2022-2023学年湖南省衡阳实验中学七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省衡阳实验中学七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各式中：；；；；；是方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若是方程的解，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  解方程时，去分母正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  下列说法中，正确的是(    )

A. ，，都是无理数 B. 绝对值最小的实数是
C. 实数分为正实数和负实数两类 D. 无理数包括正无理数、负无理数和零

5.  如图图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  从长度为、、、的四条线段中，任意取出三条线段，能围成三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

7.  不等式组的解集在数轴上表示正确的为(    )

A.  B.
C.  D.

8.  能够铺满地面的正多边形组合是(    )

A. 正六边形和正五边形 B. 正方形和正八边形
C. 正五边形和正八边形 D. 正三角形和正八边形

9.  如图是位于汾河之上的通达桥，是山西省首座独塔悬索桥，是连接二青会的水上运动、沙滩排球等项目及场馆的主要通道，被誉为“时代之门”桥身通过吊索与主缆拉拽着整个桥面，形成悬索体系使其更加稳固其中运用的数学原理是(    )

A. 三角形具有稳定性 B. 两点确定一条直线
C. 两点之间，线段最短 D. 三角形的两边之和大于第三边

10.  定义，则方程的解为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如图，小亮从点出发，沿直线前进向左转再沿直线前进，又向左转，照这样走下去，他第一次回到出发地点时，一共走了(    )

A.
B.
C.
D.

12.  如图，将绕点逆时针旋转一定角度，得到若，，且，的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.  已知方程，用含的代数式表示，则 ______ ．

14.  的算术平方根是______．

15.  某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送件，还剩件；若每个快递员派送件，还差件设该分派站有名快递员，则可列方程为______ ．

16.  如图为个边长相等的正方形的组合图形，则______．

17.  如果不等式的解集是，那么的取值范围是______ ．

18.  如果是一个有理数，我们把不超过的最大整数记作例如，，，那么，，其中例如，，，现有，则的值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
解方程组：．

20.  本小题分
解不等式组：．

21.  本小题分
甲车从地开往地，乙车从地开往地，两车同时出发，沿着，两地间的同一条笔直的公路匀速行驶，出发小时后两车相距千米，又过小时，两车又相距千米，且此时两车均未到达终点，求，两地间的距离．

22.  本小题分
已知方程组的解满足的值为正数，的值为负数．
求的取值范围；
化简：．

23.  本小题分
某中学为落实教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理的通知文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球，已知购买个篮球和个足球共需费用元；购买个篮球和个足球共需费用元．
求篮球和足球的单价分别是多少元；
学校计划采购篮球、足球共个，并要求篮球不少于个，且总费用不超过元那么有哪几种购买方案？

24.  本小题分
阅读探索：
小明在解方程组时发现若设，，
则方程组可变为，解此方程组得：，
即，所以．
请你模仿运用上述方法解下列方程组；
若已知关于、的方程组的解是，请直接写出关于、的方程组的解．

25.  本小题分
在中，与的平分线相交于点．

如图，若，求的度数；
如图作外角，的平分线，相交于点试探索与之间的数量关系；
如图，在图中延长线段，交于点，若在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，求的度数．

