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    2023年辽宁省大连市中考数学真题(含解析)
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    2023年辽宁省大连市中考数学真题(含解析)

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    这是一份2023年辽宁省大连市中考数学真题(含解析),共28页。

    大连市2023年初中毕业升学考试
    数学
    注意事项:
    1.请在答题卡上作答,在试卷上作答无效.
    2.本试卷共五大题,26小题,满分150分.考试时间为120分钟.
    参考公式:抛物线的顶点为.
    一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有1个选项正确)
    1. -6的绝对值是( )
    A. -6 B. 6 C. - D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】在数轴上,表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值.
    【详解】负数的绝对值等于它的相反数,所以-6的绝对值是6.
    故选:B.

    2. 如图所示的几何体中,主视图是( )

    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】根据主视图是从正面看得到的图形解答即可.
    【详解】解:从正面看看到的是

    故选:B.
    【点睛】本题考查了三视图的知识,属于简单题,熟知主视图是从物体的正面看得到的视图是解题的关键.
    3. 如图,直线,则的度数为( )

    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】先根据平行线的性质可得,再根据三角形的外角性质即可得.
    【详解】解:,



    故选:B.
    【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质,熟练掌握平行线的性质是解题关键.
    4. 某种离心机的最大离心力为.数据用科学计数法表示为( )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】用科学记数法表示较大的数时,一般形式为,其中,为整数.
    【详解】解:.
    故选:C.
    【点睛】本题考查了科学记数法,科学记数法的表示形式为的形式,其中,为整数.确定的值时,要看把原来的数,变成时,小数点移动了多少位,的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值时,是正数;当原数的绝对值时,是负数,确定与的值是解题的关键.
    5. 下列计算正确的是( )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】根据零指数幂,二次根式的加法以及二次根式的性质,二次根式的混合运算进行计算即可求解.
    【详解】解:A. ,故该选项不正确,不符合题意;
    B. ,故该选项不正确,不符合题意;
    C. ,故该选项不正确,不符合题意;
    D. ,故该选项正确,符合题意;
    故选:D.
    【点睛】本题考查了零指数幂,二次根式的加法以及二次根式的性质,二次根式的混合运算,熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键.
    6. 将方程去分母,两边同乘后式子为( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】根据解分式方程的去分母的方法即可得.
    【详解】解:,
    两边同乘去分母,得,
    故选:B.
    【点睛】本题考查了解分式方程,熟练掌握去分母的方法是解题关键.
    7. 已知蓄电池两端电压为定值,电流与成反比例函数关系.当时,,则当时,的值为( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】利用待定系数法求出的值,由此即可得.
    【详解】解:由题意得:,
    ∵当时,,

    解得,

    则当时,,
    故选:B.
    【点睛】本题考查了反比例函数,熟练掌握待定系数法是解题关键.
    8. 圆心角为,半径为3的扇形弧长为( )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】根据弧长公式(弧长为l,圆心角度数为n,圆的半径为r),由此计算即可.
    【详解】解:该扇形的弧长,
    故选:C.
    【点睛】本题考查了扇形的弧长计算公式(弧长为l,圆心角度数为n,圆的半径为r),正确记忆弧长公式是解答此题的关键.
    9. 已知抛物线,则当时,函数的最大值为( )
    A. B. C. 0 D. 2
    【答案】D
    【解析】
    【分析】把抛物线化为顶点式,得到对称轴为,当时,函数的最小值为,再分别求出和时的函数值,即可得到答案.
    【详解】解:∵,
    ∴对称轴为,当时,函数的最小值为,
    当时,,当时,,
    ∴当时,函数的最大值为2,
    故选:D
    【点睛】此题考查了二次函数的最值,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
    10. 某小学开展课后服务,其中在体育类活动中开设了四种运动项目:乒乓球、排球、篮球、足球.为了解学生最喜欢哪一种运动项目,随机选取100名学生进行问卷调查(每位学生仅选一种),并将调查结果绘制成如下的扇形统计图.下列说法错误的是( )

