2022-2023学年河北省保定市阜平县城南庄中学等两校九年级（上）期末数学试卷-普通用卷

这是一份2022-2023学年河北省保定市阜平县城南庄中学等两校九年级（上）期末数学试卷-普通用卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列光线所形成的投影不是中心投影的是( )
A. 太阳光线B. 台灯的光线C. 手电筒的光线D. 路灯的光线
2. 小华以每分钟x个字的速度书写，y分钟写了300个字，则y与x之间的函数关系式为( )
A. y=x300B. y=300xC. y=300−xD. y=300−xx
3. 已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB，则有( )
A. AB2=AP⋅PBB. AP2=BP⋅AB
C. BP2=AP⋅ABD. AP⋅AB=PB⋅AP
4. 计算：sin60°⋅tan30°=( )
A. 1B. 12C. 32D. 2
5. 若ca+b=ab+c=ba+c=k，则k的值为( )
A. 12B. 1C. −1D. 12或−1
6. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2，则下列三角函数表示正确的是( )
A. sinA=23B. csA=23C. tanA=32D. tanB=32
7. △ABC与△DEF的相似比为1：4，则△DEF与△ABC的相似比为( )
A. 1：2B. 1：3C. 4：1D. 1：16
8. 在△ABC中，∠C=90°，BC=2，sinA=23，则边AC的长是( )
A. 3B. 5C. 43D. 13
9. 下面四个几何体：
其中，俯视图是四边形的几何体个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
10. 如图，点P是反比例函数y=kx(k≠0)的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M.若△POM的面积等于2，则k的值等于( )
A. −4B. 4C. −2D. 2
11. 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积(表面面积，也叫全面积)为( )
A. 20π
B. 24π
C. 28π
D. 32π
12. 如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则sinα−csα=( )
A. 513B. −513C. 713D. −713
13. 如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，则巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间是( )
A. 1小时B. 2小时C. 3小时D. 4小时
14. 如图，若△ABC与△A1B1C1是位似图形，则位似中心的坐标是( )
A. (−1,0)B. (1,0)C. (0,−1)D. (0,1)
15. 如图，点A在函数y=2x(x>0)的图象上，点B在函数y=4x(x>0)的图象上，且AB//x轴，BC⊥x轴于点C，则四边形ABCO的面积为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
16. “今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为( )
A. 1.25尺
B. 56.5尺
C. 6.25尺
D. 57.5尺
二、填空题（本大题共3小题，共12.0分）
17. 当某一几何体在投影面P前的摆放位置确定以后，改变它与投影面P的距离，其正投影的大小______ ，底面与投影面平行的圆锥体的正投影是______ ．
18. 如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D是边BC上一动点(不与B，C重合)，∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E.则当BD=4时，CE= ______ ；当∠AED=90°时，BD= ______ ．
19. 如图是由六个全等的菱形组成的网格图，菱形的顶点称为格点，A、O、B、C均在格点上，当菱形的边长为1且∠AOB=60°时，则有AB=______；sin∠BAC=______
三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. (本小题8.0分)
如图，已知直线l1、l2、l3分别截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点D、E、F，且l1//l2//l3．
