2023年辽宁省大连市中考数学真题（含解析）

大连市2023年初中毕业升学考试

数学

注意事项：

1．请在答题卡上作答，在试卷上作答无效．

2．本试卷共五大题，26小题，满分150分．考试时间为120分钟．

参考公式：抛物线的顶点为．

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有1个选项正确）

1. －6的绝对值是（  ）

A. -6 B. 6 C. -  D.

【答案】B

【解析】

【分析】在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．

【详解】负数的绝对值等于它的相反数，所以-6的绝对值是6．

故选：B．

2. 如图所示的几何体中，主视图是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据主视图是从正面看得到的图形解答即可．

【详解】解：从正面看看到的是

，

故选：B．

【点睛】本题考查了三视图的知识，属于简单题，熟知主视图是从物体的正面看得到的视图是解题的关键．

3. 如图，直线，则的度数为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先根据平行线的性质可得，再根据三角形的外角性质即可得．

【详解】解：，

，

，

，

故选：B．

【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．

4. 某种离心机的最大离心力为．数据用科学计数法表示为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．

【详解】解：．

故选：C．

【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．

5. 下列计算正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据零指数幂，二次根式的加法以及二次根式的性质，二次根式的混合运算进行计算即可求解．

【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；   

B. ，故该选项不正确，不符合题意；   

C. ，故该选项不正确，不符合题意；   

D. ，故该选项正确，符合题意；

故选：D．

【点睛】本题考查了零指数幂，二次根式的加法以及二次根式的性质，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．

6. 将方程去分母，两边同乘后式子为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据解分式方程的去分母的方法即可得．

【详解】解：，

两边同乘去分母，得，

故选：B．

【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握去分母的方法是解题关键．

7. 已知蓄电池两端电压为定值，电流与成反比例函数关系．当时，，则当时，的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用待定系数法求出的值，由此即可得．

【详解】解：由题意得：，

∵当时，，

，

解得，

，

则当时，，

故选：B．

【点睛】本题考查了反比例函数，熟练掌握待定系数法是解题关键．

8. 圆心角为，半径为3的扇形弧长为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据弧长公式（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），由此计算即可．

【详解】解：该扇形的弧长，

故选：C．

【点睛】本题考查了扇形的弧长计算公式（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），正确记忆弧长公式是解答此题的关键．

9. 已知抛物线，则当时，函数的最大值为（    ）

A.  B.  C. 0 D. 2

【答案】D

【解析】

【分析】把抛物线化为顶点式，得到对称轴为，当时，函数的最小值为，再分别求出和时的函数值，即可得到答案．

【详解】解：∵，

∴对称轴为，当时，函数的最小值为，

当时，，当时，，

∴当时，函数的最大值为2，

故选：D

【点睛】此题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

10. 某小学开展课后服务，其中在体育类活动中开设了四种运动项目：乒乓球、排球、篮球、足球．为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机选取100名学生进行问卷调查（每位学生仅选一种），并将调查结果绘制成如下的扇形统计图．下列说法错误的是（    ）

A. 本次调查的样本容量为100 B. 最喜欢篮球的人数占被调查人数的

C. 最喜欢足球的学生为40人 D. “排球”对应扇形的圆心角为

【答案】D

【解析】

【分析】A.随机选取100名学生进行问卷调查，数量100就是样本容量，据此解答；

B.由扇形统计图中喜欢篮球的占比解答；

C.用总人数乘以即可解答；

D.先用1减去足球、篮球、乒乓球的占比得到排球的占比，再利用乘以排球的占比即可解答．

【详解】解：A. 随机选取100名学生进行问卷调查，数量100就是样本容量，故A正确；

B.由统计图可知， 最喜欢篮球的人数占被调查人数的，故B正确；

C. 最喜欢足球的学生为（人），故C正确；

D. “排球”对应扇形的圆心角为，故D错误

故选：D．

【点睛】本题考查扇形统计图及其相关计算、总体、个体、样本容量、样本、用样本估计总体等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．

