2022-2023学年浙江省宁波市镇海区蛟川书院等四校八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省宁波市镇海区蛟川书院等四校八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列数学图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A. 毕达哥拉斯树 B. 笛卡尔心形线
C. 赵爽弦图 D. 卡西尼卵形线

2.  下列运算结果正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  用反证法证明““时，首先应假设(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列方程中：
．
．
；
，是一元二次方程的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

5.  下列说法不正确的是(    )

A. 矩形的对角相等，邻角互补
B. 一组对边相等且一组对角也相等的四边形是平行四边形
C. 一组邻边相等的平行四边形是菱形
D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形

6.  一元二次方程的一根为，则另一根为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在▱内部取一点，连结、、、若时，恰有，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  已知，是实数，定义：若是常数，则关于的方程：，下列说法正确的是(    )

A. 方程一定有实数根 B. 当取某些值时，方程没有实数根
C. 方程一定有两个实数根 D. 方程一定有两个不相等的实数根

9.  如图，在矩形中，为中点，作，交对角线于点，连结取中点，取中点，连结若，，则的长度为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，在正方形中，点，分别在，上，且保持，在上取一点，连结，使恰好平分，连结若要求正方形的面积，则只需要知道(    )

A. 的面积
B. 的面积
C. 的周长
D. 的周长

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

11.  二次根式有意义，则的取值范围是______ ．

12.  已知的整数部分为，小数部分为，则 ______

13.  已知，是方程的两根，则的值为______ ．

14.  若实数满足则 ______ ．

15.  如图，将▱先沿折叠，再沿折叠后，点落在线段上的处，点落在处，连结，若恰有，则 ______ ．

16.  如图，正方形的边长为，点在线段上，以为边构造正方形，使在的延长线上，连结，取中点，连结当为中点时，的面积为______ ，当点在边上运动不含，时，的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算
；
．

18.  本小题分
解方程
；
．

19.  本小题分
仅利用已有的格点与无刻度直尺作图，符合条件的点画出一个即可．
在图中，标出格点，连结，使平分．
在图中，标出格点，连结，使．

 

20.  本小题分
定义：若一元二次方程满足则称此方程为“蛟龙”方程．
当时，判断此时“蛟龙”方程解的情况，并说明理由．
若“蛟龙”方程有两个相等的实数根，请解出此方程．

21.  本小题分
如图，在▱中，对角线，交于点，，．
当平分时，求证：▱为矩形．

在以下命题中：
当时，▱为正方形．
当时，▱为正方形．
当时，四边形为菱形．
当时，四边形为菱形．
正确的有：______ ，请选择一个正确的命题进行证明．

22.  本小题分
某商场月份的销售额为万元，月份的销售额下降了，商场从月份起改变经营策略，以多种方式吸引消费者，使销售额稳步增长，月份的销售额达到了万元．
求、月份销售额的平均增长率．
商场计划第一季度月总销售额达到万元，按照目前的月平均增长率，商场能否实现销售计划，请计算说明．

23.  本小题分
【问题背景】
小张在预习课本时发现了如下表述：
“关于线段的垂直平分线，有如下的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”小张百思不得其解，对于垂直平分线的性质产生了浓厚的兴趣．
【定理证明】
你能帮助小张证明垂直平分线的性质定理吗？

【定理应用】
小张在课后折纸活动中惊喜地发现：
如图、图，将正方形纸片沿折叠，分别在线段，上，恰好使点落在线段上的点处，连结，交于点，由折叠的性质，直线恰为线段的垂直平分线．
如图，若正方形纸片的边长为，的长度为，则的长度为______ ．
如图，连结对角线，与交于点，连结，求证：．

【深入探究】
如图，在菱形中，点为边上的动点，连结，，作线段的垂直平分线分别交，，于点，，，求证：．

 

24.  本小题分
如图，在菱形中，，点在边上由向运动，点在边上由向运动，速度均为，连结、，以，为邻边构造▱，连结过点作，交折线于点，分别交、于点、．
求证：▱为菱形．
连结，，求周长的最小值，并说明理由．
当点在线段上时，若某时刻满足，
证明：为中点．
请直接写出此时点的运动时间．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D.该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意．
故选：．
中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转，能够与自身重合的图形．轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断．
本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：与不能合并，故A错误，不符合题意；
，故B错误，不符合题意；
，故C正确，符合题意；
，故D错误，不符合题意；
故选：．
根据合并同类二次根式法则，二次根式的乘法法则等逐项判断．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．
 

