四川省成都市石室中学2022-2023学年高三数学下学期三诊复习（理科）试题九（Word版附答案）

成都石室中学高2023届三诊模拟九（理科）

一、单选题(共60分)

1．若集合，则的元素个数为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

2．复数与下列复数相等的是（    ）

A．   B．  C．  D．

3．已知平面向量，满足，，，则（        ）

A．2 B．5 C．10 D．

4．若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数等于（    ）

A． B． C． D．

5．尿酸是鸟类和爬行类的主要代谢产物，正常情况下人体内的尿酸处于平衡的状态，但如果体内产生过多来不及排泄或者尿酸排泄机制退化，则体内尿酸滞留过多，当血液尿酸浓度大于7mg/dL时，人体体液变酸，时间长会引发痛风，而随低食物（低嘌呤食物）对提高痛风病人缓解率、降低血液尿酸浓度具有较好的疗效．科研人员在对某类随低食物的研究过程中发现，在每天定时，定量等特定条件下，可以用对数模型描述血液尿酸浓度（单位：mg/dL）随摄入随低食物天数t的变化规律，其中为初始血液尿酸浓度，K为参数．已知，在按要求摄入随低食物50天后，测得血液尿酸浓度为15，若使血液尿酸浓度达到正常值，则需将摄入随低食物的天数至少提高到（）（    ）

A．69 B．71 C．73 D．75

6．刘徽的《九章算术注》中有这样的记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意思是说：把一块长方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一块堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积比为2：1，这个比率是不变的．如图所示的三视图是一个鳖臑的三视图，则其分割前的长方体的体积为（    ）

A．2 B．4 C．12 D．24

7．积极参加公益活动是践行社会主义核心价值观的具体行动．现将包含甲、乙两人的5位同学分成2个小组分别去敬老院和老年活动中心参加公益活动，每个小组至少一人，则甲、乙两名同学不分在同一小组的安排方法的总数为（    ）

A．12 B．14 C．15 D．16

8．蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点A，B，C，D，四面体ABCD的体积为，BD经过该鞠的中心，且，，则该鞠的表面积为（    ）

A． B． C． D．

9．在等比数列中，公比，且，则（    ）

A．3 B．12 C．18 D．24

10．已知函数及其导函数定义域均为R，满足，记，其导函数为且的图象关于原点对称，则（    ）

A．0 B．3 C．4 D．1

11．已知、是椭圆与双曲线的公共顶点，是双曲线上一点，，交椭圆于，.若过椭圆的焦点，且，则双曲线的离心率为（    ）

A．2 B． C． D．

12．若，则以下不等式成立的是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题(共20分)

13．已知，的展开式中存在常数项，写出n的一个值为____________.

14．已知某弹簧振子的位移（单位：cm）与时间（单位：s）满足，初始时将弹簧振子下压至后松开，经过测量发现弹簧振子每10s往复振动5次，则在第45s时，弹簧振子的位移是______cm.

15．已知焦点坐标为的抛物线上有两点满足，以线段为直径的圆与轴切于点，则__________．

16．已知数列，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推.将该数列前项的和记为，则使得成立的最小正整数的值是______.

三、解答题(共70分)

17．在△ABC中，D为边BC上一点，，，．

(1)求；

(2)若，求内切圆的半径．

18．如图，在三棱台中，.

(1)求证：平面平面；

(2)若四面体的体积为2，求二面角的余弦值.

19．李医生研究当地成年男性患糖尿病与经常喝酒的关系，他对盲抽的60名成年男性作了调查，得到如下表统计数据，还知道被调查人中随机抽一人患糖尿病的概率为.

(1)写出本研究的列联表，依据小概率值的独立性检验，判断当地成年男性患糖尿病是否和喝酒习惯有关联？

(2)从该地任选一人，表示事件“选到的人经常喝酒”，表示事件“选到的人患糖尿病”，把与的比值叫“常喝酒和患糖尿病的关联指数”，记为.

（ⅰ）利用该调查数据求的值；

（ⅱ）证明：.

参考公式及数表：，

20．已知离心率为的椭圆的左焦点为，左、右顶点分别为、，上顶点为，且的外接圆半径大小为．

(1)求椭圆方程；

(2)设斜率存在的直线交椭圆于两点（位于轴的两侧），记直线、、、的斜率分别为、、、，若，求面积的取值范围．

21．已知函数，．

(1)若，证明：在上单调递增．

(2)若存在两个极小值点．

①求实数的取值范围；

②试比较与的大小．

22．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数方程为（为参数）.

(1)写出C的普通方程和极坐标方程：

(2)设直线与C交于点A，B，求的最大值.

参考答案：

1．C

【详解】由题意得，，

故，即共有4个元素，

故选：C．

2．B

【详解】由题设，，故A、C、D错误；

而，故B正确.

故选：B

3．B

【详解】，，，

.

故选：B.

4．C

【分析】由导数的几何意义求解即可.

【详解】∵，∴，

∴曲线在点处的切线的斜率，

∵切线与直线垂直，∴直线的斜率为，

∴.

故选：C.

5．D

【详解】由函数模型，当时,,

可得,即①.

设血液尿酸浓度达到正常值7mg/dL时，摄入天数为,

则，即②,

②①得，即，则.

故选：D.

6．D

【详解】根据鳖臑的正视图得原长方体的长为3，根据鳖臑的俯视图得原长方体的宽为2，根据鳖臑的侧视图得原长方体的高为4，所以长方体的体积.

