2024高考数学第一轮复习：4.2 同角三角函数的基本关系及三角函数的诱导公式（解析版）

4.2  同角三角函数的基本关系及三角函数的诱导公式

思维导图

知识点总结

1.同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.

(2)商数关系：＝tan α.

2.三角函数的诱导公式

[常用结论]

1.同角三角函数关系式的常用变形

(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.

2.诱导公式的记忆口诀

“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.

3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.

典型例题分析

考向一 同角三角函数基本关系式的应用

例1 (1)已知cos α＝－，则13sin α＋5tan α＝________.

答案　0

解析　∵cos α＝－＜0且cos α≠－1，

∴α是第二或第三象限角.

①若α是第二象限角，

则sin α＝＝＝，

∴tan α＝＝＝－.

此时13sin α＋5tan α＝13×＋5×＝0.

②若α是第三象限角，

则sin α＝－＝－＝－，

∴tan α＝＝＝，

此时，13sin α＋5tan α＝13×＋5×＝0.

综上，13sin α＋5tan α＝0.

(2)已知＝－1，则＝________；sin2α＋sin αcos α＋2＝________.

答案　－　

解析　由已知得tan α＝，

所以＝＝－.

sin2α＋sin αcos α＋2＝＋2＝＋2＝＋2＝.

(3)(多选)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，则下列结论正确的是(　　)

A.sin θ＝  B.cos θ＝－

C.tan θ＝－  D.sin θ－cos θ＝

答案　ABD

解析　由题意知sin θ＋cos θ＝，

∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，

∴2sin θcos θ＝－＜0，

又∵θ∈(0，π)，∴＜θ＜π，

∴sin θ－cos θ＞0，

∴sin θ－cos θ＝＝＝＝，

∴sin θ＝，cos θ＝－.

∴tan θ＝－，∴A，B，D正确.

感悟提升　同角三角函数关系式的应用方法

(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可实现角α的弦切互化.

(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，当利用“平方关系”公式求平方根时，会出现两解，需根据角所在的象限判断角的符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论.

考向二 诱导公式的应用

例2 (1)(2023·长沙调研)已知sin＝，则cos＝(　　)

A.  B.－ 

C.  D.±

答案　C

解析　∵sin＝，

∴cos＝cos＝sin＝.故选C.

(2)设f(α)＝

(1＋2sin α≠0)，则f＝________.

答案　

解析　因为f(α)＝

＝＝＝，

所以f＝＝＝＝.

感悟提升　1.诱导公式的应用步骤

任意负角的三角函数任意正角的三角函数0～2π内的角的三角函数锐角三角函数.

2.诱导公式的两个应用

(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.

(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.

考向三 同角关系式和诱导公式的综合应用

例3 已知f(α)＝.

(1)化简f(α)；

(2)若α＝－，求f(α)的值；

(3)若cos＝，α∈，求f(α)的值.

解　(1)f(α)＝

＝＝－cos α.

(2)若α＝－，

则f(α)＝－cos＝－cos ＝－.

(3)由cos＝，

可得sin α＝－，

因为α∈，所以cos α＝－，

所以f(α)＝－cos α＝.

感悟提升　1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.

2.注意角的范围对三角函数符号的影响.

基础题型训练

一、单选题

1．下列等式恒成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据三角函数诱导公式逐项判断.

【详解】；；；

.

故选：D

【点睛】本题考查三角函数诱导公式，属于基础题.

2．下列命题中，命题正确的是（    ）

A．终边相同的角一定相等

B．第一象限的角是锐角

C．若，则角的三角函数值等于角的同名三角函数值

D．半径为，的圆心角所对的弧长为

【答案】C

【分析】根据角的概念的推广、弧度的定义和三角函数的定义，结合代特值即可得到答案.

【详解】根据三角函数的定义，易知C正确，

对A，终边相同，故A错误；

对B，在第一象限，但不是锐角，故B错误；

对D，弧长应该为弧度乘以半径，故D错误.

故选：C.

3．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得的值.

【详解】因为，则 .

故选：D.

4． 的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据诱导公式化简，利用三角函数特殊值即可得答案.

【详解】.

故选：A.

5．已知角的终边交单位圆于点A，将A绕原点顺时针旋转至，则的坐标为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】作出简图，由三角函数定义及诱导公式计算即可.

