期末押题检测卷（提高卷）-《讲亮点》2022-2023学年八年级数学上册教材同步配套讲练（苏科版）

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注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（2021·江苏徐州·八年级阶段练习）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
【详解】解：选项B、C、D均能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形；
选项A不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形；
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（2022·江苏无锡·八年级期中）一个等腰三角形的两条边分别为和n，且满足，则等腰三角形的周长等于（ ）
A．9B．12C．12或15D．15
【答案】D
【分析】先根据绝对值的非负性和算术平方根的非负性求出m与n，再根据三角形的三边关系和等腰三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
当等腰三角形的腰长为3时，
∵，
∴不符合三角形的三边条件，
∴不成立，
当等腰三角形的腰长为6时，
∵，，
∴符合三角形三边条件，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系和等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握三角形的三边关系．
3．（2022·江苏无锡·八年级阶段练习）如图，是上一点，交于点，，，若，，则的长是（ ）
A．0.5B．1C．1.5D．2
【答案】B
【分析】根据平行线的性质，得出，，根据全等三角形的判定，得出，根据全等三角形的性质，得出，根据，，即可求线段的长．
【详解】解：，
，，
在和中，
，
（AAS），
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及平行线性质的运用，能根据已知条件正确识别判定全等的方法是解题的关键．
4．（2022·江苏·镇江市第三中学八年级阶段练习）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到DEF的位置，AB＝10，DO＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为（ ）
A．42B．48C．84D．96
【答案】B
【分析】根据平移的性质把阴影部分的面积转化为直角梯形OEBA求解即可．
【详解】解：∵平移距离为6，
∴BE=6，
∵平移，
∴AB=DE，阴影部分的面积等于直角梯形OEBA的面积
∵AB＝10，DO＝4，
∴OE=10-4=6，
∴直角梯形OEBA的面积为：（6+10）×6÷2=48．
故选B．
【点睛】本题主要考查平移的性质，搞清楚阴影部分的面积等于直角梯形OEBA的面积
是解题关键．
5．（2022·江苏·星海实验中学八年级期中）如图，在中，，分别以AB、AC、BC为直径向外作半圆，它们的面积分别记作、、，若，，则为（ ）
A．9B．11C．32D．41
【答案】A
【分析】根据圆的面积公式及勾股定理得出，进而即可求解．
【详解】解：∵在中，分别以AB、AC、BC为直径向外作半圆，它们的面积分别记作、、
∴在中，
∴即，
∴
故选A．
【点睛】本题考查勾股定理和圆的面积，解题关键是将勾股定理和圆的面积公式进行灵活的结合和应用．
6．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，点A，B，C在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积和是（ ）
A．1B．3C．D．
【答案】B
【分析】设直线与y轴交于点D，轴于点E，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点A，D的坐标，进而可得出的长，利用三角形的面积计算公式可求出的面积，同理可得出另外两个小三角形的面积均为1，再将三个小三角形的面积相加即可求出结论．
【详解】解：设直线与y轴交于点D，轴于点E，如图所示．
当时，，
∴点D的坐标为；
当时，，
∴点A的坐标为，
∴点E的坐标为，，
∴，
∴．
同理，可求出另两个三角形的面积均为1（阴影部分组成的小三角形），
∴阴影部分面积之和．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征及三角形的面积公式，求出每个小三角形的面积是解题的关键．
7．（2022·江苏·沭阳县怀文中学八年级期中）已知是边长为9的等边三角形，为的中点，，交线段于，交的延长线于．若，则的长为（ ）
A．1B．1.5C．2D．2.5
【答案】B
【分析】作交于．证明，由全等三角形的性质即可解决问题．
【详解】作交于，
∵是边长为9的等边三角形
∴，
∵
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵为的中点，
∴
∵
∴设，则，
∴，
∴
∴
∵，
，
在和中，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
8．（2022·江苏·射阳县实验初级中学八年级阶段练习）如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始．按顺时针方向．取与三角形外箭头方向一致的一侧序号），如点A的坐标可表示为，点B的坐标可表示为，按此方法，若点C的坐标为，则（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】C
