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【重难点讲义】浙教版数学七年级上册-第19讲 与角相关的三大计算类问题压轴复习
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第19讲 与角相关的三大计算类问题压轴复习
类型一 “钟面角”相关
【知识点睛】
v 钟表的表面特点：钟表的表面都是一个圆形，共有12个大格，每个大格间有5个小格．圆形的表面恰好对应着一个周角360°，每一大格=30°角，每一小格=6°角．表面一般有时针、分针、秒针三根指针．
v 钟表时针、分针、秒针的转动情况：
时针：每小时转1大格，每12分钟转1小格，每12个小时转1个圆周；
分针：每5分钟转一大格，每1分钟转1小格，每小时转1个圆周；
秒针：每5秒钟转1大格，每1秒钟转1小格，每1 分钟转一个圆周．
v 时针、分针、秒针的转速：
时针的转速为：30°/小时或0.5°/分钟；
分针的转速为：6°/分钟或0.1°/秒钟；
秒针的转速为：6°/秒．
【类题训练】
一、 时针/分针/秒针间的夹角分题
1．如图所示，钟表上显示的时刻是10点10分，再过20分钟，时针与分针所成的角是（ ）
A．75° B．120° C．135° D．150°
【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．
【解答】解：10点10分，再过20分钟就是10点30分，
30°×（4+）＝135°，
故选：C．
2．12月21日16：15，我校七年级SuperSound英语趣配音比赛在学校千人报告厅举行．为了保证比赛准时开始，年级组长张老师组织同学16：00出发前往千人报告厅，此时时针与分针的夹角为（ ）
A．37.5° B．75° C．120° D．135°
【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．
【解答】解：16：00，此时时针与分针相距4份，
此时时针与分针所成的角度30°×4＝120°，
故选：C．
3．北京时间21点30分，此时钟表的时针和分针构成的角度是 °．
【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．
【解答】解：21点30分就是晚上9点30分，
9点30分，时钟的时针和分针相距3+＝份，
9点30分，时钟的时针和分针所构成的锐角度数为30°×＝105°，
故答案为：105．
4．小亮研究钟面角（时针与分针组成的角），2：15的钟面角为 度．
【分析】根据钟面上一大格是30°，时针1分钟转0.5°，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
30°﹣15×0.5°
＝30°﹣7.5°
＝22.5°，
故答案为：22.5．
二、 从某一时刻到另一时刻的角度问题
1．时钟上的时针匀速旋转一周是12小时，从5时到6时，时针转动的度数为 ．
【分析】时钟上的时针匀速旋转一小时的度数为30°，据此解答即可．
【解答】解：∵时钟上的时针匀速旋转一周的度数为360°，时钟上的时针匀速旋转一周需要12小时，
∴时钟上的时针匀速旋转一小时的度数为：360÷12＝30°，
∴从5时到6时，时针转动的度数为30°．
故答案为：30°．
2．钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，从8点到8点40分，时针转了 度，分针转了 度，8点40分时针与分针所成的角是 度．
【分析】根据时针的速度乘以时针的转的时间，可得答案；根据分针的速度乘以分针转的时间，可得答案；根据时针与分针相距的份数乘以份数，可得答案．
【解答】解：钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，从8点到8点40分，时针转了 20度，分针转了 240度，8点40分时针与分针所成的角是 20度，
故答案为：20，240，20．
3.圆形钟面上从2点整到4点整，时针和分针成60度角时的时间是 ．
【分析】根据2点整的时刻，时针与分针正好成60度角； 设2点x分的时刻，时针与分针成60度角，设3点x分的时刻，时针与分针成60度角设3点x分的时刻，时针与分针成60度角列方程即可得到结论．
【解答】解：∵分针走一圈（360度）要1小时，即速度为360度/1小时＝360度/60分钟＝6度/分钟，
钟面（360度）被平均分成了12等份，
∴每份（相邻两个数字之间）是30度，
∴设x分钟后，时针走过的角度为0.5x度，分针走过的角度为6x度，
（1）显然2点整的时刻，时针与分针正好成60度角；
（2）设2点x分的时刻，时针与分针成60度角，则应该是分针在前，有
6x﹣（2×30+0.5x）＝60，
∴5.5x＝120，
∴x＝，
∴2点的时刻，时针与分针成60度角；
（3）设3点x分的时刻，时针与分针成60度角（时针可以在前），有
3×0+0.5x﹣6x＝60，
∴5.5x＝30，
∴x＝，
∴3点分的时刻，时针与分针成60度角；
（4）设3点x分的时刻，时针与分针成60度角（分针可以在前），有
6x﹣（3×30+0.5x）＝60，
∴5.5x＝150，
∴x＝，
∴3点分的时刻，时针与分针成60度角．