(1)如果AB=4，BC=8，EF=12，求DE的长．
(2)如果DE：EF=2：3，AB=6，求AC的长．
21. (本小题8.0分)
△ABC中，( 3⋅tanA−3)2+|2csB− 3|=0．
(1)判断△ABC的形状；
(2)若AB=10，求BC、AC的长．
22. (本小题8.0分)
一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．(结果精确到0.1m)．
23. (本小题8.0分)
自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB=200米，坡度为1： 3；将斜坡AB的高度AE降低AC=20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1：4.求斜坡CD的长．(结果保留根号)
24. (本小题8.0分)
已知函数y=−x+4的图象与函数y=kx的图象在同一平面直角坐标系内，函数y=−x+4的图象与坐标轴交于A，B两点，点M(2,m)是直线AB上一点，点N与点M关于y轴对称，线段MN交y轴于点C．
(1)m= ______ ，S△AOB= ______ ．
(2)如果线段MN被反比例函数y=kx的图象分成两部分，并且这两部分长度的比为1：3，求k的值．
25. (本小题8.0分)
九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD=3m，标杆与旗杆的水平距离BD=15m，人的眼睛与地面的高度EF=1.6m，人与标杆CD的水平距离DF=2m，求旗杆AB的高度．
26. (本小题8.0分)
某企业生产一种必需商品，经过长期市场调查后发现：商品的月总产量稳定在600件.商品的月销量Q(件)由基本销售量与浮动销售量两个部分组成，其中基本销售量保持不变，浮动销售量与售价工(元/件)(x≤10)成反比例，且可以得到如下信息：
(1)求Q与x的函数关系式．
(2)若生产出的商品正好销完，求售价x．
(3)求售价x为多少时，月销售额最大，最大值是多少？
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光，在各选项中只有A选项得到的投影为平行投影．
故选：A．
利用中心投影和平行投影的定义判断即可．
本题考查了中心投影的定义，解题的关键是理解中心投影的形成光源是灯光．判断投影是中心投影的方法是看光线是否相交于一点，如果光线是相交于一点，那么所得到的投影就是中心投影．
2.【答案】B
【解析】解：由题意得：xy=300，
∴y=300x，
故选：B．
此题可根据等量关系“300=速度×时间”，把相关数值代入即可求解．
解决本题的关键是得到书写总量的等量关系，y与x间的函数关系式应用含x的代数式表示出y．
3.【答案】B
【解析】解：∵P为线段AB的黄金分割点，且AP>BP，
∴AP2=BP⋅AB．
故选：B．
由AP>BP知PA是较长线段，根据黄金分割点的定义，则AP2=BP⋅AB．
本题考查了黄金分割，理解黄金分割点的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段即可．
4.【答案】B
【解析】解：sin60°⋅tan30°= 32× 33=12．
故选：B．
直接利用特殊角的三角函数值进而计算得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
5.【答案】D
【解析】解：当a+b+c=0时，a=−(b+c)，因而k=ab+c=−(b+c)b+c=−1；
当a+b+c≠0时，k=a+b+c(b+c)+(a+b)+(a+c)=12．
故k的值是−1或12．
故选：D．
首先根据条件ca+b=ab+c=ba+c=k，根据a+b+c=0和a+b+c≠0，可得到k值．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2，
∴AC= AB2−BC2= 5，
∴sinA=BCAB=23，csA=ACAB= 53，tanA=BCAC=2 5=2 55，tanB=ACBC= 52，
因此选项A符合题意，
故选：A．
根据锐角三角函数的定义以及勾股定理进行计算即可．
本题考查锐角三角函数，理解锐角三角函数的定义是正确解答的前提．
7.【答案】C
【解析】解：∵△ABC与△DEF的相似比为1：4
∴ABDE=14，
∴DEAB=41，
∴△DEF与△ABC的相似比为4：1．
故选：C．
直接根据相似三角形的性质即可得出结论．
本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边的比叫相似比是解答此题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：在Rt△ABC中，
∵sinA=BCAB=2AB=23，
∴AB=3，
∴根据勾股定理，得AC= 5．
