第二十一章 一元二次方程（B卷·学霸加练卷，难度★★★★★）-【单元测试】九年级数学上册分层训练AB卷（人教版）（解析+原卷）

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班级 姓名 学号 分数
第二十一章 一元二次方程（学霸加练卷）
（时间：60分钟，满分：100分）
一．选择题（本题共14小题，每小题3分，共42分。）
1．（2022春•沙坪坝区校级期末）关于的多项式，，为任意实数，则下列结论中正确的有　　个．
①若中不含项，则；
②不论取何值，总有；
③若关于的方程的两个解分别为，，则实数的最小值为；
④不论取何值，关于的方程始终有4个不相同的实数解．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】，中不含项，则，可判断①正确；举反例可判断②错误；由，得，可判断③正确；由得，即或，分别求出△的值，可判断④正确．
【解答】解：，
若中不含项，则，
，故①正确；
当时，，，
此时，故②错误；
若关于的方程的两个解分别为，，则，
，
当时，的最小值是，故③正确；
由得，
或，
由得，
△，
有两个不相同的实数根，
由得，
△，
有两个不同的实数根，
始终有4个不相同的实数解，
故④正确，
正确的有①③④，共3个，
故选：．
【点评】本题考查整式的加减及一元二次方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系．
2．（2022•启东市二模）若关于的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为　　
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【分析】一元二次方程变形为，由于关于的一元二次方程的一个根是，则关于的一元二次方程的一个根是，于是可判断一元二次方程必有一根为2020．
【解答】解：一元二次方程变形为，
所以此方程可看作关于的一元二次方程，
因为关于的一元二次方程的一个根是，
所以关于的一元二次方程的一个根是，
即，
解得，
所以一元二次方程必有一根为2020．
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
3．（2022•遂宁）已知为方程的根，那么的值为　　
A． B．0 C．2022 D．4044
【分析】将方程的根代入方程，化简得，将代数式变形，整体代入求值即可．
【解答】解：为方程的根，
，
，
原式


．
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，考查整体思想，将整体代入代数式求值是解题的关键．
4．（2022•自贡模拟）设为一元二次方程较小的根，则　　
A． B． C． D．
【分析】利用配方法解方程得到，，然后对各选项进行判断．
【解答】解：，
，
，
，
，，
．
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
5．（2022春•温州期中）《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如的方程的正数解，方法为：如图，将四个长为，宽为的长方形纸片（面积均为拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为：，边长为11，故得的正数解为．小明按此方法解关于的方程时，构造出同样的图形．已知大正方形的面积为12，小正方形的面积为4，则方程的正数解为　　

