资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩4页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
【重难点讲义】浙教版数学七年级下册-第02讲 平行线性质和判定的综合探究
展开
这是一份【重难点讲义】浙教版数学七年级下册-第02讲 平行线性质和判定的综合探究，文件包含第02讲平行线性质和判定的综合探究原卷版docx、第02讲平行线性质和判定的综合探究解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
第2讲 平行线性质和判定的综合探究
【知识点睛】
v 要注意平行线的判定与性质之间的区别，明确两者的条件和结论，在应用时要正确选用.
v 当已知条件中出现角相等或互补时，往往能得到两直线平行;
v 当要说明两角相等或互补时，往往需要利用平行线的性质.
v 在解决与平行线有关的问题时，当无法直接得到角之间的数量关系或两条线之间的位置关系时，往往需要借助辅助线来帮助解答.
v 平行线的综合问题，通常先根据条件证出两直线的位置关系是平行，再依据平行线的性质来求解其余的角度信息，即平行线的判定与性质，在综合问题里经常是同步考察的。
【类题训练】
1．如图所示，下列推理正确的个数有（ ）
①若∠1＝∠2，则AB∥CD
②若AD∥BC，则∠3+∠A＝180°
③若∠C+∠CDA＝180°，则AD∥BC
④若AB∥CD，则∠3＝∠4．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据平行线的判定（内错角相等，两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行）和平行线的性质（两直线平行，内错角相等，两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补）判断即可．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴AB∥DC，∴①正确；
∵AD∥BC，
∴∠CBA+∠A＝180°，∠3+∠A＜180°，∴②错误；
∵∠C+∠CDA＝180°，
∴AD∥BC，∴③正确；
由AD∥BC才能推出∠3＝∠4，而由AB∥CD不能推出∠3＝∠4，∴④错误；
正确的个数有2个，
故选：C．
2．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动至图2位置的过程中，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图3：当∠CAE＝15°时，BC∥DE．则∠CAE其余符合条件的度数为 60°或105°或135° ．
【分析】分四种情况进行讨论，分别依据平行线的性质进行计算即可得到∠CAE的度数，再找到关于A点中心对称的情况即可求解．
【解答】解：如图3，当BC∥DE时，∠CAE＝45°﹣30°＝15°；
如图，当AE∥BC时，∠CAE＝90°﹣30°＝60°；
如图，当DE∥AB（或AD∥BC）时，∠CAE＝45°+60°＝105°；
当DE∥AC时，如图①，∠CAE＝45°+90°＝135°．
综上所述，旋转后两块三角板至少有一组边平行，则∠CAE（0°＜∠CAE＜180°）其它所有可能符合条件的度数为60°或105°或135°，
故答案为：60°或105°或135°．
3．如图，AF分别与BD、CE交于点G、H，AC分别与BD、CE交于点B、C，DF分别与BD、CE交于点D、E，∠1＝55°．若∠A＝∠F，∠C＝∠D，求∠2的度数．
【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．
【解答】解：∵∠A＝∠F，
∴AC∥DF，
∴∠C＝∠CEF，
∵∠C＝∠D，
∴∠CEF＝∠D，
∴BD∥CE，
∴∠1＝∠AHC＝55°，
∴∠2＝180°﹣∠AHC＝125°．
4．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠B＝∠E．
（1）试猜想AB与CE之间有怎样的位置关系？并说明理由．
（2）若CA平分∠BCE，∠B＝50°，求∠A的度数．
【分析】（1）由∠1+∠2＝180°可证得DE∥BC，得∠ADF＝∠B，已知∠B＝∠E，等量代换后可得∠ADF＝∠E，由此可证得AB与CE平行；
（2）由两直线平行，同旁内角互补得∠BCE＝130°，由CA平分∠BCE，得∠ACE＝65°，两直线平行，内错角相等，得出∠A．
【解答】解：（1）AB∥CE，
∵∠1+∠2＝180°（已知），
∴DE∥BC（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠ADF＝∠B（两直线平行，同位角相等），
∵∠B＝∠E（已知），
∴∠ADF＝∠E（等量代换），
∴AB∥CE（内错角相等，两直线平行）．
（2）∵AB∥CE，
∴∠B+∠BCE＝180°，
∵∠B＝50°，
∴∠BCE＝130°，
∵CA平分∠BCE，
∴∠ACE＝＝65°，
∵AB∥CE，
∴∠A＝∠ACE＝65°．
5．如图，AB⊥AC，点D、E分别在线段AC、BF上，DF、CE分别与AB交于点M、N，若∠1＝∠2，∠C＝∠F，求证：AB⊥BF．请完善解答过程，并在括号内填写相应的依据．
证明：∵∠1＝∠2，（已知）
∵∠2＝∠3，（ 对顶角相等 ）
∴∠1＝∠ 3 ．（ 等量代换 ）
∴DF∥CE．（ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠C＝∠ ADM ．（两直线平行，同位角相等）
∵∠C＝∠F，（已知）
∴∠F＝∠ ADM ．（等量代换）
∴AC∥BF．（ 内错角相等，两直线平行 ）
∴∠A＝∠B．（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵AB⊥AC，（已知）
∴∠A＝90°．
∴∠B＝90°．
∴AB⊥BF．（ 垂直的定义 ）
【分析】根据平行线的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，（已知）
∵∠2＝∠3，（对顶角相等）
∴∠1＝∠3．（等量代换）
∴DF∥CE．（同位角相等，两直线平行）
∴∠C＝∠ADM．（两直线平行，同位角相等）
∵∠C＝∠F，（已知）
∴∠F＝∠ADM．（等量代换）
∴AC∥BF．（内错角相等，两直线平行）
∴∠A＝∠B．（两直线平行，内错角相等）
∵AB⊥AC，（已知）
∴∠A＝90°．
∴∠B＝90°．
∴AB⊥BF．（垂直的定义），
