还剩7页未读，
继续阅读
2020-2021学年湖南省郴州市郴州市高二（上）12月月考数学试卷人教A版
展开
这是一份2020-2021学年湖南省郴州市郴州市高二（上）12月月考数学试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合A=x|−2A.x|−2
2. 已知命题p：∀x∈Q，x∈R，则¬p是( )
A.∀x∈Q，x∉RB.∃x∈Q，x∉RC.∀x∉Q，x∉RD.∃x∉Q，x∉R
3. 函数fx=x2−ex的图象在点0,f0处的切线方程为( )
A.x−y−1=0B.x−y+1=0C.x+y−1=0D.x+y+1=0
4. 函数y=−13x2−16x+12的定义域为( )
A.−32,1B.−1,32
C.−∞,−32∪1,+∞D.−∞,−1∪32,+∞
5. 2020年10月1日中秋节和国庆节双节同庆，很多人外出旅行或回家探亲，因此交通比较拥堵．某交通部门为了解从A城到B城实际通行所需时间，随机抽取了n台车辆进行统计，结果显示这些车辆的通行时间（单位：分钟）都在30,55内，按通行时间分为[30,35)，[35,40)，[40,45)，[45,50)，50,55五组，频率分布直方图如图所示，其中通行时间在[30,35)的车辆有235台，则通行时间在[45,50)的车辆台数是( )
A.450B.325C.470D.500
6. 函数y=ex−e−x10|x|的图象大致为( )
A.B.
C.D.
7. “α=2kπk∈Z”是“sin2α=2sinα”的( )
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
8. 设函数fx的定义域为R，f′x是其导函数，若fx+f′x<0，f0=1，则不等式fx>e−x的解集是( )
A.0,+∞B.1,+∞C.0,1D.−∞,0
二、多选题
已知平面向量a→=2,m，b→=1,−2，且|2a→−b→|=|2a→+b→|，则( )
A.m=2B.m=2C.|a→+b→|=3D.|a→+b→|=3
已知函数fx=x2+f0⋅x−f′0⋅csx+2，其导函数为f′x，则( )
A.f0=−1B.f′0=1C.f0=1D.f′0=−1
已知点P1,−1是角α终边上的一点，则( )
A.函数fx=sin2x+α的对称轴方程为x=3π8+kπ2k∈Z
B.函数fx=sin2x+α的对称轴方程为x=π8+kπ2k∈Z
C.函数gx=cs3x+α+5π4是奇函数
D.函数gx=cs3x+α+5π4是偶函数
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0与直线y=kx交于A，B两点，点P为C上一动点，记直线PA，PB的斜率分别为kPA，kPB，C的左、右焦点分别为F1，F2．若kPA⋅kPB=14，且C的焦点到渐近线的距离为1，则下列说法正确的是( )
A.a=2
B.C的离心率为62
C.若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为2
D.若△PF1F2的面积为25，则△PF1F2为钝角三角形
三、填空题
椭圆x27+y25=1的左焦点的坐标为________.
若m>0，n>0，m+n=3mn−1，则m+n的最小值为________.
已知函数fx=2x3−ax2−ax的一个极值点为1，则fx在−2,2上的最小值为________.
有两个质地均匀的正方体玩具，每个正方体的六个面分别标有数字1，2，3，⋯，6．随机抛掷两个这样的正方体玩具，得到面朝上的两个数字，则这两个数字的乘积能被3整除的概率为________.
四、解答题
在①a+b=1+3，②csinA=2，③b=33c这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，________，且sinB=3sinA，C=π6？
注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．
设数列an的前n项和为Sn，且an=Sn+12.
(1)求数列an的通项公式；
(2)设2an=bnn+1，求数列bn的前n项和Tn.
在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，∠ADP=90∘，PD=AD，二面角P−AD−B为60∘，E为PD中点．
(1)证明：CE⊥平面PAD．
(2)求平面ADE与平面ABE 所成锐二面角的余弦值．
已知函数fx=ex−csx−ax.
(1)当a=2时，证明：fx在−∞,0上单调递减；
(2)若对任意x≥0，fx≥x−csx恒成立，求实数a的取值范围.
已知圆M:x2+y−22=1，动圆P与圆M外切，且与直线y=−1相切．
(1)求动圆圆心P的轨迹C的方程；
(2)若直线l:y=kx+2与曲线C交于A，B两点，分别过A，B 作曲线C的切线，交于点Q．证明：Q在一定直线上．
已知函数fx=alnxx+x.
(1)当a=1时，判断fx的单调性，并求fx在1e,e上的最值；
(2)∃x0∈(0,e]，f(x0)≤a+2，求a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖南省郴州市郴州市高二（上）12月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
交集及其运算
【解析】
直接利用交集运算求解即可.
【解答】
解：∵ A=x|−2∴ A∩B=x|2≤x<4.
故选C.
2.
【答案】
B
【考点】
全称命题与特称命题
【解析】
利用全称命题的否定为特称命题进行求解即可.
【解答】
解：∵ 命题题p：∀x∈Q，x∈R为全称命题，其否定为特称命题，
∴ ¬p是∃x∈Q，x∉R.
故选B.
3.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
因为fx=2x−ex，所以f0=−1，又因为f0=−1，所以所求切线方程为y=−x−1，即x+y+1=0 .
【解答】
解：因为f′x=2x−ex，
所以f′0=−1.
又因为f0=−1，
所以所求切线方程为y=−x−1，
即x+y+1=0 .
故选D .
4.
【答案】
A
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
由−13x2−16x+12≥0，得2x2+x−3=(x−1)(2x+3)≤0．所以原函数的定义域为−32,1 .
【解答】
解：∵ −13x2−16x+12≥0，
整理，得2x2+x−3=(x−1)(2x+3)≤0，
解得−32≤x≤1，
∴ 原函数的定义域为−32,1 .
故选A .
5.
【答案】
C
【考点】
用样本的频率分布估计总体分布
【解析】
因为[30,35)，[35,40)，[40,45)，[50.55)四组通行时间的频率分别是0.1,0.25,0.4,0.05，所以通行时间在[45,50)的频率是1−0.1−0.25−0.4−0.05=0.2，通过的车辆台数是235×2=470 .
【解答】
解：∵ [30,35)，[35,40)，[40,45)，[50.55)四组
通行时间的频率分别是0.1，0.25，0.4，0.05，
∴ 通行时间在[45,50)的频率是
1−0.1−0.25−0.4−0.05=0.2，
通过的车辆台数是235×2=470 .