【分析】根据题目中定义的新坐标系的中点坐标的表示方法，求出点C的坐标，即可求得答案．
【详解】根据题意得：点C的坐标为，
则；
故选：C．
【点睛】本题考查了新定义，解题的关键是理解新定义的坐标系中点坐标的表示方法．
9．（2022·江苏·江阴市华士实验中学八年级阶段练习）如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③，，则；④．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④
【答案】A
【分析】由证明可判断①正确；证明可判断②正确；由①②结论得到，，由求解可判断③正确；根据三角形的三边关系可判断④错误．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∴，
∵
∴
∴，
∵
∴，
在和中，
∴，故①正确；
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，故②正确；
∵，，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，故③正确；
∵在中，，
∴，故④错误，
综上，正确的是①②③，
故选：A．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系，熟练掌握全等三角形的判定与性质，证明是解答的关键．
10．（2022·江苏南通·一模）如图1，点E为矩形的边上一点，动点P，Q同时从点B出发以的速度运动，其中，点P沿折线运动到点C时停止，点Q沿运动到点C时停止．设点P出发时，的面积为，y与t的函数关系如图2所示（曲线为抛物线的一部分），则当时，y的值为（ ）
A．9B．C．D．8
【答案】C
【分析】由图2可知：当点P、Q运动5s时，此时点P运动到点E点Q运动到点C，Q点停止运动．可得cm；当t=7时，P点运动了7cm，此时面积仍为；当t=8时，cm，进而可求当时，y的值为．
【详解】解：如图所示：过点作，垂足为．
由题意可知：由图2可知当时，点P在BE上，
当点P、Q运动5s时，的面积ｙ达到最大，最大值为．
此时点P运动到点E点Q运动到点C，Q点停止运动．
可得PC=3cm．
∵点P、Q的运动速度都为，
∴当t=5时，cm．
∵＝10，
∴cm．
当时，点P在线段ED上，此时cm，而当t=7时，P点运动了7cm．
∴此时．
面积不变 对应线段MN的图像．
当时，点P在线段DC上．
当t=8时，cm，
∴
∴cm
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了动点函数图像的分析，解题的关键是分清横、纵坐标的含义；分清每一段图像的含义．
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
11．（2022·江苏·苏州市胥江实验中学校八年级期中）若与是同类项，则的立方根是______．
【答案】
【分析】根据同类项的定义：如果两个单项式所含的字母相同，相同字母的指数也相同，那么这两个单项式就叫做同类项，据此求出m、n的值，再根据立方根的定义求解即可．
【详解】解：∵与是同类项，
∴，
∴，
∴，
∵的立方根是，
∴的立方根是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了同类项的定义和立方根，解二元一次方程组，解题的关键在于能够熟练掌握同类项的定义．
12．（2021·江苏·启东市长江中学八年级期中）如图，已知，点D恰好在AC的延长线上，．则的度数是_____．
【答案】61
【分析】根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质求出，根据补角的概念（如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角）计算，得到答案．
【详解】解：在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：61．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质的应用，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
13．（2022·江苏·泰州中学附属初中八年级期中）如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，若，，则的长为___________．
【答案】6
【分析】首先根据角平分线的性质得到，然后结合得到，根据勾股定理求出的长度，然后证明，设，根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】∵在中，，平分交于点D，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∴设，
∴，
∴在中，，即，
解得，
∴．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
14．（2021·江苏·南通市启秀中学七年级阶段练习）如图，点坐标为，，、分别交轴和轴于点和点，则四边形的面积为___．
【答案】9
【分析】过分别作轴和轴的垂线，交轴和轴与和，构造全等三角形、正方形；所以．
【详解】解：过分别作轴和轴的垂线，交轴和轴于点和．
点坐标为，
；
又，
；
又，
，
在和中
，
，
，
即．
故答案是：9．
【点睛】本题综合考查了垂线、坐标与图形性质、三角形的面积、三角形全等的判定及性质．解题的关键是，利用了“割补法”的思想求四边形的面积．
15．（2022·江苏·阜宁县实验初级中学八年级期中）如图，四边形中，，，连接．是的中点，连接．若，则的面积为______．