综上所述，时针和分针成60度角时的时间是2点整或2点分或3点分或3点分，
故答案为：2点整或2点分或3点分或3点分．
4．观察常用时钟，回答下列问题：
（1）早晨7时整，时针和分针构成多少度的角？
（2）时针多长时间转一圈？它转动的速度是每小时多少度？
（3）从7：00到7：40，分针转动了多少度？
【分析】（1）因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，找出7时时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘30°即可；
（2）由时钟可知时针12个小时转一圈，圆周角是360°即一圈是360°，所以速度为360÷12＝30；
（3）若时针由7：00到7：40，共经过40分钟，时针一小时即60分钟转30°，一分钟转动0.5°，分针一小时转360°，一分钟转6°，据此作答．
【解答】解：（1）7时，时针和分针中间相差5个大格．
∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，
∴7时，分针与时针的夹角是5×30°＝150°，
答：早晨7时整，时针和分针构成150度的角；
（2）由时钟可知时针12个小时转一圈，
360°÷12＝30°，
答：时针12个小时转一圈，它转动的速度是每小时30度；
（3）分针转过的角度：（360°÷60）×40＝240°，
答：分针转动了240度．
三、 由角度求对应时刻时间
1．钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图，在钟面上，点O为钟面的圆心，图中的圆我们称之为钟面圆．为便于研究，我们规定：钟面圆的半径OA表示时针，半径OB表示分针，它们所成的钟面角为∠AOB；本题中所提到的角都不小于0°，且不大于180°；本题中所指的时刻都介于0点整到12点整之间．
（1）时针每分钟转动的角度为 °，分针每分钟转动的角度为 °；
（2）8点整，钟面角∠AOB＝ °，钟面角与此相等的整点还有： 点；
（3）如图，设半径OC指向12点方向，在图中画出6点15分时半径OA、OB的大概位置，并求出此时∠AOB的度数．
【分析】（1）根据时针旋转一周12小时，可得时针旋转的速度，根据分针旋转一周60分钟，可得分针旋转的速度；
（2）根据时针与分针相距的份数乘每份的度数，可得答案；
（3）根据时针旋转的角度减去分针旋转的角度，可得答案．
【解答】解：（1）时针每分钟转动的角度为0.5°，分针每分钟转动的角度为6°；
故答案为：0.5，6；
（2）0.5×60×4＝120°，4点时0.5×60×4＝120°，
故答案为：120，4；
（3） 如图，∠AOB＝6×30+15×0.5﹣15×6＝97.5°．
2．钟面角是指时钟的时针与分针所成的角，时针每走1分钟对应0.5°的角，分针每走1分钟对度6°的角．
（1）如图1，时钟所表示的时间为2点30分，则钟面角为 °；
（2）若某个时刻的钟面角为60°，请写出一个相应的时刻： ；
（3）如图2，时钟所表示的时间为3点，此时钟角为90°，在4点前，经过多少分钟，钟角为35°？
【分析】（1）钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，钟表上2点30分，时针指向2和3的中间，分针指向6，两者之间相隔3.5个数字；
（2）找到时针和分针相隔2个数字的时刻即可；
（3）分两种情况，根据钟面角为35°讨论求解．
【解答】解：（1）3×30°+15°＝105°．
故钟面上2点30分时，钟面角为105°．
（2）2：00或10：00（答案不唯一）
（3）设经过x分钟，钟面角为35°，得：
6x+35＝90+0.5x或者6x＝90+0.5x+35
解得：x＝10或x＝．
故在4点前，经过10或分钟，钟面角为35°．
故答案为：105；2：00或10：00（答案不唯一）．
3．钟面上的数学
基本概念
钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图1，∠AOB即为某一时刻的钟面角，通常0°≤∠AOB≤180°．
简单认识
时针和分针在绕点O一直沿着顺时针方向旋转，时针每小时转动的角度是30°，分针每小时转动一周，角度为360°．由此可知：
（1）时针每分钟转动 °，分针每分钟转动 °；
初步研究
（2）已知某一时刻的钟面角的度数为α，在空格中写出一个与之对应的时刻：
①当α＝90°时， ；
②当α＝180°时， ；
（3）如图2，钟面显示的时间是8点O4分，此时钟面角∠AOB＝ °；
深入思考
A类：（4）在某一天的下午2点到3点之间（不包括2点整和3点整）．
①时针恰好与分针重叠，则这一时刻是 ；
②时针恰好与分针垂直，求此时对应的时刻．
B类：（4）在某一天的下午2点到3点之间（不包括2点整和3点整）
①若钟面角为30°，求此时对应的时刻；
②记钟面上刻度为3的点为C，当钟面角的两条边OA、OB所在射线与射线OC中恰有一条是另两条射线所成角的角平分线时，请直接写出此时对应的时刻．
【分析】（1）根据1小时＝60分解答即可；
（2）钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，找到时针和分针相隔3个数字的时刻和相隔6个数字的时刻即可；
