【中职专用】（高教版2021·基础模块上册） 高中数学 3.3.1函数的单调性（教案）-

3.3.1函数的单调性

课  型

新授

课  时

1

授课班级

授课时间

授课教师

教材分析

本节课是中职教材《基础模块上册》第三章第三节的内容，本节内容是学生了解函数概念后学习的第一个性质，起着承前启后的作用。一方面，初中数学的许多内容在解决函数的某些问题中得到了充分的运用，另一方面，函数的单调性与前一节函数的概念和图像表示法的延续有着密切的联系，函数的单调性与后面的奇偶性是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及三角函数等其他函数的基础。

学情分析

学生通过初中的数学学习，已有研究一次函数、二次函数等初等函数的直接经验，对函数的简单性质有初步的认识；二是前一节已经学习过函数的概念，对函数的图像也有一定的感性认知；三是能力上具备了一定的观察、类比、分析、归纳能力。

学习目标

能从形与数两方面理解函数单调性的概念；掌握用函数单调性的定义证明简单函数在某区间上具有某种单调性的方法（步骤）；理解自变量在区间[a，b]上的“任意”取值的意义。

学习重难点

重点：能从形与数两方面理解函数单调性的概念，掌握用函数单调性的定义证明简单函数在某区间上具有某种单调性的方法（步骤）。

难点：理解自变量在区间[a，b]上的“任意”取值的意义；利用定义判断或证明函数单调性的方法。

教学方法

根据本节课的教学内容、学生情况和教学目标，教学中采用“教师设疑引导，学生自主探究”的教学方法。通过启发引导，激发学生的思维，鼓励学生发现、探究、合作、展示，使其在探究中对问题本质的思考逐步深入，思维水平不断提高。

课前准备

备学生、备教材、备教具

教学媒体

ppt

教学过程

第一课时

教学环节

教师活动设计

学生活动设计

设计意图

活动一：

创设情境

生成问题

观察下列函数的图像，回答问题：

①函数图像是呈上升趋势还是下降趋势？

②随着自变量x增大（或减小），y的值怎么变化的？

德国著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆知识的牢固程度进行了实验研究，得到了如下数据和图像：

观察图像，当自变量时间t从左向右依次增大时， 如何用数学的语言来表示这个变化？

通过这个实验，你今后打算如何学习？

复习初中学过的函数图像，师生共同回顾和思考。

提出问题，引发学生思考，激发学生学习动机

提出问题，从简单的问题入手，提高学生学习的积极性和主动性。

依据教材知识，渗透新课标理念，通过与实际问题的联系，揭示我们研究图像单调性的现实意义，引起学生学习的兴趣，唤醒学生学习的动机，培养学生的主观能动性和积极性。

活动二：

调动思维

探究新知

 函数是描述客观食物运动变化规律的数学模型。对函数随自变量的变化而变化的趋势进行一些研究是很必要的.如，一旦我们知道了一天的变化趋势，既可以合理穿衣，又可以合理安排某些与气温关系紧密的工作计划。

下图是我们市某天24小时内的气温y（℃）与时间x(时)的函数图像，记这个函数为 y=f(x).

活动1：

观察4时到14时的图像曲线，当自变量时间x增大时，函数y=f(x)是怎样变化的？ 如何用数学语言描述这个变化？

由图像可知：

         时间从4时到14时的曲线呈上升趋势，说明气温随时间的增加而逐渐升高,也就是说当x∈[4，14] 时，函数y=f(x)的值随自变量x的增大而增大．

所以，从上述例子中可抽象出如下定义：

活动2：

观察14时到24时的图像曲线，当自变量时间x减小时，函数y=f(x)是怎样变化的？ 如何用数学语言描述这个变化？

由图像可知：

         时间从14时到24时的曲线呈下降趋势，说明气温随时间的增加而逐渐降低，也就是说当x∈[14，24] 时，函数y=f(x)的值随自变量x的增大而减小．

总结知识，强化记忆

如果函数y=f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么称函数y=f(x)在区间I上具有单调性，区间I称为单调区间．

增区间也称为单调增区间，减区间也称为单调减区间．

判断函数具有单调性的方法：

方法一：分析函数图像；

方法二：分析函数值大小的变化；

方法三：利用函数单调性定义证明的方法.

例1.根据函数在R上的图像，如下图所示，写出其单调区间.

解:（1）由函数图像可知，函数y=f(x)的定义域为R，增区间为(−∞， 0]，减区间为[0，+∞)．

（2）由函数图像可知，函数y=g(x)的定义域为(−∞， 0)∪（0,+∞)，增区间为(−∞， 0)和（0,+∞)．

利用定义证明函数具有单调性的一般步骤：

教师出示ppt，带领学生们读题，分析题意，学习解决问题的一般方法

讨论，交流，分享自己的观点

分析题意，学习解决问题的一般方法

学生分小组思考，讨论，交流，总结图像是如何变化的

学生思考，归纳共同点，加深理解记忆

一定要强调单调性就是函数的局部性质，注意端点的取舍。

总结判断函数单调性的三个常用方法

学习知识就是为了应用知识，通过例题讲解，及时巩固学生已有的知识概念

例2题型是本节课的重点也是难点，老师可以先详细讲解过程，再归纳总结

学习了例2，知道了判断函数单调性的一般步骤，这道题可以放手让学生独立完成，或者找学生到黑板板演。

调动学生动脑的积极性，引发学生思考，锻炼学生独立解决问题的能力

老师引导学生发现图像的变化

强调、引导

教师针对学生总结给与积极评价。

注意：观察图像，要强调从左向右看，通过学生的合作交流，

增强学生对知识的理解

分析定义，使定义和图像结合起来，使新旧知识融为一体，加深对概念的理解，渗透数形结合的数学思想方法

讲解例题时，一定要讲解一道，让学生及时练习一道，老师不能总是在讲，也不能一起把所有例题讲完，一定要讲练结合才行。

例2有一定的难度且是本节课的重点，详细讲解完例题后，要把解决此类题的一般步骤归纳出来，揭示函数单调性证明过程的严谨性和规范性。

活动三：

巩固练习

素质提升

1．填空题（填“增”或“减”）.

（1）函数y=x+1在（－，+）上是_________函数；

（2）函数y=－2x 在（－，+）上是_________函数；

（3）函数y=2/x 在（－，0）上是_________函数；

（4）函数y=−5/x 在（0，+）上是_________函数.

2.已知函数y=f(x)，x∈[−2,4]，如图所示，试写出函数的单调区间，并说明在每一单调区间上函数的单调性．

3.   若函数 f(x)=mx+2x−5在R上是减函数，求m的取值范围．

4.证明.

（1）函数f(x)=−x−2在(−∞,+∞)上是减函数；

（2）函数f(x)=2x^2+1在(−∞,0)上是减函数．

让学生独立完成练习，教师组织分享，交流。

分层训练

帮助学生应用知识和方法解决问题

通过课堂练习的学习，使学生更好地理解本节课的重要知识，使知识内化。

活动四：

课堂小结

作业布置

课堂小结： 让学生自己说一说本节课的收获？

作业布置：1.课本105页A组题第1和2题完成；

2.《学习指导与练习》中57-59页3.3.1函数的单调性的内容完成。

活动五：

板书设计

3.3.1函数的单调性                        

1.   导入                     例1                    练习题
2.   活动1                    例2
3.   活动2                    例3                    总结

活动六：

教学反思（留白）