2022-2023学年广东省云浮市罗定一中九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省云浮市罗定一中九年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  “翻开人教版数学九年级下册课本恰好翻到相似部分”这个事件是(    )

A. 随机事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 无法确定

2.  如图所示几何体的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  如图，在中，，，，则的值是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  反比例函数的图象位于(    )

A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限

5.  如图，已知，：：，若，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  以原点为中心，把点逆时针旋转得到点，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  关于的一元二次方程，若，则该方程必有一个根是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，正六边形内接于，若的周长是，则正六边形的边长是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  二次函数的图象大致为(    )

A.  B.
C.  D.

10.  如图，在正方形中，是的中点，是上一点，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  在中，，若，则的度数是______ ．

12.  动车上二等座车厢每排都有，，，，五个座位，其中和是靠窗的座位某天，小刘计划从龙岩坐动车前往福州出差，于是在铁路平台上购买动车票，若购票时系统随机为每位乘客分配座位，则他的座位是靠窗的概率为        ．

13.  若∽，且，若的面积为，则的面积为______ ．

14.  如图，点在反比例函数的图象上，过分别作轴、轴的垂线，垂足分别为点、，已知矩形的面积为，则 ______ ．

15.  如图，内接于，，若，则的长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：
；
．

17.  本小题分
已知平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为
、、．
画出关于轴的对称图形；
画出以点为位似中心，位似比为：的．

 

18.  本小题分
如图是一个几何体的三视图，其中俯视图为正三角形．
这个几何体的名称为______ ；
求该几何体的左视图中的值．

19.  本小题分
如图所示，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点．
求反比例函数和一次函数的表达式；
根据图象直接写出不等式的解集．

20.  本小题分
罗定文塔高立于滤江曲水环抱的一个半岛上，建筑宏伟壮观，是罗定年代最早的高层建筑如图，数学兴趣小组为测量罗定文塔的高度，在离底部点米的点处，用高米的测角仪测得塔尖的仰角，求罗定文塔的高度结果精确到米，参考数据：，，

 

21.  本小题分
如图，在平行四边形中，在的延长线上取一点，使，连接，与交于点．
求证：∽；
求的长．

22.  本小题分
已知，在中，，以为直径的与相交于点，在上取一点，使得，
求证：是的切线．
当，时，求的半径．

23.  本小题分
如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，过点作轴于点，将沿所在直线翻折，使点恰好落在抛物线上的点处．

求点，的坐标及直线的解析式；
连接，求的面积；
抛物线上是否存在一点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：“翻开人教版数学九年级下册课本恰好翻到相似部分”这个事件是随机事件，
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

2.【答案】 

【解析】解：该几何体的主视图如下：
．
故选：．
根据主视图的定义，从几何体的正面看所得到的图形是主视图，即可进行解答．
本题主要考查简单组合体的三视图，熟练掌握简单组合体的三视图的知识是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，，
，
故选：．
根据锐角三角函数的定义得出，再代入求出答案即可．
本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：依题意可知，图象位于第二、四象限．
故选：．
反比例函数的图象时位于第一、三象限；时位于第二、四象限．
本题考查了反比例函数的图象和性质，正确注意中的取值与图象所在象限的关系是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
即，
．
故选：．
由，利用平行线分线段成比例，可求出的长．
本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图所示，建立平面直角坐标系，

由图可知：；
故选：．
建立平面直角坐标系，数形结合求出点的坐标即可．
本题考查了坐标系下的旋转，利用数形结合的思想求解更形象直观．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意，一元二次方程满足且，
当时，代入方程，有；
综上可知，方程必有一根为．
故选：．
由满足且，可得：当时，有故问题可求．
此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
 

