专题2.38 圆锥的侧面积（直通中考）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题2.38 圆锥的侧面积（直通中考）

【要点回顾】

【要点一】圆锥的侧面积
　　圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则
　　

【要点二】圆锥的全面积
.
一、单选题

1．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）用一个圆心角为，半径为8的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是（    ）

A．6      B．5      C．4      D．3

2．（2023·山东东营·统考中考真题）如果圆锥侧面展开图的面积是，母线长是，则这个圆锥的底面半径是（        ）

A．3      B．4      C．5      D．6

3．（2023·湖南·统考中考真题）如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中的长为（    ）

A．      B．      C．      D．

4．（2022·山东东营·统考中考真题）用一张半圆形铁皮，围成一个底面半径为的圆锥形工件的侧面（接缝忽略不计），则圆锥的母线长为（    ）

A．      B．      C．      D．

5．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为，母线长为30，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（    ）

v  

A．      B．      C．      D．

6．（2022·山东济宁·统考中考真题）已知圆锥的母线长8cm，底面圆的直径6cm，则这个圆锥的侧面积是（  ）

A．96πcm2      B．48πcm2      C．33πcm2      D．24πcm2

7．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是（    ）

A．90°      B．100°      C．120°      D．150°

8．（2022·黑龙江大庆·统考中考真题）已知圆锥的底面半径为5，高为12，则它的侧面展开图的面积是（   ）

A．      B．      C．      D．

9．（2022·四川广安·统考中考真题）蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．下图是一个蒙古包的示意图，底面圆半径DE=2m，圆锥的高AC=1.5m，圆柱的高CD=2.5m，则下列说法错误的是（　　）

A．圆柱的底面积为4πm2      B．圆柱的侧面积为10πm2

C．圆锥的母线AB长为2.25m      D．圆锥的侧面积为5πm2

10．（2022·四川绵阳·统考中考真题）如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：mm）．电镀时，如果每平方米用锌0.1千克，电镀1000个这样的锚标浮筒，需要多少千克锌？（π的值取3.14）（    ）

A．282.6      B．282600000      C．357.96      D．357960000

二、填空题

11．（2023·黑龙江·统考中考真题）已知圆锥的母线长，侧面积，则这个圆锥的高是          ．

12．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）若圆锥的底面半径长2cm，母线长3cm，则该圆锥的侧面积为      （结果保留）．

13．（2023·湖南娄底·统考中考真题）如图，在中，，，边上的高，将绕着所在的直线旋转一周得到的几何体的表面积为      ．

14．（2023·江苏扬州·统考中考真题）用半径为，面积为的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为        ．

15．（2023·湖南·统考中考真题）如图，某数学兴趣小组用一张半径为的扇形纸板做成一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的底面半径为，那么这张扇形纸板的面积为          ．（结果保留）

16．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为，母线长为，则烟囱帽的侧面积为             ．（结果保留）

17．（2023·云南·统考中考真题）数学活动课上，某同学制作了一顶圆锥形纸帽．若圆锥的底面圆的半径为1分米，母线长为4分米，则该圆锥的高为        分米．

18．（2022·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）如图，从一个边长是的正五边形纸片上剪出一个扇形，这个扇形的面积为       （用含的代数式表示）；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆直径为       ．

三、解答题

19．（2010·广西河池·中考真题）如图，已知在⊙O中，AB=4，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A=30°．

（1）求图中阴影部分的面积；

（2）若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．

20．（2022·山东潍坊·中考真题）在数学实验课上，小莹将含角的直角三角尺分别以两个直角边为轴旋转一周，得到甲、乙两个圆锥，并用作图软件Geogebra画出如下示意图

小亮观察后说：“甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边旋转得到，所以它们的侧面积相等．”

你认同小亮的说法吗？请说明理由．

21．（2019·湖南邵阳·统考中考真题）如图，在等腰中，，AD是的角平分线，且，以点A为圆心，AD长为半径画弧EF，交AB于点E，交AC于点F，

（1）求由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积；

（2）将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h．

22．（2015·湖南常德·统考中考真题）已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF．

（1）求证：EF是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为3，∠EAC＝60°，求AD的长．

23．（2011·广东清远·中考真题）一天，数学课外活动小组的同学们，带着皮尺去测量某河道因挖沙形成的“圆锥形坑”的深度，来评估这些坑道对河道的影响，如图是同学们选择（确保测量过程中无安全隐患）的测量对象，测量方案如下：

