四川省射洪市射洪中学2022-2023学年高一数学下学期期中试题（Word版附解析）

射洪中学高2022级高一（下）半期考试

数学试卷

（总分：150分考试时间：120分钟）

注意事项：

1.答卷前，务必将自己的姓名､考号填写在答题卡规定的位置上.

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.

第I卷选择题部分

一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.

1. 已知平面向量，.若，则实数（    ）

A.  B. 3 C.  D. 12

【答案】B

【解析】

【分析】由向量平行的坐标表示可直接求得结果

【详解】由，可得，解得.

故选：B.

2. 已知为第三象限角，且，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

分析】

利用同角三角函数的基本关系式求出，然后求解．

【详解】为第三象限角，且，

．

．

故选:A．

3. 已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的半径为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

利用扇形面积公式计算即可.

详解】由题知：，故.

故选：A

【点睛】本题主要考查扇形面积公式，熟记公式为解题的关键，属于简单题.

4. 若，且，那么=（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先由同角三角函数平方关系求出，再由二倍角公式求解即可，也可由特殊角的三角函数值求解.

【详解】方法一：

∵，∴，

又∵，∴，∴，

∴.

方法二：

∵，，∴，

∴.

故选：B.

5. 已知为单位向量，，向量，的夹角为，则在上的投影向量是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据投影向量定义计算即可.

【详解】为单位向量，则 ，

则向量在向量上的投影向量为.

故选：C.

6. 要得到函数的图象，只需要将函数的图象（    ）

A. 向右平移个单位 B. 向右平移个单位

C. 向左平移个单位 D. 向左平移个单位

【答案】B

【解析】

【分析】根据三角函数的变换规则判断即可.

【详解】因为，

所以将函数的图象向右平移个单位得到，

即函数的图象.
故选：B

7. 在平行四边形中，，是对角线的交点，是的中点，又，则的值分别为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据平面向量线性运算的性质，结合平面向量基本定理进行求解即可.

【详解】

所以，

故选：B

8. 对于函数，在使成立的所有常数中，我们把的最大值称为函数的“下确界”.若函数，的“下确界”为，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由下确界定义，，的最小值是，由余弦函数性质可得．

【详解】由题意，的最小值是，

又，

由，得，

，，

时，，

所以．

故选：A．

【点睛】本题考查新定义，由新定义明确本题中的下确界就是函数的最小值．可通过解不等式确定参数的范围．

二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

9. 已知、、是三个向量，则下列结论中正确的是（    ）

A.  B.

C.  D. 若，则

【答案】AB

【解析】

【分析】根据数量积的运算律判断A、B，根据数量积的定义及几何意义判断C、D.

【详解】对于A：，故A正确；

对于B：，故B正确；

对于C：因为表示与共线的向量，

表示与共线的向量，

若与不共线则与不一定相等，故C错误；

对于D：若，即，

当时，即与在方向上的投影相等，故D错误；

故选：AB

10. 下列等式成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AD

【解析】

【分析】利用二倍角的余弦公式即可判断A、D；利用二倍角的正弦公式即可判断B；利用两角和的正弦公式即可判断C.

【详解】对于A，，故A正确；

对于B，，故B错误；

对于C，，故C错误；

对于D，，故D正确.

故选：AD.

11. 函数的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A.

B. 图像关于直线对称

C. 在上单调递增

D. 若将的图像向右平移个单位长度，则所得图像关于轴对称

【答案】AD

【解析】

【分析】根据函数的零点、正弦型函数的对称性、单调性，结合正弦型函数图像变换性质逐一判断即可.

【详解】由函数的图象可知，

因为，

所以，

显然有，

因为，

所以令，得，即，因此选项A正确；

因为，

所以函数的图像不关于直线对称，因此选项B不正确；

当时，不是的子集，

所以函数在上不单调递增，因此选项C不正确；

将的图像向右平移个单位长度，

得到函数的解析式为，

因为，

所以函数是偶函数，图像关于轴对称，因此选项D正确，

故选：AD

12. 在边长为2的正方形ABCD中，P，Q在正方形（含边）内，满足，则下列结论正确的是（    ）

A. 若点P在BD上时，则

B. 的取值范围为

C. 若点P在BD上时，

D. 若P，Q在线段BD上，且，则的最小值为1

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用向量共线定理推论可判断A，利用向量的线性运算几何表示可判断B，利用向量的数量积的定义及运算律可判断C，利用向量数量积的坐标运算及二次函数的性质可判断D.

【详解】当点P在BD上时，因为，所以，故A正确；

因为P在边长为2的正方形ABCD（含边）内，且，

所以，则，故B错误；

当点P在BD上时，，

所以，故C正确；

若P，Q在线段BD上，且，如图建立平面直角坐标系，

设，则，，

∴

∴当时，有最小值为1，故D正确.

故选：ACD.

第II卷非选择题部分

三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.

13 已知，，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】

运用同角的平方关系和两角和的正弦公式，即可得到所求值.