3.【答案】 

【解析】解：，的大小关系有，，三种情况，因而的反面是．
因此用反证法证明“”时，应先假设．
故选：．
反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断；需注意的是的反面有多种情况，应一一否定．
此题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，反证法的步骤是：
假设结论不成立；
从假设出发推出矛盾；
假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
 

4.【答案】 

【解析】解：是一元二次方程；
是一元一次方程；
是分式方程；
是一元二次方程；
所以是一元二次方程的有个．
故选：．
根据一元二次方程的定义进行判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．
 

5.【答案】 

【解析】解：矩形的四个角都是，
对角相等，邻角互补，故本选项不符合题意；
B.如图，，，，由两边和一边所对的角对应相等，不能判定和全等，即不能判定，
不能判定四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
C.一组邻边相等的平行四边形是菱形，故本选项不符合题意；
D.对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据矩形的性质即可判断；根据图形和已知不能推出另一组对边也相等，即可判断；根据菱形的判定判断即可；根据平行四边形的判定判断即可．
本题主要考查了矩形的性质，平行四边和菱形形的判定，熟练掌握平行四边形和菱形的判定方法是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：设方程的另一根为，
根据题意得，解得，
即方程的另一根为．
故选：．
设方程的另一根为，根据根与系数的关系得到，然后解一次方程即可．
本题考查了根与系数的关系：设，为一元二次方程的两根，则有如下关系：，．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
，，
，
，
．
故选：．
由平行四边形的性质得出，，证出四边形是矩形，得出，可求出答案．
本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
当时，方程是一元一次方程，有实数根；
当时，，
方程有实数根．
故选：．
先根据题意得出关于的方程，再分和两种情况进行讨论即可．
本题考查的是一元二次方程根的判别式及一元一次方程的解，在解答此题时要注意进行分类讨论．
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，，，为中点，
，，，，，
，
四边形是平行四边形，，
，
四边形是矩形，
，，
，，
在和中，
，
和≌，
，
，
连结，取的中点，连结、，
，
，
，
、分别是、的中点，
，，，，
，
，，
，
，
故选：．
由矩形的性质得，，，，则，而，，则四边形是矩形，所以，，可证明和≌，得，所以，连结，取的中点，连结、，由勾股定理得，则，由、分别是、的中点，得，，，，再证明，则，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：在上截取，
四边形为正方形，
，，
，
即，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
设，
则，
平分，
，
，
，
，
是的一个外角，
，
即，
，
，
，
，
即要求正方形的面积，则只需要知道的周长，
故选：．
在上截取，先证和全等，得出，，再证，于是得出，从而得出的长，即可进行判断．
本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点，综合性较强，需熟练掌握这些知识．
 

11.【答案】 

【解析】解：要使二次根式有意义，需要，
解得：．
故答案是：．
根据被开方数大于等于列式计算即可得解．
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 

12.【答案】 

【解析】解：

，
，
，
，，



，
故答案为：．
先将分母有理化，然后估算其结果在哪两个整数之间，从而确定，的值，然后代入则中计算即可．
本题考查无理数的估算和二次根式的运算，将分母有理化，然后估算其结果在哪两个整数之间是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意得，，
所以


．
故答案为：．
先根据根与系数的关系得到，，再把展开整理得到，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

14.【答案】 

【解析】解：假设，则原方程可化为：，
，
，，
即或．
当时，，即，，原方程没有实数根，故不合题意，舍去；
当时，，
故答案为：．
首先假设，得出方程等于，进而求出即可．
此题主要考查了换元法解一元二次方程，正确利用因式分解法解方程大大降低了计算量．
 

15.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
由折叠得，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
由平行四边形的性质得，，由折叠得，，，则，所以，则，于是得，则，，即可求得，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、轴对称的性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键．
 

16.【答案】  

【解析】解：当为中点时，过点作于点，如图，

正方形的边长为，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
点是的中点，
点是的中点，
是的中位线，
，
；
如图，连接，，，，与交于点，延长到点，使，连接，，

四边形是正方形，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，
四边形是正方形，
，，
点、、、在一条直线上，
点是的中点，点是的中点，
是的中位线，
，
当最小时，最小，
即当时，最小，
，
点与点重合时，最小，
正方形的边长为，
，，，
由勾股定理得，
，
，
四边形是正方形，
，
点是的中点，
，
点在的垂直平分线上，
四边形是正方形，
点也在的垂直平分线上，
，
，
即的最小值为；
故答案为：，．
当为中点时，过点作于点，先证是的中位线，求出其长度，再根据三角形面积公式计算即可；连接，，，，与交于点，延长到点，使，连接，，根据正方形的性质先证点、、、在一条直线上，再证是的中位线，并推出当时，最小，根据正方形的性质得出，故点与点重合，求出对角线的长，即可得出的长，于是得出的长，再根据正方形的性质证，即可得出的最小值．
本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握正方形的性质及三角形中位线定理、正确添加辅助线是解题的关键，此题有点难度，需认真思考．
 

