2023年河南省郑州市金水区一八初级中学中考数学三模试卷（含解析）

2023年河南省郑州市金水区一八初级中学中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  一个几何体的三视图如图所示，则该几何体为(    )

A. 圆柱
B. 圆锥
C. 四棱柱
D. 四棱锥

3.  年至月，我国取得了万亿人民币的进出口贸易万亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.  

5.  将一把直尺和一块含角的三角板按如图所示的位置放置，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  下列说法中，正确的是(    )

A. 将一枚硬币抛掷次，一定有次正面朝上
B. 调查某校七年级一班学生的视力情况适合采用全面调查
C. 方差是反映一组数据波动大小的一个量，方差越大，波动越大；反之不成立
D. 可能性是的事件在一次试验中一定不会发生

7.  为了准备第八届中国诗歌节，某校组织了一次诗歌比赛，有名女生和名男生获得一等奖，现准备从这名获奖学生中随机选出名学生进行培训，将来代表学校参加第八届中国诗歌节比赛，则选出的结果是“一男一女”的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  不等式组的解集在数轴上表示为(    )

A.  B.
C.  D.

9.  为了满足师生的阅读要求，某校图书馆的藏书逐年增加，从年年底至年年底该校的藏书由万册增加到万册，设某校年年底至年年底藏书的年平均增长率为，则可列方程为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，，是半径为的上两点，且，点从点出发，在上以每秒一个单位长度的速度按逆时针方向匀速运动，回到点运动结束，设运动时间为单位：，弦的长为，那么下列图象中可能表示与函数关系的是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  请你写出一个大于而小于的无理数：______．

12.  若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______ ．

13.  如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常随机闭合开关，，中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是______ ．

14.  如图，在平面直角坐标系中，已知点，，把绕点按顺时针方向旋转，点，的对应点分别是，，连接当点在第二象限内，轴时，点的对应点的坐标为______ ．

15.  如图，在矩形中，，，点为边上的一个动点，将沿折叠得到，为点关于对称时对称点的轨迹，当线段的长度最短时，则图中阴影部分的面积是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算与化简：
；
先化简，再求值：，其中．

17.  本小题分
为参加全国防震减灾知识竞赛测试，某中学举办了校级预赛，现从八、九两个年级中各随机抽取名学生的成绩百分制进行统计，将这名学生的成绩进行了整理与分析，过程如下：
收集数据：
八年级；
九年级；
整理数据：

分析数据：

应用数据：
填空： ______ ， ______ ， ______ ；
你认为哪个年级学生成绩的整体水平更好，请说明理由；
若该校九年级共有名学生参加本次预赛，请你估计该校九年级学生本次成绩在分含分但不含分的人数．

18.  本小题分
如图，在中，，点为边上一点，以为半径的与相切于点，分别交，边于点，．
求证：平分；
若，，求的长．

19.  本小题分
河南省登封市境内的嵩岳寺塔是中国现存年代最久的佛塔，堪称世界上最早的筒体建筑某校数学社团的同学利用所学知识来测量嵩岳寺塔的高度，如图，是嵩岳寺塔附近不远处的某建筑物，他们在建筑物底端处利用测角仪测得嵩岳寺塔顶端的仰角为，在建筑物顶端处利用测角仪测得嵩岳寺塔底端的俯角为，已知建筑物的高为米，，，点，在同一水平线上求嵩岳寺塔的高度结果精确到参考数据：，，．

 

20.  本小题分
如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点．
求反比例函数和一次函数的解析式；
求的面积；
直接写出不等式的解集．

21.  本小题分
某文具店准备购进，两款精美笔记本，进货价和销售价如下表：注：利润销售价进货价

文具店第一次用元购进、两款笔记本共本，求两款笔记本分别购进的本数；
第一次购进的精美笔记本售完后，该文具店计划再次购进、两款精美笔记本共本进货价和销售价都不变，且进货总价不高于元应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？

22.  本小题分
在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，对称轴为直线．
求抛物线的解析式；
当时，求的取值范围；
抛物线与轴交于点，直线上有一动点，将点向下平移个单位长度，得到点，若抛物线与线段只有一个公共点，请直接写出点的横坐标的取值范围．