故答案为：对顶角相等，3，等量代换，同位角相等，两直线平行，ADM，ADM，内错角相等，两直线平行，两直线平行，内错角相等，垂直的定义．
6．如图，AB∥CD，连结CA并延长至点H，CF平分∠ACD，CE⊥CF，∠GAH+∠AFC＝90°．
（1）求证AG∥CE；
（2）若∠GAF＝120°，求∠AFC的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠AFC＝∠DCF，根据角平分线的定义可得∠ACF＝∠DCF，进而得出∠AFC＝∠ACF，再根据余角的性质可得∠ECH＝∠GAH，从而得出AG∥CE；
（2）根据平行线的性质可得∠ECD＝∠GAF，根据角的和差关系可得∠DCF＝∠ECD﹣∠ECF＝40°，再根据平行线的性质解答即可．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠AFC＝∠DCF，
∵CF平分∠ACD，
∴∠AFC＝∠ACF，
∴∠AFC＝∠ACF，
又∵CE⊥CF，∠GAH+∠AFC＝90°，
∴∠ECH＝∠GAH，
∴AG∥CE；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠ECD＝∠GAF＝120°，
又∵CE⊥CF，
∴∠DCF＝∠ECD﹣∠ECF＝120°﹣90°＝30°，
∴∠AFC＝∠DCF＝30°．
7．【提出问题】若两个角的两边分别平行，则这两个角有怎样的数量关系？
【解决问题】分两种情况进行探究，请结合如图探究这两个角的数量关系．
（1）如图1，AB∥EF，BC∥DE，试证：∠1＝∠2；
（2）如图2，AB∥EF，BC∥DE，试证：∠1+∠2＝180°；
【得出结论】由（1）（2）我们可以得到结论：若两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系为 相等或互补 ；
【拓展应用】
（3）若两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的2倍少60°，求这两个角的度数．
（4）同一平面内，若两个角的两边分别垂直，则这两个角的数量关系为 相等或互补 ．
【分析】【提出问题】（1）根据平行线的性质即可得解；
（2）根据平行线的性质即可得解；
【得出结论】结合（1）（2）得出结论；
【拓展应用】（3）根据“若两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系是相等或互补”求解即可；
（4）根据题意画出图形，可直接得出结论．
【解答】【提出问题】（1）证明：如图1，
∵AB∥EF，
∴∠1＝∠3，
又∵BC∥DE，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2；
（2）证明：如图2，
∵AB∥EF，
∴∠1＝∠4，
又∵BC∥DE，
∴∠2+∠4＝180°，
∴∠1+∠2＝180°；
【得出结论】解：由（1）（2）我们可以得到的结论是：若两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系是相等或互补，
故答案为：相等或互补；
【拓展应用】（3）解：设其中一个角为x，则另一角为2x﹣60°，
当x＝2x﹣60°时，
解得x＝60°，
此时两个角为60°，60°；
当x+2x﹣60°＝180°，
解得x＝80°，
则2x﹣60＝100°，
此时两个角为80°，100°；
∴这两个角分别是60°，60°或80°，100°．
（4）解：如图，这两个角之间的数量关系是：相等或互补．
故答案为：相等或互补．
8．已知：如图，点B，C在线段AD的异侧，点E，F分别是线段AB，CD上的点，∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC．
（1）试说明：AB∥CD；
（2）如果∠AGE+∠AHF＝180°，那么∠B＝∠C吗？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若∠BFC﹣20°＝3∠C，求∠AHB的度数．
【分析】（1）由对顶角相等可得∠AGE＝∠DGC，从而可得∠AEG＝∠C，则可判定AB∥CD；
（2）由平角的定义可得∠AGE+∠EGH＝180°，从而可求得∠EGH＝∠AHF，则可判定EC∥BF，则有∠B＝∠AEG，从而可求证；
（3）由（2）得BF∥EC，则有∠BFC+∠C＝180°，从而可求∠C的度数，再利用平行线的性质即可求∠AHB的度数．
【解答】（1）证明：∵∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC，∠AGE＝∠DGC，
∴∠AEG＝∠C，
∴AB∥CD；
（2）证明：∵∠AGE+∠EGH＝180°，∠AGE+∠AHF＝180°，
∴∠EGH＝∠AHF，
∴EC∥BF，
∴∠B＝∠AEG，
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠AEG，
∴∠B＝∠C；
（3）解：∵∠BFC﹣20°＝3∠C，
∴∠BFC＝3∠C+20°，
∵EC∥BF，
∴∠BFC+∠C＝180°，
∴3∠C+20°+∠C＝180°，
∴∠C＝40°，
∴∠AEG＝∠C＝40°，
∴∠AGE＝∠AEG＝40°，
∵EC∥BF，
∴∠AHB＝∠AGE＝40°．
【课后综合练习】
1．如图，已知∠A＝∠ADE，若∠EDC＝∠C，则∠C＝（ ）
A．80° B．90° C．100° D．110°
【分析】由题意可判定AC∥DE，根据两直线平行，同旁内角互补，即可得出∠C的度数．
【解答】解：∵∠A＝∠ADE，
∴AC∥DE，
∴∠EDC+∠C＝180°，
又∵∠EDC＝∠C，
∴∠C＝180°，
∴∠C＝80°，
故选：A．
2．如图是两条直线平行的证明过程，证明步骤被打乱，则下列排序正确的是（ ）
如图，已知∠1＝∠3，∠2+∠3＝180°，求证：AB与DE平行．证明：
①：AB∥DE；
②：∠2+∠4＝180°，∠2+∠3＝180°；
③：∠3＝∠4；
④：∠1＝∠4；
⑤：∠1＝∠3．
A．①②③④⑤ B．②③⑤④① C．②④⑤③① D．③②④⑤①
【分析】根据平行线的判定解答即可．
【解答】证明：∵∠2+∠3＝180°（已知），∠2+∠4＝180°（邻补角的定义），
∴∠3＝∠4（同角的补角相等）．
∵∠1＝∠3（已知），
∴∠1＝∠4 （等量代换），
∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行）．
所以排序正确的是②③⑤④①，
故选：B．