故选：B．
根据∠A的正弦值，以及BC的长可求出斜边AB的长，然后根据勾股定理求AC．
本题考查了利用勾股定理和锐角三角函数的概念解直角三角形．
9.【答案】B
【解析】解：俯视图是四边形的几何体有正方体和三棱柱，
故选：B．
根据俯视图是分别从物体上面看，所得到的图形进行解答即可．
本题考查了几何体的三视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
10.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=kx(k≠0)图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形面积是定值|k|，也考查了反比例函数的性质，
利用反比例函数k的几何意义得到12|k|=2，然后根据反比例函数的性质和绝对值的意义确定k的值．
【解答】
解：∵△POM的面积等于2，
∴12|k|=2，而k<0，
∴k=−4．
故选：A．
11.【答案】C
【解析】解：由题意可知，该几何体是由圆柱与圆锥组合而成：其表面积等于圆锥侧面积+圆柱侧面+圆柱底面积．
圆锥S侧=πrl=8π，圆柱侧面+圆柱底面积=4×2πr+πr2=16π+4π=20π，
∴该几何体的表面积为28π．
故选：C．
由题意可知，该几何体是由圆柱与圆锥组合而成，其表面积等于圆柱+圆锥在减去重叠或者多余的部分．
本题考查了组合体的表面积的求法．组合体的表面积在计算时注意要减去重叠的部分．属于基础题．
12.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理，锐角三角形函数的定义，利用勾股定理列式求出直角三角形的较短的直角边是解题的关键．
分别求出大正方形和小正方形的边长，再利用勾股定理列式求出AC，然后根据正弦和余弦的定义即可求sinα和csα的值，进而可求出sinα−csα的值．
【解答】
解：∵小正方形面积为49，大正方形面积为169，
∴小正方形的边长是7，大正方形的边长是13，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
即AC2+(7+AC)2=132，
整理得，AC2+7AC−60=0，
解得AC=5，AC=−12(舍去)，
∴BC= AB2−AC2=12，
∴sinα=ACAB=513，csα=BCAB=1213，
∴sinα−csα=513−1213=−713，
故选：D．
13.【答案】B
【解析】解：设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时，
如图所示，
由题意得：∠ABC=45°+75°=120°，AB=12海里，BC=10x海里，AC=14x海里，
过点A作AD⊥CB的延长线于点D，
在Rt△ABD中，AB=12海里，∠ABD=45°+(90°−75°)=60°，
∴BD=AB⋅cs60°=12AB=6海里，AD=AB⋅sin60°=6 3海里，
∴CD=10x+6(海里)．
在Rt△ACD中，由勾股定理得：(14x)2=(10x+6)2+(6 3)2，
解得：x1=2,x2=−34(不合题意舍去)．
答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时．
故选：B．
设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时，由题意得出∠ABC=120°，AB=12海里，BC=10x海里，AC=14x海里，过点A作AD⊥CB的延长线于点D，在Rt△ABD中，由三角函数得出BD、AD的长度，得出CD=10x+6(海里).在Rt△ACD中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、三角函数；由三角函数和勾股定理得出方程是解决问题的关键．
14.【答案】C
【解析】解：连接C1C，B1B，A1A并延长，交点P即为所求，由图可知：位似中心的坐标是：(0,−1)，

故选：C．
根据位似中心的定义，连接位似图形的对应点，交点即为位似中心．
此题考查的是位似图形及位似中心的定义，掌握位似中心的确定方法：位似图形的各个对应点连线的交点即为位似中心是解决此题的关键．
15.【答案】C
【解析】解：如图，延长BA交y轴于D，则四边形OCBD为矩形．
∵点A在双曲线y=2x上，点B在双曲线y=4x上，
∴S△OAD=1，S矩形OCBD=4，
∴四边形ABCO的面积=S矩形OCBD−S△OAD=4−1=3．
故选：C．
延长BA交y轴于D，则四边形OCBD为矩形．根据反比例函数系数k的几何意义，得出S△OAD=1，S矩形OCBD=4，则四边形ABCO的面积=S矩形OCBD−S△OAD=3．
