云南省2020年中考数学试题（含详解）

2020年云南省初中学业水平考试数学试题卷

一、填空题（本大题共6小题）

1.中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家．某仓库运进面粉7吨，记为吨，那么运出面粉8吨应记为___________吨．

【答案】-8

【解析】

【分析】

根据正负数的意义，直接写出答案即可．

【详解】解：因为题目运进记为正，那么运出记为负．

所以运出面粉8吨应记为-8吨．

故答案为：-8．

【点睛】本题考查了正数和负数．根据互为相反意义的量，确定运出的符号是解决本题的关键．

2.如图，直线与直线、都相交．若∥，，则___________度．

【答案】54°

【解析】

【分析】

直接根据平行线的性质即可得出结论．

【详解】解：∵直线a∥b，∠1=54°，
∴∠2=∠1=54°．
故答案为：54°．

【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．

3.使有意义的x的取值范围是______．

【答案】

【解析】

二次根式有意义的条件．

【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须．

4.已知一个反比例函数的图象经过点，若该反比例函数的图象也经过点，则___．

【答案】-3

【解析】

【分析】

首先设反比例函数关系式为y＝，根据图象所经过的点可得k＝3×1＝3，进而得到函数解析式，再根据反比例函数图象上点的坐标特点可得m的值．

【详解】设反比例函数关系式为y＝（k≠0），

∵反比例函数图象经过点（1，−1），

∴k＝3×1＝3，

∴反比例函数解析式为y＝，

∵图象经过，

∴-1×m＝3，

解得：m＝−3，

故答案：-3．

【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．

5.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是________．

【答案】1

【解析】

【分析】

根据判别式得到∆=22-4c=0，然后解方程即可．

【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+c=0有两个相等的实数根，

∴∆=22-4c=0，

∴c=1，

故答案为：1．

【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2-4ac：当∆＞0，方程有两个不相等的实数根；当∆=0，方程有两个相等的实数根；当∆＜0，方程没有实数根．

6.已知四边形是矩形，点是矩形的边上的点，且．若，，则的长是___．

【答案】 或

【解析】

【分析】

根据，则在的中垂线上，作的中垂线交于 交于，所以：如图的都符合题意，先证明四边形是菱形，再利用菱形的性质与勾股定理可得答案．

【详解】解： ，

在的中垂线上，

作中垂线交于 交于，

所以：如图的都符合题意，

矩形

四边形是菱形，

，， ，

设 则

的长为： 或

故答案为： 或

【点睛】本题考查的是矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，线段的垂直平分线的性质，掌握以上知识是解题的关键．

二、选择题（本大题共8小题，每小题只有一个正确选项）

7.千百年来的绝对贫困即将消除，云南省的贫困人口脱贫，的贫困村出列，的贫困县摘帽，1500000人通过异地扶贫搬迁实现“挪穷窝”，“斩穷根”（摘自2020年5月11日云南日报）．1500000这个数用科学记数法表示为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成 的形式，其中，n是比原整数位数少1的数．

【详解】解：1500000=1.5×106．

故选C．

【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

8.下列几何体中，主视图是长方形的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由主视图的定义，及简单几何体的主视图可得答案．

【详解】解：圆柱的主视图是长方形，故A正确，

圆锥的主视图是等腰三角形，故B错误，

球的主视图是圆，故C错误，

三棱锥的主视图是三角形，且中间可以看见的棱也要画出来，故D错误，

故选A．

【点睛】本题考查的是三视图中的主视图，掌握简单几何体的主视图是解题的关键．

9.下列运算正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据算术平方根、负整数指数幂、积的乘方、同底数幂的除法法则判断即可．

【详解】A. ，故本选项错误；   

B. ，故本选项错误；

C. ，故本选项错误；   

D. ，故本选项正确；

故选：D．

【点睛】本题主要考查了算术平方根、负整数指数幂、积的乘方、同底数幂的除法法则，牢记法则是解题的关键．

10.下列说法正确的是（    ）

A. 为了解三名学生的视力情况，采用抽样调查

B. 任意画一个三角形，其内角和是是必然事件

C. 甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数分别为、，方差分别为、．若，，，则甲的成绩比乙的稳定

D. 一个抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖20次就有1次中奖

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意抽样调查、必然事件、方差及概率的定义即可依次判断．

【详解】A.为了解三名学生的视力情况，采用全面调查，故错误；

B.在平面内，任意画一个三角形，其内角和是180°是必然事件，故错误；

C.甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数分别为、，方差分别为、．若，，，则甲的成绩比乙的稳定，正确；