26.  本小题分
如图，有一副直角三角板如图放置其中，，，与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点逆时针旋转．
在图中， ______ ；
如图，若三角板保持不动，三角板绕点逆时针旋转，转速为秒，转动一周三角板就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有成立；
如图，在图基础上，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，同时三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，当转到与位置重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当时，求旋转的时间是多少？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是方程的定义，熟知含有未知数的等式叫方程是解答此题的关键．
根据方程的定义对各小题进行逐一分析即可．
【解答】
解：符合方程的定义，故本小题符合题意；
不含有未知数，不是方程，故本小题不合题意；
不是等式，故本小题不合题意；
符合方程的定义，故本小题符合题意；
符合方程的定义，故本小题符合题意；
不是等式，故本小题不合题意．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：把代入方程，
可得：，
解得：，
故选：．
根据方程解的定义，把代入方程，可解得．
本题主要考查方程解的定义，解题的关键是把方程的解代入方程得到所求参数的方程．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
去分母，方程两边同乘得：
，
故选：．
按照解一元一次方程的步骤进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：．，，，其中是有理数，故此选项不合题意；
B.绝对值最小的实数是，故此选项符合题意；
C.实数分为正实数和负实数、零，故此选项不合题意；
D.无理数包括正无理数、负无理数，故此选项不合题意．
故选：．
直接利用实数的分类以及无理数的分类、无理数的定义分别判断得出答案．
此题主要考查了实数的性质，正确掌握无理数以及实数的分类是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C.原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意；
D.原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

6.【答案】 

【解析】解：、，三条线段不能围成三角形，故A不符合题意；
B、，三条线段不能围成三角形，故B不符合题意；
C、，三条线段不能围成三角形，故C不符合题意；
D、，三条线段能围成三角形，故D符合题意．
故选：．
运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度，即可判定这三条线段能构成一个三角形．
本题主要考查了三角形的三边关系，用到的知识点为：组成三角形的两条小边之和大于最大的边．
 

7.【答案】 

【解析】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
将解集表示在数轴上如下：

故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：、正六边形的每个内角是，正方形的每个内角是，，显然取任何正整数时，不能得正整数，故不能铺满；
B、正五边形每个内角是，正八边形每个内角为度，，显然取任何正整数时，不能得正整数，故不能铺满；
C、正方形的每个内角为，正八边形的每个内角为，两个正八边形和一个正方形刚好能铺满地面；
D、正三角形每个内角为度，正八边形每个内角为度，，显然取任何正整数时，不能得正整数，故不能铺满．
故选：．
能够铺满地面的图形，即是能够凑成的图形组合．
此题考查的是平面镶嵌，掌握好平铺的条件，算出每个图形内角和即可．
 

9.【答案】 

【解析】解：桥身通过吊索与主缆拉拽着整个桥面，形成悬索体系使其更加稳固．其中运用的数学原理是：三角形具有稳定性．
故选：．
由三角形具有稳定性，即可得到答案．
本题考查三角形的稳定性，关键是掌握三角形具有稳定性．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据题中的新定义得：
，
，
，
，
解得：．
故选：．
利用题中的新定义化简已知等式，求出解即可得到的值．
本题考查了解一元一次方程，弄清题中的新定义是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：小亮每次都是沿直线前进后向左转度，
他走过的图形是正多边形，
边数，
他第一次回到出发点时，一共走了．
故选：．
根据题意，小亮走过的路程是正多边形，先用除以求出边数，然后再乘以即可．
本题考查了正多边形的边数的求法，多边形的外角和为；根据题意判断出小亮走过的图形是正多边形是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据旋转的性质知，，．
如图，设于点则，
在中，，
在中，，即的度数为．
故选：．
根据旋转的性质知，旋转角，对应角，则在直角中易求，所以利用的内角和是来求的度数即可．
本题考查了旋转的性质．解题的过程中，利用了三角形内角和定理和直角三角形的两个锐角互余的性质来求相关角的度数的．
 

13.【答案】 

【解析】解：方程，
解得：．
故答案为：．
将看作已知数求出即可．
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将看作已知数求出．
 

14.【答案】 

【解析】解：因为，
所以的算术平方根是．
故答案为：．
根据算术平方根的定义解答即可．
本题考查了数的算术平方根，解题的关键是牢记算术平方根为非负数．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意得．
故答案为：．
根据“若每个快递员派送件，还剩件；若每个快递员派送件，还差件”，即可得出关于的一元一次方程，求出答案．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：观察图形可知：≌，
，
又，
．
故答案为：．
观察图形可知与互余，利用这一关系可解此题．
本题考查了全等图形，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
．
故答案为：．
由题意可得，所以．
本题考查了不等式的性质，正确理解不等式的性质是解题的关键．
 