①先测出沙坑坑沿的圆周长34.54米；

②甲同学直立于沙坑坑沿的圆周所在的平面上，经过适当调整自己所处的位置，当他位于B时恰好他的视线经过沙坑坑沿圆周上一点A看到坑底S（甲同学的视线起点C与点A，点S三点共线），经测量：AB=1.2米，BC=1.6米．

根据以上测量数据，求圆锥形坑的深度（圆锥的高）．（π取3.14，结果精确到0.1米）

24．（2015·广西桂林·统考中考真题）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，AB=4，PC、PD是⊙O的两条切线，C、D为切点．

（1）如图1，求⊙O的半径；

（2）如图1，若点E是BC的中点，连接PE，求PE的长度；

（3）如图2，若点M是BC边上任意一点（不含B、C），以点M为直角顶点，在BC的上方作∠AMN=90°，交直线CP于点N，求证：AM=MN．

参考答案

1．C

【分析】先利用弧长公式求出扇形的弧长即圆锥的底面周长，再根据圆的周长公式求出直径即可．

解：扇形的弧长：，

则圆锥的底面直径：．

故选：C．

【点拨】本题考查圆锥侧面积公式，熟记公式的灵活应用是解题的关键．

2．A

【分析】根据圆锥侧面积公式，进行计算即可求解．

解：设这个圆锥的底面半径是，依题意，

∴

故选：A．

【点拨】本题考查了求圆锥底面半径，熟练掌握圆锥侧面积公式是解题的关键．

3．C

【分析】根据底面周长等于的长，即可求解．

解：依题意，的长，

故选：C．

【点拨】本题考查了圆锥的侧面展开图的弧长，熟练掌握圆锥底面周长等于的长是解题的关键．

4．B

【分析】设圆锥的母线长为l，根据圆锥的底面圆周长为半圆形铁皮的周长（不包括直径）列式求解即可．

解：设圆锥的母线长为l，

由题意得：，

∴，

故选B．

【点拨】本题主要考查了求圆锥的母线长，熟知圆锥的底面圆周长为半圆形铁皮的周长（不包括直径）是解题的关键．

5．B

【分析】根据圆锥的底面圆周长求得半径为，根据母线长求得展开后的扇形的圆心角为，进而即可求解．

解：∵这个圆锥的底面圆周长为，

∴

解得：

∵

解得：

∴侧面展开图的圆心角为

如图所示，即为所求，过点作，

∵，，则

∵，则

∴，，

故选：B．

【点拨】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理解直角三角形，求得侧面展开图的圆心角为解题的关键．

6．D

【分析】根据圆锥的侧面积=×底面周长×母线长计算即可求解．

解：底面直径为6cm，则底面周长=6π，

侧面面积=×6π×8=24πcm2．

故选D．

【点拨】本题考查圆锥的计算，解题的关键是熟练掌握圆锥的侧面积=×底面周长×母线长．

7．C

【分析】圆锥的侧面展开图是一个扇形，利用弧长公式进行计算即可得．

解：设这个圆锥的侧面展开图的圆心角是，

由题意得：，

解得，

则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是，

故选：C．

【点拨】本题考查了圆锥的侧面展开图、弧长公式，熟记弧长公式是解题关键．

8．B

【分析】根据圆锥侧面展开图的面积，计算求解即可．

解：由题意知，圆锥侧面展开图的半径即圆锥的母线长为，

∴圆锥侧面展开图的面积为，

故选B．

【点拨】本题考查了圆锥侧面展开图的面积，勾股定理．解题的关键在于明确圆锥侧面展开图的面积，其中为圆锥底面半径，为圆锥侧面展开图的半径即圆锥的母线长．

9．C

【分析】由圆锥的侧面积、圆柱侧面积、圆的面积公式、分别求出答案，再进行判断，即可得到答案．

解：根据题意，

∵底面圆半径DE=2m，

∴圆柱的底面积为：；故A正确；

圆柱的侧面积为：；故B正确；

圆锥的母线为：；故C错误；

圆锥的侧面积为：；故D正确；

故选：C

【点拨】本题考查了圆锥的侧面积、圆柱侧面积、圆的面积公式等知识，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行判断．

