2024浙江省Z20联盟（名校新高考研究联盟）高三下学期第三次联考数学试题含答案

这是一份2024浙江省Z20联盟（名校新高考研究联盟）高三下学期第三次联考数学试题含答案，共9页。试卷主要包含了 请保持答题卡的整洁， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

命题: 海宁高级中学 谢 艳、倪 娜
磨题: 余姚中学 徐凤莹 玉环中学 徐伟建 龙湾中学 梁世日 校稿: 张艳宗、过利霞
注意事项：
1. 答卷前, 务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷
上无效。
3. 请保持答题卡的整洁。考试结束后， 将试卷和答题卡一并交回。
第I卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 集合 A=x2≤x<4，B={x∣x-1≥8-2x} ，则 A∪B=
A. [2,4) B. [3,4) C. [2,+∞) D. [3,+∞)
2. 复数的虚部是
A. i B. 1 C. -2i D. -2
3. 已知单位向量 a,b 满足 a⋅b=0 ，则 cs<3a+4b，a+b>=
A. 0 B. C. D. 1
4. 设 Sn 为等比数列 an 的前 n 项和，已知 S3=a4-2，S2=a3-2 ，则公比 q=
A. 2 B. -2 C. D.
5. 已知 A-2,-2，B1,3 ，点 P 在圆 x2+y2=4 上运动，则 PA2+PB2 的最大值为
A. 16-62 B. 26+22 C. 26+42 D. 32
6. 若函数 fx=sinωx+csx 的最大值为 2，则常数 ω 的取值可以为
A. 1 B. C. D.
7. 已知 [x] 表示不超过 x 的最大整数，若 x=t 为函数的极值点，则 f[t]=
A. B. C. D.
8. 设为原点，为双曲线的两个焦点，点在上且满足，
，则该双曲线的渐近线方程为
A. 2x±y=0 B. x±2y=0 C. 3x±y=0 D. x±3y=0
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是
A. 数据 7，5，3，10，2 的第 40 百分位数是 3
B. 已知随机变量 X 服从正态分布 Nμ，σ2，σ 越小，表示随机变量 X 分布越集中
C. 已知一组数据的方差为 3，则 x1-1，x2-1，x3-1,…，xn-1 的方差为 3
D. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为
y=0.3x-m ，若其中一个散点为 m，-0.28 ，则 m=4
10. 已知 △ABC 的内角的对边分别为，且，下列结论正确的是
A.
B. 若 a=4,b=5 ，则 △ABC 有两解
C.当时， △ABC 为直角三角形
D. 若 △ABC 为锐角三角形，则 csA+csC 的取值范围是
11. 在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，已知 E、F 分别为线段 B1C，D1C1 的中点，点 P 满
足 DP=λDD1+μDB，λ∈0,1，μ∈[0,1] ，则
A. 当 λ+μ=1 时，三棱雉 D-PEF 的体积为定值
B. 当，四棱雉 P-ABCD 的外接球的表面积是
C. △PEF 周长的最小值为
D. 若，则点 P 的轨迹长为
第II卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知圆台的上底面半径为 1，下底面半径为 5，侧面积为 30π ，则圆台的高为 .
13. 甲、乙、丙 3 人站到共有 6 级的台阶上， 若每级台阶最多站 2 人且甲、乙不站同一个台阶，同
一台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 种. (用数字作答)
14. 已知关于 x 的不等式 lnx-2axx2-2a+1x+1≤0 对任意 x∈0,+∞ 恒成立，则实数 a
的取值范围是 .
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.
15. （13分）已知等差数列 an 的公差不为零， a1、a2、a5 成等比数列，且 a2n=2an+1 .
（1）求数列 an 的通项公式;
（2）求 a1+a3+a5+⋯⋯+a2n-1 .
16. （15分）已知四面体 A-BCD,AB=AD=BC=CD=2,AC=3 .
（1）证明: AC⊥BD ;
（2）若 BD=23 ，求直线 AB 与平面 ACD 所成角的正弦值.
