2022-2023学年内蒙古呼和浩特市赛罕区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年内蒙古呼和浩特市赛罕区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列式子，是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图所示，在边长为的小正方形组成的网格中，点，都是格点，则线段的长是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列命题正确的是(    )

A. 形如的式子叫做二次根式
B. 一组邻边相等的矩形是正方形
C. 对角线相等的四边形是矩形
D. 在直角三角形中，三边，，满足的关系是

5.  下列计算正确的有几个(    )
；
；
；
．

A.  B.  C.  D.

6.  分别满足下列条件的三角形不是直角三角形的是(    )

A. 三边之比为 B. 三边长依次是，，
C. 三边之比为 D. 三内角之比为：：

7.  如图，点在正方形内，满足，，，则阴影部分的面积是(    )
 

A.  B.  C.  D.

8.  已知平行四边形，下列结论不正确的是(    )

A. 当时，它是矩形 B. 当时，它是矩形
C. 当平分时，它是菱形 D. 当时，它是菱形

9.  如图，已知矩形中，，过点，作相距为的平行线段，分别交，于点，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  已知，则的值为(    )

A.  B.  C. 或 D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  代数式的的取值范围是______ ．

12.  已知，则的值是______ ．

13.  已知一个圆的半径为，一矩形的长为，若该圆的面积与矩形的面积相等，则矩形的宽为______．

14.  如图，在矩形中，对角线、相交于点，点、分别是、的中点，若，，则______．

15.  如图四边形中，，，，，则四边形的面积是______ ．

16.  如图，已知菱形的周长为，面积为，为的中点．若为对角线上一动点，则的最小值为________．
 

三、解答题（本大题共7小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
；
．

18.  本小题分
化简求值：，其中实数，满足．

19.  本小题分
已知平行四边形，，相交于点，点，在上，且．
求证：四边形是平行四边形；
若，判断四边形的形状，说明理由．

20.  本小题分
如图，在四边形中，，，，分别为，的中点，连接，，．
求证：；
若，平分，，求长．

21.  本小题分
已知，，满足，问以，，为边能否构成三角形，若能，求出此三角形的面积，若不能，请说明理由．

22.  本小题分
已知和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上，若，，求的长．

23.  本小题分
“弦图”不仅是证明勾股定理的一种方法，也是解决直角三角形问题可用的方法，请用弦图的模型解决下列问题：
用四个斜边长为，一条直角边长为的直角三角形如图所示的正方形和小正方形，求小正方形的对角线的长；
如图，边长为的正方形内有两个全等的直角三角形，一条直角边，求两个直角顶点这距离；
已知，，，，以为一直角边作等腰直角三角形，且，点是的中点，则 ______ ．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C、是最简二次根式，故此选项符合题意；
D、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义判断即可．
本题考查了最简二次根式，如果二次根式满足：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式．
 

2.【答案】 

【解析】解：由图可知，
故选：．
由勾股定理可得出答案．
此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：．，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项符合题意；
D.，故此选项不合题意．
故选：．
直接利用二次根式的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的乘除法以及二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、形如的式子叫做二次根式，故本选项命题错误，不符合题意；
B、一组邻边相等的矩形是正方形，命题正确，符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项命题错误，不符合题意；
D、在直角三角形中，，三边，，满足的关系是，故本选项命题错误，不符合题意；
故选：．
根据二次根式的定义、正方形的判定、矩形的判定、勾股定理判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 

5.【答案】 

【解析】解：，原计算错误，不符合题意；
与不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意；
与不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意；
，正确，符合题意．
故选：．
根据二次根式混合运算的法则对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、设最小边为，，是直角三角形，此选项不符合题意；
B、，是直角三角形，此选项不符合题意；
C、设最小边为，，是直角三角形，此选项不符合题意；
D、根据三角形内角和定理，可得最大角为，所以不是直角三角形，此选项符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理判断、、；根据三角形内角和定理判断．
本题考查的是勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，，
在中，，
，


．
故选：．
由已知得为直角三角形，用勾股定理求正方形的边长，用求面积．
本题考查了勾股定理的运用，正方形的性质．关键是利用是直角三角形求正方形面积，运用勾股定理及面积公式求解即可．
 

8.【答案】 

【解析】解：、当时，它是矩形，故此选项结论不符合题意；
B、当时，它是菱形，故此选项说法不正确，符合题意；
C、当平分时，它是菱形，故此选项说法正确，不符合题意；
D、当时，它是菱形，故此选项说法正确，不符合题意；
故选：．
根据对角线相等的平行四边形是矩形可得A错误；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得B正确；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得C正确；根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得D正确．
此题主要考查了菱形和矩形的判定，关键是掌握菱形和矩形的判定定理．
菱形的判定：菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形．对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
矩形的判定：矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形．
 

