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    【重难点讲义】浙教版数学七年级下册-第02讲 平行线性质和判定的综合探究
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    【重难点讲义】浙教版数学七年级下册-第02讲 平行线性质和判定的综合探究

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    这是一份【重难点讲义】浙教版数学七年级下册-第02讲 平行线性质和判定的综合探究,文件包含第02讲平行线性质和判定的综合探究原卷版docx、第02讲平行线性质和判定的综合探究解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共26页, 欢迎下载使用。

    第2讲 平行线性质和判定的综合探究
    【知识点睛】
    v 要注意平行线的判定与性质之间的区别,明确两者的条件和结论,在应用时要正确选用.
    v 当已知条件中出现角相等或互补时,往往能得到两直线平行;
    v 当要说明两角相等或互补时,往往需要利用平行线的性质.
    v 在解决与平行线有关的问题时,当无法直接得到角之间的数量关系或两条线之间的位置关系时,往往需要借助辅助线来帮助解答.
    v 平行线的综合问题,通常先根据条件证出两直线的位置关系是平行,再依据平行线的性质来求解其余的角度信息,即平行线的判定与性质,在综合问题里经常是同步考察的。
    【类题训练】
    1.如图所示,下列推理正确的个数有(  )
    ①若∠1=∠2,则AB∥CD
    ②若AD∥BC,则∠3+∠A=180°
    ③若∠C+∠CDA=180°,则AD∥BC
    ④若AB∥CD,则∠3=∠4.

    A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
    【分析】根据平行线的判定(内错角相等,两直线平行,同位角相等,两直线平行,同旁内角互补,两直线平行)和平行线的性质(两直线平行,内错角相等,两直线平行,同位角相等,两直线平行,同旁内角互补)判断即可.
    【解答】解:∵∠1=∠2,
    ∴AB∥DC,∴①正确;
    ∵AD∥BC,
    ∴∠CBA+∠A=180°,∠3+∠A<180°,∴②错误;
    ∵∠C+∠CDA=180°,
    ∴AD∥BC,∴③正确;
    由AD∥BC才能推出∠3=∠4,而由AB∥CD不能推出∠3=∠4,∴④错误;
    正确的个数有2个,
    故选:C.
    2.一副直角三角尺叠放如图1所示,现将45°的三角尺ADE固定不动,将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动至图2位置的过程中,使两块三角尺至少有一组边互相平行.如图3:当∠CAE=15°时,BC∥DE.则∠CAE其余符合条件的度数为 60°或105°或135° .

    【分析】分四种情况进行讨论,分别依据平行线的性质进行计算即可得到∠CAE的度数,再找到关于A点中心对称的情况即可求解.
    【解答】解:如图3,当BC∥DE时,∠CAE=45°﹣30°=15°;

    如图,当AE∥BC时,∠CAE=90°﹣30°=60°;

    如图,当DE∥AB(或AD∥BC)时,∠CAE=45°+60°=105°;

    当DE∥AC时,如图①,∠CAE=45°+90°=135°.

    综上所述,旋转后两块三角板至少有一组边平行,则∠CAE(0°<∠CAE<180°)其它所有可能符合条件的度数为60°或105°或135°,
    故答案为:60°或105°或135°.
    3.如图,AF分别与BD、CE交于点G、H,AC分别与BD、CE交于点B、C,DF分别与BD、CE交于点D、E,∠1=55°.若∠A=∠F,∠C=∠D,求∠2的度数.

    【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可.
    【解答】解:∵∠A=∠F,
    ∴AC∥DF,
    ∴∠C=∠CEF,
    ∵∠C=∠D,
    ∴∠CEF=∠D,
    ∴BD∥CE,
    ∴∠1=∠AHC=55°,
    ∴∠2=180°﹣∠AHC=125°.
    4.如图,已知∠1+∠2=180°,∠B=∠E.
    (1)试猜想AB与CE之间有怎样的位置关系?并说明理由.
    (2)若CA平分∠BCE,∠B=50°,求∠A的度数.