    A. 本次调查的样本容量为100 B. 最喜欢篮球的人数占被调查人数的
    C. 最喜欢足球的学生为40人 D. “排球”对应扇形的圆心角为
    【答案】D
    【解析】
    【分析】A.随机选取100名学生进行问卷调查,数量100就是样本容量,据此解答;
    B.由扇形统计图中喜欢篮球的占比解答;
    C.用总人数乘以即可解答;
    D.先用1减去足球、篮球、乒乓球的占比得到排球的占比,再利用乘以排球的占比即可解答.
    【详解】解:A. 随机选取100名学生进行问卷调查,数量100就是样本容量,故A正确;
    B.由统计图可知, 最喜欢篮球的人数占被调查人数的,故B正确;
    C. 最喜欢足球的学生为(人),故C正确;
    D. “排球”对应扇形的圆心角为,故D错误
    故选:D.
    【点睛】本题考查扇形统计图及其相关计算、总体、个体、样本容量、样本、用样本估计总体等知识,是基础考点,掌握相关知识是解题关键.
    二、填空题(本题共6小题,每小题3分,共18分)
    11. 的解集为_______________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】根据不等式的性质解不等式即可求解.
    【详解】解:,
    解得:,
    故答案为:.
    【点睛】本题考查了求不等式的解集,熟练掌握不等式的性质是解题的关键.
    12. 一个袋子中装有两个标号为“1”“2”的球.从中任意摸出一个球,记下标号后放回并再次摸出一个球,记下标号后放回.则两次标号之和为3的概率为_______________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】先画出树状图,从而可得两次摸球的所有等可能的结果,再找出两次标号之和为3的结果,然后利用概率公式求解即可得.
    【详解】解:由题意,画出树状图如下:

    由图可知,两次摸球的所有等可能的结果共有4种,其中,两次标号之和为3的结果有2种,
    则两次标号之和为3概率为,
    故答案为:.
    【点睛】本题考查了利用列举法求概率,熟练掌握列举法解题关键.
    13. 如图,在菱形中,为菱形的对角线,,点为中点,则的长为_______________.

    【答案】
    【解析】
    【分析】根据题意得出是等边三角形,进而得出,根据中位线的性质即可求解.
    【详解】解:∵在菱形中,为菱形的对角线,
    ∴,,
    ∵,
    ∴是等边三角形,
    ∵,
    ∴,
    ∵是的中点,点为中点,
    ∴,
    故答案为:.
    【点睛】本题考查了菱形的性质,等边三角形的性质与判定,中位线的性质,熟练掌握以上知识是解题的关键.
    14. 如图,在数轴上,,过作直线于点,在直线上截取,且在上方.连接,以点为圆心,为半径作弧交直线于点,则点的横坐标为_______________.

    【答案】##
    【解析】
    【分析】根据勾股定理求得,根据题意可得,进而即可求解.
    【详解】解:∵,,,
    在中,,
    ∴,
    ∴,
    为原点,为正方向,则点的横坐标为;
    故答案为:.
    【点睛】本题考查了勾股定理与无理数,实数与数轴,熟练掌握勾股定理是解题的关键.
    15. 我国的《九章算术》中记载道:“今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四.问有几人.”大意是:今有人合伙购物,每人出元钱,会多钱;每人出元钱,又差钱,问人数有多少.设有人,则可列方程为:_______________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】设有人,每人出8元钱,会多3钱,则物品的钱数为:元,每人出7元钱,又差4钱,则物品的钱数为:元,根据题意列出一元一次方程即可求解.
    【详解】设有人,每人出8元钱,会多3钱,则物品的钱数为:元,每人出7元钱,又差4钱,则物品的钱数为:元,
    则可列方程为:
    故答案为:.
    【点睛】本题考查了一元一次方程的应用,根据题意列出一元一次方程是解题的关键.
    16. 如图,在正方形中,,延长至,使,连接,平分交于,连接,则的长为_______________.