D.一个抽奖活动中，中奖概率为，不能表示抽奖20次就有1次中奖，故错误；

故选C．

【点睛】此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是熟知抽样调查、必然事件、方差及概率的定义．

11.如图，平行四边形的对角线，相交于点，是的中点，则与的面积的比等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

先证明OE//BC，再根据△DEO∽△DCB求解即可．

【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BO=DO，

∵是的中点，

∴OE是△DCB的中位线，

∴OE//BC，OE=BC，

∴△DEO∽△DCB，

∴△DEO：△DCB=．

故选B．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．

12.按一定规律排列的单项式：，，，，，，…，第个单项式是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

先分析前面所给出的单项式，从三方面（符号、系数的绝对值、指数）总结规律，发现规律进行概括即可得到答案．

【详解】解： ，，，，，，…，

可记为：

第项为：

故选A．

【点睛】本题考查了单项式的知识，分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题的关键．

13.如图，正方形的边长为4，以点为圆心，为半径画圆弧得到扇形（阴影部分，点在对角线上）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（    ）

A.  B. 1 C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意，扇形ADE中弧DE的长即为圆锥底面圆的周长，即通过计算弧DE的长，再结合圆的周长公式进行计算即可得解．

【详解】∵正方形的边长为4

∴

∵是正方形的对角线

∴

∴

∴圆锥底面周长为，解得

∴该圆锥的底面圆的半径是，

故选：D．

【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式，圆的周长公式，正方形的性质以及圆锥的相关知识点，熟练掌握弧长公式及圆的周长公式是解决本题的关键．

14.若整数使关于的不等式组，有且只有45个整数解，且使关于的方程的解为非正数，则的值为（    ）

A. 或 B. 或 C. 或 D. 或或

【答案】B

【解析】

【分析】

先解不等式组，根据不等式组的整数解确定的范围，结合为整数，再确定的值，再解分式方程，根据分式方程的解为非正数，得到的范围，注意结合分式方程有意义的条件，从而可得答案．

【详解】解：

由①得：

由②得：＞，

因为不等式组有且只有45个整数解，

＜

＜

＜

＜

为整数，

为

，

而 且

又

综上：的值为：

故选B．

【点睛】本题考查的是由不等式组的整数解求参数系数的问题，考查分式方程的解为非正数，易错点是疏忽分式方程有意义，掌握以上知识是解题的关键．

三、解答题（本大题共9小题）

15.先化简，再求值：，其中．

【答案】

【解析】

【分析】

先把分子、分母能分解因式的分解因式，再把除法转化为乘法，约分后再代入求值即可．

【详解】解：

当 上式

【点睛】本题考查的是分式的除法运算，掌握把除法转化为乘法是解题的关键．

16.如图，已知，．求证：．

【答案】见详解．

【解析】

【分析】

根据SSS定理推出△ADB≌△BCA即可证明．

【详解】证明：在△ADB和△BCA中，

∴△ADB≌△BCA（SSS），

∴．

【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，能正确进行推理证明全等是解此题的关键．

17.某公司员工的月工资如下：

经理、职员、职员从不同角度描述了该公司员工的收入情况．设该公司员工的月工资数据（见上述表格）的平均数、中位数、众数分别为、、，请根据上述信息完成下列问题：

（1）___________，_________，_________；

（2）上月一个员工辞职了，从本月开始，停发该员工工资．若本月该公司剩下的8名员工的月工资不变，但这8名员工的月工资数据（单位：元）的平均数比原9名员工的月工资数据（见上述表格）的平均数减小了．你认为辞职的那名员工可能是___________．