故选C .
6.
【答案】
A
【考点】
函数图象的作法
【解析】
无
【解答】
解：令f(x)=ex−e−x10|x|），其定义域为R，
因为f−x=e−x−ex10|−x|=−fx，所以y=ex−e−x10|x|是奇函数，其图象关于原点对称，排除B，C；
当x>0时，ex−e−x＞0，故y=ex−e−x10|x|>0，排除D．
故选A．
7.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
二倍角的正弦公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：①若α=2kπk∈Z，
则sin2α=sin4kπ=0，
2sinα=2sin2kπ=0，
所以sin2α=2sinα成立；
②若sin2α=2sinα，
则2sinαcsα=2sinα，
得 sinα=0或 csα=1．
当sinα=0时，α=kπk∈Z，
当csα=1时，α=2kπk∈Z．
综合得“α=2kπk∈Z”是“sin2α=2sinα”的充分不必要条件．
故选B．
8.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
令g(x)=exf(x)，则g′x=exf′(x)，因为f(x)+f′(x)<0，所以g′x<0，所以g(x)在R上单调递减．因为g0=f(0)=1，所以f(x)>e−x等价于gx>g(0)，解得x<0，所以不等式fx>e−x的解集是−∞,0 .
【解答】
解：令g(x)=exf(x)，
则g′x=exf(x)+exf′(x).
∵ f(x)+f′(x)<0，
∴ g′x<0，
∴ g(x)在R上单调递减．
∵ g0=f(0)=1，
∴ f(x)>e−x等价于gx>g(0)，
解得x<0，
∴ 不等式fx>e−x的解集是−∞,0 .
故选D .
二、多选题
【答案】
A,C
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
向量的模
【解析】
因为2a→−b→=|2a→+b→|，所以a→⋅b→=2−2m=0，则m=2．因为a→+b→=3,0，所以|a→+b→|=32+02=3 .
【解答】
解：∵ |2a→−b→|=|2a→+b→|，
∴ a→⋅b→=2−2m=0，
解得m=2．
∵ a→+b→=3,0，
∴ |a→+b→|=32+02=3 .
故选AC .
【答案】
B,C
【考点】
简单复合函数的导数
函数的求值
【解析】
【解答】
解：因为fx=x2+f(0)⋅x−f′(0)⋅csx+2，
所以f(0)=2−f′(0)．
因为f′x=2x+f(0)+f′(0)⋅sinx，
所以f′(0)=f(0)，
故f′(0)=f(0)=1．
故选BC．
【答案】
A,D
【考点】
正弦函数的对称性
任意角的三角函数
诱导公式
函数奇偶性的判断
【解析】
根据题意知角α为第四象限角，且tanα=−1．则a=−π4+2kπk∈Z，所以fx=sin2x−π4，令2x−π4=π2+kπ(k∈Z)．解得x=3π8+kπ2k∈Z，所以函数fx=sin2x+α的对称轴方程为x=3π8+kπ2(k∈Z)，yx=cs3x+α+5π4=cs3x+π=−cs3x为偶函数．故选AD .
【解答】
解：根据题意知角α为第四象限角，且tanα=−1，
则α=−π4+2kπk∈Z，
所以fx=sin2x+α=sin2x−π4，
令2x−π4=π2+kπ(k∈Z)，
解得x=3π8+kπ2(k∈Z)，
所以函数fx=sin2x+α的对称轴方程为x=3π8+kπ2(k∈Z)，
gx=cs3x+α+5π4=cs3x+π=−cs3x为偶函数．
故选AD .
【答案】
A,D
【考点】
双曲线的离心率
双曲线的渐近线
【解析】
【解答】
解：对于AB，设点Ax1,y1，B−x1,−y1，Px0,y0，
则x12a2−y12b2=1，且x02a2−y02b2=1，
两式相减得x02−x12a2=y02−y12b2，
所以y02−y12x02−x12=b2a2．
因为kPA⋅kPB=y0−y1x0−x1⋅y0+y1x0+x1=14，
所以b2a2=14，ba=12，
故双曲线C的渐近线方程为y=±12x．
因为焦点c,0到渐近线y=12x的距离为1，
所以c5=1，c=5，
所以a=2，b=1，离心率为52，故A正确，B错误；
对于C，不妨设P在C的右支上，记|PF2|=t，则|PF1|=4+t．
因为PF1⊥PF2，
所以t+42+t2=20，解得t=6−2或t=−6−2（舍去），
所以△PF1F2的面积为12|PF1||PF2|=126−26+2=1，故C错误；
对于D，设Px0,y0，
因为S△PF1F2=12⋅2c|y0|=5⋅|y0|=25，
所以|y0|=2.
将|y0|=2代入C：x24−y2=1，得x02=20，即|x0|=25．
由对称性，不妨取P的坐标为25,2，
则|PF2|=25−52+22=3，
|PF1|=25+52+22=7．
因为cs∠PF2F1=|PF2|2+|F1F2|2−|PF1|22|PF2||F1F2|=9+20−492×3×25<0，
所以∠PF2F1为钝角，
所以△PF1F2为钝角三角形，故D正确．
故选AD．
三、填空题
【答案】
−2,0
【考点】
椭圆的定义
椭圆的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为c2=7−5=2，
所以c=2，
所以左焦点的坐标为−2,0．
故答案为：−2,0．
【答案】
2
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
【解答】
解：因为mn≤m+n22，
所以3mn−1≤3m+n22−1．
因为m+n=3mn−1，
所以m+n≤3m+n22−1，即3m+n2−4m+n−4≥0，
所以3m+n+2m+n−2≥0．
因为m>0，n>0，
所以m+n≥2，即m+n的最小值为2，
当且仅当m=n时取等号，此时m=n=1．
故答案为：2．
【答案】
−20
【考点】
利用导数研究函数的最值
【解析】
答案未提供解析．
【解答】
解：因为f′x=6x2−2ax−a，
所以f′1=6−3a=0，解得a=2，
则f′(x)=6x2−4x−2=2(x−1)(3x+1)，
所以fx在(−2,−13)，(1,2)上单调递增，
在(−13,1)上单调递减．
因为f−2=−20，f1=−2，
所以fx在−2,2上的最小值为−20．
故答案为：−20．
【答案】
59
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
【解答】
解：若这两个数字的乘积能被3整除，则这两个数字中至少有3，6中的一个，
基本事件的总数有6×6=36种，
其中既没有3，也没有6的基本事件共有4×4=16种，
则所求概率为1−1636=59．
故答案为：59．
四、解答题
【答案】
解：选①：∵ sinB=3sinA，
∴ b=3a .
