2022-2023学年广西崇左市江州区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年广西崇左市江州区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，四边形是平行四边形，，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  甲、乙、丙、丁四个同学在三次数学测试中，平均成绩都是，方差分别是，，，，则数学成绩最稳定的是(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

4.  式子在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  方程的根是(    )

A.  B.
C. ， D. ，

6.  某商场销售一种商品，原销售价为元，为减少库存，经过两次降价，现销售价为元，如果每次降价率都为，则根据题意所列的方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  由线段，，组成的三角形中，是直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

8.  下列方程中有实数根的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在菱形中，，，则菱形的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  已知，，，，点是上的一个动点，则线段长的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的等于时，输出的值是(    )

 

A.  B.  C.  D.

12.  如图，点在正方形外，连接、、，过点作的垂线交于点若，，则下列结论：
≌；
；
点到直线的距离为；
其中正确的结论有个(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）

13.  化简______．

14.  如图，在中，为斜边的中线，若，则的长为______ ．

15.  某区“引进人才”招聘考试分笔试和面试，其中笔试按，面试按计算平均数作为总成绩，黄老师笔试成绩为分，面试成绩为分，则吴老师的成绩为______ ．

16.  如果一元二次方程有两个相等的实数根，则______．

17.  如图，在▱中，，，，则 ______ ．

18.  在矩形中，，，点是边的中点，连接并延长交射线于点，将沿直线翻折到，延长与直线交于点，则的长为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：；
．

20.  本小题分
解方程：．

21.  本小题分
音乐教育是实施美德的重要途径，为了解学生掌握音乐基本知识情况，
对学生进行音乐基础知识测试，并对测试成绩进行抽样调查，过程如表：

根据以上信息，回答下列问题：
最合理的抽样方式是______ 填写正确答案的序号；
表格中的 ______ ， ______ ， ______ ， ______ ；
若该校有名学生，请估计学生成绩在的人数．

22.  本小题分
某商场销售一批服装，平均每天可售出件，每件盈利元，经市场调查发现，每件服装每降价元，商场平均每天就可以多售出件．
若每件服装降价元，求用含的代数式表示商场平均每天可售的件数；
若使商场每天盈利元，每件服装应降价多少元？

23.  本小题分
如图，把一块直角三角形其中土地划出一个后，测得，，，．
根据条件，求的长；
判断的形状，并说明理由；
求图中阴影部分土地的面积．

24.  本小题分

已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
若为正整数，求的值；
若，满足，求的值．

25.  本小题分
在正方形中，是边上一动点不与点、重合连接如图，过点作垂足为点，交于点，求证：≌；
如图，是上的一点，过点作，分别交，于点，求证：．

26.  本小题分
在▱中，对角线，交于点，，点是上的一点，．

如图，求证：；
如图，▱的顶点在上，若．
求证：四边形是矩形；
求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据相反数、绝对值的性质可知：的相反数是．
故选：．
相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是．
本题考查的是相反数的求法．要求掌握相反数定义，并能熟练运用到实际当中．
 

2.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
故选：．
由平行四边形的对角相等即可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质；熟记平行四边形的对角相等是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：甲、乙、丙、丁四个同学的平均成绩都是，，，，，
，
四个人中成绩最稳定的是甲，
故选：．
根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得．
故选D．
根据二次根式有意义，被开方数大于等于列式计算即可得解．
本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
或，
，，
故选：．
利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握解一元二次方程因式分解法是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意得：．
故选：．
利用经过两次降价后的售价原销售价每次降价率，即可列出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：、，故线段、、组成的三角形不是直角三角形，本选项不符合题意；
B、，故线段、、组成的三角形不是直角三角形，本选项不符合题意；
C、，故线段、、组成的三角形不是直角三角形，本选项不符合题意；
D、，故线段、、组成的三角形是直角三角形，本选项符合题意．
故选：．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题主要考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
 

8.【答案】 

【解析】解：、，
这里，，，
，
此方程没有实数根，不符合题意；
B、，
这里，，，
，
此方程没有实数根，不符合题意；
C、，
这里，，，
，
此方程有两个不相等的实数根，符合题意；
D、，
这里，，，
，
此方程没有实数根，不符合题意．
故选：．
求出各方程根的判别式的值，即可作出判断．
此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
菱形的面积，
故选：．
根据菱形的性质和勾股定理即可得到结论．
本题考查了菱形的性质，掌握菱形的面积等于对角线积的一半是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，，
，
是直角三角形，
当时，最小，
线段长的最小值是：，
解得：．

故选：．
首先判断的形状，再利用三角形面积求法得出答案．
本题主要考查勾股定理的逆定理以及直角三角形面积求法，关键是熟练运用勾股定理的逆定理进行分析．
 

11.【答案】 

【解析】解：当输入时，
第一次：，不是有理数；
第二次：，不是有理数；
第三次：，是有理数，
；
故选：．
根据数值转换器规定的运算计算即可．
本题考查代数式求值，解题的关键是读懂题意，熟练掌握实数相关运算法则．
 

12.【答案】 

【解析】解：四边形为正方形，，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
结论正确；
，，
为等腰直角三角形，
，
，
由可知：≌，
，
，
，
结论正确；
过点作交的延长线于，如图：