【答案】（1）2700；1900；1800；（2）经理或副经理

【解析】

【分析】

（1）图片中信息即可得到平均数、中位数、众数；

（2）根据平均数的定义即可得到辞职的那名员工信息．

【详解】（1）依题意可得平均数k=2700；

中位数m=1900；

n=1800；

故答案为：2700；1900；1800；

（2）∵辞职一人后平均数减小，

∴辞职的员工工资大于平均数，

故辞职的那名员工可能是经理或副经理．

【点睛】此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是熟知平均数、中位数、众数的定义．

18.某地响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展“美化绿色城市”活动，绿化升级改造了总面积为360万平方米的区域．实际施工中，由于采用了新技术，实际平均每年绿化升级改造的面积是原计划平均每年绿化升级改造的面积的2倍，所以比原计划提前4年完成了上述绿化升级改造任务．实际平均每年绿化升级改造的面积是多少万平方米？

【答案】实际平均每年绿化升级改造的面积是90万平方米．

【解析】

【分析】

设原计划每年绿化升级改造的面积是x万平方米，则实际每年绿化升级改造的面积是2x万平方米，根据“实际平均每年绿化升级改造的面积是原计划平均每年绿化升级改造的面积的2倍，所以比原计划提前4年完成了上述绿化升级改造任务”列出方程即可求解．

【详解】解：设原计划每年绿化升级改造的面积是x万平方米，则实际每年绿化升级改造的面积是2x万平方米，根据题意，得：

，

解得：x=45，

经检验，x=45是原分式方程的解，

则2x=2×45=90．
答：实际平均每年绿化升级改造的面积是90万平方米．

【点睛】此题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，根据题意设出适当的未知数，找出等量关系，列方程求解，注意检验．

19.甲、乙两个家庭来到以“生态资源，绿色旅游”为产业的美丽云南，各自随机选择到大理、丽江、西双版纳三个城市中的一个城市旅游．假设这两个家庭选择到哪个城市旅游不受任何因素影响，上述三个城市中的每一个被选到的可能性相同，甲、乙两个家庭选择到上述三个城市中的同一个城市旅游的概率为．

（1）直接写出甲家庭选择到大理旅游的概率；

（2）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，求的值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

【分析】

（1）直接利用概率公式求出甲家庭选择到大理旅游的概率；（2）首先利用列表法表示出所有可能，进而利用概率公式求出答案．

【详解】（1）∵甲家庭随机选择到大理、丽江、西双版纳三个城市中一个城市旅游，

∴甲家庭选择到大理旅游的概率为．

（2）根据题意列表如下：

由表可知，总共有9种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中甲、乙两个家庭选择到大理、丽江、西双版纳三个城市中的同一个城市旅游的结果有3种，所以．

【点睛】本题考查用列表法或树状图法求概率．需要注意的事项是：在用列表法或树状图法求事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性必须相同，并且各种情况出现的可能性不能重复，也不能遗漏．

20.如图，为⊙O的直径，为⊙O上一点，，垂足为，平分．

（1）求证：是⊙O的切线；

（2）若，，求的长．

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

【分析】

（1）连接OC，根据角平分线及等腰三角形的性质得到∠OCD=90°，即可求解；

（2）连接BC，在Rt△ADC中，利用cos∠1=∠CAB=，求出AC=5，再根据在Rt△ABC中，cos∠CAB=，即可求出AB的长．

【详解】（1）证明：连接OC，

∵

∴∠ADC=90°

∴∠1+∠4=90°

∵AC平分∠DAB

∴∠1=∠2

又AO=OC，

∴∠2=∠3

∴∠1=∠3

∴∠4+∠3=90°

即∠OCD=90°

故OC⊥CD，OC是半径

∴是⊙O的切线；

（2）连接BC，

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°

∵AC平分∠DAB，∠1=∠2

在Rt△ADC中，cos∠1=∠CAB=

又AD=4

∴AC=5

在Rt△ABC中，cos∠CAB=

∴AB=．

【点睛】此题主要考查圆的切线的判定与性质综合，解题的关键是熟知切线的判定定理及三角函数的定义．

21.众志成城抗疫情，全国人民在行动．某公司决定安排大、小货车共20辆，运送260吨物资到地和地，支援当地抗击疫情．每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资，这20辆货车恰好装完这批物资．已知这两种货车的运费如下表：

