初一数学暑假讲义 第5讲.整式的概念及整式的加减.教师版
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定 义 | 示例剖析 |
代数式的定义：用基本的运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式．单独的一个数或字母也是代数式． |
，，10，
|
单项式：像，，，，，……，这些代数式中，都是数字与字母的积，这样的代数式称为单项式．也就是说单项式中不存在数字与字母或字母与字母的加、减的关系，且单项式的分母中不含字母．单独的一个字母或数也叫做单项式，
|
例如：，是单项式；
不是单项式 |
单项式的次数：是指单项式中字母的指数和．单独的一个数（零除外），它们的次数规定为零．
| 单项式，它的指数，是四次单项式．
|
单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数． | 叫做单项式的系数； 的系数是． |
同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项． | 与，与， 与 |
易错点：① 单项式的系数包括单项式前面的符号； ② 是一个数，不要将它当作字母． | |
【例1】 指出下列各式，哪些是代数式 ？
⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸
⑹ ⑺ ⑻ ⑼
【解析】 代数式：⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑼
【例2】 写出下列单项式的系数和次数：
单项式 | ||||||
系数 |
|
|
|
|
|
|
次数 |
|
|
|
|
|
|
【解析】
单项式 | ||||||
系数 | 1 | |||||
次数 | 5 | 3 | 2 | 2 | 4 | 3 |
【例3】 ⑴ 单项式的系数是，次数是 ．
（人大附中期中）
⑵ 一个单项式：它的系数是，次数是，必须含，两个字母，请写出这样的单项式 ．（写出一个即可）
（北京101中学期中）
⑶ 系数为3，只含字母、，且次数是3的单项式共有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
（人大附中期中）
⑷ 下面给出的四对单项式中，是同类项的一对是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
（人大附中期中）
⑸ ①与2000是同类项；②与是同类项；③与是同类项；④与是同类项，上述说法正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
（人大附中期中）
⑹ 写出的一个同类项
（清华附中期中）
⑺ 若与是同类项，那么的值分别是（ ）
A． B． C． D．
（三帆中学期中）
⑻ 如果与是同类项，则__________
（北京师范大学附属实验中学期中）
【解析】 ⑴ 6； ⑵等； ⑶ B；⑷ B；⑸ D； ⑹等； ⑺ B；⑻ 1或3．
定 义 | 示例剖析 |
多项式：几个单项式的和叫做多项式． | 是多项式． |
多项式的项：其中每个单项式都是该多项式的一个项．多项式中的各项包括它前面的符号．多项式中不含字母的项叫做常数项． | 多项式中，、1是多项式的项，1是常数项． |
多项式的次数：多项式里，次数最高项的次数就是这个多项式的次数． | 的次数是二次． 次数是四次． |
多项式的命名：几次几项式． | 是二次三项式； 是四次三项式． |
整式：单项式和多项式统称为整式． | 3，，是整式． |
把多项式按某个字母升幂、降幂排列 | 升幂排列： 降幂排列： |
【例4】 ⑴ 多项式是 次四项式，最高次项是 ．
（三帆中学期中）
⑵ 下列判断中正确的是（ ）
A．与不是同类项 B．不是整式
C．单项式的系数是 D．是二次三项式
（三帆中学期中）
⑶ 下列代数式中是五次多项式的是（ ）
A． B． C． D．
（清华附中期中）
【解析】 ⑴ 六，；⑵ C；⑶ A．
【例5】 是 次 项式，把它按字母的降幂排列成_________ ____ _____，排列后的第二项系数是 ，系数最小的项是_________．
（人大附中期中）
【解析】 六，四，，，
【例6】 在多项式（其中，为正整数）中，恰有两项是同类项，则
【解析】 若与是同类项，则，，与已知条件矛盾．
故只有与为同类项，于是，且，
解得，，于是
合并同类项：把多项式中同类项合并成一项，叫做合并同类项． 合并同类项时，只需把系数相加，所含字母和字母指数不变． | |