【详解】如图所示，易知B为100°与单位圆的交点，

由三角函数的定义可知，

由诱导公式化简可得.

故选：C

6．如果，且，那么的值是 (　　)

A． B．或

C． D．或

【答案】A

【详解】将所给等式两边平方，得，

∵，s，

，

，

∴.

故选A.

二、多选题

7．（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】利用诱导公式确定正确答案.

【详解】，A错误；

，B正确；

，C错误；

，D正确.

故选：BD

8．（多选）若，的终边关于轴对称，则下列等式成立的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】利用对称性，求出，间的关系，再利用诱导公式，即可得到与，与间的关系，从而得出结果.

【详解】因为，的终边关于轴对称，所以，

所以根据诱导公式可知，，

，

所以选项AB正确，选项CD错误.

故选：AB.

三、填空题

9．已知，且，则_________.

【答案】

【分析】根据诱导公式可得，再利用同角三角函数的基本关系即可求解.

【详解】

故答案为：

【点睛】本题考查诱导公式、同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基础题.

10．已知，则___________.

【答案】

【分析】由可得，即，由同角三角函数的平方关系和商数关系，即得解

【详解】由题意，

故答案为：

11．已知，则_________.

【答案】

【分析】利用诱导公式对方程进行化简，再解关于的方程即可.

【详解】原式，解得：.

故答案为：.

【点睛】本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.

12．已知函数是定义在上的奇函数，对都有成立，当且时，有．给出下列命题：

（1）

（2）在[-2，2]上有5个零点

（3）点（2014，0）是函数的一个对称中心

（4）直线是函数图像的一条对称轴．

则正确的是________．

【答案】（1）（2）（3）

【分析】（1）利用赋值法，令，直接求得；（2）直接判断出-2，-1，0，1，2为的零点；

（3）转化得到，即可判断出点（2014，0）是函数的一个对称中心，可判断出（3）正确；（4）错误.

【详解】试题分析：（1）由题意，令，则，即，则，

（2）由题意，，，，，则在[-2，2]上有5个零点.

（3）由，可知以2为周期，所以，，

所以，所以点是函数的一个对称中心，

（4）由于（3）正确，故（4）不正确．

故答案为：（1）（2）（3）

四、解答题

13．设，求.

【答案】

【分析】先利用诱导公式和同角三角函数基本关系式化简，再代入求值.

【详解】由

得

则.

【点睛】本题考查了诱导公式和同角三角函数基本关系式，先化简再代值是解决问题的关键.

14．已知函数，求的值.

【答案】

【分析】代入，利用诱导公式和特殊角的三角函数值计算即得解

【详解】由题意，

15．已知，求下列各式的值．

（1）；（2）．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据题意，结合同角三角函数的关系，可得，根据的范围，可得，即可得答案.

（2）由（1）可得的值，代入所求，即可得答案.

【详解】（1）因为，

所以，即，

所以．

因为，

又，所以，则，

所以．

（2）由已知条件及（1），可知，解得，

所以．

16．（1）已知，求的值；

（2）已知，，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用诱导公式和同角三角函数的商数关系即可求解；

（2）利用诱导公式和同角三角函数的基本关系即可求解.

【详解】由，

得，

所以，

故原式

.  

由题意，得，.

 ①当时，，，为第二象限的角.

原式；

②当时，，，∴，

∵，∴.

原式（）.

综上所述， .

提升题型训练

一、单选题

1．已知，则的值为（    ）

A． B．－

C． D．－

【答案】D

【分析】根据诱导公式直接进行求解即可.

【详解】，

故选：D

2．的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】用诱导公式化负角为正角，化大角为小角，最终化为锐角的三角函数．

【详解】．

故选：A.

【点睛】本题考查诱导公式，掌握三角函数诱导公式是解题基础．

3．若sin2x>cos2x，则x的取值范围是（    ）

A．{x|2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z}

B．{x|2kπ＋<x<kπ＋，k∈Z}

C．{x|kπ－<x<kπ＋，k∈Z}

D．{x|kπ＋<x<kπ＋，k∈Z}

【答案】D

【分析】由题设可得|sin x|>|cos x|，单位圆中画出对应角的范围，即知x的取值范围.