本题主要考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|；在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|，且保持不变．
16.【答案】D
【解析】解：依题意有△ABF∽△ADE，
∴AB：AD=BF：DE，
即5：AD=0.4：5，
解得AD=62.5，
BD=AD−AB=62.5−5=57.5(尺)．
故选：D．
易得△ABF∽△ADE，列出比例式即可求解．
本题考查相似三角形的性质，对应边成比例，列出比例式是解题的关键．
17.【答案】不变 圆
【解析】解：某一几何体在投影面P前的摆放位置确定以后，改变它与投影面P的距离，其正投影的大小不变，
底面与投影面平行的圆锥体的正投影是圆．
故答案为：不变，圆．
几何体的正投影只与几何体相对于投影面的倾斜程度有关，与两者间距离无关可知答案；确定底面与投影面平行的圆锥体的正投影找到圆锥的主视图即可．
本题考查了平行投影，解题的关键是熟记概念并灵活运用，由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．
18.【答案】245 8
【解析】解：∵AB=AC=10，BC=16，
∴∠B=∠C，
∵∠ADE=∠B=α，
∴∠BAD=180°−∠B−∠ADB=180°−α−∠ADB，∠CDE=180°−∠ADE−∠ADB=180°−α−∠ADB，
∴∠BAD=∠CDE，
∴△BAD∽△CDE，
∴BDCE=ABDC，
当BD=4时，则DC=BC−BD=16−4=12，
∴CE=BD⋅DCAB=4×1210=245；
当∠AED=90°时，则∠DEC=180°−∠AED=90°，
∵△BAD∽△CDE，
∴∠ADB=∠DEC=90°，
∴AD⊥BC，
∴BD=CD=12BC=12×16=8，
故答案为：245，8．
由∠ADE=∠B=α，得∠BAD=∠CDE=180°−α−∠ADB，即可证明△BAD∽△CDE，得BDCE=ABDC，当BD=4时，则DC=BC−BD=12，则CE=4×1210=245；当∠AED=90°时，则∠DEC=180°−∠AED=90°，所以∠ADB=∠DEC=90°，因为AB=AC，AD⊥BC，所以BD=CD=12BC=8，于是得到问题的答案．
此题重点考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质等知识，根据∠ADE=∠B=α，推导出∠BAD=∠CDE=180°−α−∠ADB并且证明△BAD∽△CDE是解题的关键．
19.【答案】 7； 217
【解析】
【分析】
本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型.如图，连接AD，DE，证明∠ADO=90°是解决问题的关键.先证出△EOD是等边三角形，得出DE=EO=EA=1，从而得出∠ADO=90°，利用勾股定理求出AD，AB的长，再根据平行线的性质得出∠BAC=∠ABD，然后利用锐角三角函数的定义即可求解．
【解答】
解：如图，连接AD，DE，
∵OE=OD=1，∠EOD=60°，
∴△EOD是等边三角形，
∴DE=EO=EA=1，
∴∠ADO=90°，
∴AD= AE2−OD2= 22−12= 3，
∴AB= AD2+BD2= ( 3)2+22= 7，
∵AC//OB，
∴∠BAC=∠ABD，
∴sin∠BAC=sin∠ABD=ADAB= 3 7= 217．
故答案为 7； 217．
20.【答案】解：(1)∵l1//l2//l3．
∴DEEF=ABBC=48=12，
∴DE=12EF=6；
(2)∵l1//l2//l3．
∴DEEF=ABBC=23，
∴BC=32AB=32×6=9，
∴AC=AB+BC=6+9=15．
【解析】(1)由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出DE的长；
(2)由平行线分线段成比例定理得出比例式，求出BC的长，即可得出AC的长．
本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．
21.【答案】解：(1)∵( 3⋅tanA−3)2≥0，|2csB− 3|≥0，
∴当( 3⋅tanA−3)2+|2csB− 3|=0时，则 3⋅tanA−3=0，2csB− 3=0．
∴tanA= 3，csB= 32．
∴∠A=60°，∠B=30°．
∴∠C=180°−(∠A+∠B)=180°−(60°+30°)=90°．
∴△ABC是直角三角形．
(2)如图．

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，
∴BC=AB⋅sinA=10× 32=5 3，AC=AB⋅csA=10×12=5．
【解析】(1)根据偶次方非负性、绝对值的非负性、特殊三角函数值解决此题．
(2)根据特殊角的三角函数值解决此题．