（3）钟表12个数字，每相邻两个数字之间有5格，钟表上8点04分，时针转了（60×8+4）格，分针指向4，根据时针和分针的速度即可求解；
A类：（4）①设此时对应的时刻是2点x分，根据时针和分针转动的角度相同即可求解；
②设此时对应的时刻是2点y分，根据时针和分针转动的角度相差90°即可求解；
B类：（4）①设此时对应的时刻是2点m分，根据时针和分针转动的角度相差30°即可求解；
②令时针所在直线为OA，分针所在直线为OB，分两种情况求解即可．
【解答】解：（1）∵时针每小时转动的角度是30°，分针每小时转动一周，角度为360°．
∴时针每分钟转动30°÷60＝0.5°，分针每分钟转动360°÷60＝6°，
故答案为：0.5；6；
（2）①某个时刻的钟面角α为90°，可为3：00，②某个时刻的钟面角α为180°，可为6：00，
故答案为：①3：00；②6：00；
（3）钟表12个数字，每相邻两个数字之间有5格，钟表上8点04分，时针转了（60×8+4）格，分针指向4，
则时针转动的角度是（60×8+4）×0.5°＝242°，分针转动的角度是6°×4＝24°，
此时钟面角∠AOB＝242°﹣24°＝218°，
∵0°≤∠AOB≤180°，
∴∠AOB＝360°﹣218°＝142°，
故答案为：142°；
A类：（4）①设此时对应的时刻是2点x分，
60+0.5x＝6x，解得：x＝，
∴这一时刻是2点分，
故答案为：2点分；
②设此时对应的时刻是2点y分，
6x﹣60﹣0.5x＝90或6x﹣60﹣0.5x＝270，
解得：x＝或x＝60，
∵x＝60时为3点整，不合题意，舍去，
∴此时对应的时刻是2点分；
B类：（4）①根据时针和分针转动的角度相差30°得：
60+0.5m﹣6m＝30或6m﹣60﹣0.5m＝30，
解得：m＝或m＝，
∴此时对应的时刻是2点分或2点分；
②令时针所在直线为OA，分针所在直线为OB，设此时对应的时刻是2点m分，
OA为OC和OB角平分线时：
＝90﹣60﹣0.5m，
解得：m＝6；
OC为OA和OB角平分线时：
90﹣60﹣0.5m＝6m﹣90，
解得：m＝；
OA为时针，OB为分针，OB平分∠AOC时：
∠BOC＝90﹣6m，
∠AOC＝30﹣0.5m，
∵OB平分∠AOC，
∴∠AOC＝2∠BOC，
∴30﹣0.5m＝2（90﹣6m），
解得：m＝，
答：当钟面角的两条边OA、OB所在射线与射线OC中恰有一条是另两条射线所成角的角平分线时，此时对应的时刻在2点6分和2点分，2点分．
类型二 与角有关的折叠问题
【知识点睛】
v 有折叠必有角度相等→折叠所形成的角与原角相等→折痕所在直线为角平分线；
v 成一条直线的几个角组成平角——即和为180°；
v 正方形、长方形的一个角均为90°；
【类题训练】
1．如图，把一长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D'落在∠BAC内部．若∠CAE＝2∠BAD'，且∠CAD'＝15°，则∠DAE的度数为（ ）
A．12° B．24° C．39° D．45°
【分析】由折叠性质得∠DAE＝∠EAD′，由长方形的性质得∠DAE+∠EAD′+∠BAD′＝90°，根据角的和差倍分关系得∠BAD′＝12°，最后根据∠DAE＝∠EAD′＝∠CAE+∠CAD′可得答案．
【解答】解：∵长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，
∴∠DAE＝∠EAD′，
∵ABCD是长方形，
∴DA⊥AB，
∴∠DAE+∠EAD′+∠BAD′＝90°，即2∠EAD′+∠BAD′＝90°，
∴2（∠CAE+∠CAD′）+∠BAD′＝90°，
∵∠CAE＝2∠BAD′，∠CAD′＝15°，
∴2（2∠BAD′+15°）+∠BAD′＝90°，
∴30°+5∠BAD′＝90°，
∴∠BAD′＝12°，
∴∠DAE＝∠EAD′＝∠CAE+∠CAD′
＝2∠BAD′+∠CAD′
＝2×12°+15°
＝39°，
∴∠DAE＝39°．
故选：C．
2．如图，长方形ABCD沿直线EF、EG折叠后，点A和点D分别落在直线l上的点A′和点D′处，若∠1＝30°，则∠2的度数为（ ）
A．30° B．60° C．50° D．55°
【分析】根据折叠的性质和平角的定义，先求出∠1+∠4的度数，再确定∠2的度数．
【解答】解：由折叠的性质知：∠1＝∠3＝∠AED′，∠2＝∠4＝∠DED′，
∵∠AED′+∠DED′＝180°，
∴∠1+∠4＝90°．
即∠1+∠2＝90°．
当∠1＝30°时，
∠2＝60°．
故选：B．
3．如图，将一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠后，点C落在点E处，连接BE交AD于F，再将三角形DEF沿DF折叠后，点E落在点G处，若DG刚好平分∠ADB，那么∠ADB的度数是（ ）
A．18° B．20° C．36° D．45°
【分析】根据折叠的性质可得∠BDC＝∠BDE，∠EDF＝∠GDF，由角平分线的定义可得∠BDA＝∠GDF+∠BDG＝2∠GDF，然后根据矩形的性质及角的运算可得答案．
【解答】解：由折叠可知，∠BDC＝∠BDE，∠EDF＝∠GDF，
∵DG平分∠ADB，
∴∠BDG＝∠GDF，
∴∠EDF＝∠BDG，
∴∠BDE＝∠EDF+∠GDF+∠BDG＝3∠GDF，
∴∠BDC＝∠BDE＝3∠GDF，