A． B． C． D．
【分析】把方程变形得到，设图中长方形的长为，宽为，则图中小正方形的边长为，大正方形的边长为，解得，然后计算即可．
【解答】解：，
，
图中长方形的长为，宽为，
图中小正方形的边长为，
大正方形的边长为，
，
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
6．（2022•城厢区模拟）已知两个不同的一元二次方程的判别式分别为△，△，下列判断正确的是　　
A．若△△，则一定两个方程都有解
B．若△△，则一定有一个方程无解
C．若△△，则有且只有一个方程有解
D．若△△，则至少有一个方程有解
【分析】利用有理数的运算，根据各选项的条件判断△与△与0的关系，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况，从而得到正确的选项．
【解答】解：．若△△，则△和△中一定有一个大于0，所以两个方程一定有一个有解，所以选项不符合题意；
．若△△，则△和△可能都大于0，所以两个方程可能都有解，所以选项不符合题意；
．若△△，则△和△中有一个大于0，一个小于0，所以两个方程有且只有一个方程有解，所以选项符合题意；
．若△△，则△和△中可能都小于0，所以两个方程可能都没有实数解，所以选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．
7．（2022•邯郸模拟）关于的一元二次方程根的情况，下列判断正确的是　　
A．因为可以取不同实数，因此方程可能有两个不相等的实数根，或两个相等的实数根，也可能无实数根
B．当时，方程变为，而有两个不相等实数根，因此有两个不相等的实数根
C．方程总有两个实数根
D．当时，方程变为，而有两个相等实数根，因此有两个相等的实数根
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【解答】解：由判别式可知：△，
方程总有两个实数根，
故选：．
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
8．（2022•鄂尔多斯）下列说法正确的是　　
①若二次根式有意义，则的取值范围是．
②．
③若一个多边形的内角和是，则它的边数是5．
④的平方根是．
⑤一元二次方程有两个不相等的实数根．
A．①③⑤ B．③⑤ C．③④⑤ D．①②④
【分析】根据二次根式有意义的条件、估算无理数的大小、算术平方根、平方根和多边形的内角和定理，根的判别式判断即可．
【解答】解：①若二次根式有意义，则，解得．
故的取值范围是，题干的说法是错误的．
②，故题干的说法是错误的．
③若一个多边形的内角和是，则它的边数是5是正确的．
④的平方根是，故题干的说法是错误的．
⑤△，
一元二次方程有两个不相等的实数根，故题干的说法是正确的．
故选：．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．也考查了二次根式有意义的条件、估算无理数的大小、算术平方根、平方根和多边形．
9．（2022春•濮阳期末）将4个数，，，记成：定义．则方程的根的情况为　　
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个实数根
【分析】根据新定义的运算得出一元二次方程，再利用根的判别式进行判断其根的情况即可．
【解答】解：，
，
即，
△，
故原方程没有实数根．
故选：．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确运用根的判别式，本题属于基础题型．
10．（2022春•宝应县期末）定义新运算“※”：对于实数、、、，有，※，，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：，※，．若关于的方程，※，有两个实数根，则的取值范围是　　
A． B． C．且 D．且
【分析】由新定义的运算，可得到关于的一元二次方程，再利用根的判别式进行求解即可．
【解答】解：，※，，
，
整理得：，
方程有两个实数根，
△，，
解得：，，
故选：．
【点评】本题主要考查根的判别式，解答的关键是正确运用根的判别式．
11．（2022•西藏）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　
A． B． C．且 D．且
【分析】利用一元二次方程有实数根的条件得到关于的不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：且．
故选：．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，利用已知条件得到关于的不等式组是解题的关键．
12．（2022春•雨花区校级期末）对于一元二次方程，有下列说法：①若，则方程必有一个根为1；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的有　　
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案．
【解答】解：①当时，，所以方程必有一个根为，故①错误．
②方程有两个不相等的实根，则，那么，故方程必有两个不相等的实根，故②正确．
③由是方程的一个根，得．当，则；当，则不一定等于0，故③不一定正确．
故选：．
【点评】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，熟练掌握一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质是解决本题的关键．
13．（2022春•大渡口区期末）阅读材料：我们把形如的二次三项式（或其中一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式就是完全平方公式的逆写．即例如：是的三种不同形式的配方，则下列说法正确的个数是　　
①和都是不同形式的配方
②是完全平方式，则的值为3
③有最小值，最小值为2
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】①各式化简得到结果，比较即可作出判断；
②利用完全平方公式的结构特征判断即可；
③原式配方后，求出最小值，即可作出判断．
【解答】解：①和都是不同形式的配方，符合题意；
②是完全平方式，则或，即或，不符合题意；
③原式，当时，取得最小值，最小值为2，符合题意．
故选：．
【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质：偶次方，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
14．（2022春•两江新区期末）已知，，下列结论正确的个数为　　
①若是完全平方式，则；
②的最小值是2；
③若是的一个根，则；
④若，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①利用完全平方式的定义求解；
②利用整式的加减运算和配方法求解；
③利用求根公式和完全平方公式求解；
④利用完全平方公式求解．
【解答】解：①是完全平方式，
，故结论正确；
②


，
而，
，
的最小值是2，故结论正确；
③，
把代入，
得，即，
解得，
当时，，
；
当时，，
；
故结论错误；
④



，
；故结论错误；
故选．
【点评】本题主要考查了完全平方公式和配方法的应用，同时也利用非负数的性质求最值，题目比较难．
二．填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分。）
15．（2022•鼓楼区校级模拟）若是方程的根，则代数式的值是 　2023　．
【分析】利用一元二次方程解的定义得到，可得，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．
【解答】解：是方程的根，
，
，



