2022-2023学年重庆七中九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年重庆七中九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  分式有意义时的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下面的图形是以数学家名字命名的，其中是轴对称图形的是(    )

A. 斐波那契螺旋线 B. 笛卡尔心形线
C. 赵爽弦图 D. 阿基米德曲线

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  小明在游乐场坐过山车，在某一段秒时间内过山车的高度米与时间秒之间的函数关系图象如图所示，则过山车距水平地面的最高高度为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

6.  下列调查中，最适合采用全面调查的是(    )

A. 调查黄河流域的水污染情况
B. 调查一批防疫口罩的质量情况
C. 调查某校初三班全体学生的视力情况
D. 调查“双减”后全国中学生的家庭作业完成时间

7.  如图，与位似，点为位似中心已知，的面积为，则的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  用字母“”，“”按如图所示的规律拼图案，其中第个图案中有个“”，第个图案中有个“”，第个图案中有个“”，按此规律排列下去，则第个图案中字母“”的个数为(    )

 

A.  B.  C.  D.

9.  如图，与相切于点，连结并延长交于点，连结若，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在正方形中，是对角线上一点，作于点，连接，若，，则(    )

A.
B.
C.
D.

11.  若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  有个依次排列的整式：第项是，用第项乘以，所得之积记为，将第项加上得到第项，再将第项乘以得到，将第项加上得到第项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到个结论：
第项为；
；
若第项的值为，则；
当时，第项的值为．
以上结论正确的个数为个(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）

13.  ______ ．

14.  不透明的布袋中有红、黄、蓝种颜色不同的小球各个，它们除颜色不同外其余完全相同，先从中随机摸出个，记录下它的颜色，将它放回布袋并搅匀，再从中随机摸出个，记录下颜色，那么这两次摸出小球的颜色为黄色、蓝色各一个的概率是______．

15.  如图，菱形的边长为，，是以点为圆心，长为半径的弧，是以点为圆心，长为半径的弧，则阴影部分的面积为______ 结果保留根号

16.  “双十一”活动期间，某销售商销售、、三种饮料数量之比为：：，、、三种饮料的单价之比为：：“双十二”活动期间，该销售商加大了宣传力度，并根据活动机制对三种饮料的价格作了适当的调整，预计“双十二”活动期间三种饮料的销售总额将比“双十一”活动期间有所增加，饮料增加的销售总额占“双十二”活动期间销售总额的，、饮料增加的销售额之比为：，“双十二”活动期间饮料单价上调且饮料的销售额与饮料的销售额之比为：，则饮料“双十一”活动期间的销售数量与“双十二”活动期间预计的销售数量之比为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
；
．

18.  本小题分
如图，四边形是矩形，平分，交边于点．
用尺规完成以下基本作图：作的平分线，交边于点；不写作法和证明，保留作图痕迹
在所作的图形中，求证：．
证明：如图四边形是矩形
______ ，，，
、分别平分和，
， ______ ，
．
在与中
≌ ______ ，
．

19.  本小题分
第届冬奥会于年月日在北京胜利闭幕．某校七、八年级各有名学生，为了解这两个年级学生对本次冬奥会的关注程度，现从这两个年级各随机抽取名学生进行冬奥会知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理得分用表示：
：，：，：，
：，：，：，
并绘制七年级测试成绩频数分布直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下：

已知八年级测试成绩组的全部数据如下：
，，，，，，．
请根据以上信息，完成下列问题：
______，______；
八年级测试成绩的中位数是______；
若测试成绩不低于分，则认定该学生对冬奥会关注程度高．请估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有多少人，并说明理由．

20.  本小题分
一次函数的图象与反比例函数的图象交于和，与轴交于点．
求反比例和一次函数的解析式，并在网格中画出一次函数的图象；
点是点关于轴的对称点，连接、，求的面积；
根据图象，直接写出关于的不等式的解集．

21.  本小题分
某校数学兴趣小组欲利用无人机测量汉丰湖的宽度假设湖的宽度相等，如图所示，一架水平飞行的无人机在湖面所在水平线的正上方点处，此时在处测得正前方湖的右岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行米至处，测得正前方湖的左岸处的俯角为点，，在同一水平地面上，，且米
求无人机的飞行高度结果保留根号
求汉丰湖的宽度结果精确到米，参考数据：，，，，