【答案】
【分析】运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到等腰三角形，利用四边形内角和定理，三角形外角定理，判定三角形是等腰直角三角形，计算面积即可．
【详解】∵，，是的中点，，，
∴，
∴，
∵∠，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴的面积为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了四边形内角和定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，三角形外角定理，熟练掌握直角三角形的性质，三角形外角定理是解题的关键．
16．（2022·江苏·靖江外国语学校九年级阶段练习）如图，一次函数与坐标轴分别交于两点，点分别是线段上的点，且，则点的坐标为_____．
【答案】##
【分析】根据解析式求得的坐标，进而可得是等腰直角三角形，过作于，则是等腰直角三角形，证明，得出，中，勾股定理求得，进而即可求解．
【详解】解：∵一次函数与坐标轴交于两点，
中，令，则；令，则，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
过作于，则是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴中，，
∴，
∵，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正确的作出辅助线是解题的关键．
17．（2022·江苏·姜堰区实验初中八年级）如图，在长方形中，cm，cm．点Q从点C出发，以2的速度沿边向点D运动，到达点D停止；同时点P从点B出发，以的速度沿边向点C运动，到达点C停止．规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当x为_____时，与全等．
【答案】或2
【分析】设运动时间为s，根据题意得出，，则，分两种情况讨论：①当时；②当时；利用全等三角形的性质列出方程求解即可．
【详解】解：设运动时间为s，
根据题意得，，，则，
①当时，，
，
解得：；
②当时，，
∴，
解得：
综上可得：x为2或1.5时，与全等，
故答案为：2cm或1.5cm
【点睛】题目主要考查矩形的性质及全等三角形的性质，一元一次方程的应用，理解题意，进行分类讨论，列出方程是解题关键．
18．（2022·江苏·八年级专题练习）如图1，对于平面内的点A、P，如果将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PB，就称点B是点A关于点P的“放垂点”．如图2，已知点，点P是y轴上一点，点B是点A关于点P的“放垂点”，连接AB、OB，则的最小值是_________．
【答案】
【分析】设，过点作轴，证明，求得的坐标，求得点的轨迹，作如图，作关于的对称点，连接交轴于点，则，
求得的坐标，继而根据即可求解．
【详解】解：如图，设，过点作轴，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
点在上，
如图，作关于的对称点，连接交轴于点，则，
令，得，则，
的最小值．
故答案为：
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，勾股定理，二次函数的性质，求得点的坐标是解题的关键．
三、解答题（10小题，共64分）
19．（2022·江苏·苏州市胥江实验中学校八年级期中）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二次根式的混合计算法则和立方根的计算法则求解即可
（2）根据实数的混合计算法则求解即可．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，实数的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
20．（2022·江苏·星海实验中学八年级期中）已知的立方根是4，的算术平方根是5，是的整数部分
(1)求，，的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）根据立方根的定义求得的值，根据算术平方根的定义求得的值，估算的大小即可求得的值；
（2）将（1）中，，的值代入代数式，进而根据平方根的定义求得的平方根
【详解】（1）∵已知的立方根是4，
∴，
∴，
∵的算术平方根是5，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的整数部分，
∴，
∴，，，
（2）解：∵，，，
∴，
∴的平方根是．
【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根，无理数的估算，掌握以上知识是解题的关键．
21．（2022·安徽宿州·七年级期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点A，B 的坐标分别为．
(1)请在如图所示的网格中作出平面直角坐标系．
(2)请作出关于y轴对称的．
(3)直接写出点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据A，C两点坐标确定平面直角坐标系即可．
（2）分别作出A，B，C 的对应点的位置即可．
（3）根据的位置写出坐标即可．
【详解】（1）解：如图，平面直角坐标系即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：点的坐标．
【点睛】本题考查作图——轴对称变换，平面直角坐标系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
