初一数学暑假讲义 第8讲.二元一次方程组的解法及应用.教师版
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定 义 | 示例剖析 |
二元一次方程：含有两个未知数，并且含未知数的项的最高次数是1的整式方程叫二元一次方程． |
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二元一次方程的一般形式：（，） | |
二元一次方程的解：使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．任何一个二元一次方程都有无数个解． | 是的解， 也是的解 可以看出有无数个解. |
判定一个方程是二元一次方程必须同时满足四个条件： ①含有两个未知数——“二元”； ②含有未知数的项的最高次数为1——“一次”； ③方程两边的代数式都是整式——整式方程； ④未知数的系数不能为0. | |
【例1】 ⑴ 下列方程中，是二元一次方程的有哪些？
①；②；③；④；⑤；⑥；
⑦ ；⑧．
⑵ 若是二元一次方程，求、的值．
【解析】 ⑴ ②，③，⑦是二元一次方程；
①不是，因为只有一个未知数；④不是，因为未知项最高次数是2；⑤不是，是分式方程；⑥不是，因为有三个未知数；⑧不是，因为未知项的最高次数是2．
⑵ 由定义知：，，所以，．
【例2】 ⑴ 已知是方程的解，则的值为（ ）
A． B. 1 C. 2 D. 3
（北京二中期中）
⑵ 判断下列数值是否是二元一次方程的解．
① ② ③ ④
⑶ 已知方程. ①用的代数式表示． ②用的代数式表示．
【解析】 ⑴ A.
⑵ 依次将上述解代入方程，使得左右两边等式成立的值即为此方程的解．
① 是；② 不是；③ 不是；④ 是，从中可以看到，一个二元一次方程的解不是惟一的，而是有许多组，但每个解都包括两个数值，它们是成对出现的．
⑶ ，．
对一个二元一次方程进行用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的变形，是解二元一次方程组的基础，也可从中探索两个未知数之间的数量关系．
定 义 | 示例剖析 |
二元一次方程组：由几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组，叫二元一次方程组． 二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合在一起，有的方程可以只有一元（一元方程在这里也可看作另一未知数系数为0的二元方程），方程可以超过两个． |
例如是二元一次方程组． |
二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值（即两个方程的公共解），叫做二元一次方程组的解．同时它也必须是一个数对，而不能是一个数． |
例如二元一次方程组的解是. |
注意：一般情况下，一个二元一次方程组只有唯一一组解；二元一次方程组的解还有另外两种情况：无解或有无数组解. | |
【例3】 ⑴ 下列方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
⑵ 以为解的二元一次方程组是（ ）
A． B． C． D．
【解析】 ⑴ C. 其中A是二次方程，B是分式方程，D含有三个未知数.
⑵ C.
【例4】 ⑴ 方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
⑵ 方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
（北京西城实验中学期中）
【解析】 ⑴ B. 直接用加减消元法；
⑵ D．先变换系数为相反数，再用加减消元法；
解二元一次方程的一般步骤： | 示例剖析 |
Ⅰ：代入消元法 代入消元法是解二元一次方程组的基本方法之一．“消元”体现了数学研究中转化的重要思想，代入法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其他方程（组）经常用到的方法． 用代入法解二元一次方程组的一般步骤： ① 从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如，用另一个未知数如的代数式表示出来，即写成的形式； ② 把代入另一个方程中，消去，得到一个关于的一元一次方程； ③ 解这个一元一次方程，求出的值； ④ 回代求解：把求得的的值代入中求出的值，从而得出方程组的解． ⑤ 把这个方程组的解写成的形式．
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例: 解方程组 解：由①得 ③ 把③代入②，得 解得 把代入③得 所以方程组的解是.
以上为代入消元法解方程组的一般步骤. |
Ⅱ：加减消元法 加减法是消元法的一种，也是解二元一次方程组的基本方法之一．加减法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其他方程（组）经常用到的方法． 用加减法解二元一次方程组的一般步骤： ① 变换系数：把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等； ② 加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③ 解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； ④ 回代：将求出的未知数的值代入原方程组中，求出另一个未知数的值； ⑤ 把这个方程组的解写成的形式．
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例: 解方程组 解：得 ③ 得 解得 把 代入①得 即 所以方程组的解是.
以上为加减消元法解方程组的一般步骤. |
代入消元方法的选择： ① 运用代入法时，将一个方程变形后，必须代入另一个方程，否则就会得出“0＝0”的形式，求不出未知数的值. ② 当方程组中有一个方程的一个未知数的系数是1或时，用代入法较简便.