．
故答案为：2023．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
16．（2022•连云港）若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是 　1　．
【分析】把代入方程得到，然后求得的值即可．
【解答】解：把代入方程得，
解得．
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
17．（2022•定远县模拟）一元二次方程的两根分别为和，那么将分解因式的结果为 　　．
【分析】先利用根与系数的关系得到，，则可求出、的值，然后对进行分解即可．
【解答】解：由根与系数的关系可知：，，
即，，
，，
．
故答案为．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了因式分解．
18．（2022•日照）关于的一元二次方程有两个不同的实数根，，且，则　　．
【分析】根据根与系数的关系得到，，再由变形得到，即可得到，然后解此方程即可．
【解答】解：根据题意得，，
，
，
，
，，
△，
或时，
不合题意，
故答案为：．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
三．解答题（本题共9小题，共46分。）
19．（2022春•亭湖区校级期末）解方程：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先把方程的左边分解因式，再得到两个一次方程，再解一次方程即可；
（2）先把方程化为，再把左边分解因式，再解方程即可．
【解答】解：（1）解：，
，
或，
解得：，；
（2）
整理得：，
，
或，
解得：，．
【点评】本题考查了利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握“因式分解法和解方程的基本步骤”是解本题的关键．
20．（2022春•泰安期末）按照指定方法解下列方程：
（1）（公式法）；
（2）（配方法）；
（3）（因式分解法）．
【分析】（1）方程整理为一般形式，利用公式法求出解即可；
（2）方程利用配方法求出解即可；
（3）方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：（1）方程整理得：，
这里，，，
△，
，
解得：，；
（2）方程整理得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，；
（3）方程整理得：，
分解因式得：，
所以或，
解得：，．
【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，公式法，以及配方法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
21．（2022春•濮阳期末）已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为，．且，求的值．
【分析】（1）根据方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出的范围即可；
（2）已知等式利用完全平方公式化简，再利用根与系数的关系将各自的值代入计算即可求出的值．
【解答】解：（1）关于的一元二次方程有实数根，
△，即，
整理得：，
解得：；
（2）该方程的两个实数根分别为，，
，，
，
，即，
整理得：，即，
解得：（舍去）或，
则的值为．
【点评】此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
22．（2022春•高邮市期末）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，此方程总有两个实数根；
（2）若该方程的两根都是整数，求整数的值．
【分析】（1）先计算判别式得值得到△，然后根据非负数的性质得到△，则根据判别式的意义即可得到结论；
（2）先理由求根公式得到的解为，，则二次函数的图象与轴两个交点的横坐标分别为和，然后根据整数的整除性可确定整数的值．
【解答】解：（1）证明：△
，
，
△，
无论取何值，方程总有两个实数根；