∵ a+b=1+3，
∴ a=1，b=3 ．
∵ c2=a2+b2−2accsC，C=π6，
∴ c=1.
符合a+c>b，故存在满足条件的△ABC .
选②：∵ csinA=2，
∴ asinC=2 ．
∵ C=π6，∴ a=4．
∵ sinB=3sinA，
∴ b=3a，
∴ b=43 .
由c2=a2+b2−2abcsC
=16+48−2×4×43×32=16，
解得c=4 .
符合a+c>b，故存在满足条件的△ABC .
选③：∵ b=33c，
∴ c=3b .
∵ sinB=3sinA，
∴ b=3a．
∵ a2+b2−c2=2abcsC，
∴ a2+3a2−9a2=2⋅a⋅3a⋅csπ6，
得−5a2=3a2，不成立．
故不存在满足条件的△ABC .
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：选①：∵ sinB=3sinA，
∴ b=3a .
∵ a+b=1+3，
∴ a=1，b=3 ．
∵ c2=a2+b2−2accsC，C=π6，
∴ c=1.
符合a+c>b，故存在满足条件的△ABC .
选②：∵ csinA=2，
∴ asinC=2 ．
∵ C=π6，∴ a=4．
∵ sinB=3sinA，
∴ b=3a，
∴ b=43 .
由c2=a2+b2−2abcsC
=16+48−2×4×43×32=16，
解得c=4 .
符合a+c>b，故存在满足条件的△ABC .
选③：∵ b=33c，
∴ c=3b .
∵ sinB=3sinA，
∴ b=3a．
∵ a2+b2−c2=2abcsC，
∴ a2+3a2−9a2=2⋅a⋅3a⋅csπ6，
得−5a2=3a2，不成立．
故不存在满足条件的△ABC .
【答案】
解：(1)当n=1时，a1=S1+12，解得a1=1.
因为Sn=2an−1，①
所以当n≥2时，Sn−1=2an−1−1，②
①−②得，Sn−Sn−1=2an−2an−1 ，
所以an=2an−1，
故数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
其通项公式为an=2n−1 .
(2)由题知，bn=(n+1)2n，
所以Tn= 2×21+3×22+4×23+⋯+n+12n，③
2Tn=2×22+3×23+4×24+⋯+n+12n+1，④
③−④得，−Tn=2+(21+22+23+⋯+2n)−(n+1)2n+1
=2+2×(1−2n)1−2−(n+1)2n+1
=−n⋅2n+1 ，
所以Tn=n⋅2n+1 .
【考点】
数列的求和
数列递推式
等比数列的前n项和
等比数列的通项公式
等比数列
【解析】
（1）当n=1时，a1=S1+12，解得a1=1，
因为Sn=2an−1，①
所以当n≥2时，Sn−1=2an+1−1，②
①−②得，Sn−Sn−1=2an−2an+1 ，
所以an=2an−1，
故数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，其通项公式为an=2n−1 .
（2）由题知，bn=(n+1))2n，
所以Tn= 2×21+3×22+4×23+⋯+n+12n，③
2Tn=−2×22+3×23+4×24+⋯+n+12n+1，④
③−④得，−Tn=2+(21+22+23+⋯+2n)−(n+1)2n+1，
=2+2×(1−2n)1−2−(n+1)2n+1
=n⋅2n+1 .
所以Tn=−n⋅2n+1 .
【解答】
解：(1)当n=1时，a1=S1+12，解得a1=1.
因为Sn=2an−1，①
所以当n≥2时，Sn−1=2an−1−1，②
①−②得，Sn−Sn−1=2an−2an−1 ，
所以an=2an−1，
故数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
其通项公式为an=2n−1 .
(2)由题知，bn=(n+1)2n，
所以Tn= 2×21+3×22+4×23+⋯+n+12n，③
2Tn=2×22+3×23+4×24+⋯+n+12n+1，④
③−④得，−Tn=2+(21+22+23+⋯+2n)−(n+1)2n+1
=2+2×(1−2n)1−2−(n+1)2n+1
=−n⋅2n+1 ，
所以Tn=n⋅2n+1 .
【答案】
(1)证明：∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ AD⊥CD．
∵ ∠ADP=90∘，CD∩DP=D，
∴ AD⊥平面PCD.
∵ CE⊂平面PCD，
∴ AD⊥CE．
∵ 二面角P−AD−B为60∘，
∴ ∠PDC=60∘.
∵ PD=AD，CD=AD，
∴ △PCD为等边三角形．
∵ E为PD中点，
∴ CE⊥DP．
∵ AD∩DP=D，
∴ CE⊥平面PAD.
(2)解：过P作PO⊥CD，垂足为O，易知O为CD中点．
∵ 平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，
PO⊂平面PDC，
∴ PO⊥平面ABCD．
设AB中点为Q，则OQ//AD，OQ⊥平面PDC．
以O为坐标原点，OQ→方的方向为x轴正方向，
DC→的方向为y轴正方向，OP→的方向为z轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz，
∵ 正方形ABCD的边长为2，
∴ A2,−1,0，B2,1,0，C0,1,0，D0,−1,0，
P0,0,3，E0,−12,32，
∴ AB→=(0,2,0)，AE→=(−2,12,32)，CE→=(0,−32,32).
∵ CE⊥平面PAD，
∴ CE→为平面ADE的一个法向量．
设n→=x,y,z是平面ABE的法向量，
则n→⋅AB→=2y=0,n→⋅AE→=−2x+12y+32z=0,
令z=4，得n→=3,0,4．
∵ cs⟨CE→,n→⟩=CE→⋅n→|CE→||n→|=233×19=21919，
∴ 平面ADE与平面ABE所成锐二面角的余弦值为21919．
【考点】
直线与平面垂直的判定
用空间向量求平面间的夹角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ AD⊥CD．
∵ ∠ADP=90∘，CD∩DP=D，
∴ AD⊥平面PCD.
∵ CE⊂平面PCD，
∴ AD⊥CE．
∵ 二面角P−AD−B为60∘，
∴ ∠PDC=60∘.
∵ PD=AD，CD=AD，
∴ △PCD为等边三角形．
∵ E为PD中点，
∴ CE⊥DP．
∵ AD∩DP=D，
∴ CE⊥平面PAD.
