2022-2023学年辽宁省沈阳六十九中八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年辽宁省沈阳六十九中八年级（上）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列不等式一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为(    )

A.  B.
C.  D.

3.  已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是(    )

A. 或 B.  C.  D. 以上答案均不对

4.  如果分式的值为零，那么等于(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，等腰中，，，边的垂直平分线交于点，连接，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于的不等式的解集是(    )

 

A.  B.  C.  D.

8.  如图，将向右平移得到，如果的周长是，那么四边形的周长是(    )

 

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在中，，，将绕点顺时针旋转，，旋转后的对应点分别是和，连接，则的度数是(    )

 

A.  B.  C.  D.

10.  如图，为等边三角形内的一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：
点与点的距离为；可以由绕点逆时针旋转得到；；点到的距离为；，
其中正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  分解因式：______．

12.  若不等式的解集是，则的取值范围是______．

13.  一个等腰三角形的一个角为，则它的顶角的度数是______．

14.  商店为了对某种商品促销，将定价为元的商品，以下列方式优惠销售：若购买不超过件，按原价付款；若一次性购买件以上，超过部分打八折．如果用元钱，最多可以购买该商品的件数是______．

15.  不等式组有个整数解，则的取值范围是______．

16.  如图，王虎将一块长为，宽为的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚顺时针方向木板上点位置变化为，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成角，则点翻滚到位置时共走过的路径长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解不等式组：

18.  本小题分
把下列各式因式分解：

 

19.  本小题分
化简：；
化简并求值：，其中．

20.  本小题分
在如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给的平面直角坐标系中：按要求作图并完成填空：
作出向下平移个单位的，写出点的坐标______；
作出绕点逆时针旋转的，写出点的坐标______．

21.  本小题分
把一个多项式写成两数和或差的平方的形式叫做配方法．
阅读下列有配方法分解因式的过程：




仿照上面方法，将下式因式分解；
读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：



上述分解因式的方法是______ ，共应用了______ 次
若分解，则需应用上述方法______ 次，结果是______ ．
分解因式：为正整数．

22.  本小题分
如图，在中，，点是的中点，点在上．求证： 要求：不用三角形全等的方法

23.  本小题分
某物流公司承接、两种货物运输业务，已知月份货物运费单价为元吨，货物运费单价为元吨，共收取运费元；月份由于油价上涨，运费单价上涨为：货物元吨，货物元吨；该物流公司月承接的种货物和种数量与月份相同，月份共收取运费元．
该物流公司月份运输两种货物各多少吨？
该物流公司预计月份运输这两种货物吨，且货物的数量不大于货物的倍，在运费单价与月份相同的情况下，该物流公司月份最多将收到多少运输费？

24.  本小题分
如图，在中，，点为中点，点为直线上的动点不与点、点重合，连接、，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接．

如图，当点在线段上时，请直接写出线段与的数量关系；
如图，当点在延长线上时，中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
如图，当点在延长线上时，若，，请求出的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、当时，，故本选项错误；
B、当时，分式、均无意义；故本选项错误；
C、当时，；故本选项错误；
D、，
不等式的两边同时减去，不等式仍然成立，即；
故本选项正确．
故选：．
根据不等式的基本性质可知：当时，、、都是错误的，故可判定D正确．
本题主要考查了不等式的基本性质．“”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“”存在与否，以防掉进“”的陷阱．不等式的基本性质：
不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变．
不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．
不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

2.【答案】 

【解析】

【解答】
解：、是整式的乘法运算，故选项错误；
B、右边不是整式乘积的形式，故选项错误；
C、，正确；
D、右边不是整式乘积的形式，故选项错误．
故选：．
【分析】
根据因式分解的定义作答．因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，熟练地掌握因式分解的定义是解题关键．  

3.【答案】 

【解析】解：根据题意得，，
解得，
若是腰长，则三角形的三边长为：、、，
不能组成三角形；
若是底边长，则三角形的三边长为：、、，
能组成三角形，周长为．
故选：．
根据绝对值、算术平方根的非负性求出、的值，再根据是腰长和底边长两种情况讨论求解．
本题考查了绝对值、算术平方根的非负性、等腰三角形的概念及三角形三边关系；根据题意列出方程是正确解答本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：分式的值为零，
，
解得．
故选：．
根据分式的值为的条件及分式有意义的条件列出关于的不等式组，求出的值即可．
本题考查的是分式的值为的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解答此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，无法运用平方差公式分解因式，故此选项错误；
B、，无法运用平方差公式分解因式，故此选项错误；
C、，无法运用平方差公式分解因式，故此选项错误；
D、，符合题意，故此选项正确．
故选：．
直接利用平方差公式分解因式进而得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
又边的垂直平分线交于点，
，
，
．
故选：．
由于，，根据等边对等角可以得到，又边的垂直平分线交于点，根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据等边对等角得到，再根据三角形的内角和求出即可求出的度数．
此题考查了线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质；利用角的等量代换是正确解答本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：当时，，
即不等式的解集为．
故选C．
观察函数图象得到当时，函数的图象都在的图象上方，所以关于的不等式的解集为．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平移的性质有关知识，先根据平移的性质得到，，而，则四边形的周长，然后利用整体代入的方法计算即可．
【解答】
解：向右平移得到，
，，
的周长为，
，
四边形的周长为