9.【答案】 

【解析】解：过点作于，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
故选：．
由“”可证≌，可得，通过证明四边形是平行四边形，可得，，由勾股定理可求解．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
则两边平方得，
整理得，
两边平方得，
所以，即，
所以，即，
故选：．
由已知得，两边平方整理可得，从而可选出正确答案．
本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式．本题的关键是通过移项平方去掉根号，从而进行计算．
 

11.【答案】且 

【解析】解：代数式代数式有意义，
，
解得且，
的取值范围是且；
故答案为：且．
根据分式的分母不能为和二次根式的被开平方数大于等于进行求解．
此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，




．
故答案为：．
由，可得，将式子变形为，再代入计算即可．
本题考查了二次根式的化简求值，掌握完全平方公式是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：设矩形的宽为，
则，
．
故答案为：．
根据“圆的面积与矩形的面积相等”列方程即可计算出矩形的宽．
本题考查二次根式的应用，解题关键是圆及矩形的面积公式．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，，
由勾股定理得：，
，
点、分别是、的中点，
，
故答案为：．
根据矩形性质得出，，，根据勾股定理求出，求出、，根据三角形中位线求出即可．
本题考查了勾股定理，矩形性质，三角形中位线的应用，关键是求出长．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，
是等腰直角三角形，
在中，
，
，
，，
，
是直角三角形，且，
四边形的面积


．
故答案为：．
连接，判定是等腰直角三角形，即可得出，再根据勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形，且，依据三角形面积计算公式，即可得到四边形的面积．
此题主要考查了勾股定理以及逆定理的运用，解决问题的关键是求出，再求出．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查轴对称最短问题、菱形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明是的高，学会利用对称解决最短问题，作于，交于，连接、首先证明与重合，因为、关于对称，所以当与重合时，的值最小，由此求出即可解决问题．
【解答】

解：如图，作于，交于，连接、．

已知菱形的周长为，面积为，
，，
，
在中，，
，
与重合，
四边形是菱形，
垂直平分，
、关于对称，
当与重合时，的值最小，最小值为，
故答案为．
 

17.【答案】解：原式

；
原式
． 

【解析】根据分母有理化法则和二次根式的计算法则计算即可；
先计算二次根式的乘除，再计算加减即可．
本题考查二次根式的混合运算、分母有理化，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
 

18.【答案】解：


，
，
，，
解得：，，
，
，
原式

． 

【解析】利用二次根式的化简的法则对式子进行化简，再结合二次根式有意义的条件求得，的值，代入运算即可．
本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

19.【答案】证明：在▱中，，，
．
，
四边形是平行四边形；
解：平行四边形是菱形，理由如下：
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
平行四边形为菱形，
，
平行四边形是菱形． 

【解析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明；
根据平行四边形的性质可得，然后利用菱形的性质可得，进而可以证明四边形是菱形．
本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
 

20.【答案】证明：，为的中点，
，
、分别为、的中点，
，
，
；
解：，平分，
，
，为的中点，
，
，
，
、分别为、的中点，，
，，
，
，
即是等腰直角三角形，
由勾股定理得：． 

【解析】根据三角形的中位线的，根据直角三角形斜边上的中位线求出，即可得出答案；
求出，根据角平分线的定义求出，求出，，求出是等腰直角三角形，再根据勾股定理求出即可．
本题考查了三角形的中位线性质，直角三角形斜边上的中线性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质等知识点，能根据三角形的中位线和直角三角形斜边上的中线性质求出是解此题的关键．
 

21.【答案】解：，
，，，
解得，负值舍去，．
，
以，，为边能构成三角形，
，，
，
此三角形是直角三角形．
此三角形的面积为：．
答：以，，为边能构成三角形，此三角形的面积为． 

【解析】根据二次根式的被开方数的非负性，绝对值和偶次方的非负性可得、和的值．先计算两条较短边的长度之和大于第三边，则可判断，，为边能构成三角形；再根据勾股定理逆定理可证明此三角形是直角三角形，然后根据直角三角形的面积计算公式求得面积即可．
本题考查了二次根式有意义的条件、绝对值和偶次方的非负性、三角形的三边关系和勾股定理逆定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图，连接，
和都是等腰直角三角形，
，，，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
． 

【解析】连接，根据等腰直角三角形的性质证明≌，得，根据勾股定理求出，再根据等腰直角三角形的性质即可求出．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是得到≌．
 

23.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
，
又，
，
四边形是正方形，
；
如图，延长交于，延长交于，

由可知四边形是正方形，
在中，，，，
，
，
，
，
即两个直角顶点的距离；
如图，补画出正方形和个全等的直角三角形，则四边形是正方形，

在中，，，，
，
又，
，
点是中点，
点是正方形和正方形的中心，
是等腰直角三角形，
．
故答案为：．
先用勾股定理求出的长，然后求出小正方形的边长，即可求出对角线长；
延长交于，延长交于，根据中方法即可求出两个直角顶点这距离；
补画出正方形，结合中方法先求出中间小正方形的对角线长，即可求出的长．
本题是四边形综合题，主要考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识点，深入理解题意是解决问题的关键．