(2)解：过P作PO⊥CD，垂足为O，易知O为CD中点．
∵ 平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，
PO⊂平面PDC，
∴ PO⊥平面ABCD．
设AB中点为Q，则OQ//AD，OQ⊥平面PDC．
以O为坐标原点，OQ→方的方向为x轴正方向，
DC→的方向为y轴正方向，OP→的方向为z轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz，
∵ 正方形ABCD的边长为2，
∴ A2,−1,0，B2,1,0，C0,1,0，D0,−1,0，
P0,0,3，E0,−12,32，
∴ AB→=(0,2,0)，AE→=(−2,12,32)，CE→=(0,−32,32).
∵ CE⊥平面PAD，
∴ CE→为平面ADE的一个法向量．
设n→=x,y,z是平面ABE的法向量，
则n→⋅AB→=2y=0,n→⋅AE→=−2x+12y+32z=0,
令z=4，得n→=3,0,4．
∵ cs⟨CE→,n→⟩=CE→⋅n→|CE→||n→|=233×19=21919，
∴ 平面ADE与平面ABE所成锐二面角的余弦值为21919．
【答案】
(1)证明：当a=2时，函数f(x)=ex−csx−2x，
f′(x)=ex+sinx−2，
若x<0，则ex<1．
因为sinx≤1，
所以f′x=ex+sinx−2<0，
故fx在−∞,0上单调递减．
(2)解：当x=0时，f(x)=0≥−1，对a∈R恒成立；
当x>0时，由fx≥x−csx，整理得a≤exx−1．
设gx=exx−1，则g′x=exx−1x2．
令g′x>0，得x>1，则gx在1,+∞上单调递增；
令g′x<0，得0所以gxmin=g(1)=e−1，a≤e−1．
综上，实数a的取值范围是−∞,e−1．
【考点】
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：当a=2时，函数f(x)=ex−csx−2x，
f′(x)=ex+sinx−2，
若x<0，则ex<1．
因为sinx≤1，
所以f′x=ex+sinx−2<0，
故fx在−∞,0上单调递减．
(2)解：当x=0时，f(x)=0≥−1，对a∈R恒成立；
当x>0时，由fx≥x−csx，整理得a≤exx−1．
设gx=exx−1，则g′x=exx−1x2．
令g′x>0，得x>1，则gx在1,+∞上单调递增；
令g′x<0，得0所以gxmin=g(1)=e−1，a≤e−1．
综上，实数a的取值范围是−∞,e−1．
【答案】
(1)解：设P到直线y=−1的距离为d，
则d=|PM|−1，
所以P到直线y=−2的距离等于P到M0,2的距离.
由抛物线的定义可知，
P的轨迹C的方程为x2=8y.
(2)证明：设Ax1,x128,Bx2,x228,Qx0,y0，
联立方程组x2=8y,y=kx+2,得x2−8kx−16=0，
则x1+x2=8k，x1x2=−16，
Δ=64k2+64>0.
由x2=8y，得y=x28，
所以y′=x4，
所以切线AQ的方程为y=x14x−x128，①
同理切线BQ的方程为y=x24x−x228．②
由①×x2−②×x1，得y0=x1x28=−2，
所以点Q在直线y=−2上．
【考点】
轨迹方程
直线与抛物线结合的最值问题
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)解：设P到直线y=−1的距离为d，
则d=|PM|−1，
所以P到直线y=−2的距离等于P到M0,2的距离.
由抛物线的定义可知，
P的轨迹C的方程为x2=8y.
(2)证明：设Ax1,x128,Bx2,x228,Qx0,y0，
联立方程组x2=8y,y=kx+2,得x2−8kx−16=0，
则x1+x2=8k，x1x2=−16，
Δ=64k2+64>0.
由x2=8y，得y=x28，
所以y′=x4，
所以切线AQ的方程为y=x14x−x128，①
同理切线BQ的方程为y=x24x−x228．②
由①×x2−②×x1，得y0=x1x28=−2，
所以点Q在直线y=−2上．
【答案】
解：(1)当a=1时，fx=lnxx+x，定义域为0,+∞，
f′x=1−lnxx2+1=1+x2−lnxx2．
设gx=1+x2−lnx，
则g′x=2x2−1x=(2x+1)(2x−1)x.
令g′x=0，得x=22，
所以gx在0,22上单调递减，在22,+∞上单调递增，
则gxmin=g22=32+ln22>0，
所以fx在0,+∞上为增函数．
故fx在1e,e上的最大值为fe=1e+e，最小值为f1e=1e−e．
(2)不等式f(x0)≤a+2可转化为x02−2x0≤ax0−lnx0，
令Fx=x−lnxx>0，
则F′x=x−1xx>0．
当0当x>1时，F′x>0，Fx在1,+∞上单调递增．
所以Fxmin=F1=1>0，于是a≥x02−2x0x0−lnx0，
记G(x)=x2−2xx−lnx，x∈(0,e]，
则G′(x)=(2x−2)(x−lnx)−(x−2)(x−1)(x−lnx)2
=(x−1)(x−2lnx+2)(x−lnx)2，
因为2−2lnx=21−lnx≥0，
所以Gx在0,1上单调递减，在1,e上单调递增．
所以Gxmin=G1=−1，
从而a≥−1，
故a的取值范围是[−1,+∞)．
【考点】
利用导数研究函数的最值
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)当a=1时，fx=lnxx+x，定义域为0,+∞，
f′x=1−lnxx2+1=1+x2−lnxx2．
设gx=1+x2−lnx，
则g′x=2x2−1x=(2x+1)(2x−1)x.