3．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝54°．当∠MAC为（ ）度时，AM与CB平行．
A．16 B．60 C．66 D．114
【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．
【解答】解：∵AB，CD都与地面l平行，
∴AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴∠BAC+∠ACB+∠BCD＝180°，
∵∠BCD＝60°，∠BAC＝54°，
∴∠ACB＝66°，
∴当∠MAC＝∠ACB＝66°时，AM∥CB，
故选：C．
4．将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线）．继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折两次后，可以得到3条折痕，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折6次可以得到 63 条折痕，对折n次可以得到 2n﹣1 条折痕．
【分析】对前三次对折分析不难发现每对折1次把纸分成的部分是上一次的2倍，折痕比所分成的部分数少1，求出第4次的折痕即可；再根据对折规律求出对折n次得到的部分数，然后减1即可得到折痕条数．
【解答】解：由图可知，第1次对折，把纸分成2部分，1条折痕，
第2次对折，把纸分成4部分，3条折痕，
第3次对折，把纸分成8部分，7条折痕，
所以，第6次对折，把纸分成64部分，63条折痕，
…，
依此类推，第n次对折，把纸分成2n部分，2n﹣1条折痕．
故答案为：63；2n﹣1．
5．如图，已知：AB∥CD，CD∥EF，AE平分∠BAC，AC⊥CE，有下列结论：①AB∥EF；②2∠1﹣∠4＝90°；③2∠3﹣∠2＝180°；④∠3+∠4＝135°．其中，正确的结论有 ①②③④ ．（填序号）
【分析】根据平行线的性质逐一分析判断即可．
【解答】解：∵AB∥CD，CD∥EF，
∴AB∥EF，故①正确；
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠1，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠2＝180°，
∴2∠1+∠2＝180°（1），
∵AC⊥CE，
∴∠2+∠4＝90°（2），
∴（1）﹣（2）得，2∠1﹣∠4＝90°，故②正确；
∵AB∥EF，
∴∠BAE+∠3＝180°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠1＝∠BAE，
∴∠1+∠3＝180°，
∴2∠1+2∠3＝360°（3），
∵2∠1+∠2＝180°（1），
（3）﹣（1）得，2∠3﹣∠2＝180°，故③正确；
∵CD∥EF，
∴∠CEF+∠4＝180°，
∴∠3+∠AEC+∠4＝180°，
∵AC⊥CE，
∴∠1+∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝90°﹣∠1，
∴∠3+∠4﹣∠1＝90°，
∵2∠1﹣∠4＝90°，
∴∠1＝45°+∠4，
∴∠3+∠4＝135°，故④正确．
故正确的结论有：①②③④．
故答案为：①②③④．
6．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B＝65°，∠C＝52°．则∠FEC＝ 63 度．
【分析】根据平行线的判定与性质、三角形内角和定理求解即可．
【解答】解：∵∠1+∠2＝180°，∠1+∠DFE＝180°，
∴∠2＝∠DFE，
∴AB∥EF，
∴∠3＝∠ADE，
∵∠3＝∠B＝65°，
∴∠ADE＝∠B＝65°，
∴DE∥BC，
∴∠AED＝∠C＝52°，
∴∠A＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝63°，
∵AB∥EF，
∴∠FEC＝∠A＝63°，
故答案为：63．
7．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠A，试说明：BE∥CF．
完善下面的解答过程，并填写理由或数学式：解：
∵∠3＝∠4（已知）
∴AE∥ BC （ 内错角相等，两直线平行 ）
∴∠EDC＝∠5（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵∠5＝∠A（已知）
∴∠EDC＝ ∠A （等量代换）
∴DC∥AB（ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠5+∠ABC＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）
即∠5+∠2+∠3＝180°
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠5+∠1+∠3＝180°（ 等量代换 ）
即∠BCF+∠3＝180°
∴BE∥CF（ 同旁内角互补，两直线平行 ）．
【分析】按照所给的证明思路，利用平行线的判定与性质定理，完善证明过程即可．
【解答】解：∵∠3＝∠4（已知），
∴AE∥BC（内错角相等，两直线平行），
∴∠EDC＝∠5（两直线平行，内错角相等），
∵∠5＝∠A（已知），
∴∠EDC＝∠A（等量代换），
∴DC∥AB（同位角相等，两直线平行），
∴∠5+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
即∠5+∠2+∠3＝180°，
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠5+∠1+∠3＝180°（等量代换），
即∠BCF+∠3＝180°，
∴BE∥CF（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：BC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠A；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．
8．如图，AB∥CD∥EF，若∠ABC＝125°，∠CEF＝105°，则∠BCE的度数为 ．
【分析】由平行线的性质可得∠BCD＝∠ABC＝125°，∠DCE＝180°﹣∠CEF＝75°，从而可求∠BCE的度数．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∠ABC＝125°，∠CEF＝105°，