    【分析】(1)由∠1+∠2=180°可证得DE∥BC,得∠ADF=∠B,已知∠B=∠E,等量代换后可得∠ADF=∠E,由此可证得AB与CE平行;
    (2)由两直线平行,同旁内角互补得∠BCE=130°,由CA平分∠BCE,得∠ACE=65°,两直线平行,内错角相等,得出∠A.
    【解答】解:(1)AB∥CE,
    ∵∠1+∠2=180°(已知),
    ∴DE∥BC(同旁内角互补,两直线平行),
    ∴∠ADF=∠B(两直线平行,同位角相等),
    ∵∠B=∠E(已知),
    ∴∠ADF=∠E(等量代换),
    ∴AB∥CE(内错角相等,两直线平行).
    (2)∵AB∥CE,
    ∴∠B+∠BCE=180°,
    ∵∠B=50°,
    ∴∠BCE=130°,
    ∵CA平分∠BCE,
    ∴∠ACE==65°,
    ∵AB∥CE,
    ∴∠A=∠ACE=65°.
    5.如图,AB⊥AC,点D、E分别在线段AC、BF上,DF、CE分别与AB交于点M、N,若∠1=∠2,∠C=∠F,求证:AB⊥BF.请完善解答过程,并在括号内填写相应的依据.
    证明:∵∠1=∠2,(已知)
    ∵∠2=∠3,(  对顶角相等 )
    ∴∠1=∠ 3 .(  等量代换 )
    ∴DF∥CE.(  同位角相等,两直线平行 )
    ∴∠C=∠ ADM .(两直线平行,同位角相等)
    ∵∠C=∠F,(已知)
    ∴∠F=∠ ADM .(等量代换)
    ∴AC∥BF.(  内错角相等,两直线平行 )
    ∴∠A=∠B.(  两直线平行,内错角相等 )
    ∵AB⊥AC,(已知)
    ∴∠A=90°.
    ∴∠B=90°.
    ∴AB⊥BF.(  垂直的定义 )

    【分析】根据平行线的判定和性质定理即可得到结论.
    【解答】证明:∵∠1=∠2,(已知)
    ∵∠2=∠3,(对顶角相等)
    ∴∠1=∠3.(等量代换)
    ∴DF∥CE.(同位角相等,两直线平行)
    ∴∠C=∠ADM.(两直线平行,同位角相等)
    ∵∠C=∠F,(已知)
    ∴∠F=∠ADM.(等量代换)
    ∴AC∥BF.(内错角相等,两直线平行)
    ∴∠A=∠B.(两直线平行,内错角相等)
    ∵AB⊥AC,(已知)
    ∴∠A=90°.
    ∴∠B=90°.
    ∴AB⊥BF.(垂直的定义),
    故答案为:对顶角相等,3,等量代换,同位角相等,两直线平行,ADM,ADM,内错角相等,两直线平行,两直线平行,内错角相等,垂直的定义.
    6.如图,AB∥CD,连结CA并延长至点H,CF平分∠ACD,CE⊥CF,∠GAH+∠AFC=90°.
    (1)求证AG∥CE;
    (2)若∠GAF=120°,求∠AFC的度数.

    【分析】(1)根据平行线的性质可得∠AFC=∠DCF,根据角平分线的定义可得∠ACF=∠DCF,进而得出∠AFC=∠ACF,再根据余角的性质可得∠ECH=∠GAH,从而得出AG∥CE;
    (2)根据平行线的性质可得∠ECD=∠GAF,根据角的和差关系可得∠DCF=∠ECD﹣∠ECF=40°,再根据平行线的性质解答即可.
    【解答】(1)证明:∵AB∥CD,
    ∴∠AFC=∠DCF,
    ∵CF平分∠ACD,
    ∴∠AFC=∠ACF,
    ∴∠AFC=∠ACF,
    又∵CE⊥CF,∠GAH+∠AFC=90°,
    ∴∠ECH=∠GAH,
    ∴AG∥CE;
    (2)解:∵AB∥CD,
    ∴∠ECD=∠GAF=120°,
    又∵CE⊥CF,
    ∴∠DCF=∠ECD﹣∠ECF=120°﹣90°=30°,
    ∴∠AFC=∠DCF=30°.
    7.【提出问题】若两个角的两边分别平行,则这两个角有怎样的数量关系?
    【解决问题】分两种情况进行探究,请结合如图探究这两个角的数量关系.
    (1)如图1,AB∥EF,BC∥DE,试证:∠1=∠2;
    (2)如图2,AB∥EF,BC∥DE,试证:∠1+∠2=180°;
    【得出结论】由(1)(2)我们可以得到结论:若两个角的两边分别平行,则这两个角的数量关系为  相等或互补 ;
    【拓展应用】
    (3)若两个角的两边分别平行,其中一个角比另一个角的2倍少60°,求这两个角的度数.
    (4)同一平面内,若两个角的两边分别垂直,则这两个角的数量关系为  相等或互补 .


