模型02 飞镖、8字模型（讲+练）-备战2023年中考数学解题大招复习讲义（全国通用）

模型一：飞镖模型

（1）角的飞镖模型

结论：

解答：①方法一：延长交于点得证    

②方法二：延长交于点得证

③方法三：延长到在其延长方向上任取一点为点得证

总结：利用三角形外角的性质证明

（2）边的飞镖模型

结论：

解答：延长交于点+三角形三边关系+同号不等式

大的放左边，小的放在右边得证

模型二：8在模型

（1）角的8字模型

结论：

解答：

①方法一：三角形内角和得证    ②方法二：三角形外角的性质得证

总结：①利用三角形内角和等于证明

                  推出

②利用三角形外角的性质证明

（2）边的8字模型

结论：

解答：三角形三边关系+同号不等式得证

总结：

①三角形两边之和大于第三边

考点一：飞镖模型

【例1】．如图，∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝20°，则∠BOC=_______

变式训练

【变式1-1】．如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝55°，∠D＝15°，则∠P的度数为（　　）

A．15° B．20° C．25° D．30°

【变式1-2】．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，∠ABC+∠ACB＝100°，则∠BIC的度数为（　　）

A．80° B．50° C．100° D．130°

【变式1-3】．如图，已知∠BOF＝120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．

【变式1-4】．如图所示，已知P是△ABC内一点，试说明PA +PB +PC＞（AB +BC +AC）．

考点二：8字模型

【例2】．如图，∠1＝60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝       

变式训练

【变式2-1】．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　　°．

【变式2-2】．如图，A，B，C，D，E，F是平面上的6个点，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是 　　度．

【变式2-3】．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　　°．

【变式2-4】．一副三角板如图摆放，其中一块三角板的直角边EF落在另一块三角板的斜边AC上，边BC与DF交于点O，则∠BOD的度数是 　  　．

1．如图，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A＝35°，则∠D的度数为（　　）

A．35° B．45° C．55° D．65°

2．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（　　）

A．120° B．150° C．180° D．200°

3．如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，BC上的点，将△BMN沿MN折叠；使点B落在点B'处，若∠B＝35°，∠BNM＝28°，则∠AMB'的度数为（　　）

A．30° B．37° C．54° D．63°

4．如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65°，则图中角α的度数为 　 　．

5.已知如图，BQ平分∠ABP，CQ平分∠ACP，∠BAC＝α，∠BPC＝β，则∠BQC＝　　．（用α，β表示）

6．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠H＝　  　度．

7．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　  　．

8．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为      

9．如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D应 　　  （填“增加”或“减少”） 　  　度．

10．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I的值．

11．如图，已知AB∥DE，∠ABC、∠CED的平分线交于点F．探究∠BFE与∠BCE之间的数量关系，并证明你的结论．

12．如图，DP平分∠ADC，PB平分∠ABC，求证：∠P＝（∠A+∠C）

13．如图，在四边形ABCD中，AM、CM分别平分∠DAB和∠DCB，AM与CM交于M．探究∠AMC与∠B、∠D间的数量关系．

14．（1）探究：如图1，求证：∠BOC＝∠A+∠B+∠C．

（2）应用：如图2，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数．

15．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，我们把形如图1的图形称之为“8字形“．如图2，∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于点M、N．试解答下列问题：

①仔细观察，在图2中有　　个以线段AC为边的“8字形”；

②若∠B＝76°，∠C＝80°，试求∠P的度数；

③∠C和∠B为任意角时AP、DP分别是∠CAB、∠BDC的三等分线，写出∠P与∠C、∠B之间数量关系，并说明理由．

16．阅读材料，回答下列问题：

【材料提出】

“八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．

【探索研究】

探索一：如图1，在八字型中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为 　                 ；

探索二：如图2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数为 　    　；

探索三：如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，则∠P、∠B、∠D之间的数量关系为 　        　．

【模型应用】

应用一：如图4，延长BM、CN，交于点A，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线BP，CP相交于点P，则∠A＝　    　（用含有α和β的代数式表示），∠P＝　        　．（用含有α和β的代数式表示）

应用二：如图5，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线所在的直线相交于点P，∠P＝　        　．（用含有α和β的代数式表示）

【拓展延伸】

拓展一：如图6，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为 　       　．（用x、y表示∠P）

拓展二：如图7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论 　                　．