∴∠BCD＝∠ABC＝125°，∠DCE＝180°﹣∠CEF＝75°，
∴∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE＝50°．
故答案为：50°．
9．如图，将△ABC沿BC所在直线向右平移2cm得到△DEF，连结AD．若△ABC的周长为10cm，则四边形ABFD的周长为（ ）
A．10cm B．12cm C．14cm D．20cm
【分析】根据平移的性质可得AD＝CF＝2cm，AC＝DF，然后根据四边形的周长的定义列式计算即可得解．
【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，
∴AD＝CF＝2cm，AC＝DF，
∴四边形ABFD的周长＝AB+（BC+CF）+DF+AD＝AB+BC+AC+AD+CF，
∵△ABC的周长＝10cm，
∴AB+BC+AC＝10cm，
∴四边形ABFD的周长＝10+2+2＝14（cm）．
故选：C．
10．如图所示，射线CB∥OA，∠C＝∠OAB，E、F在BC上，且满足∠EOB＝∠AOB，OF平分∠COE，∠COA＝80°．
（1）求∠FOB的度数；
（2）直接写出∠OBC和∠OEC的角度的数量关系；
（3）在平行移动AB的过程当中，是否存在某种情况，使∠OFC＝∠OBA？若存在，直接写出其度数；若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠AOC，再根据角平分线的定义求出∠FOB＝∠AOC；
（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠OBC＝∠AOB，从而得到∠AOE＝2∠OBC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠OEC＝∠AOE，从而得解；
（3）根据三角形的内角和定理求出∠COF＝∠AOB，从而得到OB、OF、OE是∠AOC的四等分线，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：（1）∵CB∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，
∴∠COA＝180°﹣∠C＝180°﹣100°＝80°，
∵CB∥OA，
∴∠EBO＝∠AOB，
又∵∠EOB＝∠AOB，
∴∠EBO＝∠EOB，
∴OB平分∠AOE，
又∵OF平分∠COE，
∴∠FOB＝∠EOF+∠EOB＝∠COA＝×80°＝40°；
（2）结论：∠OEC＝2∠OBC．
∵CB∥OA，则∠OBC＝∠BOA，∠OEC＝∠EOA，
则∠OBC：∠OEC＝∠AOB：∠EOA，
又∵∠EOA＝∠EOB+∠AOB＝2∠AOB，
∴∠OBC：∠OEC＝∠AOB：∠EOA＝∠AOB：2∠AOB＝1：2，
∴∠OEC＝2∠OBC．
（3）存在
在△COF和△AOB中，
∵∠OFC＝∠OBA，∠C＝∠OAB，
∴∠COF＝∠AOB，
∴OB、OF、OE是∠AOC的四等分线，
∴∠COF＝∠AOC＝×80°＝20°，
∴∠OFC＝180°﹣∠C﹣∠COF＝180°﹣100°﹣20°＝60°，
故存在某种情况，使∠OFC＝∠OBA，此时∠OFC＝∠OBA＝60°．
11．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．
（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系 ；
（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD＝∠C；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；
（2）先过点B作BG∥DM，根据同角的余角相等，得出∠ABD＝∠CBG，再根据平行线的性质，得出∠C＝∠CBG，即可得到∠ABD＝∠C；
（3）先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF＝∠GBF，再设∠DBE＝α，∠ABF＝β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°，可得（2α+β）+3α+（3α+β）＝180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α＝90°，最后解方程组即可得到∠ABE＝15°，进而得出∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15°+90°＝105°．
【解答】解：（1）如图1，AM与BC的交点记作点O，
∵AM∥CN，
∴∠C＝∠AOB，
∵AB⊥BC，
∴∠A+∠AOB＝90°，
∴∠A+∠C＝90°，
故答案为：∠A+∠C＝90°；
（2）如图2，过点B作BG∥DM，
∵BD⊥AM，
∴DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG＝90°，
又∵AB⊥BC，
∴∠CBG+∠ABG＝90°，
∴∠ABD＝∠CBG，
∵AM∥CN，BG∥AM，
∴CN∥BG，
∴∠C＝∠CBG，
∴∠ABD＝∠C；
（3）如图3，过点B作BG∥DM，
∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE，
由（2）可得∠ABD＝∠CBG，
∴∠ABF＝∠GBF，
设∠DBE＝α，∠ABF＝β，则
∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，∠GBF＝β＝∠AFB，∠BFC＝3∠DBE＝3α，
∴∠AFC＝3α+β，
∵∠AFC+∠NCF＝180°，∠FCB+∠NCF＝180°，
∴∠FCB＝∠AFC＝3α+β，
△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°，可得
（2α+β）+3α+（3α+β）＝180°，①
由AB⊥BC，可得
β+β+2α＝90°，②
由①②联立方程组，解得α＝15°，
∴∠ABE＝15°，
∴∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15°+90°＝105°．
第2讲 平行线性质和判定的综合探究
【知识点睛】
v 要注意平行线的判定与性质之间的区别，明确两者的条件和结论，在应用时要正确选用.
v 当已知条件中出现角相等或互补时，往往能得到两直线平行;
v 当要说明两角相等或互补时，往往需要利用平行线的性质.