22．（2022·江苏·泰州中学附属初中八年级期中）如图，四边形是公园中的一块空地，．
(1)连接，判断的形状并说明理由；
(2)公园为美化环境，欲在该空地上铺草坪，已知草坪每平方米80元，试问铺满这块空地共需费用多少元？
【答案】(1)是直角三角形，理由见解析
(2)元
【分析】（1）连接，在中根据勾股定理得m，在中，，即可得是直角三角形；
（2）先算出两个直角三角形的面积，即可得四边形的面积，即可算出费用．
【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下：
如图所示，连接，
在中，，根据勾股定理得，
，
在中，，
∵，
∴，
∴是直角三角形．
（2）解：，
，
∴，
∴元，
即铺满这块空地共需费用元．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理．
23．（2022·江苏江苏·八年级期中）如图，在的两边上分别取点，连接．若平分，平分．
(1)求证：平分；
(2)若，且与的面积分别是和，求线段与的长度之和．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)
【分析】（1）根据到角两边距离相等的点在角平分线上，即可求证；
（2）通过的面积等于可求出（1）中，，的长度，根据与的面积和等于四边形的面积，即可将线段与建立联系，由与的面积关系即可求出答案．
【详解】（1）证明：如图所示，过作，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴平分．
（2）解：如图所示，过作，连接，
∵，
∴，由（1）可知，
∵，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质与面积的综合应用，理解角平分线上的点到角两边的距离相等，三角形的面积与线段的关系是解题的关键．
24．（2022·江苏无锡·八年级阶段练习）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图①，中，是边上的中线，若，求边的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到，依据是 ．
A．B．C．D．
(2)由“三角形的三边关系”可求得边的取值范围是 ．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
【灵活运用】
(3)如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长．
【答案】(1)B
(2)
(3)
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理解答；
（2）根据三角形的三边关系计算；
（3）延长到M，使，连接，证明，根据全等三角形的性质解答．
【详解】（1）解：∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
故选：B；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（3）解：延长到M，使，连接，如图②，
∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∵．，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
【点睛】本题考查的是三角形综合题，全等三角形的判定和性质、三角形三边关系，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
25．（2022·江苏·八年级专题练习）阅读材料：通过一次函数的学习，小明知道：当已知直线上两个点的坐标时，可以用待定系数法，求出这个一次函数的表达式．
有这样一个问题：直线的表达式为，若直线与直线关于轴对称，求直线的表达式．
下面是小明的解题思路，请补充完整．
第一步：求出直线与轴的交点的坐标，与轴的交点的坐标；
第二步：在平面直角坐标系中，作出直线；
第三步：求点关于轴的对称点的坐标；
第四步：由点，点的坐标，利用待定系数法，即可求出直线的表达式．
小明求出的直线的表达式是．
请你参考小明的解题思路，继续解决下面的问题：
(1)若直线与直线关于直线对称，则直线的表达式是 ；
(2)若点在直线上，将直线绕点顺时针旋转．得到直线，求直线的表达式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意求出、两点的坐标关于直线的对称点为，，再利用待定系数法解题即可．
（2）过点作直线，交轴于点，作轴于点．设，则，，，求出点的坐标再用待定系数法解题即可．
由勾股定理得
【详解】（1）解：直线的表达式为，
直线与轴的交点的坐标为，与轴的交点的坐标为，
点关于轴的对称点的坐标为．
设直线的解析式为，
则，解得，
直线的表达式为：．
，，
、两点的坐标关于直线的对称点分别为，，
设直线的解析式为，
则，解得，
直线的表达式为：．
故答案为：；
（2）过点作直线，交轴于点，作轴于点．
点在直线上，
，
，
，，
．
设，则，，，
由勾股定理得：，
解得：
．
设直线的表达式
把，代入得：
直线的表达式．
【点睛】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，能够运用对称的性质求点的坐标是解题关键．
26．（2022·江苏·泰州中学附属初中八年级期中）（1）如图1，△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，点C在OA上，点D在线段BO延长线上，连接AD，BC，线段AD与BC的数量关系为___________；位置关系为___________．