10．A

【分析】求出圆锥的表面积，圆柱的表面积，进一步求出组合体的表面积为：，即可求出答案．

解：如图：

由勾股定理可知：圆锥的母线长，

设底圆半径为r，则由图可知，

圆锥的表面积：，

圆柱的表面积：，

∴组合体的表面积为：，

∵每平方米用锌0.1千克，

∴电镀1000个这样的锚标浮筒，需要锌．

故选：A

【点拨】本题考查组合体的表面积，解题的关键是求出圆锥的表面积和圆柱的表面积，掌握勾股定理，表面积公式．

11．12

【分析】利用圆锥的侧面积公式可得到底面半径，再利用勾股定理即可得到高．

解：根据圆锥侧面积公式变形可得，

根据圆锥母线公式，可得，

故答案为：12．

【点拨】本题考查了圆锥的侧面积公式和母线公式，熟知上述公式是解题的关键．

12．

【分析】根据圆锥的侧面积公式，把相应数值代入即可求解．

解：．

故答案为：．

【点拨】本题考查了圆锥侧面积的计算，解题的关键是牢记圆锥的侧面积的计算公式．

13．

【分析】由圆锥的侧面展开图是扇形，可得圆锥的侧面积公式，再根据题干数据进行计算即可．

解：由题意可得：旋转后的几何体是两个共底面的圆锥，

∵边上的高，

∴底面圆的周长为：，

∵，，

∴几何体的表面积为．

故答案为：．

【点拨】本题考查的是圆锥的侧面积的计算，几何体的形成，熟记圆锥的侧面积公式是解本题的关键．

14．

【分析】应为圆锥侧面母线的长就是侧面展开扇形的半径，利用圆锥侧面面积公式：，就可以求出圆锥的底面圆的半径．

解：设圆锥底面圆的半径为，，

由扇形的面积：，

得：

故答案为：

【点拨】本题考查了圆锥侧面面积的相关计算，熟练掌握圆锥侧面面积的计算公式是解题的关键，注意用扇形围成的圆锥，扇形的半径就是圆锥的母线．

15．

【分析】根据圆锥底面半径，可以求出圆锥底面周长，底面圆周长即是扇形的弧长，根据扇形面积公式可求出扇形面积．

解：帽子底面圆周长为：，

则扇形弧长为， 扇形面积

故答案为：

【点拨】本题考查了扇形面积的计算，掌握圆锥的性质和扇形的面积公式是求解的关键．

16．

【分析】根据圆锥侧面展开图是一个扇形，由扇形面积公式代值求解即可得到答案．

解：圆锥形烟囱帽的底面半径为，母线长为，

烟囱帽的侧面积（），

故答案为：．

【点拨】本题考查圆锥侧面展开图及扇形面积公式，熟记扇形面积公式是解决问题的关键．

17．

【分析】根据勾股定理得，圆锥的高=母线长底面圆的半径得到结果．

解：由圆锥的轴截面可知：

圆锥的高=母线长底面圆的半径

圆锥的高，

故答案为．

【点拨】本题考查了圆锥，勾股定理，其中对圆锥的高，母线长，底面圆的半径之间的关系的理解是解决本题的关键．

18．         

【分析】先求出扇形的半径与圆心角，再利用扇形弧长与所围成的圆锥的底面周长的关系求出圆锥的底面半径，则可得出答案．

解：∵五边形为正五边形，

，

∵，这个扇形的面积为：，

设圆锥的底面圆半径为，则直径为：，则:，

解得，

∴．

故答案为： ， ．

【点拨】此题考查了正多边形内角和定理，扇形、圆锥的相关计算，掌握扇形所围的圆锥与扇形之间的等量关系是解决本题的关键．

19．（1）；（2）

解：（1）过O作OE⊥AB于E，则AE=AB=2．

在RtAEO中，∠BAC=30°，cos30°=．

∴OA==4．

又∵OA=OB，∴∠ABO=30°．∴∠BOC=60°．

∵AC⊥BD，∴．

∴∠COD =∠BOC=60°．∴∠BOD=120°．  

∴S阴影=．

（2）设圆锥的底面圆的半径为r，则周长为2πr，

∴．

∴．

20．不认同，理由见详解

【分析】根据圆锥的侧面面积公式进行比较即可得到答案．

解：甲圆锥的底面半径为BC，母线为AB，，

乙圆锥的底面半径为AC，母线为AB，，

∵，

∴，

故不认同小亮的说法．

【点拨】本题考查圆锥的侧面面积，解题的关键是熟知圆锥侧面面积的计算公式．

21．（1）；（2）.