v 在解决与平行线有关的问题时，当无法直接得到角之间的数量关系或两条线之间的位置关系时，往往需要借助辅助线来帮助解答.
v 平行线的综合问题，通常先根据条件证出两直线的位置关系是平行，再依据平行线的性质来求解其余的角度信息，即平行线的判定与性质，在综合问题里经常是同步考察的。
【类题训练】
1．如图所示，下列推理正确的个数有（ ）
①若∠1＝∠2，则AB∥CD
②若AD∥BC，则∠3+∠A＝180°
③若∠C+∠CDA＝180°，则AD∥BC
④若AB∥CD，则∠3＝∠4．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据平行线的判定（内错角相等，两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行）和平行线的性质（两直线平行，内错角相等，两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补）判断即可．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴AB∥DC，∴①正确；
∵AD∥BC，
∴∠CBA+∠A＝180°，∠3+∠A＜180°，∴②错误；
∵∠C+∠CDA＝180°，
∴AD∥BC，∴③正确；
由AD∥BC才能推出∠3＝∠4，而由AB∥CD不能推出∠3＝∠4，∴④错误；
正确的个数有2个，
故选：C．
2．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动至图2位置的过程中，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图3：当∠CAE＝15°时，BC∥DE．则∠CAE其余符合条件的度数为 60°或105°或135° ．
【分析】分四种情况进行讨论，分别依据平行线的性质进行计算即可得到∠CAE的度数，再找到关于A点中心对称的情况即可求解．
【解答】解：如图3，当BC∥DE时，∠CAE＝45°﹣30°＝15°；
如图，当AE∥BC时，∠CAE＝90°﹣30°＝60°；
如图，当DE∥AB（或AD∥BC）时，∠CAE＝45°+60°＝105°；
当DE∥AC时，如图①，∠CAE＝45°+90°＝135°．
综上所述，旋转后两块三角板至少有一组边平行，则∠CAE（0°＜∠CAE＜180°）其它所有可能符合条件的度数为60°或105°或135°，
故答案为：60°或105°或135°．
3．如图，AF分别与BD、CE交于点G、H，AC分别与BD、CE交于点B、C，DF分别与BD、CE交于点D、E，∠1＝55°．若∠A＝∠F，∠C＝∠D，求∠2的度数．
【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．
【解答】解：∵∠A＝∠F，
∴AC∥DF，
∴∠C＝∠CEF，
∵∠C＝∠D，
∴∠CEF＝∠D，
∴BD∥CE，
∴∠1＝∠AHC＝55°，
∴∠2＝180°﹣∠AHC＝125°．
4．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠B＝∠E．
（1）试猜想AB与CE之间有怎样的位置关系？并说明理由．
（2）若CA平分∠BCE，∠B＝50°，求∠A的度数．
【分析】（1）由∠1+∠2＝180°可证得DE∥BC，得∠ADF＝∠B，已知∠B＝∠E，等量代换后可得∠ADF＝∠E，由此可证得AB与CE平行；
（2）由两直线平行，同旁内角互补得∠BCE＝130°，由CA平分∠BCE，得∠ACE＝65°，两直线平行，内错角相等，得出∠A．
【解答】解：（1）AB∥CE，
∵∠1+∠2＝180°（已知），
∴DE∥BC（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠ADF＝∠B（两直线平行，同位角相等），
∵∠B＝∠E（已知），
∴∠ADF＝∠E（等量代换），
∴AB∥CE（内错角相等，两直线平行）．
（2）∵AB∥CE，
∴∠B+∠BCE＝180°，
∵∠B＝50°，
∴∠BCE＝130°，
∵CA平分∠BCE，
∴∠ACE＝＝65°，
∵AB∥CE，
∴∠A＝∠ACE＝65°．
5．如图，AB⊥AC，点D、E分别在线段AC、BF上，DF、CE分别与AB交于点M、N，若∠1＝∠2，∠C＝∠F，求证：AB⊥BF．请完善解答过程，并在括号内填写相应的依据．
证明：∵∠1＝∠2，（已知）
∵∠2＝∠3，（ 对顶角相等 ）
∴∠1＝∠ 3 ．（ 等量代换 ）
∴DF∥CE．（ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠C＝∠ ADM ．（两直线平行，同位角相等）
∵∠C＝∠F，（已知）
∴∠F＝∠ ADM ．（等量代换）
∴AC∥BF．（ 内错角相等，两直线平行 ）
∴∠A＝∠B．（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵AB⊥AC，（已知）
∴∠A＝90°．
∴∠B＝90°．
∴AB⊥BF．（ 垂直的定义 ）
【分析】根据平行线的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，（已知）
∵∠2＝∠3，（对顶角相等）
∴∠1＝∠3．（等量代换）
∴DF∥CE．（同位角相等，两直线平行）
∴∠C＝∠ADM．（两直线平行，同位角相等）
∵∠C＝∠F，（已知）
∴∠F＝∠ADM．（等量代换）
∴AC∥BF．（内错角相等，两直线平行）
∴∠A＝∠B．（两直线平行，内错角相等）
∵AB⊥AC，（已知）
∴∠A＝90°．
∴∠B＝90°．
∴AB⊥BF．（垂直的定义），
故答案为：对顶角相等，3，等量代换，同位角相等，两直线平行，ADM，ADM，内错角相等，两直线平行，两直线平行，内错角相等，垂直的定义．
6．如图，AB∥CD，连结CA并延长至点H，CF平分∠ACD，CE⊥CF，∠GAH+∠AFC＝90°．
（1）求证AG∥CE；
（2）若∠GAF＝120°，求∠AFC的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠AFC＝∠DCF，根据角平分线的定义可得∠ACF＝∠DCF，进而得出∠AFC＝∠ACF，再根据余角的性质可得∠ECH＝∠GAH，从而得出AG∥CE；
（2）根据平行线的性质可得∠ECD＝∠GAF，根据角的和差关系可得∠DCF＝∠ECD﹣∠ECF＝40°，再根据平行线的性质解答即可．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠AFC＝∠DCF，
∵CF平分∠ACD，