17.【答案】解：原式

．
     原式

． 

【解析】依据题意，由二次根式的混合运算法则进行计算可以得解；
依据题意，由二次根式的混合运算法则进行计算可以得解．
本题主要考查了二次根式的混合运算，解题时需要熟练掌握并理解．
 

18.【答案】解：方程整理得：，
开方得：或，
解得：，；
方程整理得：，即，
这里，，，
，
，
解得：，． 

【解析】方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解；
方程整理为一般形式，利用求根公式求出解即可．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，以及公式法，熟练掌握一元二次方程的解法是解本题的关键．
 

19.【答案】解：如图中，线段即为所求；
如图中，线段即为所求．
 

【解析】构造腰为的等腰三角形，利用三线合一的射线解决问题；
取格点，连接即可．
本题考查作图应用与设计作图，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．
 

20.【答案】解：“蛟龙”方程有两个不相等的实数根，理由如下：
一元二次方程为“蛟龙”方程，
，
，
，
“蛟龙”方程有两个不相等的实数根；
方程为“蛟龙”方程，
，
方程有两个相等的实数根，
，
或，
当时，方程为，解得；
当时，方程为，解得．
故此方程的解为或． 

【解析】根据“蛟龙”方程的定义得，故，当时，，根据判别式的意义即可得出结论；
根据“蛟龙”方程的定义得，根据判别式的意义得，求出，进而得到方程的解．
此题考查了根的判别式，解一元二次方程等知识，解题的关键是了解“蛟龙”方程的定义，难度不大．
 

21.【答案】 

【解析】证明：，，
四边形为平行四边形，
，，
又平分，
，
，
是等腰三角形，即：，
又，是对角线，
，
即，
▱为矩形．
求证命题，
证明：，，
四边形为平行四边形，
，
又，
，
即为直角三角形，
，
，是▱对角线，
，
即，
又，
▱为正方形．
先根据题目已知条件求证四边形为平行四边形，然后在根据平分，进而求证：▱为矩形；
将所给命题的已知条件代入原图，看是否能成立．
本题考查正方形判定与性质，矩形判定与性质，等腰三角形性质，菱形的判定与性质，需熟练掌握这些判定方法与性质才能更快的解决本题．
 

22.【答案】解设三、四月份销售额的平均增长率为，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：三、四月份销售额的平均增长率为；
按照中的月平均增长率，第一季度月总销售额为万元，
，
商场不能实现销售计划． 

【解析】设三、四月份销售额的平均增长率为，利用四月份的销售额二月份的销售额平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
按照中的月平均增长率，计算第一季度月总销售额即可得出答案．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

23.【答案】         

【解析】证明：当点与点重合时，


当点与点不重合时，
直线

在与中，
，
≌，
，
故答案为：，，，；
解：如图，过点作，交于，

四边形是正方形，
，，，
四边形是平行四边形，
，
直线恰为线段的垂直平分线，
，，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
故答案为：；
证明：如图，过点作于，交于点，

，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
直线恰为线段的垂直平分线，
，
≌，
，
，
，
，
；
证明：如图，连接，，，

四边形是菱形，
垂直平分，，，
，
，，，
≌，
，
垂直平分，
，
，
，，
，
，
，
，
．
由“”可证≌，可得结论；
先证四边形是平行四边形，可得，由“”可证≌，由勾股定理可求解；
由“”可证≌，可得，由余角的性质可求，即可求解；
由菱形的性质可得垂直平分，，，由“”可证≌，可得，由线段垂直平分线的性质可得，由等腰三角形的性质和外角的性质可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

24.【答案】证明：如图，连接，
四边形是菱形，
，
，
，
、点的运动速度相同，
，
，
≌，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形；
解：如图，连接，，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
的周长，
，，
，
的周长的最小值为；
证明：≌，
，
，
，
，
，
≌，
，
是的中点；
解：连接交于点，
，，
为等边三角形，
，
，
，
，
≌，
，，
设，，
，
，
，
，
． 

【解析】连接，证明≌，得到，即可证明平行四边形为菱形；
连接，，证明≌，≌，可得的周长，求出的长即为所求；
证明≌，可得，则是的中点；
连接交于点，证明≌，可得，，设，，所以，再由，求出，再求．
本题考查四边形的综合应用，熟练掌握菱形的判定及性质，平行线的性质，三角形全等的判定及性质，等边三角形的性质是解题的关键．