∠BDA＝∠GDF+∠BDG＝2∠GDF，
∵∠BDC+∠BDA＝90°＝3∠GDF+2∠GDF＝5∠GDF，
∴∠GDF＝18°，
∴∠ADB＝2∠GDF＝2×18°＝36°．
故选：C．
4．如图，将长方形纸片翻折，若∠1＝52°，则∠2的度数为 ．
【分析】根据翻折的性质得到∠1+∠2＝∠AMN，根据平行线的性质得到∠2＝∠MNC，∠AMN+∠MNC＝180°，据此即可得解．
【解答】解：
根据翻折的性质得到，∠1+∠2＝∠AMN，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠MNC，∠AMN+∠MNC＝180°，
∴∠AMN+∠MNC＝∠1+∠2+∠2＝180°，
∵∠1＝52°，
∴2∠2＝128°，
∴∠2＝64°，
故答案为：64°．
5．如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠AED′＝68°，则∠AEF＝ ．
【分析】设∠DEF＝x，根据折叠的性质得到∠D′EF＝∠DEF＝x，利用平角的定义列方程即可得到结论．
【解答】解：设∠DEF＝x，
∵把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，
∴∠D′EF＝∠DEF＝x，
∵∠AED′＝68°，∠AED′+∠D′EF+DEF＝180°，
∴x+x+68°＝180°，
∴x＝56°，
∴∠DEF＝∠D′EF＝56°，
∴∠AEF＝∠AED′+∠D′EF＝124°，
故答案为：124°．
6．如图，将书页的一角斜折过去，使角的顶点A落在A′处，BC为折痕，BD平分∠A′BE．
（1）求∠CBD的度数．
（2）若∠A′BE＝120°，求∠CBA的度数．
【分析】（1）由翻折的性质可知∠ABC＝∠A'BC，所以，再根据角平分线的定义可得，然后根据角的和差关系解答即可；
（2）由∠A′BE＝120°，再根据∠ABC＝∠A'BC解答即可．
【解答】解：（1）由翻折的性质可知∠ABC＝∠A'BC，
所以，
又因为BD平分∠A'BE，
所以，
因为∠A'BA+∠A'BE＝180°，
所以∠CBD＝＝＝90°；
（2）∠ABA′＝180°﹣∠A′BE＝60°，
因为∠ABC＝∠A'BC，
所以∠CBA＝30°．
类型三 与角有关的旋转问题
【知识点睛】
v 图形的旋转也就是其中线段/射线的旋转，审题中先考虑“旋转三要素”——旋转中心、旋转方向、旋转角度；
v 旋转角度=射线转动的速度×转动的时间；故常引入字母，用代数式表示角度；
v 根据角度间的数量关系，多用方程思想解决动角问题；
v 常见的角度间的数量关系表述：∠A=∠B，∠A=2∠B，∠A与∠B互余（或互补）等
v 角的边的位置不确定时，需要分类讨论
【类题训练】
1．如图，∠AOB＝90°．∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．
（1）求∠MON的度数；
（2）若∠BOC＝60°，其他条件不变，则∠MON＝ 45° ；
（3）若∠AOB＝α，其他条件不变，求∠MON的度数；
（4）从上面的结果能看出什么规律？
【分析】（1）根据角的平分线定义和角的和差即可求解；
（2）理由同（1）；
（3）理由同（1）把∠AOB换成字母表示即可求解；
（4）根据（1）、（2）、（3）的结论即可发现规律．
【解答】解：（1）根据题意，得
∵∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝120°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC＝∠AOC＝60°，∠CON＝BOC＝15°，
∴∠MON＝∠MOC﹣∠CON＝60°﹣15°＝45°．
答：∠MON的度数为45°．
（2）∠MON＝（150﹣60）＝45°．
故答案为45°．
（3）∵∠AOB＝α，∠BOC＝30°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝α+30°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC＝∠AOC＝α+15°，∠CON＝BOC＝15°，
∴∠MON＝∠MOC﹣∠CON＝+15°﹣15°＝．
答：∠MON的度数为．
（4）∠MON的度数始终是∠AOB的一半，与∠BOC的大小没有关系．
2．如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2．
（1）求∠AOC，∠BOC的度数；
（2）作射线OM平分∠AOC，在∠BOC内作射线ON，使得∠CON：∠BON＝1：3，求∠MON的度数；
（3）过点O作射线OD，若2∠AOD＝3∠BOD，求∠COD的度数．
【分析】（1）根据∠AOC：∠BOC＝1：2，即可求解；
（2）先求出∠COM，再求出∠CON，相加即可求解；
（3）分OD在∠AOB内部和外部两种情况分类讨论即可求解．
【解答】解：（1）∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠AOB＝×120°＝40°，
∠BOC＝∠AOB＝×120°＝80°；
（2）∵OM平分∠AOC，
∴∠COM＝∠AOC＝×40°＝20°，