    【分析】【提出问题】(1)根据平行线的性质即可得解;
    (2)根据平行线的性质即可得解;
    【得出结论】结合(1)(2)得出结论;
    【拓展应用】(3)根据“若两个角的两边分别平行,则这两个角的数量关系是相等或互补”求解即可;
    (4)根据题意画出图形,可直接得出结论.
    【解答】【提出问题】(1)证明:如图1,
    ∵AB∥EF,
    ∴∠1=∠3,
    又∵BC∥DE,
    ∴∠2=∠3,
    ∴∠1=∠2;
    (2)证明:如图2,
    ∵AB∥EF,
    ∴∠1=∠4,
    又∵BC∥DE,
    ∴∠2+∠4=180°,
    ∴∠1+∠2=180°;
    【得出结论】解:由(1)(2)我们可以得到的结论是:若两个角的两边分别平行,则这两个角的数量关系是相等或互补,
    故答案为:相等或互补;
    【拓展应用】(3)解:设其中一个角为x,则另一角为2x﹣60°,
    当x=2x﹣60°时,
    解得x=60°,
    此时两个角为60°,60°;
    当x+2x﹣60°=180°,
    解得x=80°,
    则2x﹣60=100°,
    此时两个角为80°,100°;
    ∴这两个角分别是60°,60°或80°,100°.
    (4)解:如图,这两个角之间的数量关系是:相等或互补.

    故答案为:相等或互补.
    8.已知:如图,点B,C在线段AD的异侧,点E,F分别是线段AB,CD上的点,∠AEG=∠AGE,∠C=∠DGC.
    (1)试说明:AB∥CD;
    (2)如果∠AGE+∠AHF=180°,那么∠B=∠C吗?请说明理由;
    (3)在(2)的条件下,若∠BFC﹣20°=3∠C,求∠AHB的度数.

    【分析】(1)由对顶角相等可得∠AGE=∠DGC,从而可得∠AEG=∠C,则可判定AB∥CD;
    (2)由平角的定义可得∠AGE+∠EGH=180°,从而可求得∠EGH=∠AHF,则可判定EC∥BF,则有∠B=∠AEG,从而可求证;
    (3)由(2)得BF∥EC,则有∠BFC+∠C=180°,从而可求∠C的度数,再利用平行线的性质即可求∠AHB的度数.
    【解答】(1)证明:∵∠AEG=∠AGE,∠C=∠DGC,∠AGE=∠DGC,
    ∴∠AEG=∠C,
    ∴AB∥CD;
    (2)证明:∵∠AGE+∠EGH=180°,∠AGE+∠AHF=180°,
    ∴∠EGH=∠AHF,
    ∴EC∥BF,
    ∴∠B=∠AEG,
    ∵AB∥CD,
    ∴∠C=∠AEG,
    ∴∠B=∠C;
    (3)解:∵∠BFC﹣20°=3∠C,
    ∴∠BFC=3∠C+20°,
    ∵EC∥BF,
    ∴∠BFC+∠C=180°,
    ∴3∠C+20°+∠C=180°,
    ∴∠C=40°,
    ∴∠AEG=∠C=40°,
    ∴∠AGE=∠AEG=40°,
    ∵EC∥BF,
    ∴∠AHB=∠AGE=40°.
    【课后综合练习】
    1.如图,已知∠A=∠ADE,若∠EDC=∠C,则∠C=(  )

    A.80° B.90° C.100° D.110°
    【分析】由题意可判定AC∥DE,根据两直线平行,同旁内角互补,即可得出∠C的度数.
    【解答】解:∵∠A=∠ADE,
    ∴AC∥DE,
    ∴∠EDC+∠C=180°,
    又∵∠EDC=∠C,
    ∴∠C=180°,
    ∴∠C=80°,
    故选:A.
    2.如图是两条直线平行的证明过程,证明步骤被打乱,则下列排序正确的是(  )
    如图,已知∠1=∠3,∠2+∠3=180°,求证:AB与DE平行.证明:
    ①:AB∥DE;
    ②:∠2+∠4=180°,∠2+∠3=180°;
    ③:∠3=∠4;
    ④:∠1=∠4;
    ⑤:∠1=∠3.

