第17章一元二次方程知识归纳（沪科版八下）

一元二次方程知识点总结

一元二次方程知识点：

1. 一元二次方程的一般形式: a≠0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、 b、 c； 其中a 、 b,、c可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.

2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.

3. 一元二次方程根的判别式: 当ax2+bx+c=0 (a≠0)时，Δ=b2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：

Δ＞0 <=> 有两个不等的实根；     Δ=0 <=> 有两个相等的实根；

Δ＜0 <=> 无实根；               Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）.

4. 一元二次方程的根系关系： 当ax2+bx+c=0  (a≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式：

5. 一元二次方程的解法

（1）       直接开平方法  （也可以使用因式分解法）

 ①                     解为：

②                解为：

③               解为：

④      解为：

（2）       因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法

如：  此类方程适合用提供因此，而且其中一个根为0

（3）       配方法

①二次项的系数为“1”的时候：直接将一次项的系数除于2进行配方，如下所示：

示例：

②二次项的系数不为“1”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同上：

示例：

（4）公式法：一元二次方程，用配方法将其变形为：

①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：

② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：

③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根。

备注：公式法解方程的步骤：

①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：，并确定出、、

②求出，并判断方程解的情况。

③代公式：（要注意符号）

※ 5．当ax2+bx+c=0  (a≠0) 时，有以下等价命题：

(以下等价关系要求会用公式 ；Δ=b2-4ac 分析，不要求背记)

（1）两根互为相反数    = 0且Δ≥0    b = 0且Δ≥0；

（2）两根互为倒数    =1且Δ≥0    a = c且Δ≥0；

（3）只有一个零根    = 0且≠0    c = 0且b≠0；

（4）有两个零根      = 0且= 0    c = 0且b=0；

（5）至少有一个零根      =0    c=0；

（6）两根异号    ＜0    a、c异号；

（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值 ＜0且＞0 a、c异号且a、b异号；

（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值 ＜0且＜0 a、c异号且a、b同号；

（9）有两个正根    ＞0，＞0且Δ≥0    a、c同号， a、b异号且Δ≥0；

（10）有两个负根    ＞0，＜0且Δ≥0    a、c同号， a、b同号且Δ≥0.

6．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当Δ＜ 0时，二次三项式在实数范围内不能分解.

ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)  或  ax2+bx+c=.

7．求一元二次方程的公式：   

x2 -（x1+x2）x + x1x2  = 0.    注意：所求出方程的系数应化为整数.

8．平均增长率问题--------应用题的类型题之一 （设增长率为x）：

   (1) 第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2.

（2）常利用以下相等关系列方程：     第三年=第三年   或  第一年+第二年+第三年=总和.

9．分式方程的解法：

10. 二元二次方程组的解法：

※11．几个常见转化：

，  ，   ，

，   ，

   等

；

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