2024浙江省Z20联盟（浙江省名校新高考研究联盟）高三上学期第一次联考数学试题含答案

绝密★考试结束前（暑假返校联考）

Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2024届高三第一次联考

数学试题卷

1.本卷满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方.

3.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效.

4.考试结束后，只需上交答题卷.

选择题部分（共60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.

1.已知集合，，则（    ）

A.    B.    C.    D.

2.已知复数（为虚数单位），则（    ）

A.1   B.   C.3   D.4

3.已知向量，，，，与的夹角为120°，若，则（    ）

A.   B.   C.   D.

4.已知等轴双曲线经过点，则的标准方程为（    ）

A.   B.   C.   D.

5.已知等差数列切“记”为数列的前项和，若，，则数列的公差（    ）

A.1   B.2   C.-1   D.-2

6.已知函数，则（    ）

A.   B.3   C.   D.

7.已知，，则（    ）

A.   B.   C.   D.

8.在三棱锥中， 平面，于，，为中点，则三棱锥的体积最大值为（    ）

A.   B.   C.   C.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知的展开式中含有常数项，则的可能取值为（    ）

A.4   B.6   C.8   D.10

10.已知圆：，直线：，则下列说法正确的是（    ）

A.直线恒过定点     B.直线被圆截得的弦最长时，

C.直线被圆截得的弦最短时，  D.直线被圆截得的弦最短弦长为

11.设数列，都是等比数列，则（    ）

A.若，则数列也是等比数列

B.若，则数列也是等比数列

C.若的前项和为，则也成等比数列

D.在数列中，每隔项取出一项，组成一个新数列，则这个新数列仍是等比数列

12.定义在上的函数满足如下条件：①，②当时， ；则下列结论中正确的是（    ）

A.       B.

C.在上单调递增  D.不等式的解集为

非选择题部分（共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知成对样本数据中互不相等，且所有样本点都在直线上，则这组成对样本数据的样本相关系数_________.

14.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用80℃的开水泡制，再等茶水温度降至35℃时饮用，可以产生最佳口感.若茶水原来的温度是°C，经过一定时间，min后的温度°C，则可由公式求得，其中表示室温，是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数，现有一杯80°C的绿茶放在室温为20°C的房间中，已知茶温降到50°C需要10min.那么在20°C室温下，用80°C的开水刚泡好的茶水大约需要放置时间_________min，才能达到最佳饮用口感.

15.杭州亚运会举办在即，主办方开始对志愿者进行分配.已知射箭场馆共需要6名志愿者，其中3名会说韩语，3名会说日语.目前可供选择的志愿者中有4人只会韩语，5人只会日语，另外还有1人既会韩语又会日语，则不同的选人方案共有_________种.（用数字作答）.

16.已知椭圆：的右焦点为，过点作倾斜角为的直线交椭圆于，两点，弦的垂直平分线交轴于点P，若，则椭圆的离心率_________.

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）已知函数的周期为，且图像经过点.

（1）求函数的单调增区间；

（2）在中，角，，所对的边分别是，，，若，，，求的值.

18.（12分）如图，在长方体中，点， 分别在棱上，且，.

（1）证明：；

（2）若，，，求平面与平面夹角的余弦值.

19.（12分）在数列中，，的前项为.

（1）求证：为等差数列，并求的通项公式；

（2）当时，恒成立，求的取值范围.

20.（12分）已知函数

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）求证：当时，

21.（12分）2023年中央一号文件指出，民族要复兴，乡村必振兴.为助力乡村振兴，某电商平台准备为某地的农副特色产品开设直播带货专场.直播前，此平台用不同的单价试销，并在购买的顾客中进行体验调查问卷.已知有名热心参与问卷的顾客，此平台决定在直播中专门为他们设置两次抽奖活动，每次抽奖都是由系统独立、随机地从这名顾客中抽取20名顾客，抽中顾客会有礼品赠送，若直播时这名顾客都在线，记两次抽中的顾客总人数为（不重复寸敎）.

（1）若甲是这名顾客中的一人，且甲被抽中的概率为，求；

（2）求使取得最大值时的整数.

22.（12分）已知抛物线：与圆：相交于，，，四个点.

（1）当时，求四边形的面积；

（2）四边形的对角线交点是否可能为，若可能，求出此时的值，若不可能，请说明理由；

（3）当四边形的面积最大时，求圆的半径的值.

Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2024届高三第一次联考

数学参考答案

选择题

填空题

13.-1  14.20  15.140  16.

部分小题详解：

7.解析：将平方得，所以，则.

所以，从而.

联立，得.

所以， .

故.

故选D.

8.解析：因为平面，平而，

所以，又，，平面，

所以平面，又平面，

则，又，而，平面，

所以平面，

又平面，所以，

则，

所以，

当且仅当且平面时，取“=”，故选B.

10.解析：直线/的方程可化为，

联立，解得，

所以直线恒过定点（3，1），则A正确；

当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，

此时，解得，，则B正确；

当直线时，直线被圆截得的弦长最短，

直线的斜率为，，

由，解得，则C正确；

此时直线的方程是，

圆心到直线的距离为，

，

所以最短弦长是，则D不正确.

故选ABC.

11.解析：数列，都是等比数列，设公比分别为、（、均不为0）

对于A，由，则，所以数列为等比数列；

对于B，由，则，

所以数列为等比数列；

对于C，举反例：，则，不成等比数列；

对于D，为常数，D正确.

故选ABD.

17.解：（1）由题意知，，则，

又，

则，，所以，，又，所以，

则，

由三角函数的性质可得：，.

解得：，，

∴的单调递减区间为，.

（2）由得，，即，

结合正弦定理得，，

即，又，所以，即，

又，所以，则，所以，

由余弦定理有，.

18.解：（1）如图，在棱上取点，使得，

又，所以四边形为平行四边形，

则且，又且，

所以且，

则四边形为平行四边形，所以，

同理可证四边形为平行四边形，

则，所以.

（2）以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

，，设平面的法向量为，

由得，，解得，，

令，则，

，，设平面的法向量为，

由得，，解得，

令，则，

设两个平面夹角大小为，则 .

19.解析：

（1）∵，∴

即，又，

∴数列是以2为首项，1为公差的等差数列，

∴，∴.

（2）

所以，

，当时取等，所以：.

20.解：（1）此时，，

所以，当时，，单调递增

当时，，单调递减

故在上单调递增，在上单调递减.

（2）

因为，所以当时，，当时，

所以，

下证：，即证：.

记，，

当时，，当时，

所以，所以恒成立，即.

21.解：

（1）记 “甲被抽中”， “第次被抽中” ，则

，

解得.

（2）

记，即求在何时取到最大值.

解得，所以，当或40时，取到最大值.

22.【答案】

（1）（2）不可能（3）

【详解】

（1）将代入，并化简得，解得或，

代入抛物线方程可得

，，，

；

（2）联立抛物线与圆的方程有，可得.

不妨设与的四个交点的坐标为，，，.

直线的方程为，

由对称性，对角线交点肯定在轴上，令，

解得交点坐标为.若交点为点，则，则，不可能.

（3）联立抛物线与圆的方程有，可得.

由于四边形为等腰梯形，因而其面积

则

设，则，

将，代入上式，并令，

得

求导数，

令，解得：，（舍去）.

当时，；当时，；当时，.

故当且仅当时，此时.