    A.①②③④⑤ B.②③⑤④① C.②④⑤③① D.③②④⑤①
    【分析】根据平行线的判定解答即可.
    【解答】证明:∵∠2+∠3=180°(已知),∠2+∠4=180°(邻补角的定义),
    ∴∠3=∠4(同角的补角相等).
    ∵∠1=∠3(已知),
    ∴∠1=∠4 (等量代换),
    ∴AB∥DE(同位角相等,两直线平行).
    所以排序正确的是②③⑤④①,
    故选:B.
    3.某市为了方便市民绿色出行,推出了共享单车服务.图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图,图②是其示意图,其中AB,CD都与地面l平行,∠BCD=60°,∠BAC=54°.当∠MAC为(  )度时,AM与CB平行.

    A.16 B.60 C.66 D.114
    【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可.
    【解答】解:∵AB,CD都与地面l平行,
    ∴AB∥CD,
    ∴∠BAC+∠ACD=180°,
    ∴∠BAC+∠ACB+∠BCD=180°,
    ∵∠BCD=60°,∠BAC=54°,
    ∴∠ACB=66°,
    ∴当∠MAC=∠ACB=66°时,AM∥CB,
    故选:C.
    4.将一张长方形的纸对折,如图所示可得到一条折痕(图中虚线).继续对折,对折时每次折痕与上次的折痕保持平行,连续对折两次后,可以得到3条折痕,连续对折三次后,可以得到7条折痕,那么对折6次可以得到  63 条折痕,对折n次可以得到  2n﹣1 条折痕.

    【分析】对前三次对折分析不难发现每对折1次把纸分成的部分是上一次的2倍,折痕比所分成的部分数少1,求出第4次的折痕即可;再根据对折规律求出对折n次得到的部分数,然后减1即可得到折痕条数.
    【解答】解:由图可知,第1次对折,把纸分成2部分,1条折痕,
    第2次对折,把纸分成4部分,3条折痕,
    第3次对折,把纸分成8部分,7条折痕,
    所以,第6次对折,把纸分成64部分,63条折痕,
    …,
    依此类推,第n次对折,把纸分成2n部分,2n﹣1条折痕.
    故答案为:63;2n﹣1.
    5.如图,已知:AB∥CD,CD∥EF,AE平分∠BAC,AC⊥CE,有下列结论:①AB∥EF;②2∠1﹣∠4=90°;③2∠3﹣∠2=180°;④∠3+∠4=135°.其中,正确的结论有  ①②③④ .(填序号)

    【分析】根据平行线的性质逐一分析判断即可.
    【解答】解:∵AB∥CD,CD∥EF,
    ∴AB∥EF,故①正确;
    ∵AE平分∠BAC,
    ∴∠BAC=2∠1,
    ∵AB∥CD,
    ∴∠BAC+∠2=180°,
    ∴2∠1+∠2=180°(1),
    ∵AC⊥CE,
    ∴∠2+∠4=90°(2),
    ∴(1)﹣(2)得,2∠1﹣∠4=90°,故②正确;
    ∵AB∥EF,
    ∴∠BAE+∠3=180°,
    ∵AE平分∠BAC,
    ∴∠1=∠BAE,
    ∴∠1+∠3=180°,
    ∴2∠1+2∠3=360°(3),
    ∵2∠1+∠2=180°(1),
    (3)﹣(1)得,2∠3﹣∠2=180°,故③正确;
    ∵CD∥EF,
    ∴∠CEF+∠4=180°,
    ∴∠3+∠AEC+∠4=180°,
    ∵AC⊥CE,
    ∴∠1+∠AEC=90°,
    ∴∠AEC=90°﹣∠1,
    ∴∠3+∠4﹣∠1=90°,
    ∵2∠1﹣∠4=90°,
    ∴∠1=45°+∠4,
    ∴∠3+∠4=135°,故④正确.
    故正确的结论有:①②③④.
    故答案为:①②③④.

    6.如图,已知∠1+∠2=180°,∠3=∠B=65°,∠C=52°.则∠FEC= 63 度.