（2）解：
，
，，
所以二次函数的图象与轴两个交点的横坐标分别为和，
根据题意得为整数，
所以整数为．
【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式△：当△，方程有两个不相等的实数根；当△，方程有两个相等的实数根；当△，方程没有实数根．也考查了抛物线与轴的交点．
23．（2022春•泰安期末）“双减”政策倡导学生合理使用电子产品，控制使用时长，防止网络沉迷．某品牌学习机商店，为了提高学习机的销量，减少库存，决定对该品牌学习机进行降价销售，经市场调查，当学习机的售价为每台1800元时，每天可售出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，已知每台学习机的进价为1000元．如果该品牌学习机商店拟获利4200元，该商店需要将每台学习机售价定为多少元？
【分析】设每台学习机售价为元，则每台学习机的销售利润为元，每台可售出台，利用商店每天销售该品牌学习机获得的利润每台的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设每台学习机售价为元，则每台学习机的销售利润为元，每天可售出台，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：该商店需要将每台学习机售价定为1300元或1700元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．（2022春•濮阳期末）今年四、五月份，班家小镇采摘园的桑葚喜获丰收，市场调查发现，当桑葚的批发价为16元千克时，每天销量是300千克；若批发单价每降价2元，每天的销售量将增加120千克．因为桑葚的保质期比较短，桑葚种植户班师傅决定降价促销，同时尽量增加销售量，已知该品种桑葚的成本价为5元千克，若班师傅每天获利3780元，则降价后批发价为每千克多少元？
【分析】设售价应降低元，则每天可售出千克，根据总利润每千克的利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：设售价应降低元，则每天可售出千克，由题意得，
，
解得，，
桑葚种植户班师傅决定降价促销，同时尽量增加销售量，
舍去，
则降价后批发价为每千克（元，
答：价后批发价为每千克12元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．（2022春•诸暨市期末）有一块长，宽的矩形铁皮．
（1）如图1，如果在铁皮的四个角裁去四个边长一样的正方形后，将其折成底面积为的无盖长方体盒子，求裁去的正方形的边长．
（2）由于需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，某学生设计了如图2的裁剪方案，阴影部分为裁剪下来的边角料，其中左侧的两个阴影部分为正方形，若剩余部分恰好能折成一个底面积为的有盖盒子，请你求出裁去的左侧正方形的边长．


【分析】（1）设裁去的正方形边长为，则折成无盖长方体盒子的底面长为，宽为，根据折成无盖长方体盒子的底面面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）设裁去的左侧正方形的边长为，则折成有盖长方体盒子的底面长为，宽为，根据折成有盖长方体盒子的底面面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：（1）设裁去的正方形边长为，则折成无盖长方体盒子的底面长为，宽为，
依题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：裁去的正方形边长为．
（2）设裁去的左侧正方形的边长为，则折成有盖长方体盒子的底面长为，宽为，
依题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：裁去的左侧正方形的边长为．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
26．（2022春•桐城市期末）随着电池技术的突破，电动汽车已呈替代燃油汽车的趋势，安徽电动汽车在今年第一季度销售了2万辆，第三季度销售了2.88万辆．
（1）求前三季度销售量的平均增长率．
（2）某厂家目前只有1条生产线，经调查发现，1条生产线最大产能是6000辆季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少200辆季度．
①现该厂家要保证每季度生产电动汽车2.6万辆，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？
②是否能增加生产线，使得每季度生产电动汽车达到6万辆，若能，应该再增加几条生产线？若不能，请说明理由．
【分析】（1）设前三季度销售量的平均增长率为，利用第三季度的销售量第一季度的销售量前三季度销售量的平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）①设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为辆季度，根据每季度生产电动汽车2.6万辆，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合要节省投入成本，即可得出应该再增加4条生产线；
②不能，设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为辆季度，根据每季度生产电动汽车6万辆，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式△，可得出该方程没有实数根，即不能通过增加生产线，使得每季度生产电动汽车达到6万辆．
【解答】解：（1）设前三季度销售量的平均增长率为，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：前三季度销售量的平均增长率为．
（2）①设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为辆季度，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
又要节省投入成本，
．
答：应该再增加4条生产线．
②不能，理由如下：
设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为辆季度，
依题意得：，
整理得：，
△，
该方程没有实数根，
即不能通过增加生产线，使得每季度生产电动汽车达到6万辆．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）①找准等量关系，正确列出一元二次方程；②牢记“当△时，方程无实数根”．
27．（2022春•岑溪市期末）新冠病毒肆虐全球，我国的疫情很快得到了控制，并且研发出安全性、有效性均非常高的疫苗．2021年七月，国家发布通知，岁未成年人也可接种新冠疫苗．随着全国各地疫苗需求量的急剧增加，经调查发现，北京生物制药厂现有1条生产线最大产能是42万支天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少2万支天，现该厂要保证每天生产疫苗144万支，在既增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
【分析】设应该增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万支天，根据要保证每天生产疫苗144万支，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合要节省投入，即可得出应该增加3条生产线．
【解答】解：设应该增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万支天，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又要节省投入，
．
答：应该增加3条生产线．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．