17. （15分）为了增强身体素质，寒假期间小王每天坚持在 “跑步 20 分钟”和“跳绳 20 分钟”
中选择一项进行锻炼. 在不下雪的时候，他跑步的概率为 80% ，跳绳的概率为 20% ，在下雪天
他跑步的概率为 20% ，跳绳的概率为 80% . 若前一天不下雪，则第二天下雪的概率为，若
前一天下雪，则第二天仍下雪的概率为 40% . 已知寒假第一天不下雪，跑步分钟大约消耗能
量卡路里，跳绳 20 分钟大约消耗能量 200 卡路里. 记寒假第 n 天不下雪的概率为 Pn .
（1）求 P1、P2、P3 的值，并求 Pn ;
（2）设小王寒假第 n 天通过运动消耗的能量为 X ，求 X 的数学期望.
18.（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为 F1、F2 ，焦距为 23 ，离心率
为， 直线 l:y=x+m 与椭圆交于 A、B 两点 （其中点 A 在 x 轴上方，点 B 在 x 轴下方）.
（1）求椭圆 C 的标准方程;
（2）如图，将平面 xOy 沿 x 轴折叠，使 y 轴正半轴和 x 轴所确定的半平面（平面 A'F1F2）与 y
轴 负半轴和 x 轴所确定的半平面 (平面 B'F1F2 ) 垂直.
①若折叠后 OA'⊥OB' ，求 m 的值;
②是否存在 m ，使折叠后 A'、B' 两点间的距离与折叠前 A、B 两点间的距离之比为 ?

折叠前 折叠后
19. （17分）在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转
后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称 fx 为 “α旋转函数”.
（1）判断函数 y=3x 是否为“旋转函数”，并说明理由;
（2）已知函数 fx=ln2x+1x>0 是“α旋转函数”，求tanα 的最大值;
（3）若函数 gx=mx-1ex-xlnx-x22 是“旋转函数”，求m的取值范围.
Z20 名校联盟 (浙江省名校新高考研究联盟) 2024 届高三第三次联考
数学参考答案
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目
要求的.
8. 设 PF1=m,PF2=n ,由双曲线的定义知 m-n=2a (1),
在 ΔF1PF2 中,由余弦定理得 4c2=m2+n2-2mn⋅cs∠F1PF2, ∴4c2=m2+n2-67mn (2),
又 ∵2m2+n2=3a2+2c2 , ∴m2+n2=9a2+4c22 (3),
由 (1) (3) 得 mn=14a2+c2 (4), 把 (3) (4) 代入 (2) 得 4c2=9a2+4c22-6714a2+c2 ,
化简得 20c2=30a2,∴20a2+20b2=30a2∴a2b,∴ 渐近线方程 为 x±2y=0 .
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部
选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
11. A 选项当 λ+μ=1 时,点 P 在线段 D1B 上,且 D1B//EF,VD-PEF=VB-DEF 为定值,A 正确.
B 选项当 λ=μ=12 时,点 P 为线段 D1B 的中点,易求正四棱雉 P-ABCD 的外接球的半径为 34 , 则表面
积是 94π,B 正确.
C 选项点 P 在矩形 D1B1BD 及其内部,取线段 A1D1 的中点 F1 ,由对称性知, PF=PF1 ,
∴PF+PE=PF1+PE≥F1E=52∴PF+PE+FE≥52+32 ,C 错误.
D 选项 AP=62 ,又点 P 在矩形 D1B1BD 及其内部, ∴ 点 P 的轨迹为点 A 为球心,半径长为 62 的球面被
平面 D1B1BD 截且在矩形 D1B1BD 及其内部的图形,为圆（部分）, r=622-222=1 ,该圆是以
BD 的中点为圆心,半径为 1 的圆的一部分 (即 14 圆周), 则轨迹长为 π2,D 正确.
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 3; 13. 180 ; 14. 12e,12
14. 不等式可化为 2ax-lnx2ax-x2-x+1≤0 ,
即 lnx≤2ax≤x2-x+1 ,数形结合得, k1≤2a≤k2
其中 k1 为过原点且与 y=lnx 相切的直线, k2 为过原点且与 y=x2-x+1 相切的直线,
易得 k1=1e,k2=1 .故 1e≤2a≤1,12e≤a≤12 .