【详解】sin2x>cos2x⇔|sin x|>|cos x|.

在直角坐标系中作出单位圆及直线y＝x及y＝－x.如图，

根据三角函数线的定义知角x的终边落在图中的阴影部分，不含边界.

故选：D.

4．化简：（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用三角函数诱导公式、同角三角函数的基本关系化简求值即可.

【详解】,

故选：D

5．在中的角满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先利用诱导公式得到，利用平方关系得到，再利用同角三角函数关系式中的商关系求得，得到结果.

【详解】由，得，

由，得，

所以，

故选：A.

【点睛】该题考查的是有关角的三角函数值的求解问题，涉及到的知识点有诱导公式，同角三角函数关系式，属于简单题目.

6．已知是第三象限角，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意得，再利用诱导公式化简即可得到答案.

【详解】是第三象限角，若，由，得

故选：C.

二、多选题

7．设为第一象限角,,则（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】BD

【分析】首先由题意得是第一象限角,所以,再利用诱导公式和同角三角函数关系式对选项逐个计算确定正确答案.

【详解】由题意得,

则,

若在第四象限,则,

所以也是第一象限角,即,,A项错误;

,B项正确;

,C项错误;

,D项正确.

故选:BD.

8．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点（cos，sin），，则下列说法正确的是（    ）

A．线段与的长均为1 B．线段的长为1

C．若点，关于y轴对称，则 D．当时，点，关于x轴对称

【答案】ACD

【分析】AB选项，根据勾股定理进行求解；C选项，根据点，关于y轴对称，得到，，进而求出；D选项，代入后利用诱导公式进行求解，得到答案.

【详解】，同理可求，A正确；

由题意得：，由勾股定理得：，B错误；

若点，关于y轴对称，则，，则，，解得：，C正确；

当时，，即，即，关于x轴对称，D正确.

故选：ACD

三、填空题

9．__________.

【答案】

【分析】运用诱导公式计算.

【详解】

；

故答案为： .

10．若,则____________

【答案】

【详解】试题分析：

考点：同角间三角函数关系

11．已知，，则___________．

【答案】

【详解】试题分析：由得，所以，因为，所以，由得，所以．

考点：同角间的三角函数关系．

12．在中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，，，，则的面积是________.

【答案】

【分析】由，遇角化边后可求得，由正弦定理可求的，再由三角函数的知识，可求得，再代即可求解.

【详解】解：由题意：，，

，

又，，

，，

，，

，，，

，

故答案为：

【点睛】本题主要考查解三角形，同角三角函数的关系等，考查理解辨析能力以及求解运算能力，属于中档题.

四、解答题

13．确定下列三角函数值的符号：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)；

(5)；

(6).

【答案】(1)负

(2)负

(3)负

(4)正

(5)负

(6)负

【分析】由角的终边的位置和三角函数的符号规律逐个判断即可．

(1)

解：因为为第三象限角，所以为负；

(2)

解：因为为第二象限角，所以为负；

(3)

解：因为为第四象限角，所以为负；

(4)

解：因为为第一象限角，所以为正；

(5)

解：因为为第三象限角，所以为负；

(6)

解：因为为第二象限角，所以为负．

14．已知，求下列各式的值

(1)；

(2)．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用同角三角函数基本关系，分子分母同除 将弦化切，代入求解即可．

（2）利用同角三角函数基本关系式，将原式看做分母为的分数，利用平方关系，分子分母同除将弦化切，代入求解即可．

【详解】（1）解：因为，

所以；

（2）解：

15．已知函数的表达式为，对于任何实数x，都有意义，求的范围并判断所在的象限．

【答案】，在第一或二象限．

【分析】由已知，恒成立，当不满足题意，当时，由即可求解.

【详解】由已知，恒成立．

①当时，，不合要求；

②当时，

，

解得.

从而得：在第一或二象限．

16．(1)已知是关于x的方程的一个实根，且α是第三象限角，求的值；

(2)已知，且，求的值.

【答案】(1)；(2).

【分析】(1)由已知方程求，利用同角关系将转化为由表示的式子，由此可求其值，(2)由条件结合平方关系求，，由此求结果.

【详解】(1)∵是关于x的方程的一个实根，且α是第三象限角，

∴或（舍去），

∴.

(2)由题设，，解得，

∴.