由可知：为等腰直角三角形，，，
在中，，
由勾股定理得：，
，
为直角三角形，
在中，，，
由勾股定理的：，
，
，
又，
为等腰直角三角形，即，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
，
即：点到直线的距离为，
结论正确；
由可知：≌，
，
，
，，
．
．
结论正确．
综上所述：正确的结论是，共有个．
故选：．
先由正方形的性质得，，再根据可证，然后依据“”可判定和全等，据此可对结论进行判断；
先证为等腰直角三角形得，则，然后由正确可得，据此可求出，进而可对结论进行判断；
过点作交的延长线于，先证等腰中求出，再在中求出，然后证为等腰直角三角形，则利用勾股定理求出即可对结论进行判断；
由正确得，则，然后分别求出，，据此可对结论进行判断，综上所述即可得出此题的答案．
此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，理解全等三角形的面积相等，灵活运用勾股定理进行计算是解答此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：．
根据二次根式的乘法法则进行计算．
主要考查了二次根式的乘法运算．二次根式的运算法则：乘法法则．
 

14.【答案】 

【解析】解：，为斜边上的中线，
，
，
，
故答案为：．
根据直角三角形斜边上的中线性质得出，代入求出答案即可．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，能熟记直角三角形斜边上的中线性质是解此题的关键，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
 

15.【答案】分 

【解析】解：由题意可得，
老师的总成绩为：

分，
故答案为：分．
根据题目中的数据和加权平均数的计算方法，可以计算出黄老师的总成绩．
本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法．
 

16.【答案】 

【解析】解：一元二次方程有两个相等的实数根，
，
即：，
解得：，
故答案为：．
根据一元二次方程有两个相等的实数根可知其判别式为，据此列出关于的方程，再解答即可．
本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．
 

17.【答案】 

【解析】解：，
，
，，
，
四边形是平行四边形，对角线与交于点，
，，
，
，
故答案为：．
由，得，而，，则根据勾股定理得，由平行四边形的性质得，，则，所以，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的性质、勾股定理等知识，正确地求出的长及的长是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

由折叠得，，，，
，
，
≌，
，
设，
，
，，
，
在中，
，即，
，即，
故答案为：．
证明≌，证出，在中利用勾股定理求出即可．
本题考查了矩形的性质的应用，图形的折叠及勾股定理的应用是解题关键．
 

19.【答案】解：原式
；
原式


． 

【解析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
先根据平方差公式和二次根式的除法法则运算，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
 

20.【答案】解：移项得，
配方得，即，
开方得，
，． 

【解析】利用配方法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

21.【答案】           

【解析】解：选择样本比较片面，不能代表真实情况，抽样调查不具有广泛性和代表性，最合理的抽样方式是；
故答案为：；
根据名学生的测试成绩可知，，
这个成绩从小到大排列处在中间位置的两个数都是分，因此中位数是，
这个成绩中分的最多，有个，所以众数，
故答案为：，，，；
人，
答：估计学生成绩在分数段的人数约为人．
根据抽样调查的特点进行分析即可；
根据所给数据即可求出、的值，根据中位数、众数的定义即可求出、的值；
用乘以学生成绩在分数段的百分比即可．
本题考查频数率分布表、中位数、众数以及用样本估计总体，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的前提．
 

22.【答案】解：若每件服装降价元，
则商场平均每天可售的件数为：件；
根据题意得：
．
解得，．
答：应降价元或元． 

【解析】依据每件服装每降价元，商场平均每天就可以多售出件，列式即可；
等量关系为：原来每件的盈利降低的价格原来的销售量降低的价格，把相关数值代入计算即可．
本题考查一元二次方程的应用；得到降价后的销售量是解决本题的难点；得到总利润的等量关系是解决本题的关键．
 

23.【答案】解：，，，
；
是直角三角形，
理由：，，，
，
，
是直角三角形；




．
所以图中阴影部分土地的面积为． 

【解析】利用勾股定理即可求解；
利用勾股定理的逆定理判断是直角三角形；
由，结合三角形面积公式解答．
本题考查勾股定理及其逆定理的实际应用，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
 

24.【答案】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，

解得：，
为正整数，
或；
由根与系数的关系可得：，，
，
，
，
，

解得：，，
，
． 

【解析】本题主要考查的是一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，先判断出的取值范围，再由根与系数的关系得出方程组是解答此题的关键．
根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，得到，于是得到结论；
由根与系数的关系可得：，，把变形为，代入解方程即可得到结论．
 

25.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
．
，
，
．
在和中，
，
≌；
过点作于点，则四边形是矩形，
，，
四边形是正方形，
，，
，，
又，
，
，
又，
，
≌，
． 

【解析】根据正方形的性质证明≌即可；
过点作于点，则四边形是矩形，证明≌，由全等三角形的性质得出．
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
 

26.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
．
证明：如图：作于，

，
，
四边形和四边形是平行四边形，
，，
，，
，，
设，

，
，，
，
，
，
，
，
四边形是矩形．
解：不妨设，则，
，，
，
，
，，
． 

【解析】由平行四边形的性质可得可，，，进而得到，再结可得，从而得出，进而证明结论；
如图：作于，可推出，，从而设，可表示出、，进而推出，进而得出，从而四边形是矩形；
设，则，，，根据勾股定理得出，，然后代入即可解答．
本题主要考查了平行四边形的性质、矩形的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理、余弦函数等知识点，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．