二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）

11. 的解集为_______________．

【答案】

【解析】

【分析】根据不等式的性质解不等式即可求解．

【详解】解：，

解得：，

故答案为：．

【点睛】本题考查了求不等式的解集，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．

12. 一个袋子中装有两个标号为“1”“2”的球．从中任意摸出一个球，记下标号后放回并再次摸出一个球，记下标号后放回．则两次标号之和为3的概率为_______________．

【答案】

【解析】

【分析】先画出树状图，从而可得两次摸球的所有等可能的结果，再找出两次标号之和为3的结果，然后利用概率公式求解即可得．

【详解】解：由题意，画出树状图如下：

由图可知，两次摸球的所有等可能的结果共有4种，其中，两次标号之和为3的结果有2种，

则两次标号之和为3概率为，

故答案为：．

【点睛】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法解题关键．

13. 如图，在菱形中，为菱形的对角线，，点为中点，则的长为_______________．

【答案】

【解析】

【分析】根据题意得出是等边三角形，进而得出，根据中位线的性质即可求解．

【详解】解：∵在菱形中，为菱形的对角线，

∴，，

∵，

∴是等边三角形，

∵，

∴，

∵是的中点，点为中点，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，中位线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．

14. 如图，在数轴上，，过作直线于点，在直线上截取，且在上方．连接，以点为圆心，为半径作弧交直线于点，则点的横坐标为_______________．

【答案】##

【解析】

【分析】根据勾股定理求得，根据题意可得，进而即可求解．

【详解】解：∵，，，

在中，，

∴，

∴，

为原点，为正方向，则点的横坐标为；

故答案为：．

【点睛】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．

15. 我国的《九章算术》中记载道：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问有几人．”大意是：今有人合伙购物，每人出元钱，会多钱；每人出元钱，又差钱，问人数有多少．设有人，则可列方程为：_______________．

【答案】

【解析】

【分析】设有人，每人出8元钱，会多3钱，则物品的钱数为：元，每人出7元钱，又差4钱，则物品的钱数为：元，根据题意列出一元一次方程即可求解．

【详解】设有人，每人出8元钱，会多3钱，则物品的钱数为：元，每人出7元钱，又差4钱，则物品的钱数为：元，

则可列方程为：

故答案为：．

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程是解题的关键．

16. 如图，在正方形中，，延长至，使，连接，平分交于，连接，则的长为_______________．

【答案】

【解析】

【分析】如图，过作于，于，由平分，可知，可得四边形是正方形，，设，则，证明，则，即，解得，，由勾股定理得，计算求解即可．

【详解】解：如图，过作于，于，则四边形是矩形，，

∵平分，

∴，

∴，

∴四边形是正方形，

设，则，

∵，

∴，

∴，即，解得，

∴，

由勾股定理得，

故答案为：．

【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．

三、解答题（本题共4小题，其中17题9分，18、19、20题各10分，共39分）

17. 计算：．

【答案】

【解析】

【分析】先计算括号内的加法，再计算除法即可．

【详解】解：

【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则和顺序是解题的关键．

18. 某服装店的某件衣服最近销售火爆．现有两家供应商到服装店推销服装，两家服装价格相同，品质相近．服装店决定通过检查材料的纯度来确定选购哪家的服装．检查人员从两家提供的材料样品中分别随机抽取15块相同的材料，通过特殊操作检验出其纯度（单位：），并对数据进行整理、描述和分析．部分信息如下：

Ⅰ．供应商供应材料的纯度（单位：）如下：

Ⅱ．供应商供应材料的纯度（单位：）如下：

72  75  72  75  78  77  73  75  76  77  71  78  79  72  75

Ⅲ．两供应商供应材料纯度的平均数、中位数、众数和方差如下：

根据以上信息，回答下列问题：

（1）表格中的_______________，_______________，_______________；

（2）你认为服装店应选择哪个供应商供应服装？为什么？

【答案】（1）75，75，6   

（2）服装店应选择A供应商供应服装.理由见解析.

【解析】

【分析】（1）根据平均数、众数、方差的计算公式分别进行解答即可；

（2）根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可得出答案.