∵∠CON：∠BON＝1：3，
∴∠CON＝∠BOC＝×80°＝20°，
∴∠MON＝∠COM+∠CON＝20°+20°＝40°；
（3）如图，当OD在∠AOB内部时，
设∠BOD＝x°，
∵2∠AOD＝3∠BOD，
∴∠AOD＝x°，
∵∠AOB＝120°，
∴x+x＝120，
解得：x＝48，
∴∠BOD＝48°，
∴∠COD＝∠BOC﹣∠BOD＝80°﹣48°＝32°，
如图，当OD在∠AOB外部时，
设∠BOD＝y°，
∵2∠AOD＝3∠BOD，
∴∠AOD＝y°，
∵∠AOB＝120°，
∴y+y+120°＝360°
解得：y＝96°，
∴∠COD＝∠BOD+∠BOC
＝96°+80°
＝176°，
综上所述，∠COD的度数为32°或176°．
3．已知∠AOB与∠COD互补，射线OE平分∠COD，设∠AOC＝α，∠BOD＝β．
（1）如图1，∠COD在∠AOB的内部，
①当∠COD＝45°时，求α+β的值．
②当α＝3β时，求∠BOE的度数．
（2）如图2，∠COD在∠AOB的外部，∠BOE＝45°，求α与β满足的等量关系．
【分析】（1）①根据补角的定义以及角的和差关系解答即可；②结合①的结论求出3β，再根据角的和差关系解答即可；
（2）根据角平分线的定义以及补角的定义求解即可．
【解答】解：（1）①∵∠AOB与∠COD互补，
∴∠AOB+∠COD＝180°，
∵∠COD＝45°，
∴∠AOB＝135°，
∵∠AOC+∠BOD+∠COD＝135°，
∴α+β+45°＝135°，
∴α+β＝90°；
②设∠DOE＝∠x，
∵∠AOB与∠COD互补，且∠α＝3∠β，
∴4∠β+4∠x＝180°，
即∠β+∠x＝45°，
∴∠BOE＝∠BOD+∠DOE＝∠β+∠x＝45°；
（2）∵∠BOE＝45°，
∴∠DOE＝∠BOD﹣∠BOE＝β﹣45°，
∵射线OE平分∠COD，
∴∠COD＝2∠DOE＝2β﹣90°，
∵∠AOB与∠COD互补，
∴∠AOB+∠COD＝180°，
∴∠AOB＝180°﹣∠COD＝270°﹣2β，
∵∠BOC＝∠BOD﹣∠COD＝β﹣（2β﹣90°）＝90°﹣β，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝270°﹣2β+90°﹣β＝360°﹣3β，
∴α＝360°﹣3β，
∴α+3β＝360°．
4．将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O．
（1）如图1，若∠AOD＝35°，求∠BOC的度数．
（2）若三角板AOB保持不动，将三角板COD的边OD与边OA重合，然后将其绕点O旋转．试猜想在旋转过程中，∠AOC与∠BOD有何数量关系？请说明理由．
【分析】（1）由于是两直角三角形板重叠，根据∠AOD的度数可得∠BOD，再根据∠DOC＝90°可得∠BOC；
（2）当分两种情况：∠AOB与∠DOC有重叠部分时和当∠AOB与∠DOC没有重叠部分时．
【解答】解：（1）若∠AOD＝35°，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠BOD＝90°﹣35°＝55°，
∴∠BOC＝90°﹣∠BOD＝90°﹣55°＝35°；
（2）∠AOC与∠BOD互补．
当∠AOB与∠DOC有重叠部分时，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC＝180°．
∵∠AOD+∠BOD+∠BOC＝∠AOC，
∴∠AOC+∠BOD＝180°，
当∠AOB与∠DOC没有重叠部分时，
∠AOB+∠COD+∠AOC+∠BOD＝360°，
又∵∠AOC＝∠BOD＝90°，
∴∠AOB+∠DOC＝180°．
5．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使得∠AOC＝120°，将一个有一个角为30°直角三角板的直角顶点放在点O处，使边ON在射线OA上，另一边OM在直线AB的下方，将图中的三角板绕点O按顺时针方向旋转180°．
（1）三角板旋转的过程中，当ON⊥AB时，三角板旋转的角度为 90° ；
（2）当ON所在的射线恰好平分∠BOC时，三角板旋转的角度为 150° ；
（3）在旋转的过程中，∠AOM与∠CON的数量关系为 当0°＜α≤90°时，∠CON﹣∠AOM＝30°，
当90°＜α≤120°时，∠AOM+∠CON＝30°，
当120°＜α≤180°时，∠AOM﹣∠CON＝30° ；（请写出所有可能情况）
（4）若三角板绕点O按每秒钟20°的速度顺时针旋转，同时射线OC绕点O按每秒钟5°的速度沿顺时针方向，向终边OB运动，当ON与射线OB重合时，同时停止运动，直接写出三角板的直角边所在射线恰好平分∠AOC时，三角板运动时间为 t＝s或t＝s ．
【分析】（1）根据旋转的性质知，旋转角∠MON＝90°；
（2）根据角平分线的定义求解即可；
（3）根据旋转角的大小画出图形，分别计算即可．
【解答】解：（1）依题意知，旋转角是∠MON，且∠MON＝90°．
故答案为：90；
（2）当ON所在的射线恰好平分∠BOC时，三角板旋转的角度为150°．
故答案为：150°；
（3）设旋转角是α，
当0°≤α≤90°时，如图，
∵∠AON＝90°﹣α，∠CON＝120°﹣α，
∴∠CON﹣∠AOM＝30°；
当90°＜α≤120°时，如图，