18.【答案】或或 

【解析】解：，其中，
，
，
，
，
，
，
，，，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
或或．
故答案为：或或．
根据，表示，再根据的范围建立不等式求的值．
本题考查了不等式的应用和新定义的理解和运用，正确理解表示不超过的最大整数是关键，有难度．
 

19.【答案】解：．
，可得：，
解得
把代入，解得，
原方程组的解是． 

【解析】利用加减消元法，求出方程组的解即可．
此题主要考查了解一元一次方程的方法，以及解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．
 

20.【答案】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

21.【答案】解：设，两地间的距离为千米，
根据题意得：，
解得：．
答：，两地间的距离为千米． 

【解析】设，两地间的距离为千米，利用速度路程时间，结合甲、乙两车的速度之和不变，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 

22.【答案】解：，
得，即，
得，即，
的值为正数，的值为负数，
，
，
故的取值范围是；
，


． 

【解析】首先对方程组进行化简求值，根据方程的解满足的条件得到关于的不等式组，然后求解即可得出的范围；
根据化简绝对值即可求解．
此题主要考查了二元一次方程组的解法、一元一次不等式组解集的求法及绝对值的化简，其一元一次不等式组解集的求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到无解．
 

23.【答案】解：设篮球的单价为元，足球的单价为元，
由题意可得：，
解得，
答：篮球的单价为元，足球的单价为元；
设果购篮球个，则果购足球为个，
要求篮球不少于个，且总费用不超过元，
，
解得，
为整数，
的值可为，，，．
答：共有四种购买方案，
方案一：采购篮球个，采购足球个；
方案二：采购篮球个，采购足球个；
方案三：采购篮球个，采购足球个；
方案四：采购篮球个，采购足球个． 

【解析】根据购买个篮球和个足球共需费用元；购买个篮球和个足球共需费用元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
根据要求篮球不少于个，且总费用不超过元，可以列出相应的不等式组，从而可以求得篮球数量的取值范围，然后即可写出相应的购买方案．
本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式组．
 

24.【答案】解：设 ，，
则方程组可变为，
解此方程组得：，
即，所以；
设，，
则原方程组可变形为，
关于、的方程组的解是，
，
解得． 

【解析】用换元法解方程组；
结合换元法，利用已知方程组的解分析计算．
本题考查解二元一次方程组，二元一次方程组的解，正确理解并熟练掌握换元法是解题关键．
 

25.【答案】解：．
，
点是和的平分线的交点，
，
外角，的角平分线交于点，



，
；
延长至，
为的外角的角平分线，
是的外角的平分线，
，
平分，
，
，
，
即，
又，
，即；


．
如果中，存在一个内角等于另一个内角的倍，那么分四种情况：
，则，；
，则，，；
，则，解得；
，则，解得．
综上所述，的度数是或或． 

【解析】运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题；
根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解；
在中，由于，求出，，所以如果中，存在一个内角等于另一个内角的倍，那么分四种情况进行讨论：；；；；分别列出方程，求解即可．
本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．
 

26.【答案】 

【解析】解：，，
，
故答案为：；
如图，此时，成立，
，，
，
，
，
，
转速为秒，
旋转时间为秒；
如图，，
，，
，
，
，
，
三角板绕点逆时针旋转的角度为，
转速为秒，
旋转时间为秒，
综上所述，当旋转时间为或秒时，成立；
设旋转的时间为秒，由题知，，，
，
，
当，即，
解得：，
当，求旋转的时间是秒．
根据平角的定义即可得到结论；
如图，根据平行线的性质得到，求得，于是得到结论；如图，根据平行线的性质得到，根据三角形的内角和得到，求得，于是得到结论；
设旋转的时间为秒，由题知，，，根据周角的定义得到，列方程即可得到结论．
本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形的内角和，识别图形是解题的关键．