【小问1详解】

解：B供应商供应材料纯度的平均数为，

故，

75出现的次数最多，故众数，

方差

故答案为：75，75，6

【小问2详解】

解：服装店应选择A供应商供应服装.理由如下：

由于A、B平均值一样，B的方差比A的大，故A更稳定，

所以选A供应商供应服装.

【点睛】本题考查了方差、平均数、中位数、众数，熟悉相关的统计量的计算公式和意义是解答此题的关键.

19. 如图，在和中，延长交于， ，．求证：．

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】由，，可得，证明，进而结论得证．

【详解】证明：∵，，

∴，

∵，，，

∴，

∴．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．

20. 为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，求年买书资金的平均增长率．

【答案】

【解析】

【分析】设年买书资金的平均增长率为，根据2022年买书资金2020年买书资金建立方程，解方程即可得．

【详解】解：设年买书资金的平均增长率为，

由题意得：，

解得或（不符合题意，舍去），

答：年买书资金的平均增长率为．

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．

四、解答题（本题共3小题，其中21题9分，22、23题各10分，共29分）

21. 如图所示是消防员攀爬云梯到小明家的场景．已知，，点关于点的仰角为，则楼的高度为多少？（结果保留整数．参考数据：）

【答案】楼的高度为

【解析】

【分析】延长交于点，依题意可得，在，根据，求得，进而根据，即可求解．

【详解】解：如图所示，延长交于点，

∵，

∴

在中，，，

∵，

∴

∴，

答：楼的高度为．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．

22. 为了增强学生身体素质，学校要求男女同学练习跑步．开始时男生跑了，女生跑了，然后男生女生都开始匀速跑步．已知男生的跑步速度为，当到达终点时男、女均停止跑步，男生从开始匀速跑步到停止跑步共用时．已知轴表示从开始匀速跑步到停止跑步的时间，轴代表跑过的路程，则：

（1）男女跑步的总路程为_______________．

（2）当男、女相遇时，求此时男、女同学距离终点的距离．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据男女同学跑步的路程相等，求得男生跑步的路程，乘以，即可求解

（2）根据题意男生从开始匀速跑步到停止跑步的直线解析式为：，求得女生的速度，进而得出解析式为， 联立求得，进而即可求解．

【小问1详解】

解：∵开始时男生跑了，男生的跑步速度为，从开始匀速跑步到停止跑步共用时．

∴男生跑步的路程为，

∴男女跑步的总路程为，

故答案为：．

【小问2详解】

解：男生从开始匀速跑步到停止跑步的直线解析式为：，

设女生从开始匀速跑步到停止跑步的直线解析式为：，

依题意，女生匀速跑了，用了，则速度为，

∴，

联立

解得：

将代入

解得：，

∴此时男、女同学距离终点的距离为．

【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意求得函数解析式是解题的关键．

23. 如图1，在中，为的直径，点为上一点，为的平分线交于点，连接交于点．

（1）求的度数；

（2）如图2，过点作的切线交延长线于点，过点作交于点．若，求的长．

【答案】（1）；
   

（2）．
 

【解析】

【分析】（1）根据圆周角定理证明两直线平行，再利用平行线性质证明角度相等即可；

（2）由勾股定理找到边的关系，求出线段长，再利用等面积法求解即可．

【小问1详解】

∵是的直径，

∴，

∵平分，

∴，即，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

【小问2详解】

如图，连接，设，

则，，，

∵是的直径，

∴，

在中，有勾股定理得：

由（1）得：，

∴，

由勾股定理得：，，

∴，

∴，整理得：，

解得：或（舍去），

∴，

∴，

∵是的切线，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴．

【点睛】此题考查了圆周角定理和勾股定理，三角形中位线定理，切线的性质，解一元二次方程，熟练掌握圆周角定理和勾股定理是解题的关键．

五、解答题（本题共3小题，其中24、25题各11分，26题12分，共34分）

24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，为线段上一动点（不与点重合），过点作轴交直线于点．与的重叠面积为．关于的函数图象如图2所示．