令g′x=0，得x=22，
所以gx在0,22上单调递减，在22,+∞上单调递增，
则gxmin=g22=32+ln22>0，
所以fx在0,+∞上为增函数．
故fx在1e,e上的最大值为fe=1e+e，最小值为f1e=1e−e．
(2)不等式f(x0)≤a+2可转化为x02−2x0≤ax0−lnx0，
令Fx=x−lnxx>0，
则F′x=x−1xx>0．
当0当x>1时，F′x>0，Fx在1,+∞上单调递增．
所以Fxmin=F1=1>0，于是a≥x02−2x0x0−lnx0，
记G(x)=x2−2xx−lnx，x∈(0,e]，
则G′(x)=(2x−2)(x−lnx)−(x−2)(x−1)(x−lnx)2
=(x−1)(x−2lnx+2)(x−lnx)2，
因为2−2lnx=21−lnx≥0，
所以Gx在0,1上单调递减，在1,e上单调递增．
所以Gxmin=G1=−1，
从而a≥−1，
故a的取值范围是[−1,+∞)．
1. 已知集合A=x|−2
2. 已知命题p：∀x∈Q，x∈R，则¬p是( )
A.∀x∈Q，x∉RB.∃x∈Q，x∉RC.∀x∉Q，x∉RD.∃x∉Q，x∉R
3. 函数fx=x2−ex的图象在点0,f0处的切线方程为( )
A.x−y−1=0B.x−y+1=0C.x+y−1=0D.x+y+1=0
4. 函数y=−13x2−16x+12的定义域为( )
A.−32,1B.−1,32
C.−∞,−32∪1,+∞D.−∞,−1∪32,+∞
5. 2020年10月1日中秋节和国庆节双节同庆，很多人外出旅行或回家探亲，因此交通比较拥堵．某交通部门为了解从A城到B城实际通行所需时间，随机抽取了n台车辆进行统计，结果显示这些车辆的通行时间（单位：分钟）都在30,55内，按通行时间分为[30,35)，[35,40)，[40,45)，[45,50)，50,55五组，频率分布直方图如图所示，其中通行时间在[30,35)的车辆有235台，则通行时间在[45,50)的车辆台数是( )
A.450B.325C.470D.500
6. 函数y=ex−e−x10|x|的图象大致为( )
A.B.
C.D.
7. “α=2kπk∈Z”是“sin2α=2sinα”的( )
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
8. 设函数fx的定义域为R，f′x是其导函数，若fx+f′x<0，f0=1，则不等式fx>e−x的解集是( )
A.0,+∞B.1,+∞C.0,1D.−∞,0
二、多选题
已知平面向量a→=2,m，b→=1,−2，且|2a→−b→|=|2a→+b→|，则( )
A.m=2B.m=2C.|a→+b→|=3D.|a→+b→|=3
已知函数fx=x2+f0⋅x−f′0⋅csx+2，其导函数为f′x，则( )
A.f0=−1B.f′0=1C.f0=1D.f′0=−1
已知点P1,−1是角α终边上的一点，则( )
A.函数fx=sin2x+α的对称轴方程为x=3π8+kπ2k∈Z
B.函数fx=sin2x+α的对称轴方程为x=π8+kπ2k∈Z
C.函数gx=cs3x+α+5π4是奇函数
D.函数gx=cs3x+α+5π4是偶函数
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0与直线y=kx交于A，B两点，点P为C上一动点，记直线PA，PB的斜率分别为kPA，kPB，C的左、右焦点分别为F1，F2．若kPA⋅kPB=14，且C的焦点到渐近线的距离为1，则下列说法正确的是( )
A.a=2
B.C的离心率为62
C.若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为2
D.若△PF1F2的面积为25，则△PF1F2为钝角三角形
三、填空题
椭圆x27+y25=1的左焦点的坐标为________.
若m>0，n>0，m+n=3mn−1，则m+n的最小值为________.
已知函数fx=2x3−ax2−ax的一个极值点为1，则fx在−2,2上的最小值为________.
有两个质地均匀的正方体玩具，每个正方体的六个面分别标有数字1，2，3，⋯，6．随机抛掷两个这样的正方体玩具，得到面朝上的两个数字，则这两个数字的乘积能被3整除的概率为________.
四、解答题
在①a+b=1+3，②csinA=2，③b=33c这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，________，且sinB=3sinA，C=π6？
注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．
设数列an的前n项和为Sn，且an=Sn+12.
(1)求数列an的通项公式；
(2)设2an=bnn+1，求数列bn的前n项和Tn.
在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，∠ADP=90∘，PD=AD，二面角P−AD−B为60∘，E为PD中点．
(1)证明：CE⊥平面PAD．
(2)求平面ADE与平面ABE 所成锐二面角的余弦值．
已知函数fx=ex−csx−ax.
(1)当a=2时，证明：fx在−∞,0上单调递减；
(2)若对任意x≥0，fx≥x−csx恒成立，求实数a的取值范围.
已知圆M:x2+y−22=1，动圆P与圆M外切，且与直线y=−1相切．
(1)求动圆圆心P的轨迹C的方程；
(2)若直线l:y=kx+2与曲线C交于A，B两点，分别过A，B 作曲线C的切线，交于点Q．证明：Q在一定直线上．
已知函数fx=alnxx+x.
(1)当a=1时，判断fx的单调性，并求fx在1e,e上的最值；
(2)∃x0∈(0,e]，f(x0)≤a+2，求a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖南省郴州市郴州市高二（上）12月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
交集及其运算
【解析】
直接利用交集运算求解即可.
【解答】
解：∵ A=x|−2
故选C.
2.
【答案】
B
【考点】
全称命题与特称命题
【解析】
利用全称命题的否定为特称命题进行求解即可.
【解答】
解：∵ 命题题p：∀x∈Q，x∈R为全称命题，其否定为特称命题，
∴ ¬p是∃x∈Q，x∉R.
故选B.
3.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
因为fx=2x−ex，所以f0=−1，又因为f0=−1，所以所求切线方程为y=−x−1，即x+y+1=0 .
【解答】
解：因为f′x=2x−ex，
所以f′0=−1.
又因为f0=−1，
所以所求切线方程为y=−x−1，
即x+y+1=0 .
故选D .
4.
【答案】
A
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
由−13x2−16x+12≥0，得2x2+x−3=(x−1)(2x+3)≤0．所以原函数的定义域为−32,1 .
【解答】
解：∵ −13x2−16x+12≥0，
整理，得2x2+x−3=(x−1)(2x+3)≤0，
解得−32≤x≤1，
∴ 原函数的定义域为−32,1 .
故选A .
5.
【答案】
C
【考点】
用样本的频率分布估计总体分布
【解析】
因为[30,35)，[35,40)，[40,45)，[50.55)四组通行时间的频率分别是0.1,0.25,0.4,0.05，所以通行时间在[45,50)的频率是1−0.1−0.25−0.4−0.05=0.2，通过的车辆台数是235×2=470 .
【解答】
解：∵ [30,35)，[35,40)，[40,45)，[50.55)四组
通行时间的频率分别是0.1，0.25，0.4，0.05，
∴ 通行时间在[45,50)的频率是
1−0.1−0.25−0.4−0.05=0.2，
通过的车辆台数是235×2=470 .
故选C .
6.