．
故选C．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
首先在中根据等边对等角，以及三角形内角和定理求得的度数，然后在直角中利用三角形内角和定理求解．
本题考查了旋转的性质，在旋转过程中根据旋转的性质确定相等的角和相等的线段是关键．
【解答】
解：，
，
在直角中，．
故选A．  

10.【答案】 

【解析】解：连结，如图，
线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，
，，
为等边三角形，
，所以正确；
为等边三角形，
，，
把逆时针旋转后，与重合，与重合，
可以由绕点逆时针旋转得到，所以正确；
，
，
在中，
，
，
为直角三角形，
，
为等边三角形，
，
，所以错误；
，
，
点到的距离为，所以正确；


，所以正确．
故选：．
连结，根据旋转的性质得，，可判断为等边三角形，则，可对进行判断；由为等边三角形得到，，
则把逆时针旋转后，与重合，与重合，于是可对进行判断；再根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形，则可对进行判断；由于
，利用等边三角形的面积公式和直角三角形面积公式计算后可对进行判断．
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
．
先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．平方差公式：．
本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，难点在于需要进行二次分解．
 

12.【答案】 

【解析】分析：本题主要考查不等式的性质，解不等式等知识点的理解和掌握，能根据不等式的性质和解集得出是解此题的关键．
根据不等式的性质和解集得出，求出即可．

解：不等式的解集是，
，
即．
故答案为．
 

13.【答案】或 

【解析】解：当角为顶角，顶角度数即为；
当为底角时，顶角．
故答案为：或．
等腰三角形一内角为，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况．
本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，属于基础题，若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：设可以购买件这样的商品．

解得，
最多可以购买该商品的件数是．
关系式为：件按原价付款数超过件的总钱数．
找到相应的关系式是解决问题的关键．注意能花的钱数应不大于有的钱数．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元一次不等式组的解法及整数解：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分即为不等式组的解集，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
首先确定不等式组的整数解，然后根据只有这三个整数解即可确定．
【解答】
解：不等式组有个整数解，
不等式的整数解是，，．
的取值范围是．
故答案是：．  

16.【答案】 

【解析】解：木块长为，宽为，则对角线长为，
点翻滚到位置时，共走过的路径长是二段弧的弧长之和，第一次的旋转是以为圆心，为半径，旋转的角度是度，第二次是以为圆心，为半径，旋转的角度是度，
根据弧长公式，可得：．
故答案为．
点翻滚到位置时，共走过的路径长是二段弧的弧长之和，第一次的旋转是以为圆心，为半径，旋转的角度是度，第二次是以为圆心，为半径，旋转的角度是度，所以根据弧长公式可得．
本题考查了弧长的计算及矩形的性质，解答本题的关键是找准所旋转的弧的圆心和半径及圆心角的度数，有一定的难度，注意仔细观察．
 

17.【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

18.【答案】解：

；



． 

【解析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
首先提取公因式，再利用平方差公式分解因式得出答案；
首先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
 

19.【答案】解：







；



，
当时，原式． 

【解析】根据分式的混合计算法则求解即可；
先约分，然后根据同分母分式减法化简，最后代值计算即可．
本题主要考查了分式的混合计算，分式的化简求值，正确计算是解题的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：如图所示．．

故答案为．

的即为所求，点的坐标为，
故答案为．
分别作出，，的对应点，，即可．
分别作出，，的对应点，，即可．
本题考查作图旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

21.【答案】提公因式法       

【解析】解：；
上述分解因式的方法是提取公因式，共应用了次；
故答案为：提取公因式，；
若分解，则需应用上述方法次，结果是，
故答案为：，；
由题意知：



．
仿照材料中的方法，利用配方法、平方差公式进行因式分解；
观察可知，材料中采用了提取公因式法分解因式，经过次提取公因式，可得．
本题主要考查分解因式，解题的关键是看懂材料，能够仿照材料中的方法求解．
 

22.【答案】证明：，点是的中点，
，，
． 

【解析】根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：设种货物运输了吨，设种货物运输了吨，
依题意得：，
解之得：．
答：物流公司月运输种货物吨，种货物吨．
设种货物为吨，则种货物为吨，
依题意得：，
解得：，
设获得的利润为元，则，
根据一次函数的性质，可知随着的增大而增大
当取最大值时，
即元．
所以该物流公司月份最多将收到元运输费． 

【解析】设种货物运输了吨，设种货物运输了吨，根据题意可得到一个关于的不等式组，解方程组求解即可；
运费可以表示为的函数，根据函数的性质，即可求解．
本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式组以及一次函数性质的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意列出方程组和不等式即可求解．
 

24.【答案】解：，理由如下：
如图所示，连接，
由旋转知，，，
是等边三角形，
，，
在中，是中点，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；

中结论仍然成立，理由如下：
如图所示，连接，
由旋转知，，，
是等边三角形，
，，
在中，是中点，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；

如图所示，连接，
由旋转知，，，
是等边三角形，
，，
，，
在中，是中点，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
过作于，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
 

【解析】先判断出是等边三角形，进而判断出，进而判断出≌，即可得出结论；
同的方法即可得出结论；
同理证明≌得到，，过作于，先求出，得到，，，即可推出，则，由，得到，由此即可得到答案．
本题考查了几何变换综合题、旋转变换、等边三角形的判定和性质全等三角形的判定和性质，勾股定理，含度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．