=1，
∴(2024−a)2+(2022−a)2
=x2+y2
=(x−y)2+2xy
=4+2
=6，
答：(2024−a)2+(2022−a)2的值为6．
(1)由拼图可知图2中阴影部分是边长为(m−n)的正方形，可表示面积；大正方形面积减去四个长方形面积也可以得出阴影部分的面积，进而得出关系式；
(2)由(1)得(x−2y)2=(x+2y)2−4x⋅2y，再代入计算即可；
(3)设x=2024−a，y=2022−a，由题意可得x−y=2，xy=1，根据
x2+y2=(x−y)2+2xy，求出x2+y2的值即可．
本题考查了完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
24.【答案】解：(1)①如图1所示，线段CD即为所求．
②如图1中，线段DE，AE即为所求．
(2)AB与CD的数量关系是：AB=2CD，理由如下：
如图2，延长CD至E，使DE=DC，连接BE，
∵CD是中线，
∴AD=BD，
在△ADC和△BDE中，
AD=BD∠ADC=∠BDEDC=DE，
∴△ADC≌△BDE(SAS)，
∴∠E=∠ACD，AC=BE，
∴AC//BE，
∴∠ACB+∠EBC=180°，
∵∠ACB=90°，
∴∠EBC=90°，
在△ACB和△EBC中，
AC=BE∠ACB=∠EBCCB=BC，
∴△ACB≌△EBC(SAS)，
∴AB=CE，
∵CE=2CD，
∴AB=2CD．
(3)∵BE⊥AC，∠ACB=45°，
∴∠CEB=∠BEA=90°，∠ECB=∠EBC=45°，
∴EC=EB，
∵AC=BC，CD是中线，
∴CD⊥AB，
∵∠CEF=∠BDF=90°，∠CFE=∠BFD，
∴∠ECF=∠ABE，
在△CEF和△BEA中，
∠ECF=∠EBACE=BE∠CEF=∠BEA，
∴△CEF≌△BEA(ASA)，
∴CF=AB=4，
∵AD=BD，∠AEB=90°，
∴DE=12AB=2．
【解析】(1)①根据三角形的中线的定义作出图形即可；
②根据要求作出图形即可；
(2)结论：AB=2CD.利用全等三角形的判定和性质证明即可；
(3)利用全等三角形的性质证明AB=CF，再利用(2)中结论解决问题．
本题是三角形综合题，考查了三角形的中线的定义，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会倍长中线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
25.【答案】(1)证明：如图1中，
∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
∵∠ACB=∠CDE=90°，
∴∠BCD+∠ACD=90°，∠ADC+∠ADE=90°，
∴∠BCD=∠ADE，
∵CA=CB，AC=AD，
∴DA=CB，
在Rt△ADE和△BCD中，
DA=CB∠ADE=∠BCDDE=CD，
∴△ADE≌△BCD(SAS)；
(2)解：结论：△AEF是等腰三角形．
理由：如图2中，
∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠B=45°，
∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC=75°，
∵△ADE≌△BCD，
∴∠DAE=∠B=45°，
∴∠EAF=∠DCF，
∵∠AFE=∠CFD，
∴∠AEF=∠CDF=67.5°，
∴∠AFE=180°−45°−67.5°=67.5°，
∴∠AFE=∠AEF=67.5°，
∴△AEF是等腰三角形；
(3)解：如图3中，延长CF到T，使得FT=CF，连接AT，DT．
∵AF=DF，CF=FT，
∴四边形ATDC是平行四边形，
∴AC=DT，AC//DT，
∴∠CAD=∠ADT，
∵AC=AD，
∴DA=DT，
∵∠ACD+∠DCB=90°，∠CAD+2∠ACD=180°，
∴12∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠DCB=12∠CAD，
∴∠CAD=∠ADT=2∠DCB，
∵∠DCB=∠ADE，
∴∠ADE=∠TDE，
∵DA=DT，
∴DE⊥AT，
∴DE平分AT，
∵AF=FD，
∴点E是△ADT是重心，
∴ET=2EF=4，
∵DE垂直平分线段AT，
∴EA=ET=4，
∵△ADE≌△BCD，
∴BD=AE=4．
【解析】(1)根据SAS证明三角形全等即可；
(2)△AEF是等腰三角形．证明∠AEF=∠AFE=75°即可；
(3)如图3中，延长CF到T，使得FT=CF，连接AT，DT.证明△ADT是等腰三角形，推出点E是三角形的重心，可得ET=2EF=4，再证明EA=ET，可得结论．
本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的重心的性质，属于中考压轴题．
支撑物的高度h(cm)
10
20
30
40
50
60
70
小车下滑的时间t(s)
4.23
3.00
2.45
2.13
1.89
1.71
1.59
气温t/℃
0
5
10
15
20
25
声音在空气中的传播速度v/(m/s)
331
334
337
340
343
346
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