    【分析】根据平行线的判定与性质、三角形内角和定理求解即可.
    【解答】解:∵∠1+∠2=180°,∠1+∠DFE=180°,
    ∴∠2=∠DFE,
    ∴AB∥EF,
    ∴∠3=∠ADE,
    ∵∠3=∠B=65°,
    ∴∠ADE=∠B=65°,
    ∴DE∥BC,
    ∴∠AED=∠C=52°,
    ∴∠A=180°﹣∠ADE﹣∠AED=63°,
    ∵AB∥EF,
    ∴∠FEC=∠A=63°,
    故答案为:63.
    7.如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠A,试说明:BE∥CF.
    完善下面的解答过程,并填写理由或数学式:解:
    ∵∠3=∠4(已知)
    ∴AE∥ BC (  内错角相等,两直线平行 )
    ∴∠EDC=∠5(  两直线平行,内错角相等 )
    ∵∠5=∠A(已知)
    ∴∠EDC= ∠A (等量代换)
    ∴DC∥AB(  同位角相等,两直线平行 )
    ∴∠5+∠ABC=180°(  两直线平行,同旁内角互补 )
    即∠5+∠2+∠3=180°
    ∵∠1=∠2(已知)
    ∴∠5+∠1+∠3=180°(  等量代换 )
    即∠BCF+∠3=180°
    ∴BE∥CF(  同旁内角互补,两直线平行 ).

    【分析】按照所给的证明思路,利用平行线的判定与性质定理,完善证明过程即可.
    【解答】解:∵∠3=∠4(已知),
    ∴AE∥BC(内错角相等,两直线平行),
    ∴∠EDC=∠5(两直线平行,内错角相等),
    ∵∠5=∠A(已知),
    ∴∠EDC=∠A(等量代换),
    ∴DC∥AB(同位角相等,两直线平行),
    ∴∠5+∠ABC=180°(两直线平行,同旁内角互补),
    即∠5+∠2+∠3=180°,
    ∵∠1=∠2(已知),
    ∴∠5+∠1+∠3=180°(等量代换),
    即∠BCF+∠3=180°,
    ∴BE∥CF(同旁内角互补,两直线平行).
    故答案为:BC;内错角相等,两直线平行;两直线平行,内错角相等;∠A;同位角相等,两直线平行;两直线平行,同旁内角互补;等量代换;同旁内角互补,两直线平行.
    8.如图,AB∥CD∥EF,若∠ABC=125°,∠CEF=105°,则∠BCE的度数为    .

    【分析】由平行线的性质可得∠BCD=∠ABC=125°,∠DCE=180°﹣∠CEF=75°,从而可求∠BCE的度数.
    【解答】解:∵AB∥CD∥EF,∠ABC=125°,∠CEF=105°,
    ∴∠BCD=∠ABC=125°,∠DCE=180°﹣∠CEF=75°,
    ∴∠BCE=∠BCD﹣∠DCE=50°.
    故答案为:50°.
    9.如图,将△ABC沿BC所在直线向右平移2cm得到△DEF,连结AD.若△ABC的周长为10cm,则四边形ABFD的周长为(  )

    A.10cm B.12cm C.14cm D.20cm
    【分析】根据平移的性质可得AD=CF=2cm,AC=DF,然后根据四边形的周长的定义列式计算即可得解.
    【解答】解:∵△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF,
    ∴AD=CF=2cm,AC=DF,
    ∴四边形ABFD的周长=AB+(BC+CF)+DF+AD=AB+BC+AC+AD+CF,
    ∵△ABC的周长=10cm,
    ∴AB+BC+AC=10cm,
    ∴四边形ABFD的周长=10+2+2=14(cm).
    故选:C.
    10.如图所示,射线CB∥OA,∠C=∠OAB,E、F在BC上,且满足∠EOB=∠AOB,OF平分∠COE,∠COA=80°.
    (1)求∠FOB的度数;
    (2)直接写出∠OBC和∠OEC的角度的数量关系;
    (3)在平行移动AB的过程当中,是否存在某种情况,使∠OFC=∠OBA?若存在,直接写出其度数;若不存在,说明理由.