加减消元方法的选择： ① 一般选择系数绝对值最小的未知数消元； ② 当某一未知数的系数互为相反数时，用加法消元；当某一未知数的系数相等时，用减法消元； ③ 某一未知数系数成倍数关系时，直接使其系数互为相反数或相等，再用加减消元求解； ④ 当相同的未知数的系数都不相同时，找出某一个未知数的系数的最小公倍数，同时对两个方程进行变形，转化为系数的绝对值相同，再用加减消元求解． | |
【例5】 ⑴ 用代入消元法解方程组：
（北京二中期中）
⑵ 用加减消元法解方程组：
（北京西城期末）
【解析】 ⑴ 由①得 ③；
把③代入②得
把代入③得，
所以方程组的解为；
⑵ ；
【例6】 解下列方程组：
⑴
（十一学校期中）
⑵
（北京西城期末）
⑶
【解析】 ⑴ ⑵ ⑶
【巩固】⑴ 解方程组：
⑵ 解方程组：
【解析】 ⑴ ； ⑵ .
【例7】 ⑴ 二元一次方程有两组解是与，求，的值．
⑵ 已知是二元一次方程组的解，则的值为（ ）．
A．1 B． C．2 D．3
【解析】 ⑴ 将与分别代入可得，解得．
⑵ B. 把解代入方程组得 ，得.
【巩固】已知是方程组的解，则______．
【解析】由题意得 ，，. ∴.
【例8】 ⑴ 若方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
⑵ 三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 ．
【解析】 ⑴ A；⑵
【例9】 ⑴ 解方程组：
⑵ 解方程组：
【解析】⑴ 整体叠加法
系数对调型方程组，可采用整体相加然后相减的方法速算；
①＋②得，进而可得，
⑵ 此题系数比较复杂，因此需要进行同解变换，得到比较简单的方程，再进行求解．
解：两方程相减，得： ①
两方程相加，得：． ②
得：，
得：
所以，方程的解为：
【例10】 ⑴ 解方程组：
⑵ 解方程组：
【解析】⑴ ①＋②＋③得，用①、②、③分别减去此式得，，
⑵ ①＋②＋③得：，分别去减①、②、③式可得：，，
【拓展】若，，，，满足方程组
，求的值．
【解析】将个方程相加除以得，
该式分别与④、⑤两式比较得到：，，所以．
【拓展】若，，，，满足方程组：，求的值．
【解析】③＋④得，代入①得，④＋⑤得，所以，，
所以
知识模块一 二元一次方程的基本概念 课后演练
【演练1】 已知方程是关于、的二元一次方程，求、的值．
【解析】 根据题意可得：，，所以，或．
【演练2】 ⑴ 已知与都是方程的解，求与的值．
⑵ 在方程中，用含的代数式表示，再用含的代数式表示，若设
，，，分别求出对应的值．
【解析】 ⑴ 是方程的解，可得，则原方程为，
是方程的解， 可得，．
⑵ 用含的代数式表示，；用含的代数式表示，.
当，，时，分别为，，．
知识模块二 二元一次方程组的解 课后演练
【演练3】 ⑴ 下列四个解中是方程组的解是（ ）
A. B． C． D．
⑵ 当时，关于，的二元一次方程组解中的两个未知数的值互为相反 数，求的值.
【解析】 ⑴ B.
⑵ ，互为相反数，当，则，代入方程组可得，．
知识模块三 二元一次方程组的基本解法 课后演练
【演练4】 ⑴ 二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
⑵ 方程组的解是 ．
⑶ 已知方程组的解是，那么、 的值为（ ）
A. B. C. D.
（北京五中期中）
【解析】 ⑴ C. 用加减消元法解.
⑵ 用代入消元法解得.
⑶ D.
【演练5】 解下列方程组:
⑴
⑵
（北京101中学期中）
【解析】 ⑴
⑵
【演练6】 解方程组：
【解析】①+②+③+④+⑤，得⑥
①代入⑥，得⑦，结合④可得，
同理得，，，
初一数学暑假讲义 第15讲.乘法公式（二）.教师版： 这是一份初一数学暑假讲义 第15讲.乘法公式（二）.教师版，共7页。
初一数学暑假讲义 第14讲.乘法公式（一）.教师版： 这是一份初一数学暑假讲义 第14讲.乘法公式（一）.教师版，共8页。
初一数学暑假讲义 第11讲.线和角.教师版： 这是一份初一数学暑假讲义 第11讲.线和角.教师版，共12页。
