(考点分析) 第三节 带电粒子在组合场中的运动-2023年高考物理一轮系统复习学思用

【考点分析】　第三节 带电粒子在组合场中的运动

【考点一】  质谱仪

【典型例题1】  (2022•山东省济南市高三(上)期末)利用质谱仪可以测量带电粒子的比荷，如图所示为一种质谱仪的原理示意图。某带电粒子从容器A下方的小孔飘入加速电场(其初速度可视为零)，之后自O点垂直磁场边界进入匀强磁场中，最后打到照相底片上的P点，粒子重力不计。此过程中，比荷越大的带电粒子(　　)

A．进入磁场时的速度越小 B．在加速电场中的加速时间越长

C．在磁场中的运动时间越长 D．在磁场中做匀速圆周运动的半径越小

【解析】  AB．根据，可得，则比荷大的粒子进入磁场时的速度越大，在加速电场中的加速时间越短，选项AB错误；

C．根据，可知，比荷大的粒子在磁场中的运动周期越短，则时间越短，选项C错误；

D．根据，则比荷大的粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径越小，选项D正确。故选D。

【答案】  D

【考点二】  回旋加速器

【典型例题2】  (2022•天津市南开区高三(上)期末)如图所示为回旋加速器的示意图。两个靠得很近的形金属盒处在与盒面垂直的匀强磁场中，一质子从加速器的处开始加速。已知形盒的半径为，磁场的磁感应强度为，高频交变电源的电压为、频率为，质子质量为、电荷量为。下列说法正确的是(　　)

A．质子的最大速度不超过

B．质子的最大动能为

C．只增大磁感应强度，回旋加速器仍可正常工作

D．在不改变所加交变电源频率和磁场的情况下，可直接对氦核()进行加速

【解析】  质子如果能在回旋加速器中一直加速，条件是质子在磁场中做圆周运动的周期等于所接高频交流电源周期，即

A．质子一直加速，则出回旋加速器时速度最大，此时半径为R，有，则质子的最大速度不超过，故A正确；

B．质子的最大动能为，故B正确；

C．如果只增大磁感应强度，则质子在磁场中做圆周运动的周期将变小，不等于交流电源的周期，则回旋加速器不能正常工作，故C错误；

D．在不改变所加交变电源频率和磁场的情况下，只要粒子的比荷与质子的相同，回旋加速器就能正常使用，而氦核的比荷与质子比荷不相等，故D错误。故选AB。

【答案】  AB

【考点三】  先电场后磁场的组合场

【典型例题3】  (2022•福建师范大学附属中学高三(下)开学考试)如图所示，在xOy坐标平面的第一、四象限内，y轴和平行于y轴的边界MN之间有沿y轴负方向的匀强电场，匀强电场的电场强度大小为E，半径为R的圆形有界磁场与MN相切于P(R，0)点，磁场垂直于坐标平面向里。一个带正电的粒子从O点沿坐标平面以初速度v斜向右上方射入匀强电场，从MN上Q(R，)点垂直MN射出电场，粒子进入磁场后，经磁场偏转，刚好从圆形有界磁场的最上端射出。不计粒子的重力和场的边缘效应，求：

(1)粒子的荷质比；

(2)匀强磁场的磁感应强度大小；

(3)若保持粒子从O点射出方向不变，改变粒子速度大小，使粒子刚好从P点进入磁场，求粒子在电场和磁场中运动的总时间。

【解析】  (1)粒子在匀强电场中做类斜抛运动，设初速度与x轴正向成角，

由牛顿第二定律有

将粒子的运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动，则根据运动学公式，可得竖直方向上，

水平方向上有，联立可得，

(2)粒子进入磁场的速度为

带电粒子在电场和磁场中的轨迹如图甲所示，设轨迹圆半径为r

AD为磁场圆和轨迹圆的公共弦，由几何知识可得

在磁场中洛伦兹力提供向心力，有，联立，可得

(3)设粒子从O点射出的速度大小为，粒子从O到P过程是类斜抛运动，

则有，，解得

根据对称性，粒子从P点射入磁场时，速度大小为，方向斜向右下方，与x轴正向的夹角为。粒子在磁场中的运动轨迹如乙图所示，

由牛顿第二定律，可得，联立解得

粒子在磁场中圆周运动的周期

根据几何关系，可知PO1QO3为平行四边形，则粒子在磁场中运动的轨迹所对的圆心角为，所以粒子在磁场中运动的时间为

所以粒子在电场和磁场中运动的总时间为

【答案】  (1)；(2)；(3)。

【考点四】   先磁场后电场的组合场

【典型例题4】  (2022•重庆市育才中学第五次月考)如图所示为真空中某竖直平面内的xOy坐标系。已知在x<0区域有匀强磁场B(方向如图所示，大小未知)，在第一象限内有沿y轴负方向的匀强电场E1(大小未知)，质量为m、电荷量为+q的粒子从点A(0，–l)垂直于y轴以速度v0射入第三象限，做匀速圆周运动从点C(0，l)垂直于y轴射入第一象限，在第一象限内做曲线运动并从点D穿过x轴进入第四象限，通过D点时的速度为v1(大小未知)，v1的方向与x轴正方向成θ=45°角，不考虑粒子的重力，则：