（2）如图2，将图中的△COD绕点O顺时针旋转α（0°<α<90°）．
①第一问的结论是否仍然成立；如果成立，证明你的结论，若不成立，说明理由．
②连接AC，BD．若OC=3，OB=4，在旋转过程中，当线段BC和线段AD交于点E时，求AC2+BD2的值．
（3）如图3，△ABC是等边三角形，点D是△ABC外一点，连接AD，BD，CD，若∠ADC=30°，AD=4，CD=3，求BD的值．
【答案】（1）；；（2）①仍然成立，见解析；②50；（3）
【分析】（1）利用SAS证明，可得结论；延长交于F，由全等得出，再由，即可得出，进而得出结论；
（2）①与（1）同理可证明结论成立；
②由①知，由勾股定理得出，进而得出答案；
（3）过点D作，且满足，连接
首先证明是等边三角形，进而证明，得出，在中，由勾股定理求出即可．
【详解】（1）∵和是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴（SAS），
∴，
延长交于F，
∵
∴，
∵，
∴
∴，
∴
故答案为：；
（2）①仍然成立，
∵，
∴，
∵，
∴（SAS），
∴，，
∵，
∴
∴，
∴
②如图，
由①知，
在中，
在中，
∴
（3）过点D作，且满足，连接
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，解题关键是掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，勾股定理等知识点，（3）要添加恰当辅助线，构造全等三角形解决问题，综合性较强．
27．（2022·江苏·顾山中学八年级阶段练习）问题背景：如图1，在四边形中，，，，E，F分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是，延长到点G．使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ___________；
探索延伸：如图2，若在四边形中，，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度，前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离．
【答案】；证明见解析；210海里
【分析】（问题背景）：延长到点G，使，连接，即可证明，可得再证明，可得，根据，，根据，即可得解；
（探索延伸）：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，即可得解；
（实际应用）连接，延长、相交于点，图形符合探索延伸中的条件，直接应用结论进行计算即可．
【详解】证明：（问题背景）如图1，延长到点G，使，连接，
在和中
，
在和中
∴，
∵，
∴；
（探索延伸）证明：如图，延长到点G，使，连接，
则：，
∵，
∴，
在和中
∴（SAS），
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
在和中
∴（SAS），
∴，
∵，
∴；
（实际应用）解：连接，延长、相交于点，
，
又，
∴图形符合探索延伸中的条件，
∴结论，成立，
∵，
∴（海里）；
∴两舰艇之间的距离为：210海里．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．根据题意添加合适的辅助线证明三角形全等是解题的关键．
28．（2022·江苏·扬州中学教育集团树人学校八年级期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y＝x交于点C．
(1)若直线AB解析式为y＝﹣2x+12，求：
①求点C的坐标；
②求△OAC的面积．
(2)在（1）的条件下，若P是x轴上的一个动点，直接写出当△POC是等腰三角形时P的坐标．
(3)如图2，作∠AOC的平分线OF，若，垂足为E，OA＝4，P是线段AC上的动点，过点P作OC，OA的垂线，垂足分别为M，N，试问PM+PN的值是否变化，若不变，求出PM+PN的值；若变化，请说明理由．
【答案】(1)①（4，4）；②12
(2)（4，0）或（8，0）或（，0）或（－，0）
(3)不变，
【分析】（1）①当−2x＋12＝x时，解方程即可；
②当y＝0时，则−2x＋12＝0，得出点A的坐标，即可得出答案；
（2）首先利用勾股定理得出OC的长，再分OC＝OP，CO＝CP，PO＝PC三种情形，进而得出答案；
（3）首先利用ASA证明△AOE≌△COE，得OA＝OC＝4，再利用面积法可得PN＋PM＝AH，再利用勾股定理求出AH的长即可．
（1）
解：①由题意得−2x＋12＝x，
解得x＝4，
∴y＝4，
∴点C（4，4）；
②当y＝0时，−2x＋12＝0，
∴x＝6，
∴A（6，0），
∴OA＝6，
∴△OAC的面积为；
（2）
解：∵C（4，4），
∴，
当OC＝OP＝ 时，
点P（，0）或（，0），
当CO＝CP时，点P（8，0），
当PO＝PC时，点P（4，0），
综上：点P（4，0）或（8，0）或（，0）或（－，0）；
（3）
解：PM＋PN的值不变，连接OP，作AH⊥OC于H，
∵OF平分∠AOC，
∴∠AOE＝∠COE，
∵OF⊥AB，
∴∠AEO＝∠CEO，
∵OE＝OE，
∴△AOE≌△COE（ASA），
∴OA＝OC＝4，
∵，
∴OC×AH＝OC×PN＋OC×PM，
∴PN＋PM＝AH，
∵直线OC的解析式为y＝x，
∴∠AOC＝45°，
∴，
∴．
∴PM＋PN的值不变，为．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了两条直线的交点问题，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，利用全等证明OA＝OC＝4是解题的关键．