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.
15. (13 分) 解: (1) 由题意 a2n=2an+1⇒a2=2a1+1⇒d=a1+1 (1) ……………………….2 分
a22=a1⋅a5⇒a1+d2=a1a1+4d⇒d=2a12. ………………………………………………………2 分
由(1)(2)可得 a1=1,d=2 …………………………………………………………………………………………………2 分
所以 an=1+n-1⋅2=2n-1 ……………………………………………………………………………………..1 分
(2) a1+a3+a5+⋯⋯+a2n-1=a1+a2n-1⋅n2=n⋅an=2n2-n ………………………………………..6 分
16. (15 分) 解:(1) 取 BD 的中点 M ,连 AM,CM ,
由 AB=AD=BC=BD ,可得 BD⊥AM,BD⊥CM , …………..2 分
又因为 AM∩CM=M , AM、CM⊆ 平面 ACM ,
所以 BD⊥ 平面 ACM , ……………………………………………………….2 分
因为 AC⊆ 平面 ACM ,所以 AC⊥BD …………………..……………..2 分
(2) 方法 1:因为 BD=23 ,所以 AM=CM=1 ,
又 AC=3 ,所以 ∠AMC=120∘ ,
由 (1) 可得 BD⊥ 平面 ACM ,所以平面 BCD⊥ 平面 ACM ,
作 AH⊥CM 交 CM 延长线于点 H ,则 AH⊥ 平面 BCD 且 AH=32 , ……………..3 分
设点 B 到平面 ACD 的距离为 h ,
VB-ACD=VA-BCD .2 分 13S△ACD⋅h=13S△BCD⋅32
h=12⋅23⋅3212⋅3⋅132=2313……………………………………………………………..2 分
设直线 AB 与平面 ACD 所成角为 θ，sinθ=hAB=3913
所以直线 AB 与平面 ACD 取成线面角的正弦值为 3913 …………………………………2 分
方法 2:因为 BD=23 ,所以 AM=CM=1 ,又 AC=3 ,
所以 ∠AMC=120∘ ,
由 (1) 可得 BD⊥ 平面 ACM
所以平面 BCD⊥ 平面 ACM ,
作 AH⊥CM 交 CM 延长线于点 H ,
则 AH⊥ 平面 BCD 且 AH=32 ,
如图,以 MB 为 x 轴, MC 为 y 轴, z 轴 //AH 建立空间直角坐标系
A0,-12,32, B3,0,0, C0,1,0, D-3,0,0 ………………………………………………….3 分
AC=0,32,-32,DC=3,1,0,AB=3,12,-32
设面 ACD 的一个法向量为 n=x,y,z
n⋅AC=0n⋅DC=0⇒3y=3z3x+y=0⇒ 令 x=1 ,则 y=-3,z=-3
所以 n=1,-3,-3 ………………………………………………………………………………………………….4 分
设直线 AB 与平面 ACD 所成角为 θ,
sinθ=cs=AB⋅nAB⋅n=2313⋅2=3913
所以直线 AB 与平面 ACD 取成线面角的正弦值为 3913 …………………………………………………..2 分
17. (15 分) 解:(1) 依题意, P1=1,P2=1×0.4=0.4,P3=0.4×0.4+0.6×0.6=0.52 …………3 分
依题意 Pn=0.4Pn-1+0.61-Pn-1=-15Pn-1+35 , ……………………………………………………………2 分
整理得 Pn-12=-15Pn-1-12 ,
所以 Pn-12 是以 P1-12=12 为首项, -15 为公比的等比数列, ………………………………………………..2 分
即 Pn-12=12⋅-15n-1,Pn=12+12⋅-15n-1 ……………………………………………………………………….1 分
(3) X=200,300 …………………………………………………………………………………………………………………..1 分
PX=300=0.8Pn+0.21-Pn=0.6Pn+0.2, …………………………………………………………………3 分
则他第 n 天通过运动锻炼消耗的能量 X 的期望为 300PX=300+2001-PX=300