【详解】

所以.

故答案为：

【点睛】利用三角公式求三角函数值关键：

(1)角的范围的判断和选择合适的公式；

(2)把待求角用已知角表示，利用三角公式化简求值．

14. ______．

【答案】1

【解析】

【分析】利用两角和的正切公式计算即可.

【详解】因为，

所以．

故答案为：1.

15. 已知，，，则等于________．

【答案】

【解析】

【分析】利用向量加法的平行四边形法则，几何法求向量的模.

【详解】如图，由，∴四边形OACB为菱形．

连接OC、AB，则，设垂足为D．

∵ ，，∴在中， ．

∴

故答案为：

16. 将函数的图象向右平移个单位，再向上平移一个单位，得到的图像，若，且，则的最大值为___________．

【答案】##

【解析】

【分析】首先求出平移后的解析式为，根据其值域得到，则，再结合的范围得到最大值.

【详解】将函数的图象向右平移个单位长度,

再向上平移1个单位长度,

得到的图象，

，则，

故函数的最大值为2,最小值为0，若,

则,或(舍去).

故有,即.

又,.要使取得最大值,

则应有,

故取得最大值为，

故答案为：.

四､解答题：本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知向量，，与的夹角为.

（1）求；

（2）求.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据数量积的定义计算可得；

（2）根据数量积的运算律计算可得.

【小问1详解】

因为，，与的夹角为，

所以

【小问2详解】

.

18. 已知角的顶点与原点O重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆交点为.

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由任意角的三角函数的定义，可得，的值，再根据两角和的余弦公式计算可得；

（2）根据同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算即可；

【小问1详解】

因为角终边与单位圆交点为，

所以，，      

所以．

【小问2详解】

由（1）可得，

所以

.

19. （1）求值：；

（2）化简：.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】（1）利用诱导公式及两角和的余弦公式计算可得；

（2）利用诱导公式化简即可.

【详解】（1）

．

（2）.

20. 已知函数.在下面两个条件中选择其中一个，完成下面两个问题：

条件①：在图象上相邻的两个对称中心的距离为；条件②：的一条对称轴为.

（1）求和对称中心；

（2）将的图象向右平移个单位（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数在上的值域.

【答案】（1），对称中心为，   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据所选条件，利用正弦函数的对称性结合的解析式求出的值，即可得到函数解析式，再根据正弦函数的性质求出对称中心坐标．

（2）由三角函数的平移变换得的解析式，再由正弦函数的性质求出值域作答.

【小问1详解】

若选①：函数图象上相邻的两个对称中心的距离为，

因此函数的周期，

所以，则，令，，解得，，

所以函数的对称中心为，.

若选②：函数图象的一条对称轴为，

则，解得，而，则，

所以，则，令，，解得，，

所以函数的对称中心为，.

【小问2详解】

由（1）知，将的图象向右平移个单位长度（纵坐标不变），

得到函数，

因为，则，，

则，

所以函数在上的值域是.

21. 已知函数的最小正周期为8．

（1）求的值及函数的单调减区间；

（2）若，且，求的值．

【答案】（1），[](k∈Z)；   

（2）．

【解析】

【分析】(1)化简f(x)，根据最小正周期求出ω，再求f(x)单调减区间；

(2)由求出，在结合求出，最后利用正弦的和角公式求﹒

【小问1详解】

由已知可得，，

∵的最小正周期，∴，

∴，

由得，

∴f(x)的单调递减区间为[](k∈Z)；

【小问2详解】

∵，由(1)有，

即，

由，知；

∴，

故

﹒

22. 已知向量，，函数，，．

（1）当时，求的值；

（2）若的最小值为，求实数的值；

（3）是否存在实数，使函数，有四个不同的零点？

【答案】(1)；(2)；(3)存在，．

【解析】

【分析】先根据向量，的坐标表示求出，.

(1) 根据写出的表达式，再求的值；

(2)根据，写出的表达式并利用余弦二倍角公式化为关于的三角函数，再利用换元法将问题转化为求二次函数已知定区间上的最小值求参数问题，再利用分类讨论求解；

(3)令，解出或，再根据在有四个不同的零点列条件求解.

【详解】因为，，

所以，

，

.

(1)当时，，

有.

(2)因为，所以，

则，

令，则，

则，函数图象开口向上，对称轴，

①当，即时，在上单调递增.

当时，函数取得最小值，此时最小值，解得(舍去)；

②当，即时，

当时，函数取得最小值，此时最小值，

解得，或(舍去)；

③当，即时，在上单调递减.

当时，函数取得最小值，此时最小值，解得(舍去).

综上可知，若的最小值为，则实数.

（3）令，得或，

所以方程或在上有四个不同的实根，

则，得，则，

即实数m的取值范围是．

【点睛】思路点睛：平面向量与三角恒等变换综合问题可从以下几点出发：

(1)利用平面向量的线性运算，数量积公式求出相关的量或式子；

(2)利用三角恒等变换进行化简，求值；