22.  本小题分
为庆祝即将到来的兔年新春，某小区物业计划购买“兔团团”和“兔圆圆”两种吉祥玩偶，免费发放给业主据调研“兔团团”玩偶每个元，“兔圆圆”玩偶每个元，经预算，两种吉祥玩偶共个，此次购买两种玩偶一共需要元．
计划购买“兔团团”、“兔圆圆”两种玩偶各多少个？
在实际购买中，商家因受玩偶积压以及市场影响，为此降低了两种玩偶的售价，且降价相同，经统计，两种玩偶均降低元，物业在的基础上多购买了个“兔团团”和个“兔圆圆”，结账时比预算少付了元，则两种玩偶都降低多少元？

23.  本小题分
在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数“合数”定义：对于一个自然数，如果这个数除以余数为，且除以余数为，则称这个数为“合数”．
例如：，，所以是“合数”；，但，所以不是“合数”．
判断和是否为“合数”？请说明理由；
求大于且小于的所有“合数”．

24.  本小题分
如图，直线与轴交于点，与轴交于点抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
求该抛物线的解析式；
如图，点为抛物线在直线下方的一动点，作轴，，分别交于点、，求的最大值和此时点的坐标；
在的条件下，将抛物线沿射线平移个单位长度，得到新抛物线，点在新抛物线的对称轴上，点在抛物线上当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．

25.  本小题分
如图，在中，，在中，，连接、．

如图，当点、、在一条直线上时，若，且，求的长；
如图，点为的中点，连接猜想与的数量关系，并证明你的猜想；
如图，当三边为定值时，点、、在一条直线上时，取的中点，连接当取最小值时，请直接写出的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的值是．
故选：．
根据正数的绝对值是其本身即可求解．
本题考查了绝对值，关于是熟悉正数的绝对值是其本身的知识点．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故选：．
分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义．
本题考查分式有意义的条件，解决本题的关键是掌握分式有意义，分母不为．
 

3.【答案】 

【解析】解：、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据轴对称图形定义进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、与不能合并，故D不符合题意；
故选：．
根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方法则进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由图象可知，过山车距水平地面的最高高度为米．
故选：．
根据图象判断即可．
本题考查了函数的图象，解决本题的关键是利用数形结合思想．
 

6.【答案】 

【解析】解：调查黄河流域的水污染情况，适合抽样调查，不符合题意；
B.调查一批防疫口罩的质量情况，不适合抽样调查，符合题意；
C.调查某校初三班全体学生的视力情况，适合全面调查，符合题意；
D.调查“双减”后全国中学生的家庭作业完成时间，适合抽样调查，不符合题意；
故选：．
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
 

7.【答案】 

【解析】解：因为与位似，：：，
所以：：，
又的面积为，
所以．
故选：．
根据位似图形的概念得到∽，再根据相似比为，与之比为相似比的平方．
本题考查了位似变换，熟练掌握位似变换的有关概念和性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由图可知，
第个图案中“”的个数为：个，
第个图案中“”的个数为：个，
第个图案中“”的个数为：个，
，
则第个图案中“”的个数为：个．
故选：．
根据题目中的图案，可以写出前几个图案中“”的个数，从而可以发现“”个数的变化规律，进而得到第个图案中“”的个数．
本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中“”个数的变化规律，利用数形结合的思想解答．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

与相切于点，
，
，
，
，
，
故选：．
连接，由切线的性质可得；利用圆的半径相等可得；利用圆周角定理可得；利用三角形的内角和定理可求得的度数．
本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质及三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接，