【答案】
A
【考点】
函数图象的作法
【解析】
无
【解答】
解：令f(x)=ex−e−x10|x|），其定义域为R，
因为f−x=e−x−ex10|−x|=−fx，所以y=ex−e−x10|x|是奇函数，其图象关于原点对称，排除B，C；
当x>0时，ex−e−x＞0，故y=ex−e−x10|x|>0，排除D．
故选A．
7.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
二倍角的正弦公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：①若α=2kπk∈Z，
则sin2α=sin4kπ=0，
2sinα=2sin2kπ=0，
所以sin2α=2sinα成立；
②若sin2α=2sinα，
则2sinαcsα=2sinα，
得 sinα=0或 csα=1．
当sinα=0时，α=kπk∈Z，
当csα=1时，α=2kπk∈Z．
综合得“α=2kπk∈Z”是“sin2α=2sinα”的充分不必要条件．
故选B．
8.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
令g(x)=exf(x)，则g′x=exf′(x)，因为f(x)+f′(x)<0，所以g′x<0，所以g(x)在R上单调递减．因为g0=f(0)=1，所以f(x)>e−x等价于gx>g(0)，解得x<0，所以不等式fx>e−x的解集是−∞,0 .
【解答】
解：令g(x)=exf(x)，
则g′x=exf(x)+exf′(x).
∵ f(x)+f′(x)<0，
∴ g′x<0，
∴ g(x)在R上单调递减．
∵ g0=f(0)=1，
∴ f(x)>e−x等价于gx>g(0)，
解得x<0，
∴ 不等式fx>e−x的解集是−∞,0 .
故选D .
二、多选题
【答案】
A,C
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
向量的模
【解析】
因为2a→−b→=|2a→+b→|，所以a→⋅b→=2−2m=0，则m=2．因为a→+b→=3,0，所以|a→+b→|=32+02=3 .
【解答】
解：∵ |2a→−b→|=|2a→+b→|，
∴ a→⋅b→=2−2m=0，
解得m=2．
∵ a→+b→=3,0，
∴ |a→+b→|=32+02=3 .
故选AC .
【答案】
B,C
【考点】
简单复合函数的导数
函数的求值
【解析】
【解答】
解：因为fx=x2+f(0)⋅x−f′(0)⋅csx+2，
所以f(0)=2−f′(0)．
因为f′x=2x+f(0)+f′(0)⋅sinx，
所以f′(0)=f(0)，
故f′(0)=f(0)=1．
故选BC．
【答案】
A,D
【考点】
正弦函数的对称性
任意角的三角函数
诱导公式
函数奇偶性的判断
【解析】
根据题意知角α为第四象限角，且tanα=−1．则a=−π4+2kπk∈Z，所以fx=sin2x−π4，令2x−π4=π2+kπ(k∈Z)．解得x=3π8+kπ2k∈Z，所以函数fx=sin2x+α的对称轴方程为x=3π8+kπ2(k∈Z)，yx=cs3x+α+5π4=cs3x+π=−cs3x为偶函数．故选AD .
【解答】
解：根据题意知角α为第四象限角，且tanα=−1，
则α=−π4+2kπk∈Z，
所以fx=sin2x+α=sin2x−π4，
令2x−π4=π2+kπ(k∈Z)，
解得x=3π8+kπ2(k∈Z)，
所以函数fx=sin2x+α的对称轴方程为x=3π8+kπ2(k∈Z)，
gx=cs3x+α+5π4=cs3x+π=−cs3x为偶函数．
故选AD .
【答案】
A,D
【考点】
双曲线的离心率
双曲线的渐近线
【解析】
【解答】
解：对于AB，设点Ax1,y1，B−x1,−y1，Px0,y0，
则x12a2−y12b2=1，且x02a2−y02b2=1，
两式相减得x02−x12a2=y02−y12b2，
所以y02−y12x02−x12=b2a2．
因为kPA⋅kPB=y0−y1x0−x1⋅y0+y1x0+x1=14，
所以b2a2=14，ba=12，
故双曲线C的渐近线方程为y=±12x．
因为焦点c,0到渐近线y=12x的距离为1，
所以c5=1，c=5，
所以a=2，b=1，离心率为52，故A正确，B错误；
对于C，不妨设P在C的右支上，记|PF2|=t，则|PF1|=4+t．
因为PF1⊥PF2，
所以t+42+t2=20，解得t=6−2或t=−6−2（舍去），
所以△PF1F2的面积为12|PF1||PF2|=126−26+2=1，故C错误；
对于D，设Px0,y0，
因为S△PF1F2=12⋅2c|y0|=5⋅|y0|=25，
所以|y0|=2.
将|y0|=2代入C：x24−y2=1，得x02=20，即|x0|=25．
由对称性，不妨取P的坐标为25,2，
则|PF2|=25−52+22=3，
|PF1|=25+52+22=7．
因为cs∠PF2F1=|PF2|2+|F1F2|2−|PF1|22|PF2||F1F2|=9+20−492×3×25<0，
所以∠PF2F1为钝角，
所以△PF1F2为钝角三角形，故D正确．
故选AD．
三、填空题
【答案】
−2,0
【考点】
椭圆的定义
椭圆的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为c2=7−5=2，
所以c=2，
所以左焦点的坐标为−2,0．
故答案为：−2,0．
【答案】
2
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
【解答】
解：因为mn≤m+n22，
所以3mn−1≤3m+n22−1．
因为m+n=3mn−1，
所以m+n≤3m+n22−1，即3m+n2−4m+n−4≥0，
所以3m+n+2m+n−2≥0．
因为m>0，n>0，
所以m+n≥2，即m+n的最小值为2，
当且仅当m=n时取等号，此时m=n=1．
故答案为：2．
【答案】
−20
【考点】
利用导数研究函数的最值
【解析】
答案未提供解析．
【解答】
解：因为f′x=6x2−2ax−a，
所以f′1=6−3a=0，解得a=2，
则f′(x)=6x2−4x−2=2(x−1)(3x+1)，
所以fx在(−2,−13)，(1,2)上单调递增，
在(−13,1)上单调递减．
因为f−2=−20，f1=−2，
所以fx在−2,2上的最小值为−20．
故答案为：−20．
【答案】
59
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
【解答】
解：若这两个数字的乘积能被3整除，则这两个数字中至少有3，6中的一个，
基本事件的总数有6×6=36种，
其中既没有3，也没有6的基本事件共有4×4=16种，
则所求概率为1−1636=59．
故答案为：59．
四、解答题
【答案】
解：选①：∵ sinB=3sinA，
∴ b=3a .
∵ a+b=1+3，
∴ a=1，b=3 ．
∵ c2=a2+b2−2accsC，C=π6，
∴ c=1.