∵∠AOM＝α﹣90°，∠COM＝120°﹣α
∴∠AOM+∠CON＝30°；
当120°＜α≤180°时，
∵∠AOM＝α﹣90°，∠CON＝α﹣120°，
∴∠AOM﹣∠CON＝30°；
综上，当0°＜α≤90°时，∠CON﹣∠AOM＝30°，
当90°＜α≤120°时，∠AOM+∠CON＝30°，
当120°＜α≤180°时，∠AOM﹣∠CON＝30°．
（4）设三角板运动的时间为t，
∴∠AOC＝120+5t，
∵OD平分∠AOC时，
∴∠AOD＝，∠AON＝20t，
∴当ON平分∠AOC时，60＝20t，解得t＝s，
当OM平分∠AOC时，90t＝20t，解得t＝s．
6．已知：如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒4°的速度旋转，如图2，设旋转时间为t（0秒≤t≤45秒）．
（1）则∠MOA＝ ，∠NOB＝ ．（用含t的代数式表示）
（2）在运动过程中，当∠AOB达到60°时，求t的值．
（3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角（指大于0°而不超过180°的角）的平分线？如果存在，直接写出t的值；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）∠AOM的度数等于OA旋转速度乘以旋转时间，∠NOB的度数等于OA旋转速度乘以旋转时间；
（2）当∠AOB第二次达到60°时，射线OB在OA的左侧，根据∠AOM+∠BON﹣∠MON＝60°列方程求解可得；
（3）射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线有三种情况：
①OB两次平分∠AOM时，根据∠AOM＝∠BOM，列方程求解，
②OB两次平分∠MON时，根据∠BOM＝∠MON，列方程求解，
③OB平分∠AON时，根据∠BON＝∠AON，列方程求解．
【解答】解：（1）∠MOA＝2t，∠NOB＝4t；
故答案为：2t，4t；
（2）如图，
根据题意知：∠AOM＝2t，∠BON＝4t，
当∠AOB第一次达到60°时，∠AOM+∠BON+60°＝180°
即2t+4t+60°＝180°，
∴t＝20秒，
故t＝20秒时，∠AOB第一次达到60°；
当∠AOB第二次达到60°时，∠AOM+∠BON﹣∠MON＝60°，
即2t+4t﹣180＝60，解得：t＝40，
故t＝40秒时，∠AOB第二次达到60°；
（3）射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线有以下三种情况：
①OB平分∠AOM时，∵∠AOM＝∠BOM，
∴t＝180﹣4t，
解得：t＝36；
②OB平分∠MON时，∵∠BOM＝∠MON，即∠BOM＝90°，
∴4t＝90，或4t﹣180＝90，
解得：t＝22.5，或t＝67.5（舍）；
③OB平分∠AON时，∵∠BON＝∠AON，
∴4t＝（180﹣2t），
解得：t＝18；
综上，当t的值分别为18、22.5、36秒时，射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线．
7．【阅读理解】
射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝∠AOB，则我们称射线OC是射线OA的“友好线”．例如，如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，则∠AOC＝∠AOB，称射线OC是射线OA的友好线；同时，由于∠BOD＝∠AOB，称射线OD是射线OB的友好线．
【知识运用】
（1）如图2，∠AOB＝120°，射线OM是射线OA的友好线，则∠AOM＝ 40 °；
（2）如图3，∠AOB＝180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止；
①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是40°，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；
②当t为多少秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是另一条射线的友好线．（直接写出答案）
【分析】（1）根据新定义直接可得答案；
（2）①分两种情况：在OC、OD相遇前，180°﹣3t°﹣2t°＝40°，在OC、OD相遇后，3t°+2t°﹣180°＝40°，即可解得答案；
②分4种情况：相遇之前，（Ⅰ）OC是OA的友好线时，∠AOC＝∠AOD，即2t°＝（180°﹣3t°），（Ⅱ）OC是OD的友好线时，∠DOC＝∠AOD，即180°﹣3t°﹣2t°＝（180°﹣3t°），相遇之后：（Ⅲ）OD是OC的友好线∠COD＝∠AOC，即3t°+2t°﹣180°＝×2t°，（Ⅳ）OD是OA的友好线，∠AOD＝∠AOC，即180°﹣3t°＝×2t°，分别解方程即可．
【解答】解：（1）∵射线OM是射线OA的友好线，
∴∠AOM＝∠AOB＝40°，
故答案为：40；
（2）射线OD与射线OA重合时，t＝60（秒），