四边形是正方形，
，，
，
，
，
正方形关于对称，
，
故选：．
连接，由正方形的性质求得，进而求得与，再由勾股定理求得，最后根据轴对称性质求得．
本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，轴对称的性质，关键是由正方形的性质与勾股定理求得的长度．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：．
关于的一元一次不等式组的解集为，
．
，
，
．
关于的分式方程的解是正整数，，
或或或．
当时，，
解得：；
当时，，
解得：；
当时，，
解得：；
当时，，
解得：．
所有满足条件的整数的个数是．
故选：．
由关于的一元一次不等式组的解集为，可得出，解分式方程，可得出，结合不等式组的解为正整数，可得出或或或，代入，可求出值，结合为整数，即可得出结论．
本题考查了解分式方程以及一元一次不等式组的解，根据一元一次不等式组的解及解分式方程，找出的取值范围是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意：
第项为，，，
第项为，，，
第项为，，，
．
第项为，故正确；
，故错误；
若第项为，则，
，
，即，故正确；
当时，设Ⅰ，
Ⅱ，
ⅠⅡ得：，
，故错误，
正确的有两个，
故选：．
根据题意可得第项为，第项为，第项为，，根据变化规律解答即可．
本题考查数字的变化类规律探索，解题的关键是根据已知得到变化规律．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式
，
故答案为：．
利用零指数幂的意义和算术平方根的意义化简运算即可．
本题主要考查了实数的运算，零指数幂的意义和算术平方根的意义，正确利用上述法则解答是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中两次摸出小球的颜色为黄色、蓝色各一个的结果有种，
两次摸出小球的颜色为黄色、蓝色各一个的概率为，
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中两次摸出小球的颜色为黄色、蓝色各一个的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，连接，
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
又菱形的对边，
，
，
扇形，
，
，
．
故答案为：．
连接，判断出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，再求出，然后求出阴影部分的面积，计算即可得解．
本题考查了菱形的性质，扇形的面积的计算，熟记性质并作辅助线构造出等边三角形是解题的关键．
 

16.【答案】：． 

【解析】解：由题意可设五月份、、三种饮料的销售的数量为、、，单价为、、；六月份的销售量为．
饮料的六月销售额为，饮料的六月销售额为．
、饮料增加的销售额为分别，．
又、饮料增加的销售额之比为：，
饮料增加的销售额为，
饮料六月的销售额为．
饮料增加的销售额占六月份销售总额的，
，
，
，
，
，
，
．
即饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比为：．
故答案为：：．
根据三种饮料的数量比、单价比，可以按照比例设未知数，即五月份、、三种饮料的销售的数量和单价分别为、、；、、可以表示出五月份各种饮料的销售额和总销售额．因问题中涉及到的五月销售数量，因此可以设六月份的销售量为，再根据六月份的单价求出六月份的销售额，和的销售额．可以根据饮料增加的销售额占六月份销售总额比，用未知数列出等式关键即可求解出．
此题考查的是二元一次方程的应用，掌握用代数式表示每个参数，并用整体法解题是关键．
 

17.【答案】解：；

；


． 

【解析】根据完全平方公式．单项式乘多项式可以解答本题；
先算括号内的减法，然后计算括号外的除法即可．
本题考查了整式的混合运算、分式的混合运算，掌握运算法则是解答本题的关键．
 

18.【答案】    

【解析】解：如图，为所作；

证明：如图，
四边形是矩形
，，，
、分别平分和，
，，
．
在与中，

≌，
．
故答案为：，，，．
利用基本作图作的平分线即可；
先根据矩形的性质得到，，，然后证明≌得到．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质、全等三角形的判定．
 

19.【答案】解：；



人，
故估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有人． 

【解析】

【分析】
本题考查频数分布直方图、扇形统计图、中位数、用样本估计总体等知识．
根据八年级组人数及其所占百分比即可得出的值，用的值分别减去其它各组的频数即可得出的值．
根据中位数的定义解答即可．
用样本估计总体即可．
【解答】
解：由题意得：人，
故，
解得，
故答案为：；；
把八年级测试成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为，，故中位数为，
故答案为：；
见答案．  

20.【答案】解：反比例函数过，
，
反比例的解析式：；
反比例函数过，
，
，
把和代入一次函数，
，
解得，，
一次函数的解析式：；
一次函数的图象如下：

在平面直角坐标系中如图所示：

；
当或时，． 

【解析】反比例函数过，求出，反比例函数过，求出，把和代入一次函数，求出、，根据点、的坐标画出函数图象．
在平面直角坐标系中如图所示：根据三角形面积公式计算即可；
根据两函数交点的横坐标求出关于的不等式的解集．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，掌握待定系数法求一次、反比例函数解析式的步骤，其中求三角形的面积转化为面积之差是解题关键．
 

