广东省汕头市2021-2022学年度高二下学期期末考试 数学试卷

试卷类型：A

汕头市2021～2022学年度普通高中教学质量监测

高二数学

本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.

考生注意：

1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3．考试结束后，监考员将答题卡交回.

第Ⅰ卷选择题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在给出的四个选项中，只有一项符合题目要求

1. 已知集合，，则（）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

2. 已知为虚数单位，则复数的虚部是（）

A.  B. 1 C. 2 D. 2i

【答案】B

3. 是直线和平行的（）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

4. 已知向量、、满足，且，则、夹角为

A.  B.  C.  D.

【答案】C

5. 函数的图象大致为（）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

6. 把曲线上所有点向右平移个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，得到曲线，则

A. 关于直线对称 B. 关于直线对称

C. 关于点对称 D. 关于点对称

【答案】B

7. 已知双曲线（a、b均为正数）的两条渐近线与直线围成的三角形的面积为，则双曲线的离心率为（）

A.  B.  C.  D. 2

【答案】D

8. 根据汕头市气象灾害风险提示，5月12日～14日我市进入持续性暴雨模式，城乡积涝和质灾害风险极高，全市范围内降雨天气易涝点新增至36处.已知有包括甲乙在内的5个排水施工队前往3个指定易涝路口强排水（且每个易涝路口至少安排一个排水施工队），其中甲、乙施工队不在同个易涝路口，则不同的安排方法有（）

A. 86 B. 100 C. 114 D. 136

【答案】C

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分

9. 已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为，且，去除两个歧义点和后，得到新的回归直线的斜率为3．则下列说法正确的是（）

A. 相关变量x，y具有正相关关系

B. 去除两个歧义点后的回归直线方程为

C. 去除两个歧义点后，样本（4，8.9）的残差为

D. 去除两个歧义点后，随x值增加相关变量y值增加速度变小

【答案】ABC

10. 若，，，，则下列结论一定正确的是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】AC

11. 设有一组圆，下列命题正确的是（）

A. 不论k如何变化，圆心始终在一条直线上

B. 存在圆经过点（3，0）

C. 存在定直线始终与圆相切

D. 若圆上总存在两点到原点的距离为1，则

【答案】ACD

12. 已知的展开式中的所有项的二项式系数之和为64，记展开式中的第项的系数为，二项式系数为，，则下列结论正确的是（）

A. 数列是等比数列

B. 数列所有项之和为729

C. 数列是等差数列

D. 数列的最大项为20

【答案】BD

第Ⅱ卷非选择题

三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分

13. 曲线在点处的切线方程为__________．

【答案】

14. 已知圆锥同时满足条件：①侧面展开图为半圆；②底面半径为4，则圆锥的体积__________

【答案】

15. 已知为第三象限角，，则_____．

【答案】

16. 佩香囊是端午节传统习俗之一．香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的．因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目．图1的平行四边形ABCD由六个边长为1的正三角形构成．将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊．那么在图2这个六面体中内切球半径为__________，体积为__________.

【答案】    ①.     ②.

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

17. 四边形的内角与互补，，，．

（1）求角和长度；

（2）求四边形的面积．

【答案】（1）；（2）.

18. 为惠普市民，鼓励市民消费，进一步优化消费供给，加快打造区域消费中心城市，我市开展“2022汕头欢乐购”系列消费券发放活动，第一期活动在4月30日启动，持续至6月2日，全市市民可通过银联云闪付APP或“汕头商务”公众号“促消费”菜单进入“2022汕头欢乐购”活动主题界面领取消费券.从平台发布统计数据中随机选出200人，经统计这200人中通过“汕头商务”公众号“促消费”菜单成功领取“欢乐购”消费券的有160人．将这160人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示：

（1）求a的值并估计这160人的平均年龄（每组数据以区间中点值作为代表）；

（2）把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，选出的200人中通过“银联闪付APP”成功领取“欢乐购”消费券的中老年人有26人，完成下列列联表并根据小概率值的独立性检验判断通过银联闪付APP或通过“汕头商务”公众号“促消费”菜单领取“欢乐购”消费券与年龄有关？

附：

【答案】（1），平均年龄：；

（2）表格见解析，有小概率值的独立性检验判断通过银联闪付APP或通过“汕头商务”公众号“促消费”菜单领取“欢乐购”消费券与年龄有关.

【小问1详解】

依题意，，解得，平均年龄为：.

【小问2详解】

根据定义，，由表格可读出，有小概率值的独立性检验判断通过银联闪付APP或通过“汕头商务”公众号“促消费”菜单领取“欢乐购”消费券与年龄有关.

19. 已知数列的相邻两项和恰是方程的两个根，且．

（1）求的值；

（2）记为数列的前n项和，求．

【答案】（1）0（2）

20. 如图，在四面体中，，分别是线段，的中点，，，．

（1）证明：平面平面；

（2）若二面角为，求二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【详解】（1），分别是线段，的中点，则，，

又，所以，

，所以，

所以，所以，

又，平面，所以平面，

因平面，所以平面平面；

（2）以为轴，过与平行的直线为轴建立空间直角坐标系，如图，

由（1）可得平面，平面，所以，所以为二面角的平面角，即，所以，

所以，，，，，

，，，

设平面的一个法向量是，

则，取，则，即，

设平面的一个法向量是，

则，取，则，，

．

所以二面角的余弦值为．

21. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点与椭圆：的右焦点重合．

（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；

（Ⅱ）记，若抛物线C上存在两点B，D，使为以P为顶点的等腰三角形，求直线的斜率的取值范围．

【答案】（Ⅰ）方程为，准线为；（Ⅱ）

22. 已知函数（）．

（1）若a=1，讨论的单调性；

（2）若函数存在两个极小值点，，求实数a的取值范围；

（3）当时，设，求证：．

【答案】（1）单调递减；单调递增

（2）

（3）证明见解析

【小问1详解】

函数的定义域为，

当时，，

所以，

设，则，故为上的增函数，

故，

当时，，函数在上为单调递减；

当时，，函数在上单调递增．

【小问2详解】

由已知，，

函数在上单调递增，在上单调递减，所以，

又当时，，

①当时，，此时当时，在上单调递减；

当时，在上单调递增；

所以，无极大值；

②当时，，又在单调递增，

所以在上有唯一零点，且，

设，则当，故在上为减函数.

所以，所以，

所以，

又在单调递减，所以在上有唯一零点，且，

故当时，在上单调递减；

当时，在上单调递增；

当时，在上单调递减；

当时，在上单调递增；

所以函数有两个极小值点．

故实数a的取值范围为．

【小问3详解】

由已知，

即，其定义域为，所以，

当时，或，

因为，所以，

当时，；当时，，

所以在单调递减，在单调递增．

所以．

所以要证，只需证，

即证，

令，

则，

记，则，

∴在单调递减，又，

故存在，使得，即，

∴，

记，在上单调递减，，

故只需证，即，

∵，∴在上单调递增，成立，

故原不等式成立．