【重难点讲义】浙教版数学九年级上册-第13讲 圆弧形动点轨迹与最值问题专题探究

第13讲  圆弧形动点轨迹与最值问题专题探究

类型一  定义法

【知识点睛】

        定义法——若一动点到定点的距离恒等于固定长，则该点的运动轨迹为以定点为圆心，定长为半径的圆（或圆弧）

        此类问题常出现环境——折叠

        求最值时常结合原理——①圆与圆外定点最值的求解方法

如图：点A为圆外定点，点P为圆周上一点，

则AP最小值=OA-r；AP最大值=OA+r

                      ②圆上点到圆外定直线最值的求解方法

如图：直线l为圆外定直线，点P、点Q为圆周上一点，

则PH即为圆O上的点到直线l的最小值;QH为最大值

                                                                       l

【类题讲练】

1．如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝2，以AC为边在△ABC外作等边三角形ACD，连接BD，则BD＝　       　．

2．如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边上的一点，且AM＝AD，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C．则A′C长度的最小值是           ．

3．如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为（　　）

A．68° B．88° C．90° D．112°

4．如图，点A，B的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C为坐标平面内一点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，OM的最大值为 　    　．

5．如图，△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，过点C任作一条直线CD，将线段BC沿直线CD翻折得线段CE，直线AE交直线CD于点F．

（1）小智同学通过思考推得当点E在AB上方时，∠AEB的角度是不变的，请按小智的思路帮助小智完成以下推理过程：

∵AC＝BC＝EC，

∴A、B、E三点在以C为圆心以AC为半径的圆上．

∴∠AEB＝　              　∠ACB＝　   　°．

（2）若BE＝2，求CF的长．

（3）线段AE最大值为 　 　；若取BC的中点M，则线段MF的最小值为 　              　．

类型二  定边对直角

【知识点睛】

        模型原理：直径所对的圆周角是直角

        思路构造：若一条定边所对的“动角”始终为直角，则直角顶点运动轨迹是以该定边为直径的圆（或圆弧）

如图：

求最值时常结合原理——同类型一（略）

【类题讲练】

1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，点D是边BC上一动点，连接AD，在AD上取一点E，使∠DAC＝∠DCE，连接BE，则BE的最小值为（　　）

A．2﹣3 B． C．﹣2 D．

2．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，BC＝2，∠A＝60°，点D为弧BC上一动点，CE垂直直线OD于点E，当点D由B点沿弧BC运动到点C时，点E经过的路径长为       ．

3．如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为　        　．

4．如图，直线l1∥l2∥l3，A，B，C分别为直线l1，l2，l3上的动点，连接AB，BC，AC，线段AC交直线l2于点D．设直线l1，l2之间的距离为m，直线l2，l3之间的距离为n，若∠ABC＝90°，BD＝4，且＝，则m+n的最大值为　       　．

5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为边BC上一动点，F为AE中点，G为DE上一点，BF＝FG，则CG的最小值为 　      　．

6．如图，正方形OABC中，A（8，0），B（8，8），点D坐标为（﹣6，0），连接CD，点P为边OA上一个动点，连接CP，过点D作DE⊥CP于点E，连接AE，当AE取最小值时，点E的纵坐标为（　　）

A．3﹣ B．4﹣ C． D．

7．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，点P从C点出发，沿CB运动到点B停止，过点B作射线AP的垂线，垂足为Q，点Q运动的路径长为（　　）

A． B． C． D．

8．（1）【学习心得】

于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．

例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝　   　°．

（2）【问题解决】

如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的数．

（3）【问题拓展】

如图3，如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 　　．

类型三  定边对定角

【知识点睛】

        模型原理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等

        思路构造：若一条定边所对的“动角”始终为定角，则该定角顶点运动轨迹是以该定角为圆周角，该定边为弦的圆（或圆弧）

        解决办法：

当∠P是那个定角时，此类问题要求点P 的运动路径长，则∠P一定为特殊角。

下以30°，45°，60°，120°为例，说明动点轨迹圆的确定方法：

若∠P=30°，以AB为边，同侧构造等边三角形AOB，O即为圆心

若∠P=45°，以AB为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB，O即为圆心

若∠P=60°，以AB为底，同侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心

若∠P=120°，以AB为底，异侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心

另：若∠P=135°，以AB为斜边，异侧构造等腰直角三角形AOB，O即为圆心

若∠P=150°，以AB为边，异侧构造等边三角形AOB，O即为圆心

求最值时常结合原理——同类型一（略）

【类题训练】

1．如图，已知等边△ABC的边长为2，D，E分别为BC，AC上的两个动点，且AE＝CD，连接BE，AD交于点P，则CP的最小值是　     　．

2．如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，点E在AB上，＝，在矩形内找一点P，使得∠BPE＝60°，则线段PD的最小值为（　　）

A．2﹣2 B． C．4 D．2

3．如图，△ABC，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝60°，过点A作BC的平行线l，P为直线l上一动点，⊙O为△APC的外接圆，直线BP交⊙O于E点，则AE的最小值为（　　）

A． B．7﹣4 C． D．1

4．如图，⊙O的直径AB＝5，弦AC＝3，点D是劣弧BC上的动点，CE⊥DC交AD于点E，则OE的最小值是（　　）

A． B． C．2﹣ D．﹣1

5．问题提出

（1）如图①，AC为⊙O的直径，点P在弧ACB上（不与A、B重合），连接AP、BP，则∠APB

　        ∠ACB（填“＞”“＜”或“＝”）．

问题探究

（2）如图②，在等边△ABC中，M、N为边AB和AC上的两动点，且BM＝AN，连接BN、CM，BN与CM相交于P，求∠BPC度数．

问题解决

（3）如图③，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，M、N分别为边AD和CD上的两个动点，且AM：DN＝4：3，连接BM、AN，BM与AN相交于点P，连接CP，求四边形ABCP面积的最大值．

6．如图，AB是⊙O的直径，M、N是（异于A、B）上两点，C是上一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是　     　．

7．如图，AB为⊙O的直径，且AO＝4，点C在半圆上，OC⊥AB，垂足为点O，

P为半圆上任意一点过P点作PE⊥OC于点E，设△OPE的内心为M，连接OM

（1）求∠OMP的度数；

（2）随着点P在半圆上位置的改变，∠CMO的大小是否改变，说明理由；

（3）当点P在半圆上从点B运动到点A时，直接写出内心M所经过的路径长．

8．（1）发现：如图1，在平面内，已知⊙A的半径为r，B为⊙A外一点，且AB＝a，P为⊙A上一动点，连接PA，PB，易得PB的最大值为 　  　，最小值为 　  　；（用含a，r的代数式表示）

（2）应用：①如图2，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，E为AD边中点，F为AB边上一动点，在平面内沿EF将△AEF翻折得到△PEF，连接PB，则PB的最小值为 　    　；

②如图3，点P为线段AB外一动点，分别以PA、PB为直角边，P为直角顶点，作等腰Rt△APC和等腰Rt△BPD，连接BC、AD．若AP＝3，AB＝7，求AD的最大值；

（3）拓展：如图4，已知以AB为直径的半圆O，C为弧AB上一点，∠ABC＝60°，P为弧BC上任意一点，CD⊥CP交AP于D，连接BD，若AB＝6，则BD的最小值为 　    　．