符合a+c>b，故存在满足条件的△ABC .
选②：∵ csinA=2，
∴ asinC=2 ．
∵ C=π6，∴ a=4．
∵ sinB=3sinA，
∴ b=3a，
∴ b=43 .
由c2=a2+b2−2abcsC
=16+48−2×4×43×32=16，
解得c=4 .
符合a+c>b，故存在满足条件的△ABC .
选③：∵ b=33c，
∴ c=3b .
∵ sinB=3sinA，
∴ b=3a．
∵ a2+b2−c2=2abcsC，
∴ a2+3a2−9a2=2⋅a⋅3a⋅csπ6，
得−5a2=3a2，不成立．
故不存在满足条件的△ABC .
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：选①：∵ sinB=3sinA，
∴ b=3a .
∵ a+b=1+3，
∴ a=1，b=3 ．
∵ c2=a2+b2−2accsC，C=π6，
∴ c=1.
符合a+c>b，故存在满足条件的△ABC .
选②：∵ csinA=2，
∴ asinC=2 ．
∵ C=π6，∴ a=4．
∵ sinB=3sinA，
∴ b=3a，
∴ b=43 .
由c2=a2+b2−2abcsC
=16+48−2×4×43×32=16，
解得c=4 .
符合a+c>b，故存在满足条件的△ABC .
选③：∵ b=33c，
∴ c=3b .
∵ sinB=3sinA，
∴ b=3a．
∵ a2+b2−c2=2abcsC，
∴ a2+3a2−9a2=2⋅a⋅3a⋅csπ6，
得−5a2=3a2，不成立．
故不存在满足条件的△ABC .
【答案】
解：(1)当n=1时，a1=S1+12，解得a1=1.
因为Sn=2an−1，①
所以当n≥2时，Sn−1=2an−1−1，②
①−②得，Sn−Sn−1=2an−2an−1 ，
所以an=2an−1，
故数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
其通项公式为an=2n−1 .
(2)由题知，bn=(n+1)2n，
所以Tn= 2×21+3×22+4×23+⋯+n+12n，③
2Tn=2×22+3×23+4×24+⋯+n+12n+1，④
③−④得，−Tn=2+(21+22+23+⋯+2n)−(n+1)2n+1
=2+2×(1−2n)1−2−(n+1)2n+1
=−n⋅2n+1 ，
所以Tn=n⋅2n+1 .
【考点】
数列的求和
数列递推式
等比数列的前n项和
等比数列的通项公式
等比数列
【解析】
（1）当n=1时，a1=S1+12，解得a1=1，
因为Sn=2an−1，①
所以当n≥2时，Sn−1=2an+1−1，②
①−②得，Sn−Sn−1=2an−2an+1 ，
所以an=2an−1，
故数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，其通项公式为an=2n−1 .
（2）由题知，bn=(n+1))2n，
所以Tn= 2×21+3×22+4×23+⋯+n+12n，③
2Tn=−2×22+3×23+4×24+⋯+n+12n+1，④
③−④得，−Tn=2+(21+22+23+⋯+2n)−(n+1)2n+1，
=2+2×(1−2n)1−2−(n+1)2n+1
=n⋅2n+1 .
所以Tn=−n⋅2n+1 .
【解答】
解：(1)当n=1时，a1=S1+12，解得a1=1.
因为Sn=2an−1，①
所以当n≥2时，Sn−1=2an−1−1，②
①−②得，Sn−Sn−1=2an−2an−1 ，
所以an=2an−1，
故数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
其通项公式为an=2n−1 .
(2)由题知，bn=(n+1)2n，
所以Tn= 2×21+3×22+4×23+⋯+n+12n，③
2Tn=2×22+3×23+4×24+⋯+n+12n+1，④
③−④得，−Tn=2+(21+22+23+⋯+2n)−(n+1)2n+1
=2+2×(1−2n)1−2−(n+1)2n+1
=−n⋅2n+1 ，
所以Tn=n⋅2n+1 .
【答案】
(1)证明：∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ AD⊥CD．
∵ ∠ADP=90∘，CD∩DP=D，
∴ AD⊥平面PCD.
∵ CE⊂平面PCD，
∴ AD⊥CE．
∵ 二面角P−AD−B为60∘，
∴ ∠PDC=60∘.
∵ PD=AD，CD=AD，
∴ △PCD为等边三角形．
∵ E为PD中点，
∴ CE⊥DP．
∵ AD∩DP=D，
∴ CE⊥平面PAD.
(2)解：过P作PO⊥CD，垂足为O，易知O为CD中点．
∵ 平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，
PO⊂平面PDC，
∴ PO⊥平面ABCD．
设AB中点为Q，则OQ//AD，OQ⊥平面PDC．
以O为坐标原点，OQ→方的方向为x轴正方向，
DC→的方向为y轴正方向，OP→的方向为z轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz，
∵ 正方形ABCD的边长为2，
∴ A2,−1,0，B2,1,0，C0,1,0，D0,−1,0，
P0,0,3，E0,−12,32，
∴ AB→=(0,2,0)，AE→=(−2,12,32)，CE→=(0,−32,32).
∵ CE⊥平面PAD，
∴ CE→为平面ADE的一个法向量．
设n→=x,y,z是平面ABE的法向量，
则n→⋅AB→=2y=0,n→⋅AE→=−2x+12y+32z=0,
令z=4，得n→=3,0,4．
∵ cs⟨CE→,n→⟩=CE→⋅n→|CE→||n→|=233×19=21919，
∴ 平面ADE与平面ABE所成锐二面角的余弦值为21919．
【考点】
直线与平面垂直的判定
用空间向量求平面间的夹角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ AD⊥CD．
∵ ∠ADP=90∘，CD∩DP=D，
∴ AD⊥平面PCD.
∵ CE⊂平面PCD，
∴ AD⊥CE．
∵ 二面角P−AD−B为60∘，
∴ ∠PDC=60∘.
∵ PD=AD，CD=AD，
∴ △PCD为等边三角形．
∵ E为PD中点，
∴ CE⊥DP．
∵ AD∩DP=D，
∴ CE⊥平面PAD.
(2)解：过P作PO⊥CD，垂足为O，易知O为CD中点．
∵ 平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，
PO⊂平面PDC，
∴ PO⊥平面ABCD．
设AB中点为Q，则OQ//AD，OQ⊥平面PDC．
以O为坐标原点，OQ→方的方向为x轴正方向，
DC→的方向为y轴正方向，OP→的方向为z轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz，
∵ 正方形ABCD的边长为2，
∴ A2,−1,0，B2,1,0，C0,1,0，D0,−1,0，
P0,0,3，E0,−12,32，
∴ AB→=(0,2,0)，AE→=(−2,12,32)，CE→=(0,−32,32).