=200+100PX=300=220+60Pn=250+30-15n-1 . …………………………………………… 分
18. (17 分) 解:(1) 由题意 c=3,ca=32 ,解得: a=2,b=1 ,
所以椭圆 C 的标准方程为 x24+y2=1 ……………………………………………………….………………………….4 分
(2) 折叠前设 Ax1,y1,Bx2,y2 ,联立 y=x+mx2+4y2=4⇒5x2+8mx+4m2-1=0
直线 y=kx+m 与椭圆交于不同两点,所以 Δ>0 ,解得 m2<5 ,从而 x1+x2=-8m5x1⋅x2=4m2-15
因为 AB 位于 x 轴两侧,则 m2<4 ,从而 -2以 O 为坐标原点,折叠后,分别以原 y 轴负半轴,原 x 轴,原 y 轴正半轴所在直线为 x,y ,
z 轴建立空间直角坐标系,则折叠后 A'0,x1,y1, B'-y2,x2,0 ……………………………………………1 分
(1)折叠后 OA'⊥OB' ,则 OA'⋅OB'=0 ,即 x1⋅x2=0 ,所以 m2=1,m=±1 ………………………….2 分
(2)折叠前 AB=2⋅x1-x2=2x1+x22-4x1x2=4255-m2 ………………………………2 分
折叠后AB=y22+x2-x12+y12=4-x224+4-x124+x2-x12=2+34x1+x22-72x1x2
=120-22m25 ……………………………………………………………………………………………………………………………2 分
所以 120-22m25=34⋅4255-m2 ,解得 m2=152 ,此时直线 l 与椭圆无交点
故不存在 m ,使折叠后的 AB 与折叠前的 AB 长度之比为 34 ………………………………………………………2 分
19. (17 分) 解: (1) 函数 y=3x 不是 “ π6 旋转函数”,理由如下:
y=3x 逆时针旋转 π6 后与 y 轴重合,
当 x=0 时,有无数个 y 与之对应,与函数的概念矛盾,
因此函数 y=3x 不是“ π6 旋转函数”. ……………………………………………………………………………………..3 分
(2) 由题意可得函数 fx=ln2x+1x>0 与函数 y=kx+b 最多有 1 个交点,且 k=tanπ2-α
即 ln2x+1=kx+bx>0 最多有一个根,
⇒ln2x+1-kx=bx>0
即函数 y=ln2x+1-kxx>0 与函数 y=bb∈R 最多有 1 个交点,
即函数 y=ln2x+1-kx 在 0,+∞ 上单调, .2 分y'=22x+1-k.
因为 x>0,22x+1∈0,2 ,所以 y'=22x+1-k≤0,k≥22x+1 ,所以 k≥2 , ……………………………………2 分
即 tanπ2-α≥2,tanα≤12 ,即 tanα 的最大值为 12 . ……………………………………………………………… 分
(3) 由题意可得函数 gx=mx-1ex-xlnx-x22 与函数 y=x+b 最多有 1 个交点,
即 mx-1ex-xlnx-x22=x+b⇒mx-1ex-xlnx-x22-x=b ,
即函数 y=mx-1ex-xlnx-x22-x 与函数 y=b 最多有 1 个交点,
即函数 y=mx-1ex-xlnx-x22-x 在 0,+∞ 上单调,
y'=mxex-lnx-x-2 ,当 x→0 时, y'→+∞,
所以 y'≥0⇒m≥lnx+x+2xexmax , …………………………………………………………………………………………..4 分
令 φx=lnx+x+2xex ,则 φ'x=x+1-lnx-x-1x2ex ,
因为 t=-lnx-x-1 在 0,+∞ 上单调减,且 t14>0,t1<0 ,
所以存在 x0∈14,1 ,使 tx0=0 ,即 lnx0+x0=-1⇒lnx0⋅ex0=-1⇒x0⋅ex0=1e ,
所以 φx 在 0,x0↗,x0,+∞↘ ,
所以 φmax x=φx0=lnx0+x0+2x0ex0=1x0ex0=e ,
即 m≥e . ………………………………………………………………………………………………………………………………4 分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
B
A
C
D
B
B
题号
9
10
11
答案
BC
ACD
ABD