∴∠AFC＝∠ACF，
∴∠AFC＝∠ACF，
又∵CE⊥CF，∠GAH+∠AFC＝90°，
∴∠ECH＝∠GAH，
∴AG∥CE；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠ECD＝∠GAF＝120°，
又∵CE⊥CF，
∴∠DCF＝∠ECD﹣∠ECF＝120°﹣90°＝30°，
∴∠AFC＝∠DCF＝30°．
7．【提出问题】若两个角的两边分别平行，则这两个角有怎样的数量关系？
【解决问题】分两种情况进行探究，请结合如图探究这两个角的数量关系．
（1）如图1，AB∥EF，BC∥DE，试证：∠1＝∠2；
（2）如图2，AB∥EF，BC∥DE，试证：∠1+∠2＝180°；
【得出结论】由（1）（2）我们可以得到结论：若两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系为 相等或互补 ；
【拓展应用】
（3）若两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的2倍少60°，求这两个角的度数．
（4）同一平面内，若两个角的两边分别垂直，则这两个角的数量关系为 相等或互补 ．
【分析】【提出问题】（1）根据平行线的性质即可得解；
（2）根据平行线的性质即可得解；
【得出结论】结合（1）（2）得出结论；
【拓展应用】（3）根据“若两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系是相等或互补”求解即可；
（4）根据题意画出图形，可直接得出结论．
【解答】【提出问题】（1）证明：如图1，
∵AB∥EF，
∴∠1＝∠3，
又∵BC∥DE，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2；
（2）证明：如图2，
∵AB∥EF，
∴∠1＝∠4，
又∵BC∥DE，
∴∠2+∠4＝180°，
∴∠1+∠2＝180°；
【得出结论】解：由（1）（2）我们可以得到的结论是：若两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系是相等或互补，
故答案为：相等或互补；
【拓展应用】（3）解：设其中一个角为x，则另一角为2x﹣60°，
当x＝2x﹣60°时，
解得x＝60°，
此时两个角为60°，60°；
当x+2x﹣60°＝180°，
解得x＝80°，
则2x﹣60＝100°，
此时两个角为80°，100°；
∴这两个角分别是60°，60°或80°，100°．
（4）解：如图，这两个角之间的数量关系是：相等或互补．
故答案为：相等或互补．
8．已知：如图，点B，C在线段AD的异侧，点E，F分别是线段AB，CD上的点，∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC．
（1）试说明：AB∥CD；
（2）如果∠AGE+∠AHF＝180°，那么∠B＝∠C吗？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若∠BFC﹣20°＝3∠C，求∠AHB的度数．
【分析】（1）由对顶角相等可得∠AGE＝∠DGC，从而可得∠AEG＝∠C，则可判定AB∥CD；
（2）由平角的定义可得∠AGE+∠EGH＝180°，从而可求得∠EGH＝∠AHF，则可判定EC∥BF，则有∠B＝∠AEG，从而可求证；
（3）由（2）得BF∥EC，则有∠BFC+∠C＝180°，从而可求∠C的度数，再利用平行线的性质即可求∠AHB的度数．
【解答】（1）证明：∵∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC，∠AGE＝∠DGC，
∴∠AEG＝∠C，
∴AB∥CD；
（2）证明：∵∠AGE+∠EGH＝180°，∠AGE+∠AHF＝180°，
∴∠EGH＝∠AHF，
∴EC∥BF，
∴∠B＝∠AEG，
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠AEG，
∴∠B＝∠C；
（3）解：∵∠BFC﹣20°＝3∠C，
∴∠BFC＝3∠C+20°，
∵EC∥BF，
∴∠BFC+∠C＝180°，
∴3∠C+20°+∠C＝180°，
∴∠C＝40°，
∴∠AEG＝∠C＝40°，
∴∠AGE＝∠AEG＝40°，
∵EC∥BF，
∴∠AHB＝∠AGE＝40°．
【课后综合练习】
1．如图，已知∠A＝∠ADE，若∠EDC＝∠C，则∠C＝（ ）
A．80° B．90° C．100° D．110°
【分析】由题意可判定AC∥DE，根据两直线平行，同旁内角互补，即可得出∠C的度数．
【解答】解：∵∠A＝∠ADE，
∴AC∥DE，
∴∠EDC+∠C＝180°，
又∵∠EDC＝∠C，
∴∠C＝180°，
∴∠C＝80°，
故选：A．
2．如图是两条直线平行的证明过程，证明步骤被打乱，则下列排序正确的是（ ）
如图，已知∠1＝∠3，∠2+∠3＝180°，求证：AB与DE平行．证明：
①：AB∥DE；
②：∠2+∠4＝180°，∠2+∠3＝180°；
③：∠3＝∠4；
④：∠1＝∠4；
⑤：∠1＝∠3．
A．①②③④⑤ B．②③⑤④① C．②④⑤③① D．③②④⑤①
【分析】根据平行线的判定解答即可．
【解答】证明：∵∠2+∠3＝180°（已知），∠2+∠4＝180°（邻补角的定义），
∴∠3＝∠4（同角的补角相等）．
∵∠1＝∠3（已知），
∴∠1＝∠4 （等量代换），
∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行）．
所以排序正确的是②③⑤④①，
故选：B．
3．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝54°．当∠MAC为（ ）度时，AM与CB平行．
A．16 B．60 C．66 D．114
【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．
【解答】解：∵AB，CD都与地面l平行，
∴AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴∠BAC+∠ACB+∠BCD＝180°，
∵∠BCD＝60°，∠BAC＝54°，
∴∠ACB＝66°，
∴当∠MAC＝∠ACB＝66°时，AM∥CB，
故选：C．
4．将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线）．继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折两次后，可以得到3条折痕，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折6次可以得到 63 条折痕，对折n次可以得到 2n﹣1 条折痕．