(1)请确定匀强磁场磁感应强度B的大小；

(2)请确定匀强电场的电场强度E1的大小和D点的坐标(用l表示)；

(3)若粒子经过D点后立即进入一个场强为E2的矩形匀强电场，在该电场的作用下可以返回A点并沿固定路线做周期性运动，请确定该电场存在的最小区域及E2的大小和方向。

【解析】  (1)由题可知，粒子在二、三象限内做匀速圆周运动，

可知其轨迹圆心为点O，半径为l，，解得

(2)由题知，粒子在第一象限内做类平抛运动，竖直位移为l，水平位移即为D点横坐标xD，

故有，，，，

解得，，所以D点坐标为(2l，0)；

(3)若要使该粒子可以返回A点并沿固定路线做周期性运动，则应满足：v1的水平分量v1x需反向且大小为v0，v1的竖直分量v1y需减小为零。

由题及(2)知：，

由于E2为匀强电场，所以粒子在第四象限内做匀变速运动，设粒子在x方向的加速度大小为ax，位移为sx，在y方向的加速度大小为ay，位移为sy，

则有，，，

设E2在x负方向的分量为E2x，y方向的分量为E2y，E2与x负方向的夹角为α，

则有，，，

解得，(如上图所示)

设粒子达到电场最右端时与D点的水平距离为，则，其中

故有

匀强电场为矩形区域，四个顶点分别为(2l,0),(,0),(2l,–l),(,–l)。

【答案】  (1)；(2)；(2l，0)；(3)见解析

 【考点五】  磁场与磁场的组合场

【典型例题5】  (2022•湖北省常德市高三(下)模拟)如图所示，在xOy平面内，0<x≤a区域有垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，a<x≤2a区域有垂直于纸面向外的匀强磁场(大小未知)。一质量为m、带电量为q(q>0)、速度大小为的粒子由坐标原点O沿x轴正方向射入磁场，仅在洛伦兹力的作用下，粒子最后又从y轴射出磁场区域。下列说法正确的是(　　)

A．粒子可能从y轴负方向垂直y轴射出磁场

B．粒子在a<x≤2a区域的轨道半径可能是a

C．粒子在两磁场中的运动时间之和可能为

D．仅减小粒子的入射速度，该粒子一定从y轴射出磁场区域

【解析】  A．由粒子沿x轴正方向射入磁场，知其在左侧磁场运动的圆心在y轴上，由洛伦兹力提供向心力有，得0＜x＜a区域圆周运动的半径，取粒子在a＜x≤2a区域圆周运动的轨迹恰好与右边界相切，轨迹如图所示，由图可知此时粒子从y轴负方向射出磁场，故A正确；

B．取粒子在a＜x≤2a区域圆周运动的半径为，有，得，故B错误；

C．粒子在0＜x＜a区域的运动周期为，则运动时间为，粒子在a＜x≤2a区域，由，得，运动周期为，运动时间为，粒子在两磁场中的运动时间为，若B′=8B，则，故C正确；

D．取粒子0＜x＜a区域速度偏角为θ，粒子在a＜x≤2a区域沿x轴运动的最远距离，若减小粒子的入射速度，粒子在a＜x≤2a区域沿x轴运动的最远距离减小，粒子不会从磁场的右侧离开，一定从y轴射出磁场区域，故D正确。故选ACD。

【答案】  ACD

【考点六】  带电粒子在组合场中的周期运动

【典型例题6】  (2022•华南师范大学附中、广东实验中学等四校联考)如图所示，在x轴上方有垂直于xy平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B；在x轴下方有沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E；某粒子质量为m，电量为，粒子重力不计。将粒子从y轴上的P点静止释放，到达原点时速度为v0

(1)求粒子从开始运动到第二次通过x轴时运动的路程s和时间t；

(2)若将该粒子从P点以沿x轴正方向的初速度v1射入电场，该粒子运动中经过A点(图中未画出)，经过A点时速度沿x轴正方向，已知A点的纵坐标为，求初速度v1；

(3)若将该粒子从P点以沿x轴正方向的初速度射入电场，该粒子运动中经过C点(图中未画出)，已知C点的纵坐标为，求C点横坐标的可能值。

【解析】  (1)粒子在电场中运动的加速度

P到原点O的距离，P到O的时间

设粒子在磁场中运动半径为R，则有

粒子在磁场中运动时间

粒子第二次通过x轴时运动的路程

运动时间

(2)如图是粒子运动轨迹的一部分，图中可看出，粒子经过A点时沿x轴正方向。粒子由M点进入磁场时，沿x轴方向的速度为v1，沿y轴方向的速度为v0，则进入磁场的合速度 