    【分析】(1)根据两直线平行,同旁内角互补求出∠AOC,再根据角平分线的定义求出∠FOB=∠AOC;
    (2)根据两直线平行,内错角相等可得∠OBC=∠AOB,从而得到∠AOE=2∠OBC,再根据两直线平行,内错角相等可得∠OEC=∠AOE,从而得解;
    (3)根据三角形的内角和定理求出∠COF=∠AOB,从而得到OB、OF、OE是∠AOC的四等分线,再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解.
    【解答】解:(1)∵CB∥OA,∠C=∠OAB=100°,
    ∴∠COA=180°﹣∠C=180°﹣100°=80°,
    ∵CB∥OA,
    ∴∠EBO=∠AOB,
    又∵∠EOB=∠AOB,
    ∴∠EBO=∠EOB,
    ∴OB平分∠AOE,
    又∵OF平分∠COE,
    ∴∠FOB=∠EOF+∠EOB=∠COA=×80°=40°;

    (2)结论:∠OEC=2∠OBC.
    ∵CB∥OA,则∠OBC=∠BOA,∠OEC=∠EOA,
    则∠OBC:∠OEC=∠AOB:∠EOA,
    又∵∠EOA=∠EOB+∠AOB=2∠AOB,
    ∴∠OBC:∠OEC=∠AOB:∠EOA=∠AOB:2∠AOB=1:2,
    ∴∠OEC=2∠OBC.
    (3)存在
    在△COF和△AOB中,
    ∵∠OFC=∠OBA,∠C=∠OAB,
    ∴∠COF=∠AOB,
    ∴OB、OF、OE是∠AOC的四等分线,
    ∴∠COF=∠AOC=×80°=20°,
    ∴∠OFC=180°﹣∠C﹣∠COF=180°﹣100°﹣20°=60°,
    故存在某种情况,使∠OFC=∠OBA,此时∠OFC=∠OBA=60°.
    11.已知AM∥CN,点B为平面内一点,AB⊥BC于B.
    (1)如图1,直接写出∠A和∠C之间的数量关系   ;
    (2)如图2,过点B作BD⊥AM于点D,求证:∠ABD=∠C;
    (3)如图3,在(2)问的条件下,点E、F在DM上,连接BE、BF、CF,BF平分∠DBC,BE平分∠ABD,若∠FCB+∠NCF=180°,∠BFC=3∠DBE,求∠EBC的度数.

    【分析】(1)根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可;
    (2)先过点B作BG∥DM,根据同角的余角相等,得出∠ABD=∠CBG,再根据平行线的性质,得出∠C=∠CBG,即可得到∠ABD=∠C;
    (3)先过点B作BG∥DM,根据角平分线的定义,得出∠ABF=∠GBF,再设∠DBE=α,∠ABF=β,根据∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°,可得(2α+β)+3α+(3α+β)=180°,根据AB⊥BC,可得β+β+2α=90°,最后解方程组即可得到∠ABE=15°,进而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°.
    【解答】解:(1)如图1,AM与BC的交点记作点O,

    ∵AM∥CN,
    ∴∠C=∠AOB,
    ∵AB⊥BC,
    ∴∠A+∠AOB=90°,
    ∴∠A+∠C=90°,
    故答案为:∠A+∠C=90°;

    (2)如图2,过点B作BG∥DM,
    ∵BD⊥AM,
    ∴DB⊥BG,即∠ABD+∠ABG=90°,
    又∵AB⊥BC,
    ∴∠CBG+∠ABG=90°,
    ∴∠ABD=∠CBG,
    ∵AM∥CN,BG∥AM,
    ∴CN∥BG,
    ∴∠C=∠CBG,
    ∴∠ABD=∠C;

    (3)如图3,过点B作BG∥DM,
    ∵BF平分∠DBC,BE平分∠ABD,
    ∴∠DBF=∠CBF,∠DBE=∠ABE,
    由(2)可得∠ABD=∠CBG,
    ∴∠ABF=∠GBF,
    设∠DBE=α,∠ABF=β,则
    ∠ABE=α,∠ABD=2α=∠CBG,∠GBF=β=∠AFB,∠BFC=3∠DBE=3α,
    ∴∠AFC=3α+β,
    ∵∠AFC+∠NCF=180°,∠FCB+∠NCF=180°,
    ∴∠FCB=∠AFC=3α+β,
    △BCF中,由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°,可得
    (2α+β)+3α+(3α+β)=180°,①
    由AB⊥BC,可得
    β+β+2α=90°,②
    由①②联立方程组,解得α=15°,
    ∴∠ABE=15°,
    ∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°.
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