（1）的长为_______________；的面积为_______________．

（2）求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围．

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据函数图象即可求解．

（2）根据（1）的结论，分，，根据与的重叠面积为，分别求解即可．

【小问1详解】

解：当时，点与重合，此时，

当时，，即点与点重合，

∴，则，

故答案为：，．

【小问2详解】

∵在上，则设，

∴

∴,则

当时，如图所示，设交于点，

∵，，

则

∴

当时，如图所示，

∵，

设直线的解析式为，

∴

解得：，

∴直线的解析式为，

当时，，则，

∴，

∵，

∵，则，

∴，

综上所述：．

【点睛】本题考查了正切的定义，动点问题的函数图象，一次函数与坐标轴交点问题，从函数图象获取信息是解题的关键．

25. 综合与实践

问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质．

已知，点为上一动点，将以为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究：

独立思考：小明：“当点落在上时，．”

小红：“若点为中点，给出与的长，就可求出的长．”

实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：

问题1：在等腰中，由翻折得到．

（1）如图1，当点落在上时，求证：；

（2）如图2，若点为中点，，求的长．

问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成的等腰三角形，可以将问题进一步拓展．

问题2：如图3，在等腰中，．若，则求的长．

【答案】（1）见解析；（2）；问题2：

【解析】

【分析】（1）根据等边对等角可得，根据折叠以及三角形内角和定理，可得，根据邻补角互补可得，即可得证；

（2）连接，交于点，则是的中位线，勾股定理求得，根据即可求解；

问题2：连接，过点作于点，过点作于点，根据已知条件可得，则四边形是矩形，勾股定理求得，根据三线合一得出，根据勾股定理求得的长，即可求解．

【详解】（1）∵等腰中，由翻折得到

∴，，

∵，

∴；

（2）如图所示，连接，交于点，

∵折叠，

∴，，，，

∵是的中点，

∴，

∴，

在中，，

在中，，

∴；

问题2：如图所示，连接，过点作于点，过点作于点，

∵，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，

又，

∴四边形是矩形，

则，

在中，，,，

∴，

在中，，

∴，

在中，．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，矩形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．

26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线上有两点，其中点的横坐标为，点的横坐标为，抛物线过点．过作轴交抛物线另一点为点．以长为边向上构造矩形．

（1）求抛物线的解析式；

（2）将矩形向左平移个单位，向下平移个单位得到矩形，点的对应点落在抛物线上．

①求关于的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；

②直线交抛物线于点，交抛物线于点．当点为线段中点时，求的值；

③抛物线与边分别相交于点，点在抛物线的对称轴同侧，当时，求点的坐标．

【答案】（1）   

（2）①；②；③或

【解析】

【分析】（1）根据题意得出点，,待定系数法求解析式即可求解；

（2）①根据平移的性质得出，根据点的对应点落在抛物线上，可得，进而即可求解；

②根据题意得出，求得中点坐标，根据题意即可求解；

③连接，过点作于点，勾股定理求得，设点的坐标为，则，将代入，求得，求得，进而根据落在抛物线上，将代入，即可求解．

【小问1详解】

解：依题意，点的横坐标为，点的横坐标为，代入抛物线

∴当时，，则，

当时，，则,

将点，,代入抛物线，

∴

解得：

∴抛物线的解析式为；

【小问2详解】

①解：∵轴交抛物线另一点为点，

当时，，

∴，

∵矩形向左平移个单位，向下平移个单位得到矩形，点的对应点落在抛物线上

∴，

整理得

∵

∴

∴；

②如图所示，

∵,

∴,

∵

∴，

由①可得，

∴,的横坐标为，分别代入 ，

∴，

∴

∴的中点坐标为

∵点为线段的中点，

∴

解得：或（大于4，舍去）

③如图所示，连接，过点作于点，

则，∵

∴，

设点的坐标为，则，

将代入，

，

解得：，

当，

∴，

将代入

解得：，

∴或．

【点睛】本题考查了二次函数综合运用，矩形的性质，平移的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．