    【答案】
    【解析】
    【分析】如图,过作于,于,由平分,可知,可得四边形是正方形,,设,则,证明,则,即,解得,,由勾股定理得,计算求解即可.
    【详解】解:如图,过作于,于,则四边形是矩形,,

    ∵平分,
    ∴,
    ∴,
    ∴四边形是正方形,
    设,则,
    ∵,
    ∴,
    ∴,即,解得,
    ∴,
    由勾股定理得,
    故答案为:.
    【点睛】本题考查了正方形的判定与性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质.解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.
    三、解答题(本题共4小题,其中17题9分,18、19、20题各10分,共39分)
    17. 计算:.
    【答案】
    【解析】
    【分析】先计算括号内的加法,再计算除法即可.
    【详解】解:




    【点睛】此题考查了分式的混合运算,熟练掌握分式的运算法则和顺序是解题的关键.
    18. 某服装店的某件衣服最近销售火爆.现有两家供应商到服装店推销服装,两家服装价格相同,品质相近.服装店决定通过检查材料的纯度来确定选购哪家的服装.检查人员从两家提供的材料样品中分别随机抽取15块相同的材料,通过特殊操作检验出其纯度(单位:),并对数据进行整理、描述和分析.部分信息如下:
    Ⅰ.供应商供应材料的纯度(单位:)如下:

    72
    73
    74
    75
    76
    78
    79
    频数
    1
    1
    5
    3
    3
    1
    1
    Ⅱ.供应商供应材料的纯度(单位:)如下:
    72 75 72 75 78 77 73 75 76 77 71 78 79 72 75
    Ⅲ.两供应商供应材料纯度的平均数、中位数、众数和方差如下:

    平均数
    中位数
    众数
    方差

    75
    75
    74
    3.07


    75


    根据以上信息,回答下列问题:
    (1)表格中的_______________,_______________,_______________;
    (2)你认为服装店应选择哪个供应商供应服装?为什么?
    【答案】(1)75,75,6
    (2)服装店应选择A供应商供应服装.理由见解析.
    【解析】
    【分析】(1)根据平均数、众数、方差的计算公式分别进行解答即可;
    (2)根据方差的定义,方差越小数据越稳定即可得出答案.
    【小问1详解】
    解:B供应商供应材料纯度的平均数为,
    故,
    75出现的次数最多,故众数,
    方差
    故答案为:75,75,6
    【小问2详解】
    解:服装店应选择A供应商供应服装.理由如下:
    由于A、B平均值一样,B的方差比A的大,故A更稳定,
    所以选A供应商供应服装.
    【点睛】本题考查了方差、平均数、中位数、众数,熟悉相关的统计量的计算公式和意义是解答此题的关键.
    19. 如图,在和中,延长交于, ,.求证:.

    【答案】证明见解析
    【解析】
    【分析】由,,可得,证明,进而结论得证.
    【详解】证明:∵,,
    ∴,
    ∵,,,
    ∴,
    ∴.
    【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质.解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.
    20. 为了让学生养成热爱图书的习惯,某学校抽出一部分资金用于购买书籍.已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元,2022年用于购买图书的费用是7200元,求年买书资金的平均增长率.
    【答案】
    【解析】
    【分析】设年买书资金的平均增长率为,根据2022年买书资金2020年买书资金建立方程,解方程即可得.
    【详解】解:设年买书资金的平均增长率为,
    由题意得:,
    解得或(不符合题意,舍去),
    答:年买书资金的平均增长率为.
    【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确建立方程是解题关键.
    四、解答题(本题共3小题,其中21题9分,22、23题各10分,共29分)
    21. 如图所示是消防员攀爬云梯到小明家的场景.已知,,点关于点的仰角为,则楼的高度为多少?(结果保留整数.参考数据:)