23.  本小题分
在中，，，点为边的中点，以为一边作正方形．
如图，点恰好与点重合，则线段与的数量关系为______；
在的条件下，
如果正方形绕点旋转，连接、、，线段与的数量关系有无变化？请仅就图的情形给出证明；
正方形绕点旋转的过程中，当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出线段的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为，
所以的相反数是，
故选：．
根据互为相反数的两个数的和为，求出答案即可．
本题考查了相反数的定义和性质，互为相反数的两个数的和为．
 

2.【答案】 

【解析】解：几何体的主视图和左视图是两个全等的等腰三角形，
该几何体是一个锥体，
又俯视图是一个圆，
该几何体是一个圆锥．
故选：．
根据一个几何体的主视图和左视图都是等腰三角形，可判断该几何体是锥体，进而根据俯视图的形状，判断该几何体底面形状，得到答案．
本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥体；如果有两个视图为矩形，该几何体一定柱体．其底面由第三个视图的形状决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：万亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、，原计算正确，故此选项符合题意；
故选：．
根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方的运算法则、完全平方公式、合并同类项法则等知识进行判断即可．
本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方、完全平方公式、合并同类项．解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则、幂的乘方的运算法则、完全平方公式、合并同类项法则等知识．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
，
，
故选：．
根据直角三角形的性质可以得到的度数，然后根据对顶角的性质和平行线的性质，即可求得的度数．
本题考查平行线的性质、直角三角形的性质、对顶角的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

6.【答案】 

【解析】解：、将一枚硬币抛掷次，不一定有次正面朝上，故A不符合题意；
B、调查某校七年级一班学生的视力情况适合采用全面调查，故B符合题意；
C、方差是反映一组数据波动大小的一个量，方差越大，波动越大；反之也成立，故C不符合题意；
D、可能性是的事件在一次试验中也可能会发生，故D不符合题意；
故选：．
根据全面调查与抽样调查，方差，概率的意义，逐一判断即可解答．
本题考查了全面调查与抽样调查，方差，概率的意义，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的情况，其中选出的结果是“一男一女”的情况有种，
选出的结果是“一男一女”的概率是，
故选：．
画树状图，共有种等可能的情况，其中选出的结果是“一男一女”的情况有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

8.【答案】 

【解析】解：解不等式得：，
解不等式得：，
解集在数轴上表示为：．
故选：．
分别把两条不等式解出来，然后判断哪个选项表示的正确．
本题考查不等式组的解法和在数轴上的表示法，如果是表示大于或小于号的点要用空心，如果是表示大于等于或小于等于号的点用实心．
 

9.【答案】 

【解析】解：依题意得：．
故选：．
利用年年底该校的藏书量年年底该校的藏书量年平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，设过的直径为，
由图得，当点在弧上时，随的增大而减小；
当点在弧上时，随的增大而增大；
当点在弧上时，随的增大而减小；
的变化是先减小后增大再减小，
故选：．
由图得，当点在弧上时，随的增大而减小；当点在弧上时，随的增大而增大；当点在弧上时，随的增大而减小；即可判断答案．
本题考查了动点问题函数图象的性质的应用，由图得函数的变化规律及圆的性质的应用是解题关键．
 

11.【答案】答案不唯一 

【解析】解：，
．
故答案为：．
依据算术平方根的性质求解即可．
本题主要考查的是算术平方根的性质，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得．
故答案为：．
根据判别式的意义得到，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

13.【答案】 

【解析】解：把开关，，分别记为、、，
画树状图如图：

共有种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有种，
能让两个小灯泡同时发光的概率为，
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

14.【答案】 

【解析】解：作轴于，轴于，
由题意可知，，，
轴，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
，，
点的对应点的坐标为
故答案为：
作轴于，轴于，利用勾股定理求得，然后通过证得∽，求得，，即可得到点的对应点的坐标为
此题考查的是坐标与图形变化旋转，涉及到勾股定理和相似三角形的判断和性质，解题关键是构造一线三等角的相似来求解．
 

15.【答案】 

【解析】解：将沿折叠得到，为点关于对称时对称点的轨迹，
≌，点的运动轨迹是圆弧，
当线段的长度最短时，、、三点共线，如图：

，，
，
，
，
设，则，
在中，，
代入解得，
，
，
，
，
阴影部分的面积．
故答案为：，
由题意知≌，点的运动轨迹是圆弧，当线段的长度最短时，、、三点共线，则图中阴影部分的面积是，求出即可解答．
本题考查翻折的性质，三角形的面积，扇形的面积，不规则图形的面积，熟练掌握以上知识是解题关键．
 