去括号与添括号： 去括号：括号前是负号时，括号里各项均要变号，括号前是正号，括号里的各项均不变号， 添括号：括号前是负号时，括号里各项均要变号，括号前是正号，括号里的各项均不变号． |
|
【例7】 ⑴ 下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（人大附中期中）
⑵ 下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（清华附中期中）
⑶ 下列式子中去括号错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
(人大附中期中)
⑷ 多项式（ ）．
（北京五中期中）
【解析】 ⑴ D ；⑵ D； ⑶ C；⑷
【例8】 化简下列各式：
⑴
⑵
（人大附中期中）
⑶ 计算：设、、，
则 ．
（人大附中期中）
【解析】 ⑴ ；⑵； ⑶
【附加】若，．求：⑴ ；⑵ ．
【解析】 ⑴
⑵
【例9】 若关于、的多项式合并同类项后得到一个四次三项式，求、的值（所有指数均为正整数）
【解析】 ∵x、y的多项式xm-1y3+x3-my|n-2|+xm-1y+x2m-3y|n|+m+n-1 合并同类项后得到
一个四次三项式，
∴m-1=1，解得：m=2，
多项式变为：xy3+xy|n-2|+xy+xy|n|+n+1，
①当|n|=1，
n=1时，xy3+xy|n-2|+xy+xy|n|+n+1=xy3+3xy+2，符合题意；
n=-1时，xy3+xy|n-2|+xy+xy|n|+n+1=xy3+xy3+xy+xy=2xy3+2xy，不符合题意；
②当|n|=3，
n=3时，xy3+xy|n-2|+xy+xy|n|+n+1=xy3+xy+xy+xy3+3+1=2xy3+2xy+4，符合题意；
n=-3时，xy3+xy|n-2|+xy+xy|n|+n+1=2xy3+xy5+xy-2，不符合题意．
故m=2，n=1或3
【附加】⑴ 当时，多项式的值等于0，
此时多项式的值等于
⑵ 三个有理数，，，其积是负数，其和是正数，
当时，则代数式的值是
【解析】 ⑴ 由条件知，即，
所以
⑵ 由于，，三数的积是负数，所以要么是三个负数，要么是一负二正；若三个都是负数，它们的和不可能是正数，所以只能是一负二正．
不妨设，，，则．
将代入代数式求值，得
【附加】化简求值:
⑴ 先化简，再求值:，其中．
（人大附中期中）
⑵ 求的值，其中，．
⑶ 有这样一道题：“已知，，，当，，时，求的值”．有一个学生指出，题目中给出的，是多余的．他的说法有没有道理？为什么？
⑷ 已知多项式和的差的值与字母的取值无关，
求代数式的值．
【解析】 ⑴ 化简为；
⑵ 原式；
⑶ 有道理，，
因为，所以．
⑷ 由于两个多项式的差的值与字母的取值无关，所以这两个多项式含的项的
系数相同，
即，；
原式
当，时，上式的值为：
【附加】先化简，再求值：
已知，求的值．
（北京师范大学附属实验中学期中）
【解析】 易知，，原式．
知识模块一 单项式相关概念 课后演练
【演练1】 找出下列各代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数．
； ； ； ； ； ；
【解析】 ，，，，是单项式．
的系数是，次数是3；的系数是，次数是1；的系数是（注意有些学校要求写成），次数是7；的系数是，次数是6；的系数为，次数为1．
【演练2】 ⑴ 的同类项是（ ）．
A． B． C． D．
⑵ 已知和是同类项，则式子的值是（ ）
A． B． C． D．
⑶ 若与是同类项，求的值．
⑷ 如果与是同类项，且与互为负倒数，求，值．
【解析】 ⑴ C；⑵ A；⑶，，；⑷，．
知识模块二 多项式相关概念 课后演练
【演练3】 ⑴ 现有五种说法：①表示负数；②若，则；③绝对值最小的有理数
是0；④是5次单项式；⑤是多项式．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③⑤ D．④⑤
（北京师范大学附属实验中学期中）
⑵ 把下列多项式按降幂排列，并指出是几次几项式，并指出系数最小的项：
① ②
【解析】 ⑴ C；
⑵ ① ，四次四项式，；
② ，四次五项式，
知识模块三 整式加减 课后演练
【演练4】 ⑴ 一个多项式减去等于，这个多项式是（ ）
A． B． C． D．
（三帆中学期中）
⑵ 下列去括号错误的是 （ ）
A． B．
C． D．
（北京五中期中）
【解析】 ⑴ A；⑵ C
【演练5】 已知，，，且，求．
【解析】 因为，
所以
【演练6】 如果与是同类项，
那么代数式的值等于
【解析】 因为与是同类项，所以，；
而
，
当，时，
原式的值为：
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