【分析】对前三次对折分析不难发现每对折1次把纸分成的部分是上一次的2倍，折痕比所分成的部分数少1，求出第4次的折痕即可；再根据对折规律求出对折n次得到的部分数，然后减1即可得到折痕条数．
【解答】解：由图可知，第1次对折，把纸分成2部分，1条折痕，
第2次对折，把纸分成4部分，3条折痕，
第3次对折，把纸分成8部分，7条折痕，
所以，第6次对折，把纸分成64部分，63条折痕，
…，
依此类推，第n次对折，把纸分成2n部分，2n﹣1条折痕．
故答案为：63；2n﹣1．
5．如图，已知：AB∥CD，CD∥EF，AE平分∠BAC，AC⊥CE，有下列结论：①AB∥EF；②2∠1﹣∠4＝90°；③2∠3﹣∠2＝180°；④∠3+∠4＝135°．其中，正确的结论有 ①②③④ ．（填序号）
【分析】根据平行线的性质逐一分析判断即可．
【解答】解：∵AB∥CD，CD∥EF，
∴AB∥EF，故①正确；
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠1，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠2＝180°，
∴2∠1+∠2＝180°（1），
∵AC⊥CE，
∴∠2+∠4＝90°（2），
∴（1）﹣（2）得，2∠1﹣∠4＝90°，故②正确；
∵AB∥EF，
∴∠BAE+∠3＝180°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠1＝∠BAE，
∴∠1+∠3＝180°，
∴2∠1+2∠3＝360°（3），
∵2∠1+∠2＝180°（1），
（3）﹣（1）得，2∠3﹣∠2＝180°，故③正确；
∵CD∥EF，
∴∠CEF+∠4＝180°，
∴∠3+∠AEC+∠4＝180°，
∵AC⊥CE，
∴∠1+∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝90°﹣∠1，
∴∠3+∠4﹣∠1＝90°，
∵2∠1﹣∠4＝90°，
∴∠1＝45°+∠4，
∴∠3+∠4＝135°，故④正确．
故正确的结论有：①②③④．
故答案为：①②③④．
6．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B＝65°，∠C＝52°．则∠FEC＝ 63 度．
【分析】根据平行线的判定与性质、三角形内角和定理求解即可．
【解答】解：∵∠1+∠2＝180°，∠1+∠DFE＝180°，
∴∠2＝∠DFE，
∴AB∥EF，
∴∠3＝∠ADE，
∵∠3＝∠B＝65°，
∴∠ADE＝∠B＝65°，
∴DE∥BC，
∴∠AED＝∠C＝52°，
∴∠A＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝63°，
∵AB∥EF，
∴∠FEC＝∠A＝63°，
故答案为：63．
7．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠A，试说明：BE∥CF．
完善下面的解答过程，并填写理由或数学式：解：
∵∠3＝∠4（已知）
∴AE∥ BC （ 内错角相等，两直线平行 ）
∴∠EDC＝∠5（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵∠5＝∠A（已知）
∴∠EDC＝ ∠A （等量代换）
∴DC∥AB（ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠5+∠ABC＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）
即∠5+∠2+∠3＝180°
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠5+∠1+∠3＝180°（ 等量代换 ）
即∠BCF+∠3＝180°
∴BE∥CF（ 同旁内角互补，两直线平行 ）．
【分析】按照所给的证明思路，利用平行线的判定与性质定理，完善证明过程即可．
【解答】解：∵∠3＝∠4（已知），
∴AE∥BC（内错角相等，两直线平行），
∴∠EDC＝∠5（两直线平行，内错角相等），
∵∠5＝∠A（已知），
∴∠EDC＝∠A（等量代换），
∴DC∥AB（同位角相等，两直线平行），
∴∠5+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
即∠5+∠2+∠3＝180°，
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠5+∠1+∠3＝180°（等量代换），
即∠BCF+∠3＝180°，
∴BE∥CF（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：BC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠A；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．
8．如图，AB∥CD∥EF，若∠ABC＝125°，∠CEF＝105°，则∠BCE的度数为 ．
【分析】由平行线的性质可得∠BCD＝∠ABC＝125°，∠DCE＝180°﹣∠CEF＝75°，从而可求∠BCE的度数．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∠ABC＝125°，∠CEF＝105°，
∴∠BCD＝∠ABC＝125°，∠DCE＝180°﹣∠CEF＝75°，
∴∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE＝50°．
故答案为：50°．
9．如图，将△ABC沿BC所在直线向右平移2cm得到△DEF，连结AD．若△ABC的周长为10cm，则四边形ABFD的周长为（ ）
A．10cm B．12cm C．14cm D．20cm
【分析】根据平移的性质可得AD＝CF＝2cm，AC＝DF，然后根据四边形的周长的定义列式计算即可得解．
【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，
∴AD＝CF＝2cm，AC＝DF，
∴四边形ABFD的周长＝AB+（BC+CF）+DF+AD＝AB+BC+AC+AD+CF，
∵△ABC的周长＝10cm，
∴AB+BC+AC＝10cm，
∴四边形ABFD的周长＝10+2+2＝14（cm）．