①存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是40°，有两种情况：
在OC、OD相遇前，180°﹣3t°﹣2t°＝40°，
∴t＝28；
在OC、OD相遇后，3t°+2t°﹣180°＝40°，
∴t＝44，
综上所述，当t为28秒或44秒时，∠COD的度数是40°；
②相遇之前，
（Ⅰ）如图：
OC是OA的友好线时，
∠AOC＝∠AOD，即2t°＝（180°﹣3t°），
∴t＝20；
（Ⅱ）如图：
OC是OD的友好线时，
∠DOC＝∠AOD，即180°﹣3t°﹣2t°＝（180°﹣3t°），
∴t＝30；
相遇之后：
（Ⅲ）
OD是OC的友好线，
∠COD＝∠AOC，即3t°+2t°﹣180°＝×2t°，
∴t＝，
（Ⅳ）
OD是OA的友好线，
∠AOD＝∠AOC，即180°﹣3t°＝×2t°，
∴t＝，
综上所述，当t为20秒或30秒或秒或秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是另一条射线的友好线．
第19讲 与角相关的三大计算类问题压轴复习
类型一 “钟面角”相关
【知识点睛】
v 钟表的表面特点：钟表的表面都是一个圆形，共有12个大格，每个大格间有5个小格．圆形的表面恰好对应着一个周角360°，每一大格=30°角，每一小格=6°角．表面一般有时针、分针、秒针三根指针．
v 钟表时针、分针、秒针的转动情况：
时针：每小时转1大格，每12分钟转1小格，每12个小时转1个圆周；
分针：每5分钟转一大格，每1分钟转1小格，每小时转1个圆周；
秒针：每5秒钟转1大格，每1秒钟转1小格，每1 分钟转一个圆周．
v 时针、分针、秒针的转速：
时针的转速为：30°/小时或0.5°/分钟；
分针的转速为：6°/分钟或0.1°/秒钟；
秒针的转速为：6°/秒．
【类题训练】
一、 时针/分针/秒针间的夹角分题
1．如图所示，钟表上显示的时刻是10点10分，再过20分钟，时针与分针所成的角是（ ）
A．75° B．120° C．135° D．150°
【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．
【解答】解：10点10分，再过20分钟就是10点30分，
30°×（4+）＝135°，
故选：C．
2．12月21日16：15，我校七年级SuperSound英语趣配音比赛在学校千人报告厅举行．为了保证比赛准时开始，年级组长张老师组织同学16：00出发前往千人报告厅，此时时针与分针的夹角为（ ）
A．37.5° B．75° C．120° D．135°
【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．
【解答】解：16：00，此时时针与分针相距4份，
此时时针与分针所成的角度30°×4＝120°，
故选：C．
3．北京时间21点30分，此时钟表的时针和分针构成的角度是 °．
【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．
【解答】解：21点30分就是晚上9点30分，
9点30分，时钟的时针和分针相距3+＝份，
9点30分，时钟的时针和分针所构成的锐角度数为30°×＝105°，
故答案为：105．
4．小亮研究钟面角（时针与分针组成的角），2：15的钟面角为 度．
【分析】根据钟面上一大格是30°，时针1分钟转0.5°，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
30°﹣15×0.5°
＝30°﹣7.5°
＝22.5°，
故答案为：22.5．
二、 从某一时刻到另一时刻的角度问题
1．时钟上的时针匀速旋转一周是12小时，从5时到6时，时针转动的度数为 ．
【分析】时钟上的时针匀速旋转一小时的度数为30°，据此解答即可．
【解答】解：∵时钟上的时针匀速旋转一周的度数为360°，时钟上的时针匀速旋转一周需要12小时，
∴时钟上的时针匀速旋转一小时的度数为：360÷12＝30°，
∴从5时到6时，时针转动的度数为30°．
故答案为：30°．
2．钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，从8点到8点40分，时针转了 度，分针转了 度，8点40分时针与分针所成的角是 度．
【分析】根据时针的速度乘以时针的转的时间，可得答案；根据分针的速度乘以分针转的时间，可得答案；根据时针与分针相距的份数乘以份数，可得答案．
【解答】解：钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，从8点到8点40分，时针转了 20度，分针转了 240度，8点40分时针与分针所成的角是 20度，
故答案为：20，240，20．
3.圆形钟面上从2点整到4点整，时针和分针成60度角时的时间是 ．
【分析】根据2点整的时刻，时针与分针正好成60度角； 设2点x分的时刻，时针与分针成60度角，设3点x分的时刻，时针与分针成60度角设3点x分的时刻，时针与分针成60度角列方程即可得到结论．
【解答】解：∵分针走一圈（360度）要1小时，即速度为360度/1小时＝360度/60分钟＝6度/分钟，
钟面（360度）被平均分成了12等份，
∴每份（相邻两个数字之间）是30度，
∴设x分钟后，时针走过的角度为0.5x度，分针走过的角度为6x度，