过M点作合速度v的垂线，过A点作平行于y轴的直线，两直线的交点O1即为圆心，AO2与x轴交点为D，AO2与MO2的夹角设为θ，则v与v1的夹角也为θ，粒子在磁场中的半径设为R1，

则，，可得

A点的纵坐标为，则

在三角形O1MD中有，解得，

，，得，

(3)如图画出了粒子经过C点的一种可能的情况，O2是圆心，O2Q与y轴平行，K是O2Q与x轴的交点，CQ平行x轴，CL平行y轴。

P到G沿x方向的距离

HI的沿x方向的距离与OG相等

同理可知

故P到I间的距离

同理可知

由上式可知，半径

在三解形CO2Q中有

C点的纵坐标为，故，解得

故I与C沿x轴距离为

若C点在Q点右侧，则I与C沿x轴距离为

考虑到粒子可能经过多个类似P到I这样的过程后经过C点，若C点在Q左侧，则C点的横坐标为

若C点在Q点右侧，则C点的横坐标为。

【答案】  (1)，；(2)；(3)若C点在Q左侧，则C点的横坐标为；若C点在Q点右侧，则C点的横坐标为。

【考点七】  带电粒子在交变场中的运动

【典型例题7】  (2022•哈尔滨师范大学附属中学高三(上)期末)如图甲所示，两个平行正对的水平金属板XX′极板长，板间距离d＝0.2m，在金属板右端竖直边界MN的右侧有一区域足够大的匀强磁场，磁感应强度B＝5×10－3T，方向垂直纸面向里。现将X′极板接地，X极板上电势φ随时间变化规律如图乙所示。现有带正电的粒子流以v0＝105m/s的速度沿水平中线OO′连续射入电场中，粒子的比荷，其重力可忽略不计，若粒子打在水平金属板上则将被吸收。在每个粒子通过电场的极短时间内，电场可视为匀强电场(设两板外无电场)。求：(结果可以保留根式或π)

(1)带电粒子射出电场时的速度增量的最大值；

(2)粒子在磁场中运动的最长时间和最短时间之差；

(3)所有进入磁场的粒子在MN上射出磁场的区域长度。

【解析】  (1)粒子在偏转电场中做类平抛运动，设两金属板间电压为U1时粒子恰好能够从金属板边缘射出，此时粒子的加速度大小为   ①

粒子的运动时间为  ②

粒子的侧移量为   ③

联立①②③解得   ④

所以当时进入电场的粒子将打到金属板上，在时进入电场的粒子射出时具有最大速度，则速度增量的最大值为   ⑤

(2)根据几何关系可知，当粒子从O′点下方射出时，其速度方向与水平方向的夹角越大，其在磁场中转过的圆心角越大，运动时间越长；当粒子从O′点上方射出时，其速度方向与水平方向的夹角越大，其在磁场中转过的圆心角越小，运动时间越短。所以从下极板右边缘射出的粒子在磁场中运动时间最长，从上极板右边缘射出的粒子在磁场中运动时间最短，分别如图中轨迹a、b所示，两种粒子从电场射出时与水平方向的夹角相同，均设为θ，根据速度的合成与分解可得   ⑥

解得   ⑦

根据几何关系可知沿轨迹a、b运动的粒子转过的圆心角分别为   ⑧

   ⑨

设粒子在磁场中运动的周期为T，根据牛顿第二定律有   ⑩

解得   ⑪

粒子在磁场中运动的最长时间和最短时间之差为   ⑫

(3)设某一粒子从电场射出时速度方向与水平方向夹角为β，

根据速度的合成与分解可得此时粒子的速度大小为   ⑬

设此时粒子在磁场中运动的半径为R，根据牛顿第二定律有   ⑭

粒子进入磁场与射出磁场的点间距为   ⑮

联立⑬⑭⑮解得   ⑯

由此可推知沿轨迹a运动的粒子射出磁场的位置最低，沿轨迹b运动的粒子射出磁场的位置最高，因此所有进入磁场的粒子在MN上射出磁场的区域长度为   ⑰

【答案】  (1)×105m/s；(2)；(3)0.2m

【考点八】  带电粒子在交变电场中的周期性运动

【典型例题8】  (2022•黑龙江省哈三中高三(下)一模)在挡板MN和边界PQ之间有竖直方向周期变化的电场，在PQ的右侧有足够大的垂直向里的匀强磁场，磁感应强度B=2T，如图甲所示。MN和PQ之间距离L=20cm，电场变化的规律如图乙所示，t=0 时刻电场方向向下。在t=0时刻有一个比荷为1.25×102C/kg带正电的粒子，该粒子以初速度v0=10m/s从A点沿AC方向垂直进入电场。C点是PQ边界上的一个点，电场变化的半周期大于粒子每次穿过电场运动的时间，粒子重力不计，粒子与挡板碰撞能量、电荷量均无损失，碰撞的时间忽略不计，取=3，求：