故选：D

7．D

【详解】若按分组，甲、乙两名同学不分在同一小组的安排方法有种；

若按分组，甲、乙两名同学不分在同一小组的安排方法有种，

故甲、乙两名同学不分在同一小组的安排方法有种．

故选：D．

8．D

【详解】如图，取AC的中点M，连接BM与球O交于另一点N，连接OM，DN，

易知AC为圆面ABC的直径，平面ABC，

因为O，M分别为BD，BN的中点，所以，

所以平面ABC，

∵，∴，

即，在中，，

∴，∴，∴球O的表面积为．

故选：D．

9．B

【详解】，.

故选:B.

10．D

【详解】由关于原点对称，则关于轴对称，且，

所以关于对称，关于对称，且，

又，即，则关于对称，

综上，，，则，

所以，而，故，

又，则关于对称，即，

所以，则，

所以.

故选：D

11．D

【详解】如图，设，点共线，点共线，所在直线的斜率分别为，

点在双曲线上，即，有，因此，

点在椭圆上，即，有，直线的斜率，有，

即，于是，即直线与关于轴对称，

又椭圆也关于轴对称，且过焦点，则轴，令，由得，

显然，，

，

解得，所以双曲线的离心率.

故选：D

12．A

【详解】显然，

函数，求导得，

即函数在上单调递减，于是，即，

由得，A正确；由得，B错误；

由得，C错误；由得，D错误．

故选：A

13．3（答案不唯一）

【详解】二项式的展开式的通项为

，

因为二项式的展开式中存在常数项，所以有解，

即，可得n的一个值为3.

故答案为：3（答案不唯一）

14．

【详解】由题意，且最小正周期，即，故，

所以，且，即，

不妨令，故，

当，则.

故答案为：

15．4

【详解】由条件知，抛物线C的方程为，

根据以线段为直径的圆与y轴切于点，则圆心的纵坐标为，可得，所以，

于是，

故直线的斜率，则直线的方程为，代入抛物线方程可得，解得或，

因为，所以，所以，

由于，结合图形可知，所以．

故答案为：.

16．

【详解】将已知数列分组，每组的第一项均为，即第一组：；第二组：；第三组：；依此类推；

将各组数据之和记为数列，则，

记数列的前项和为，则；

，；

对应中项数为项，即，

，，

则使得成立的最小正整数.

故答案为：.

17．【详解】（1）设，

∴，，

在中，由正弦定理可得，

在中，，又，

所以，

∴，

∴，

∴．

（2）∵，

∴，又易知为锐角，

∴，∴，，

∵，∴，∴中，，

又，

在中，由余弦定理可得，

∴．

设的内切圆半径为r，则，

则.

18．【详解】（1）（1）延长三条侧棱交于点.因为所以， 分别为中点，且.

因为，所以.

取的中点，则.

因为

所以所以.

，则，故，

即.

因为，,平面,平面,

所以平面.

又平面，故平面平面.

（2）因为，所以.

而,

所以，解得：.

以为坐标原点，为轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

则，

设为面的一个法向量，

因为，所以，

不妨设，则面的一个法向量.

同理可求得面的一个法向量.

由图示，二面角的平面角为锐角，

所以，

所以二面角的余弦值为.

19．【详解】（1）根据题意可知，患糖尿病的人数为人，这10人中不经常喝酒的有6人，

，

因此依据小概率值的独立性检验，当地成年男性患糖尿病与喝酒习惯无关联.

（2）（ⅰ）经常喝酒且患糖尿病的人数有4人，则，

经常喝酒的人数有10人，则，，

经常喝酒且没患糖尿病的人数有6人，则，，

；

（ⅱ）证明：患糖尿病的人数有10人，则；没患糖尿病的人数有50人，则，

，，

.

20．【详解】（1）根据椭圆C的离心率为知，所以，如图，则

则在中，可得，，

由正弦定理得，

解得，所以，，

所以椭圆C的方程为．

（2）由条件知直线的斜率不为0，

设直线，，，

联立，得，得

于是，，

因为，，代入椭圆方程得，

所以，

同理，于是，，

因为，所以，即．

又直线l的斜率存在，所以，于是，

所以，即，

又，，

所以，

整理得，

所以，

化简整理得，

又P、Q位于x轴的两侧，所以，解得，

所以，此时直线l与椭圆C有两个不同的交点，

于是直线l恒过定点．

当时，，，

的面积 ，

令，因为直线l的斜率存在，则，，

于是，又函数在上单调递减，

所以面积的取值范围为．

21．【详解】（1）解：由，可得，

因为且，所以，

所以当时，可得，

设，则，

当时，可得；当时，可得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，函数取得最小值，且，

所以当时，，即，

所以在上单调递增．

（2）解：由题意得，函数，定义域为，

可得，

令，则，

（i）当时，因为时，，所以，单调递增，

故，

此时在上单调递减，在上单调递增，

所以只有一个极小值点，不合题意；

（ii）当时，令，则，

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，取得最小值，即，

①当时，，

此时在上单调递减，在上单调递增，

可得只有一个极小值点，不合题意；

②当时，，

因为时，，，

所以在上存在零点，即存在，使得．

令，则，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以，即，可得，

所以在上存在零点，即存在，使得，

所以，随的变化情况如下：

所以为的两个极小值点．

故实数的取值范围为

由（ii）知满足，即，

所以，，得，，

所以，

，

所以．

22.【详解】（1）由曲线C的参数方程（为参数）得，，

∴，化简得C的直角坐标方程为；

分别将，，代入C的直角坐标方程并化简得C的极坐标方程为（或）；

（2）设点A，B极坐标分别为，，则，

由知，当，

即时，取得最大值4，

根据题意，不妨取，，所以的最大值为4.