本题主要考查偶次方的非负性、绝对值的非负性、特殊角的三角函数值，熟练掌握偶次方的非负性、绝对值的非负性、特殊角的三角函数值是解决本题的关键．
22.【答案】解：设CD长为x米，
∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA，
∴MA//CD//BN，
∴EC=CD=x米，
∴△ABN∽△ACD，
∴BNCD=ABAC，即1.75x=1.25x−1.75，
解得：x=6.125．
经检验，x=6.125是原方程的解，
6.125≈6.1．
答：路灯的高CD的长约为6.1米．
【解析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据已知条件得到平行线，从而证得相似三角形．
根据AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA得到MA//CD//BN，从而得到△ABN∽△ACD，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式求解即可．
23.【答案】解：∵∠AEB=90°，AB=200米，坡度为1： 3，
∴tan∠ABE=1 3= 33，
∴∠ABE=30°，
∴AE=12AB=100米，
∵AC=20米，
∴CE=80米，
∵∠CED=90°，斜坡CD的坡度为1：4，
∴CEDE=14，
即80ED=14，
解得，ED=320，
∴CD= 802+3202=80 17(米)，
答：斜坡CD的长是80 17米．
【解析】根据题意和锐角三角函数可以求得AE的长，进而得到CE的长，再根据锐角三角函数可以得到ED的长，最后用勾股定理即可求得CD的长．
本题考查解直角三角形的应用−坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．
24.【答案】2 8
【解析】解：(1)∵M(2,m)在直线y=−x+4的图象上，
∴m=−2+4=2，
∴M(2,2)，
∵点N与点M关于y轴对称，
∴N(−2,2)，
当x=0时，y=4，当y=0时，x=4，
∴OA=OB=4，
∴S△BOA=12OA⋅OB=12×4×4=8．
故答案为：2，8；
(2)∵M(2,2)，N(−2,2)，
∴MN=4，
∵线段MN被反比例函数y=kx的图象分成两部分，并且这两部分长度的比为1：3，且交点为D，
①当DNDM=13时，即：DNMN=14，
∴ND=1，
∴D(−1,2)，
∴k=−1×2=−2，
②当DNDM=3时，即：DMMN=14，
∴DM=14MN=14×4=1，
∴D(1,2)，
∴k=1×2=2．
故k的值为−2或2．
(1)利用点在函数图象上的特点求出m，以及平面直角坐标系中三角形的面积的计算方法(利用坐标轴或平行于坐标轴的直线上的边作为底)．
(2)线段MN被反比例函数y=kx的图象分成两部分，并且这两部分长度的比为1：3，且交点为D，分两种情况DNDM=13或DNDM=31计算即可．
本题是反比例函数和一次函数的综合应用，主要考查了点在函数图象上的特点，如求出m，坐标系中计算三角形面积的方法，利用坐标求两点之间的距离，如计算ND，MD，本题的关键是确定两点的距离，并注意运用分类讨论的思想．
25.【答案】解：∵CD⊥FB，AB⊥FB，
∴CD//AB
∴△CGE∽△AHE
∴CGAH=EGEH
即：CD−EFAH=FDFD+BD
∴3−1.6AH=22+15
∴AH=11.9
∴AB=AH+HB=AH+EF=11.9+1.6=13.5(m)．
【解析】利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求AB的长度分成了2个部分，AH和HB部分，其中HB=EF=1.6m，剩下的问题就是求AH的长度，利用△CGE∽△AHE，得出CGAH=EGEH，把相关条件代入即可求得AH=11.9，所以AB=AH+HB=AH+EF=13.5m．
主要用到的解题思想是把梯形问题转化成三角形问题，利用三角形相似比列方程来求未知线段的长度．
26.【答案】解：(1)设Q=m+kx(m为基本销售量)，依题意得：m+k5=580m+k8=400，
解得：m=100k=2400，
∴Q=100+2400x(x≤10)；
(2)当Q=600时有：100+2400x=600，
解得：x=4.8，
∴售价为4.8元．
(3)依题意得：月销售额=Q⋅x=100x+2400，
∵100>0，
∴Q随x的增大而增大，
则当x=10时，月销售额最大，最大值为3400元．
【解析】(1)设Q=m+kx(m为基本销售量)，将(5,580)、(8,400)代入求解可得；
(2)求出Q=600时x的值即可得；
(3)根据月销售额=Q⋅x=100x+2400且x≤10可得．
本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出函数解析式．
售价x(元/件)
5
8
商品的销售量Q(件)
580
400