(1)粒子第一次通过PQ边界处与C点的距离：

(2)粒子第二次通过PQ边界处与C点的距离及总的运动时间；

(3)若粒子每次都能够垂直打到MN挡板上，且恰能打到距A点下方H远的板上D点，则电场变化的周期是多少？H应满足什么条件？

【解析】  (1)粒子在电场中，水平方向

竖直方向，qE=ma，解得粒子第一次通过PQ边界处与C点的距离h=10cm

(2)粒子第一次穿出电场时的竖直速度

粒子进入磁场时的速度大小

粒子进入磁场时的速度方向与边界的夹角为θ，则，则θ=45°

粒子在磁场中做匀速圆周运动，则，解得

根据，解得

由几何关系可知粒子圆周运动的圆周角

在磁场中的运动时间t2为

所以从A点出发到第二次过PQ边界的总时间为

粒子穿过PQ边界的弦长S为，解得S=8cm

所以第二次通过PQ边界处与C点的距离为

(3)粒子若要能够垂直打到挡板MN上，其从PQ边界进入电场到运动到挡板MN的时间设为t3，这段时间内电场方向应该向上，在竖直方向

解得，

水平方向位移，故恰好垂直打到挡板MN上；

因此电场变化的周期为

由几何关系可知，A与D间的距离H满足的条件为其中k=1、2、3……

【答案】  (1)10cm；(2)2cm；3.8×10-2s；(3)5.8×10-2s；，其中k=1、2、3……

【考点九】  带电粒子在交变电磁场中的运动

【典型例题9】  (2022•高考河北卷)两块面积和间距均足够大的金属板水平放置，如图1所示，金属板与可调电源相连形成电场，方向沿y轴正方向。在两板之间施加磁场，方向垂直平面向外。电场强度和磁感应强度随时间的变化规律如图2所示。板间O点放置一粒子源，可连续释放质量为m、电荷量为、初速度为零的粒子，不计重力及粒子间的相互作用，图中物理量均为已知量。求：

(1)时刻释放的粒子，在时刻的位置坐标；

(2)在时间内，静电力对时刻释放的粒子所做的功；

(3)在点放置一粒接收器，在时间内什么时刻释放的粒子在电场存在期间被捕获。

【解析】  (1)在时间内，电场强度为，带电粒子在电场中加速度，

根据动量定理可知

解得粒子在时刻的速度大小为

方向竖直向上，粒子竖直向上运动的距离

在时间内，根据粒子在磁场运动的周期可知粒子偏转，速度反向，根据可知粒子水平向右运动的距离为

粒子运动轨迹如图

所以粒子在时刻粒子的位置坐标为，即；

(2)在时间内，电场强度为，粒子受到的电场力竖直向上，

在竖直方向，解得时刻粒子的速度

方向竖直向上，粒子在竖直方向上运动的距离为

在时间内，粒子在水平方向运动的距离为

此时粒子速度方向向下，大小为，在时间内，电场强度为，

竖直方向

解得粒子在时刻的速度

粒子在竖直方向运动的距离

粒子运动的轨迹如图

在时间内，静电力对粒子的做功大小为，电场力做正功；

(3)若粒子在磁场中加速两个半圆恰好能够到达点，则释放的位置一定在时间内，粒子加速度时间为，在竖直方向上，

在时间内粒子在水平方向运动的距离为

在时间内，在竖直方向，

在时间内，粒子在水平方向运动的距离为

接收器的位置为，根据距离的关系可知，解得

此时粒子已经到达点上方，粒子竖直方向减速至用时，则

竖直方向需要满足

解得在一个电场加速周期之内，所以成立，所以粒子释放的时刻为中间时刻；

若粒子经过一个半圆到达点，则粒子在时间内释放不可能，如果在时间内释放，经过磁场偏转一次的最大横向距离，即直径，也无法到达点，所以考虑在时间内释放，假设粒子加速的时间为，在竖直方向上，

之后粒子在时间内转动半轴，横向移动距离直接到达点的横坐标，

即，解得

接下来在过程中粒子在竖直方向减速为的过程中，

粒子要在点被吸收，需要满足

代入验证可知在一个周期之内，说明情况成立，所以粒子释放时刻。

【答案】  (1)；(2)；(3)，