8.【答案】 

【解析】解：连接、，如图：

的周长等于，
的半径，
六边形是正六边形，
，
是等边三角形，
，
即正六边形的边长为，
故选：．
连接、，根据的周长等于，可得的半径，而六边形是正六边形，即知，是等边三角形，即可得正六边形的边长为．
本题考查正多边形与圆的相关计算，解题的关键是掌握圆内接正六边形中心角等于，从而得到是等边三角形．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意，，则该二次函数图象开口向下，
且当时，，故其过原点，
分析选项可得，只有符合，
故选：．
根据题意，，则该二次函数图象开口向下，且当时，，故其过原点，由此分析选项可得答案．
解决此类问题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质如开口方向、对称轴、顶点坐标等与系数的关系．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
∽，
，
是的中点，，
，
解得：，
在中，，，
，
故选：．
根据正方形的性质和等角的余角相等证得，再根据相似三角形的判定与性质证明∽得到，进而求得、，然后利用勾股定理求解即可．
本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等角的余角相等，熟练掌握相关知识的联系与运用，会利用相似三角形的性质求线段长是解答本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：在中，，若，
，
，
故答案为：．
根据特殊角的三角形函数值求解即可．
本题考查了解直角三角形，掌握特殊角的三角形函数值是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：动车上二等座车厢每排都有，，，，五个座位，其中和是靠窗的座位，
小刘的座位是靠窗的概率为，
故答案为：．
直接由概率公式求解即可．
本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：∽，且，
，
，
故答案为：．
相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此可解．
本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
图象在二、四象限，
，
，
故答案为：．
根据反比例函数的几何意义可得，再根据图象在二、四象限可确定，进而得到解析式．
本题考查反比例函数系数的几何意义，正确记忆过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接、，
在中，，，
，
由圆周角定理得：，
则，
的长为：，
故答案为：．
连接、，根据三角形内角和定理求出，根据圆周角定理求出，根据等腰直角三角形的性质求出，根据弧长公式计算，得到答案．
本题考查的是圆周角定理、弧长的计算、等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理，掌握弧长公式是解题的关键．
 

16.【答案】解：，
，
，
，
，．
，
，，，
，
，
，． 

【解析】根据配方法的步骤，先把方程配方，得出，再进行计算即可．
一元二次方程的求根公式，先求出，，，再代入计算即可，
此题考查了公式法和配方法解一元二次方程，用到的知识点是一元二次方程的求根公式、配方法，注意根据方程的特点选择合适的解法．
 

17.【答案】解：如图所示．

如图所示．
 

【解析】作三个点关于轴的对称点，再依次连接可得答案；
连接，并延长至，使，同理得出点，，再依次连接可得答案．
本题主要考查了作成轴对称的图形和位似图形，作成轴对称的图形或位似图形的重点都是找到关键点．
 

18.【答案】正三棱柱 

【解析】解：这个几何体的名称为正三棱柱．
故答案为：正三棱柱；
如图，由图形中所标识的数据可知，
在俯视图中，，是正三角形，过点作于，
，
，
故左视图中的的值为．
根据正三棱柱的特征即可求解；
根据三视图的定义以及正三角形的性质进行计算即可．
本题考查了由三视图判断几何体，简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的形状以及正三角形的性质是解决问题的前提．
 

19.【答案】解：将点坐标代入反比例函数解析式中，得，
，
反比例函数的表达式，
将点代入得，
，
将、点代入中，得，
解得，
一次函数的表达式；
不等式的解集是或 ． 

【解析】利用待定系数法即可求得函数的解析式；
一次函数的值小于反比例函数的值的的取值范围，就是对应的一次函数的图象在反比例函数的图象的下边的自变量的取值范围．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了用待定系数法求函数解析式，函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
 

20.【答案】解：依题意，米，米，
在中，，
米，
米，
答：罗定文塔的高度为米． 

【解析】根据示意图得出米，米，在中，根据，得出，进而根据，即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角，掌握三角函数关系是解题的关键．
 

21.【答案】证明：四边形为平行四边形，
，即，
，，
∽；
解：四边形为平行四边形，
，，
，即．
∽，
，即．
，
． 

【解析】由平行四边形的性质可得出，从而得出，，即证明∽；
由平行四边形的性质可得出，，即得出，再根据相似三角形的性质可得出，即，最后结合，即可求出的长．
本题考查平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质．熟练掌握三角形相似的判定定理及其性质是解题关键．
 

22.【答案】证明：连接、，
在和中，
，
≌，
，
是的切线；
解：≌，
，
，
，
，
，
，又，
，
由勾股定理得，，
则的半径为． 

【解析】连接、，证明≌，得到，证明结论；
根据全等三角形的性质得到，根据三角形的外角的性质得到，得到，求出，根据勾股定理计算即可．
本题考查的是切线的判定、全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理的应用，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
 

23.【答案】解：对于，当时，，
令，则或，
则点、的坐标分别为：、，
将沿所在直线翻折，使点恰好落在抛物线上的点处，
则所在的直线为抛物线的对称轴，则点，点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
当时，，即点；
即，的坐标分别为：、，直线的解析式为；

的面积；

存在，理由：
当点在轴下方时，如下图，

，
则直线，
故直线的表达式为：，
联立得：，
解得：，即点；
当点在轴上方时，
同理可得，直线的表达式为：，
同理可得，点的坐标为：；
综上，点的坐标为：或． 

【解析】由待定系数法求出直线的表达式，进而求解；
由的面积，即可求解；
当点在轴下方时，求出直线的表达式，即可求解；当点在轴上方时，同理可解．
本题是二次函数综合题，涉及到一次函数的性质、面积的计算、图形的翻折等，分类求解是本题解题的关键．