2024届高考数学第一轮复习：文科数学2010-2019高考真题分类训练之专题六 数列 第十七讲 递推数列与数列求和答案

专题六数列

第十七讲  递推数列与数列求和

答案部分

2019年

1.解析（1）设等比数列{an}的公比为q，所以a1≠0，q≠0.

由，得，解得．

因此数列为“M—数列”.

（2）①因为，所以．

由，得，则.

由，得，

当时，由，得，

整理得．

所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.

因此，数列{bn}的通项公式为bn=n.

②由①知，bk=k，.

因为数列{cn}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0.

因为ck≤bk≤ck+1，所以，其中k=1，2，3，…，m.

当k=1时，有q≥1；

当k=2，3，…，m时，有．

设f（x）=，则．

令，得x=e.列表如下：

因为，所以．

取，当k=1，2，3，4，5时，，即，

经检验知也成立．

因此所求m的最大值不小于5．

若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，

所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.

综上，所求m的最大值为5．

2.解析：对于B，令，得，
取，所以，
所以当时，，故B错误；
对于C，令，得或，
取，所以，
所以当时，，故C错误；
对于D，令，得，
取，所以，…，，
所以当时，，故D错误；
对于A，，，

，
，递增，

当时，，
所以，所以，所以故A正确．故选A．

3.解析（Ⅰ）设数列的公差为d，由题意得

，

解得．

从而．

由成等比数列得

．

解得．

所以．

（Ⅱ）．

我们用数学归纳法证明．

（1）当n=1时，c1=0<2，不等式成立；

（2）假设时不等式成立，即．

那么，当时，

．

即当时不等式也成立．

根据（1）和（2），不等式对任意成立．

2010-2018年

1．C【解析】∵，∴是等比数列

       又，∴，∴，故选C．

2．D【解析】【法1】有题设知

=1，①    =3  ②      =5  ③     =7，=9，

=11，=13，=15，=17，=19，，

……

∴②－①得=2，③+②得=8，同理可得=2，=24，=2，=40，…，

∴，，，…，是各项均为2的常数列，，，，…是首项为8，公差为16的等差数列，

∴{}的前60项和为=1830.

【法2】可证明：

【法3】不妨设，得，，所以当n为奇数时，，当n为偶数时，构成以为首项，以4为公差的等差数列，所以得

3．A【解析】法一：分别求出前10项相加即可得出结论；

法二：，故=．故选A.

4．6【解析】∵，∴数列是首项为2，公比为2的等比数列，

∴，∴，∴．

5．27【解析】∵，，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，所以前9项和．

6．【解析】由题意得：

所以．

7．【解析】将代入，可求得；再将代入，可求得；再将代入得；由此可知数列是一个周期数列，且周期为3，所以．

8．【解析】当=1时，==，解得=1，

当≥2时，==－()=，即=，

∴{}是首项为1，公比为－2的等比数列，∴=.

9．（1），（2）

【解析】(1)∵．

时，a1＋a2＋a3＝－a3－         ①

时，a1＋a2＋a3＋a4＝a4－，∴a1＋a2＋a3＝－.  ②

由①②知a3＝－．

(2)时，，∴

当n为奇数时，；

当n为偶数时，．

故，

∴

．

10．【名师解析】可证明：

，

      ．

11．3018【解析】因为的周期为4；由

∴，，…

∴

12．4【解析】由题意得，得，

13．【解析】(1)设等比数列的公比为，由，，可得．

因为，可得，故．所以．

设等差数列的公差为．由，可得．

由，可得 从而，

故，所以．

(2)由(1)，知

由可得，

整理得，解得（舍），或．所以的值为4．

14．【解析】（1）因为，故当时，

．

两式相减得．

所以．

又由题设可得．

从而的通项公式为 =.

（2）记的前项和为，

由（1）知．

则．

15．【解析】（Ⅰ）由已知，得，所以数列是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）和 ，得，因此是首项为1，公比为的等比数列.记的前项和为，则

16．【解析】 (Ⅰ)设数列的公差为，由题意有，

解得，所以的通项公式为.

（Ⅱ）由(Ⅰ)知，

当=1,2,3时，；

当=4,5时，；

当=6,7,8时，；

当=9,10时，，

所以数列的前10项和为.

17．【解析】（Ⅰ）由，，得．

当时，故．

当时，整理得所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

故，

，

所以．

18．【解析】（Ⅰ）由条件，对任意，有，

因而对任意，有，

两式相减，得，即，

又，所以，

故对一切，．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，所以，于是数列是首项，公比为3的等比数列，数列是首项，公比为3的等比数列，

所以，

于是

．

从而，

综上所述，．

19．【解析】（Ⅰ），

所以

（Ⅱ）

（Ⅲ）当时，

20．【解析】(Ⅰ)

-

（Ⅱ）

上式左右错位相减：

。

21．【解析】（1）由

令，

当

①当时，

②当

（2）当时，（欲证）

，

当

综上所述