故选：C．
10．如图所示，射线CB∥OA，∠C＝∠OAB，E、F在BC上，且满足∠EOB＝∠AOB，OF平分∠COE，∠COA＝80°．
（1）求∠FOB的度数；
（2）直接写出∠OBC和∠OEC的角度的数量关系；
（3）在平行移动AB的过程当中，是否存在某种情况，使∠OFC＝∠OBA？若存在，直接写出其度数；若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠AOC，再根据角平分线的定义求出∠FOB＝∠AOC；
（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠OBC＝∠AOB，从而得到∠AOE＝2∠OBC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠OEC＝∠AOE，从而得解；
（3）根据三角形的内角和定理求出∠COF＝∠AOB，从而得到OB、OF、OE是∠AOC的四等分线，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：（1）∵CB∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，
∴∠COA＝180°﹣∠C＝180°﹣100°＝80°，
∵CB∥OA，
∴∠EBO＝∠AOB，
又∵∠EOB＝∠AOB，
∴∠EBO＝∠EOB，
∴OB平分∠AOE，
又∵OF平分∠COE，
∴∠FOB＝∠EOF+∠EOB＝∠COA＝×80°＝40°；
（2）结论：∠OEC＝2∠OBC．
∵CB∥OA，则∠OBC＝∠BOA，∠OEC＝∠EOA，
则∠OBC：∠OEC＝∠AOB：∠EOA，
又∵∠EOA＝∠EOB+∠AOB＝2∠AOB，
∴∠OBC：∠OEC＝∠AOB：∠EOA＝∠AOB：2∠AOB＝1：2，
∴∠OEC＝2∠OBC．
（3）存在
在△COF和△AOB中，
∵∠OFC＝∠OBA，∠C＝∠OAB，
∴∠COF＝∠AOB，
∴OB、OF、OE是∠AOC的四等分线，
∴∠COF＝∠AOC＝×80°＝20°，
∴∠OFC＝180°﹣∠C﹣∠COF＝180°﹣100°﹣20°＝60°，
故存在某种情况，使∠OFC＝∠OBA，此时∠OFC＝∠OBA＝60°．
11．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．
（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系 ；
（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD＝∠C；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；
（2）先过点B作BG∥DM，根据同角的余角相等，得出∠ABD＝∠CBG，再根据平行线的性质，得出∠C＝∠CBG，即可得到∠ABD＝∠C；
（3）先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF＝∠GBF，再设∠DBE＝α，∠ABF＝β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°，可得（2α+β）+3α+（3α+β）＝180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α＝90°，最后解方程组即可得到∠ABE＝15°，进而得出∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15°+90°＝105°．
【解答】解：（1）如图1，AM与BC的交点记作点O，
∵AM∥CN，
∴∠C＝∠AOB，
∵AB⊥BC，
∴∠A+∠AOB＝90°，
∴∠A+∠C＝90°，
故答案为：∠A+∠C＝90°；
（2）如图2，过点B作BG∥DM，
∵BD⊥AM，
∴DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG＝90°，
又∵AB⊥BC，
∴∠CBG+∠ABG＝90°，
∴∠ABD＝∠CBG，
∵AM∥CN，BG∥AM，
∴CN∥BG，
∴∠C＝∠CBG，
∴∠ABD＝∠C；
（3）如图3，过点B作BG∥DM，
∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE，
由（2）可得∠ABD＝∠CBG，
∴∠ABF＝∠GBF，
设∠DBE＝α，∠ABF＝β，则
∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，∠GBF＝β＝∠AFB，∠BFC＝3∠DBE＝3α，
∴∠AFC＝3α+β，
∵∠AFC+∠NCF＝180°，∠FCB+∠NCF＝180°，
∴∠FCB＝∠AFC＝3α+β，
△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°，可得
（2α+β）+3α+（3α+β）＝180°，①
由AB⊥BC，可得
β+β+2α＝90°，②
由①②联立方程组，解得α＝15°，
∴∠ABE＝15°，
∴∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15°+90°＝105°．
相关试卷
【重难点讲义】浙教版数学八年级上册-第09讲 直角三角形的性质与判定： 这是一份【重难点讲义】浙教版数学八年级上册-第09讲 直角三角形的性质与判定，文件包含第09讲直角三角形的性质与判定原卷版docx、第09讲直角三角形的性质与判定解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。
【重难点讲义】浙教版数学八年级上册-第02讲 全等三角形的性质与判定： 这是一份【重难点讲义】浙教版数学八年级上册-第02讲 全等三角形的性质与判定，文件包含第02讲全等三角形的性质与判定原卷版docx、第02讲全等三角形的性质与判定解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。
【重难点讲义】浙教版数学九年级上册-第18讲 圆幂定理＋圆与相似综合探究： 这是一份【重难点讲义】浙教版数学九年级上册-第18讲 圆幂定理＋圆与相似综合探究，文件包含重难点讲义浙教版数学九年级上册-第18讲圆幂定理＋圆与相似综合探究原卷版docx、重难点讲义浙教版数学九年级上册-第18讲圆幂定理＋圆与相似综合探究解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。