    【答案】楼的高度为
    【解析】
    【分析】延长交于点,依题意可得,在,根据,求得,进而根据,即可求解.
    【详解】解:如图所示,延长交于点,

    ∵,

    在中,,,
    ∵,

    ∴,
    答:楼的高度为.
    【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,熟练掌握三角函数的定义是解题的关键.
    22. 为了增强学生身体素质,学校要求男女同学练习跑步.开始时男生跑了,女生跑了,然后男生女生都开始匀速跑步.已知男生的跑步速度为,当到达终点时男、女均停止跑步,男生从开始匀速跑步到停止跑步共用时.已知轴表示从开始匀速跑步到停止跑步的时间,轴代表跑过的路程,则:


    (1)男女跑步的总路程为_______________.
    (2)当男、女相遇时,求此时男、女同学距离终点的距离.
    【答案】(1)
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)根据男女同学跑步的路程相等,求得男生跑步的路程,乘以,即可求解
    (2)根据题意男生从开始匀速跑步到停止跑步的直线解析式为:,求得女生的速度,进而得出解析式为, 联立求得,进而即可求解.
    【小问1详解】
    解:∵开始时男生跑了,男生的跑步速度为,从开始匀速跑步到停止跑步共用时.
    ∴男生跑步的路程为,
    ∴男女跑步的总路程为,
    故答案为:.
    【小问2详解】
    解:男生从开始匀速跑步到停止跑步的直线解析式为:,
    设女生从开始匀速跑步到停止跑步的直线解析式为:,
    依题意,女生匀速跑了,用了,则速度为,
    ∴,
    联立
    解得:
    将代入
    解得:,
    ∴此时男、女同学距离终点的距离为.
    【点睛】本题考查了一次函数的应用,根据题意求得函数解析式是解题的关键.
    23. 如图1,在中,为的直径,点为上一点,为的平分线交于点,连接交于点.

    (1)求的度数;
    (2)如图2,过点作的切线交延长线于点,过点作交于点.若,求的长.
    【答案】(1);

    (2).

    【解析】
    【分析】(1)根据圆周角定理证明两直线平行,再利用平行线性质证明角度相等即可;
    (2)由勾股定理找到边的关系,求出线段长,再利用等面积法求解即可.
    【小问1详解】
    ∵是的直径,
    ∴,
    ∵平分,
    ∴,即,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    【小问2详解】
    如图,连接,设,

    则,,,
    ∵是的直径,
    ∴,
    在中,有勾股定理得:
    由(1)得:,
    ∴,
    由勾股定理得:,,
    ∴,
    ∴,整理得:,
    解得:或(舍去),
    ∴,
    ∴,
    ∵是的切线,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∴.
    【点睛】此题考查了圆周角定理和勾股定理,三角形中位线定理,切线的性质,解一元二次方程,熟练掌握圆周角定理和勾股定理是解题的关键.
    五、解答题(本题共3小题,其中24、25题各11分,26题12分,共34分)
    24. 如图1,在平面直角坐标系中,直线与直线相交于点,为线段上一动点(不与点重合),过点作轴交直线于点.与的重叠面积为.关于的函数图象如图2所示.

    (1)的长为_______________;的面积为_______________.
    (2)求关于的函数解析式,并直接写出自变量的取值范围.
    【答案】(1),
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)根据函数图象即可求解.
    (2)根据(1)的结论,分,,根据与的重叠面积为,分别求解即可.
    【小问1详解】
    解:当时,点与重合,此时,
    当时,,即点与点重合,
    ∴,则,
    故答案为:,.
    【小问2详解】
    ∵在上,则设,