16.【答案】解：

；



，
当时，原式． 

【解析】先化简，再算加减法即可；
先算括号内的式子，再算括号外的乘法即可．
本题考查分式的化简求值、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

17.【答案】     

【解析】解：由题意可知，，，
把九年级的数据从小到大频率，排在中间的两个数分别是，，故中位数；
故答案为：，，；
八年级学生成绩的整体水平更好；理由如下：
八年级和九年级学生成绩的平均数相同，均为，九年级学生成绩的中位数和众数都小于八年级学生成绩的中位数和众数，
八年级学生成绩的整体水平更好；
人．
答：估计该校九年级学生本次成绩在分含分但不含分的人数约有人．
根据题目中的数据，可以得到、的值，根据中位数的定义可得的值；
比较两个年级的平均数、众数和中位数可得答案；
利用样本估计总体即可．
本题考查统计图表、中位数、众数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

18.【答案】证明：连接，则，
，
与相切于点，
，
，
，
，
，
平分．
解：如图，连接，
在中，，，
，

是直径，
．
，
由知．
∽，
，即：，
． 

【解析】连接，则，由切线的性质得，可证明，则，所以，即平分；
连接，在中，，，则，得出，又因是直径，得出则，由知推出∽，则，即：，则．
此题重点考查切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

19.【答案】解：，，
，
在中，，米，
米，
在中，，
米，
嵩岳寺塔的高度约为米． 

【解析】先根据垂直定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

20.【答案】解：将代入得，
解得，
．
把代入得，
解得，
点坐标为．
把，代入
得，
解得，
．
把代入得，
，

．
或． 

【解析】将点坐标代入反比例函数解出，再将坐标代入反比例函数解析式得到的坐标，待定系数法得到一次函数解析式即可；
利用解析式求出，根据计算即可；
根据图象直接写出不等式的解集即可．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用函数图象可直接得到不等式的解集．
 

21.【答案】解：设购进款笔记本本，款笔记本本，
依题意得：，
解得：．
答：购进款笔记本本，款笔记本本．
设购进本款笔记本，则购进本款笔记本，
依题意得：，
解得：．
设再次购进的、两款精美笔记本全部售出后获得的总利润为元，
则．
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值，
此时．
答：当购进本款笔记本，本款笔记本时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是元． 

【解析】设购进款笔记本本，款笔记本本，列出二元一次方程组求解即可．
设购进件款钥匙扣，总利润为元，先求出的范围，再列出关于的函数关系式，确定最值即可得结论．
本题考查了二元一次方程组以及一次函数的应用，读懂题意列出方程组，函数关系式并确定最值是解题关键．
 

22.【答案】解：抛物线的对称轴为直线，
将点代入中，得，
由，解得，，
抛物线的解析式为；
，
抛物线开口向上，顶点坐标为，
当时，，
，
当时，取最大值，最大值为，
当时，的取值范围是；
如图：

在中，令得，
，
由，得直线解析式为，
设，则，
当在抛物线上时，
，
解得或，
由图可知，当或时，线段与抛物线只有一个交点，
或． 

【解析】由已知可得，，解出，的值即得抛物线的解析式为；
由，知当时，，当时，取，故当时，的取值范围是；
求出直线解析式为，设，则，当在抛物线上时，，得或，再结合图象可得或．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，平移变换等，解题的关键是数形结合思想的应用．
 

23.【答案】 

【解析】解：如图，，，
，
四边形是正方形，
，，
，
，，
点与点重合，
，，，
∽；
，
，
，
．
故答案为．
无变化．
理由如下：在中，．
，
，
，
在正方形中，，
在中，，
，
，
，
，
∽，
，
，
线段与的数量关系无变化．
或．
如图，

点与点重合，四边形是正方形，
；
如图，四边形是平行四边形，

，
四边形是正方形，
．
如图，四边形是平行四边形，则是等腰直角三角形，

，
．
综上所述，线段的长为或．
当点与点重合时，证明和都是等腰直角三角形，所以它们的对应角相等，可得∽，可推出；
由和都是等腰直角三角形可得，再由，可证明∽，可推出仍然成立；
分两种情况画出图形，由平行四边形的性质及勾股定理可求出的长．
此题是几何变换综合题，考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，证明∽是解题的关键．