现安排上述装好物资的20辆货车（每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资）中的10辆前往地，其余前往地，设前往地的大货车有辆，这20辆货车的总运费为元．

（1）这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？

（2）求与的函数解析式，并直接写出的取值范围；

（3）若运往地的物资不少于140吨，求总运费的最小值．

【答案】（1）大货车有辆，则小货车有辆；（2）；（3）当时，（元）．

【解析】

【分析】

（1）设20辆货车中，大货车有辆，则小货车有辆，列一元一次方程可得答案；

（2）先确定调往各地的车辆数，根据题意列出函数关系式即可，根据车辆数不能为负数，得到的取值范围；

（3）先求解的范围，再利用函数的性质求解运费的最小值．

【详解】解：（1）设20辆货车中，大货车有辆，则小货车有辆，则

答：20辆货车中，大货车有辆，则小货车有辆．

（2）如下表，调往两地的车辆数如下，

则

由

（3）由题意得：

＞ 所以随的增大而增大，

当时，（元）．

【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式（组）的应用，同时考查了一次函数的性质，掌握以上知识是解题的关键．

22.如图，四边形是菱形，点为对角线的中点，点在的延长线上，，垂足为，点在的延长线上，，垂足为．

（1）若，求证：四边形是菱形；

（2）若，的面积为16，求菱形的面积．

【答案】（1）证明见解析；（2）20．

【解析】

【分析】

（1）由直角三角形斜边中线等于斜边一半和30度直角三角形性质性质可证，即可证明结论；

（2）由根据三角形面积求法可求AE，设AB=x，在，由勾股定理列方程即可求出菱形边长，进而可求面积．

【详解】解：∵四边形是菱形，，

∴，

∵，，

∴，

又∵，

∴，

同理可得：，

∴，即：四边形是菱形；

（2）∵，

∴，

∴，

在四边形是菱形中，设，则

在中，，

∴，

解得，

∴菱形ABCD面积=．

【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，涉及了直角三角形性质和勾股定理．解题关键是灵活运用直角三角形性质得出线段之间发热关系．

23.抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为．点为抛物线上的一个动点．过点作轴于点，交直线于点．

（1）求、的值；

（2）设点在抛物线对称轴上，当的周长最小时，直接写出点的坐标；

（3）在第一象限，是否存在点，使点到直线的距离是点到直线的距离的5倍？若存在，求出点所有的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）b=-2,c=-3;（2）F（1，-2）（3）P（5,12）

【解析】

【分析】

（1）根据待定系数法即可求解；

（2）根据题意求出B点坐标，得到直线BC的解析式，再根据对称性可得P点为直线BC与对称轴的交点，即可求解；

（3）过P点作PG⊥BC的延长线于G点，过D点作DH⊥BC的延长线于H点，得到△DEH∽△PEG，根据题意可得，可设P（m, ）,E（m,m-3）表示出PE,DE，故可求出m的值，故可求解．

【详解】（1）把，代入

得

解得

∴

（2）∵=

∴对称轴为x=1

∵A，

∴A点关于x=1对称的点B为（3,0）

如图，连接BC，

设直线BC解析式为y=px+q

把B（3,0）,C（0，-3）代入得

解得

∴直线BC解析式为y=x-3

当x=1时，y=-2

∴直线BC交对称轴x=1与F（1，-2）

∵C=AC+AF+CF=AC+BF+CF=AC+BC,

故此时的周长最小，F（1，-2）；

（3）存在点使点到直线的距离是点到直线的距离的5倍，

设P（m, ）,

∴E（m,m-3）

如图，过P点作PG⊥BC的延长线于G点，过D点作DH⊥BC的延长线于H点，

∴DH∥PG

∴△DEH∽△PEG

∴

∵PE=-（m-3）=，DE=m-3

∴

解得m1=5，m2=3

m=3时，分母为0不符合题意，故舍去

∴P（5,12）．

【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法、二次函数的图像与性质、对称性及相似三角形的判定与性质．

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