【分析】（1）利用等腰三角形的性质得到，，则可计算出，然后利用扇形的面积公式，利用由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积进行计算；（2）设圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，解得，然后利用勾股定理计算这个圆锥的高h．

解：∵在等腰中，，

∴，

∵AD是的角平分线，

∴，，

∴，

∴，

∴由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积.

（2）设圆锥的底面圆的半径为r，

根据题意得，解得，

这个圆锥的高．

【点拨】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰三角形的性质和扇形的面积公式．

22．（1）证明见分析；（2）．

【分析】（1）连接FO，可根据三角形中位线的性质可判断易证OF∥AB，然后根据直径所对的圆周角是直角，可得CE⊥AE，进而知OF⊥CE，然后根据垂径定理可得∠FEC＝∠FCE，∠OEC＝∠OCE，再通过Rt△ABC可知∠OEC＋∠FEC＝90°，因此可证FE为⊙O的切线；

（2）根据⊙O的半径为3，可知AO＝CO＝EO＝3，再由∠EAC＝60°可证得∠COD＝∠EOA＝60°，在Rt△OCD中，∠COD＝60°，OC＝3，可由勾股定理求得CD=3，最后根据Rt△ACD，用勾股定理求得结果．

解：（1）连接FO

易证OF∥AB

∵AC⊙O的直径

∴CE⊥AE

∵OF∥AB

∴OF⊥CE

∴OF所在直线垂直平分CE

∴FC＝FE，OE＝OC

∴∠FEC＝∠FCE，∠0EC＝∠OCE

∵Rt△ABC

∴∠ACB＝90°

即：∠OCE＋∠FCE＝90°

∴∠OEC＋∠FEC＝90°

即：∠FEO＝90°

∴FE为⊙O的切线

（2）∵⊙O的半径为3

∴AO＝CO＝EO＝3

∵∠EAC＝60°，OA＝OE

∴∠EOA＝60°

∴∠COD＝∠EOA＝60°

∵在Rt△OCD中，∠COD＝60°，OC＝3

∴CD＝

∵在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，

CD＝，AC＝6

∴AD＝．

【点拨】本题考查切线的判定，中位线的性质，以及特殊直角三角形的边角关系和勾股定理．

23．7.3米．

【分析】取圆锥底面圆心O，连接OS、OA，证明△SOA∽△CBA，根据相似三角形对应边成比例求出OS的长度．

解：取圆锥底面圆心O，连接OS、OA，则∠O=∠ABC=90°，OS∥BC，

∴∠ACB=∠ASO，

∴△SOA∽△CBA，

∴，

∴OS=，

∵OA=≈5.5，BC=1.6，AB=1.2，

∴OS=≈7.3，

∴“圆锥形坑”的深度约为7.3米．

故答案为7.3米．

【点拨】本题考查相似三角形的应用．

24．（1）2；（2）2；（3）证明见分析.

试题分析：（1）由切线的性质和正方形的判定与性质得出⊙O的半径即可；

（2）由垂径定理得出OE⊥BC，∠OCE=45°，再用勾股定理即可得出结论；

（3）在AB上截取BF=BM，利用（1）中所求，得出∠ECP=135°，再利用全等三角形的判定与性质得出即可．

解：（1）如图1，连接OD，OC，

∵PC、PD是⊙O的两条切线，C、D为切点，

∴∠ODP=∠OCP=90°，

∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，

∴∠DOC=90°，OD=OC，

∴四边形DOCP是正方形，

∵AB=4，∠ODC=∠OCD=45°，

∴DO=CO=DC•sin45°=×4=；

（2）如图1，连接EO，OP，

∵点E是BC的中点，

∴OE⊥BC，∠OCE=45°，则∠E0P=90°，

∴EO=EC=2，OP=CO=4，

∴PE==；

（3）如图2，在AB上截取BF=BM，

∵AB=BC，BF=BM，

∴AF=MC，∠BFM=∠BMF=45°，

∵∠AMN=90°，

∴∠AMF+∠NMC=45°，∠FAM+∠AMF=45°，

∴∠FAM=∠NMC，

∵由（1）得：PD=PC，∠DPC=90°，

∴∠DCP=45°，

∴∠MCN=135°，

∵∠AFM=180°﹣∠BFM=135°，在△AFM和△CMN中，

∵∠FAM=∠CMN，AF=MC，∠AFM=∠MCN，

∴△AFM≌△CMN（ASA），

∴AM=MN．

考点：1．圆的综合题；2．切线的性质；3．正方形的判定与性质；4．全等三角形的判定与性质；5．压轴题．