∵ CE⊥平面PAD，
∴ CE→为平面ADE的一个法向量．
设n→=x,y,z是平面ABE的法向量，
则n→⋅AB→=2y=0,n→⋅AE→=−2x+12y+32z=0,
令z=4，得n→=3,0,4．
∵ cs⟨CE→,n→⟩=CE→⋅n→|CE→||n→|=233×19=21919，
∴ 平面ADE与平面ABE所成锐二面角的余弦值为21919．
【答案】
(1)证明：当a=2时，函数f(x)=ex−csx−2x，
f′(x)=ex+sinx−2，
若x<0，则ex<1．
因为sinx≤1，
所以f′x=ex+sinx−2<0，
故fx在−∞,0上单调递减．
(2)解：当x=0时，f(x)=0≥−1，对a∈R恒成立；
当x>0时，由fx≥x−csx，整理得a≤exx−1．
设gx=exx−1，则g′x=exx−1x2．
令g′x>0，得x>1，则gx在1,+∞上单调递增；
令g′x<0，得0
综上，实数a的取值范围是−∞,e−1．
【考点】
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：当a=2时，函数f(x)=ex−csx−2x，
f′(x)=ex+sinx−2，
若x<0，则ex<1．
因为sinx≤1，
所以f′x=ex+sinx−2<0，
故fx在−∞,0上单调递减．
(2)解：当x=0时，f(x)=0≥−1，对a∈R恒成立；
当x>0时，由fx≥x−csx，整理得a≤exx−1．
设gx=exx−1，则g′x=exx−1x2．
令g′x>0，得x>1，则gx在1,+∞上单调递增；
令g′x<0，得0
综上，实数a的取值范围是−∞,e−1．
【答案】
(1)解：设P到直线y=−1的距离为d，
则d=|PM|−1，
所以P到直线y=−2的距离等于P到M0,2的距离.
由抛物线的定义可知，
P的轨迹C的方程为x2=8y.
(2)证明：设Ax1,x128,Bx2,x228,Qx0,y0，
联立方程组x2=8y,y=kx+2,得x2−8kx−16=0，
则x1+x2=8k，x1x2=−16，
Δ=64k2+64>0.
由x2=8y，得y=x28，
所以y′=x4，
所以切线AQ的方程为y=x14x−x128，①
同理切线BQ的方程为y=x24x−x228．②
由①×x2−②×x1，得y0=x1x28=−2，
所以点Q在直线y=−2上．
【考点】
轨迹方程
直线与抛物线结合的最值问题
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)解：设P到直线y=−1的距离为d，
则d=|PM|−1，
所以P到直线y=−2的距离等于P到M0,2的距离.
由抛物线的定义可知，
P的轨迹C的方程为x2=8y.
(2)证明：设Ax1,x128,Bx2,x228,Qx0,y0，
联立方程组x2=8y,y=kx+2,得x2−8kx−16=0，
则x1+x2=8k，x1x2=−16，
Δ=64k2+64>0.
由x2=8y，得y=x28，
所以y′=x4，
所以切线AQ的方程为y=x14x−x128，①
同理切线BQ的方程为y=x24x−x228．②
由①×x2−②×x1，得y0=x1x28=−2，
所以点Q在直线y=−2上．
【答案】
解：(1)当a=1时，fx=lnxx+x，定义域为0,+∞，
f′x=1−lnxx2+1=1+x2−lnxx2．
设gx=1+x2−lnx，
则g′x=2x2−1x=(2x+1)(2x−1)x.
令g′x=0，得x=22，
所以gx在0,22上单调递减，在22,+∞上单调递增，
则gxmin=g22=32+ln22>0，
所以fx在0,+∞上为增函数．
故fx在1e,e上的最大值为fe=1e+e，最小值为f1e=1e−e．
(2)不等式f(x0)≤a+2可转化为x02−2x0≤ax0−lnx0，
令Fx=x−lnxx>0，
则F′x=x−1xx>0．
当0
所以Fxmin=F1=1>0，于是a≥x02−2x0x0−lnx0，
记G(x)=x2−2xx−lnx，x∈(0,e]，
则G′(x)=(2x−2)(x−lnx)−(x−2)(x−1)(x−lnx)2
=(x−1)(x−2lnx+2)(x−lnx)2，
因为2−2lnx=21−lnx≥0，
所以Gx在0,1上单调递减，在1,e上单调递增．
所以Gxmin=G1=−1，
从而a≥−1，
故a的取值范围是[−1,+∞)．
【考点】
利用导数研究函数的最值
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)当a=1时，fx=lnxx+x，定义域为0,+∞，
f′x=1−lnxx2+1=1+x2−lnxx2．
设gx=1+x2−lnx，
则g′x=2x2−1x=(2x+1)(2x−1)x.
令g′x=0，得x=22，
所以gx在0,22上单调递减，在22,+∞上单调递增，
则gxmin=g22=32+ln22>0，
所以fx在0,+∞上为增函数．
故fx在1e,e上的最大值为fe=1e+e，最小值为f1e=1e−e．
(2)不等式f(x0)≤a+2可转化为x02−2x0≤ax0−lnx0，
令Fx=x−lnxx>0，
则F′x=x−1xx>0．
当0
所以Fxmin=F1=1>0，于是a≥x02−2x0x0−lnx0，
记G(x)=x2−2xx−lnx，x∈(0,e]，
则G′(x)=(2x−2)(x−lnx)−(x−2)(x−1)(x−lnx)2
=(x−1)(x−2lnx+2)(x−lnx)2，
因为2−2lnx=21−lnx≥0，
所以Gx在0,1上单调递减，在1,e上单调递增．
所以Gxmin=G1=−1，
从而a≥−1，
故a的取值范围是[−1,+∞)．
相关试卷
2020-2021学年湖南省郴州市高二（上）期末考试数学试卷人教A版： 这是一份2020-2021学年湖南省郴州市高二（上）期末考试数学试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年湖南省郴州市郴州市高二（上）12月月考数学试卷人教A版： 这是一份2020-2021学年湖南省郴州市郴州市高二（上）12月月考数学试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年湖南省郴州市高二（上）10月月考数学试卷人教A版： 这是一份2020-2021学年湖南省郴州市高二（上）10月月考数学试卷人教A版，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