21.【答案】解：由题意得：，，
，，
在中，，米，
米，
无人机的飞行高度为米．
过点作，垂足为，

，
，
四边形为矩形，
，，
在中，，
，
，
，
米．
汉丰湖的宽度约为米． 

【解析】根据题意可得，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长即可；
过点作，垂足为，根据题意可得米，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出，的长，进行计算即可解答．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，锐角三角函数，矩形的判定和性质，平行线的性质等知识．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 

22.【答案】解：设计划购买“兔团团“玩偶个，则“兔圆圆“玩偶个，
根据题意，可得：，
解得：，
个．
计划购买“兔团团“玩偶个，“兔圆圆“玩偶个．
两种玩偶均降低元，
“兔团团“玩偶降价后每个元，“兔圆圆“玩偶每个元．
物业在的基础上多购买了个“兔团团“和个“兔圆圆“，
“兔团团“玩偶现在有个，“兔圆圆“玩偶现在有个．
根据题意，可得：，
整理，可得：，
解得：舍去，．
两种玩偶都降低元． 

【解析】设计划购买“兔团团“玩偶个，则“兔圆圆“玩偶个，根据“兔团团“玩偶钱数加上“兔圆圆“玩偶钱数等于总钱数元，列出关于的一元一次方程，进而可以得解；
根据两种玩偶均降低“元，得出“兔团团“和“兔圆圆“玩偶降价后的单价，再根据的结论，结合题意，得出“兔团团“玩偶现在有个，“兔圆圆“玩偶现在有个，再根据题意，列出二元一次方程，进而可以得解．
本题主要考查了一元一次方程的应用、一元二次方程的应用，解本题的关键在理清题意，找出等量关系，正确列出方程．
 

23.【答案】解：是“少数”，不是“合数”，
理由：，，所以不是“合数”；
，但，所以是“合数”；
大于且小于的数除以余的数为，，，，，，，，，，，，，，
其中除以余的数是，，，
即大于且小于的所有“合数”是，，． 

【解析】根据“合数”的定义，即可判断和是否为“合数”；
根据题意，可以写出大于且小于的数除以余的数，然后再从中选出除以余的数，从而可以得到大于且小于的所有“合数”．
本题考查新定义、实数的运算，解答本题的关键是会用定义判断一个数是否为“合数”．
 

24.【答案】解：对于，令，解得：，令，则，
即点、的坐标分别为、，
设抛物线的表达式为：，
则，
则，
解得：，
故抛物线的表达式为：；

由抛物线的表达式知，点，
设直线的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
解得：，
即直线的表达式为：，
设点，则点，
，则，
轴，
，
则，
则，
，故有最大值，
当时，有最大值为，
此时，点；

由知，抛物线的对称轴为，
而抛物线沿射线平移个单位长度，相当于向左向下均平移了个单位，则抛物线的对称轴为，
故设点，，
当是对角线时，由中点坐标公式得：
，解得：；
当是对角线时，同理可得：
，解得：；
当是对角线时，同理可得：
，解得：；
故点的坐标为：或或． 

【解析】用待定系数法即可求解；
由，即可求解；
当是对角线时，由中点坐标公式得：，即可求解；当是对角线时，同理可解．
本题考查了二次函数综合题，涉及到待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质、用函数方式求出线段和的表达式等，其中，要主要分类求解，避免遗漏．
 

25.【答案】解：在中，，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
在中，，．
是等腰直角三角形，
；
，理由如下：
如图，连接并延长到，使，连接，，

点为的中点，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
是等腰直角三角形，
．
在以中点为圆心的圆上，设圆心为，为中点，取的中点，在以为圆心的圆上，半径为，

所以最小时为、、共线时，
此时，，
比值为． 

【解析】根据等腰直角三角形的性质即可解答；
如图，连接并延长到，使，连接，，首先证明≌，可得，，再证明≌，可得，，然后可以证明是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，进而可以得结论；
在以中点为圆心的圆上，设圆心为，为中点，取的中点，在以为圆心的圆上，半径为，所以最小时为、、共线时，进而可以解决问题．
此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，解本题的关键是得出，也是解本题的难点．