【中职专用】高中数学 高教版2021·拓展模块一上册 2.1 向量的概念（练习）

2.1 向量的概念

同步练习

1．下列说法中，正确的个数是 (　B　)

①零向量是没有方向的；

②向量的模是一个正实数；

③相等向量一定是平行向量；

④向量a与b不共线，则a与b都是非零向量．

A．1 B．2

C．3 D．4

[解析]　对于①，零向量的方向是任意的，故①错误；对于②，零向量的模为0，故②错误；③正确，相等向量的方向相同，因此一定是平行向量；④显然正确．

2．如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中相等的向量是__(1)(4)__(填序号)．

(1)与；(2)与；(3)与；(4)与．

[解析]　由平行四边形的性质和相等向量的定义可知：

＝，≠；≠，＝．

3．正n边形有n条边，它们对应的向量依次为a1，a2，a3，…，an，则这n个向量 (　D　)

A．相等 B．共线

C．不共线 D．模相等

[解析]　正n边形n条边相等，故这n个向量的模相等．

4．设O是正方形ABCD的中心，则向量，，，是 (　D　)

A．相等的向量 B．平行的向量

C．有相同起点的向量 D．模相等的向量

[解析]　这四个向量的模相等．

5．如图所示，△ABC中，三边长均不相等，E、F、D分别是AC，AB，BC的中点．

(1)写出与共线的向量；

(2)写出与长度相等的向量；

(3)写出与相等的向量．

[分析]　(1)共线向量只需在图中找出与线段EF平行或共线的所有线段，再把它们表示成向量即可；(2)在图中找出与线段EF长度相等的所有线段，再把它们表示成向量即可；(3)相等向量必须满足两个条件：方向相同，长度相等，与起始点的位置无关，所以只需在图中找与线段EF平行且长度相等的所有线段，再将它们表示成方向与的方向相同的向量．

[解析]　(1)∵E，F分别是AC，AB的中点，∴EF∥BC，

∴与共线的向量为，，，，，，．

(2)∵E，F，D分别是AC，AB，BC的中点，∴EF＝BC，BD＝DC＝BC，∴EF＝BD＝DC．

∵AB，BC，AC均不相等，∴与长度相等的向量为，，，，．

(3)与相等的向量为，．

6．零向量与单位向量的关系是__共线__(填“共线”“相等”“无关”)．

1．下列说法中正确的是  (　D　)

A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小

B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小

C．向量的大小与方向有关

D．向量的模可以比较大小

[解析]　不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A、B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小，故D正确．

2．在同一平面上，把平行于某一直线的一切向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是              (　B　)

A．一条线段 B．一条直线

C．圆上一群孤立的点 D．一个半径为1的圆

[解析]　由于向量的起点确定，而向量平行于同一直线，所以随着向量模长的变化，向量的终点构成的是一条直线．

3．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④密度．其中是向量的是 (　B　)

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

[解析]　由物理学知识知速度和位移是向量，既有大小又有方向，符合向量的定义．故选B．

4．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与平行的向量有 (　C　)

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

[解析]　根据向量的基本概念可知与平行的向量有，，，共3个．

5．如图所示，设O是正方形ABCD的中心，则下列结论正确的有__①②③__．(填序号)

①＝；②∥；

③与共线；④＝．

[解析]　∵与方向相同，长度相等，∴①正确；

∵A，O，C三点在一条直线上，

∴∥，②正确；

∵AB∥DC，∴∥共线，③正确；

∵与方向不同，∴二者不相等，④错误．

1．给出下列命题：

①0和0表示的含义相同；

②两个向量，当且仅当它们的起点相同，终点相同时才相等；

③若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上；

④在菱形ABCD中，一定有＝．

其中所有正确命题的序号为__③④__．

[分析]　利用向量定义、相等向量、单位向量的定义进行判断．

[解析]　0表示数字，而0有方向，故①不正确．

两个向量相等只要模相等且方向相同即可，而与起点和终点的位置无关，故②不正确．

单位向量的长度为1，当所有单位向量的起点在同一点O时，终点都在以O为圆心，1为半径的圆上，故③正确．

④显然正确，故所有正确命题的序号为③④．

2．下列说法正确的是 (　D　)

A．共线的两个单位向量相等

B．相等向量的起点相同

C．若∥，则一定有直线AB∥CD

D．若点A，B，C，D在同一直线上，则∥

[解析]　A错，共线的两个单位向量的方向可能相反；B错，相等向量的起点和终点都可能不相同；C错，直线AB与CD可能重合；D正确．

3．某人向正东方向行进100 m后，再向正南方向行进100 m，则此人位移的方向是 (　C　)

A．南偏东60° B．南偏东45°

C．南偏东30° D．南偏东15°

[解析]　如图所示，此人从点A出发，经点B，到达点C，则tan ∠BAC＝＝，

∴∠BAC＝60°，即位移的方向是东偏南60°，即南偏东30°，应选C．

4. 如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，最多可以写出__6__个互不相等的非零向量．

[解析]　模为1个单位的向量有2个，如，；模为2个单位的向量有2个，如，；模为3个单位的向量有2个，如，，故共有6个．

5. 如图，已知四边形ABCD为正方形，△CBE为等腰直角三角形，回答下列问题：

(1)图中与共线的向量有__，，，，，，__；

(2)图中与相等的向量有__，__；

(3)图中与模相等的向量有__，，，，，，，，__．