    ∴,则
    当时,如图所示,设交于点,
    ∵,,



    当时,如图所示,

    ∵,
    设直线的解析式为,

    解得:,
    ∴直线的解析式为,
    当时,,则,
    ∴,
    ∵,
    ∵,则,
    ∴,
    综上所述:.
    【点睛】本题考查了正切的定义,动点问题的函数图象,一次函数与坐标轴交点问题,从函数图象获取信息是解题的关键.
    25. 综合与实践
    问题情境:数学活动课上,王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质.
    已知,点为上一动点,将以为对称轴翻折.同学们经过思考后进行如下探究:
    独立思考:小明:“当点落在上时,.”
    小红:“若点为中点,给出与的长,就可求出的长.”
    实践探究:奋进小组的同学们经过探究后提出问题1,请你回答:

    问题1:在等腰中,由翻折得到.
    (1)如图1,当点落在上时,求证:;
    (2)如图2,若点为中点,,求的长.
    问题解决:小明经过探究发现:若将问题1中的等腰三角形换成的等腰三角形,可以将问题进一步拓展.
    问题2:如图3,在等腰中,.若,则求的长.
    【答案】(1)见解析;(2);问题2:
    【解析】
    【分析】(1)根据等边对等角可得,根据折叠以及三角形内角和定理,可得,根据邻补角互补可得,即可得证;
    (2)连接,交于点,则是的中位线,勾股定理求得,根据即可求解;
    问题2:连接,过点作于点,过点作于点,根据已知条件可得,则四边形是矩形,勾股定理求得,根据三线合一得出,根据勾股定理求得的长,即可求解.
    【详解】(1)∵等腰中,由翻折得到
    ∴,,
    ∵,
    ∴;
    (2)如图所示,连接,交于点,

    ∵折叠,
    ∴,,,,
    ∵是的中点,
    ∴,
    ∴,
    在中,,
    在中,,
    ∴;
    问题2:如图所示,连接,过点作于点,过点作于点,

    ∵,
    ∴,,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    又,
    ∴四边形是矩形,
    则,
    在中,,,,
    ∴,
    在中,,
    ∴,
    在中,.
    【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,折叠的性质,勾股定理,矩形的性质与判定,熟练掌握以上知识是解题的关键.
    26. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线上有两点,其中点的横坐标为,点的横坐标为,抛物线过点.过作轴交抛物线另一点为点.以长为边向上构造矩形.

    (1)求抛物线的解析式;
    (2)将矩形向左平移个单位,向下平移个单位得到矩形,点的对应点落在抛物线上.
    ①求关于的函数关系式,并直接写出自变量的取值范围;
    ②直线交抛物线于点,交抛物线于点.当点为线段中点时,求的值;
    ③抛物线与边分别相交于点,点在抛物线的对称轴同侧,当时,求点的坐标.
    【答案】(1)
    (2)①;②;③或
    【解析】
    【分析】(1)根据题意得出点,,待定系数法求解析式即可求解;
    (2)①根据平移的性质得出,根据点的对应点落在抛物线上,可得,进而即可求解;
    ②根据题意得出,求得中点坐标,根据题意即可求解;
    ③连接,过点作于点,勾股定理求得,设点的坐标为,则,将代入,求得,求得,进而根据落在抛物线上,将代入,即可求解.
    【小问1详解】
    解:依题意,点的横坐标为,点的横坐标为,代入抛物线
    ∴当时,,则,
    当时,,则,
    将点,,代入抛物线,

    解得:
    ∴抛物线的解析式为;
    【小问2详解】
    ①解:∵轴交抛物线另一点为点,
    当时,,
    ∴,
    ∵矩形向左平移个单位,向下平移个单位得到矩形,点的对应点落在抛物线上
    ∴,
    整理得


    ∴;
    ②如图所示,

    ∵,
    ∴,

    ∴,
    由①可得,
    ∴,的横坐标为,分别代入 ,
    ∴,

    ∴的中点坐标为
    ∵点为线段的中点,

    解得:或(大于4,舍去)
    ③如图所示,连接,过点作于点,

    则,∵
    ∴,
    设点的坐标为,则,
    将代入,

    解得:,
    当,
    ∴,
    将代入
    解得:,
    ∴或.
    【点睛】本题考查了二次函数综合运用,矩形的性质,平移的性质,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
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