（1）显然2点整的时刻，时针与分针正好成60度角；
（2）设2点x分的时刻，时针与分针成60度角，则应该是分针在前，有
6x﹣（2×30+0.5x）＝60，
∴5.5x＝120，
∴x＝，
∴2点的时刻，时针与分针成60度角；
（3）设3点x分的时刻，时针与分针成60度角（时针可以在前），有
3×0+0.5x﹣6x＝60，
∴5.5x＝30，
∴x＝，
∴3点分的时刻，时针与分针成60度角；
（4）设3点x分的时刻，时针与分针成60度角（分针可以在前），有
6x﹣（3×30+0.5x）＝60，
∴5.5x＝150，
∴x＝，
∴3点分的时刻，时针与分针成60度角．
综上所述，时针和分针成60度角时的时间是2点整或2点分或3点分或3点分，
故答案为：2点整或2点分或3点分或3点分．
4．观察常用时钟，回答下列问题：
（1）早晨7时整，时针和分针构成多少度的角？
（2）时针多长时间转一圈？它转动的速度是每小时多少度？
（3）从7：00到7：40，分针转动了多少度？
【分析】（1）因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，找出7时时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘30°即可；
（2）由时钟可知时针12个小时转一圈，圆周角是360°即一圈是360°，所以速度为360÷12＝30；
（3）若时针由7：00到7：40，共经过40分钟，时针一小时即60分钟转30°，一分钟转动0.5°，分针一小时转360°，一分钟转6°，据此作答．
【解答】解：（1）7时，时针和分针中间相差5个大格．
∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，
∴7时，分针与时针的夹角是5×30°＝150°，
答：早晨7时整，时针和分针构成150度的角；
（2）由时钟可知时针12个小时转一圈，
360°÷12＝30°，
答：时针12个小时转一圈，它转动的速度是每小时30度；
（3）分针转过的角度：（360°÷60）×40＝240°，
答：分针转动了240度．
三、 由角度求对应时刻时间
1．钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图，在钟面上，点O为钟面的圆心，图中的圆我们称之为钟面圆．为便于研究，我们规定：钟面圆的半径OA表示时针，半径OB表示分针，它们所成的钟面角为∠AOB；本题中所提到的角都不小于0°，且不大于180°；本题中所指的时刻都介于0点整到12点整之间．
（1）时针每分钟转动的角度为 °，分针每分钟转动的角度为 °；
（2）8点整，钟面角∠AOB＝ °，钟面角与此相等的整点还有： 点；
（3）如图，设半径OC指向12点方向，在图中画出6点15分时半径OA、OB的大概位置，并求出此时∠AOB的度数．
【分析】（1）根据时针旋转一周12小时，可得时针旋转的速度，根据分针旋转一周60分钟，可得分针旋转的速度；
（2）根据时针与分针相距的份数乘每份的度数，可得答案；
（3）根据时针旋转的角度减去分针旋转的角度，可得答案．
【解答】解：（1）时针每分钟转动的角度为0.5°，分针每分钟转动的角度为6°；
故答案为：0.5，6；
（2）0.5×60×4＝120°，4点时0.5×60×4＝120°，
故答案为：120，4；
（3） 如图，∠AOB＝6×30+15×0.5﹣15×6＝97.5°．
2．钟面角是指时钟的时针与分针所成的角，时针每走1分钟对应0.5°的角，分针每走1分钟对度6°的角．
（1）如图1，时钟所表示的时间为2点30分，则钟面角为 °；
（2）若某个时刻的钟面角为60°，请写出一个相应的时刻： ；
（3）如图2，时钟所表示的时间为3点，此时钟角为90°，在4点前，经过多少分钟，钟角为35°？
【分析】（1）钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，钟表上2点30分，时针指向2和3的中间，分针指向6，两者之间相隔3.5个数字；
（2）找到时针和分针相隔2个数字的时刻即可；
（3）分两种情况，根据钟面角为35°讨论求解．
【解答】解：（1）3×30°+15°＝105°．
故钟面上2点30分时，钟面角为105°．
（2）2：00或10：00（答案不唯一）
（3）设经过x分钟，钟面角为35°，得：
6x+35＝90+0.5x或者6x＝90+0.5x+35
解得：x＝10或x＝．
故在4点前，经过10或分钟，钟面角为35°．
故答案为：105；2：00或10：00（答案不唯一）．
3．钟面上的数学
基本概念
钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图1，∠AOB即为某一时刻的钟面角，通常0°≤∠AOB≤180°．
简单认识
时针和分针在绕点O一直沿着顺时针方向旋转，时针每小时转动的角度是30°，分针每小时转动一周，角度为360°．由此可知：
（1）时针每分钟转动 °，分针每分钟转动 °；
初步研究
（2）已知某一时刻的钟面角的度数为α，在空格中写出一个与之对应的时刻：
①当α＝90°时， ；
②当α＝180°时， ；
（3）如图2，钟面显示的时间是8点O4分，此时钟面角∠AOB＝ °；
深入思考
A类：（4）在某一天的下午2点到3点之间（不包括2点整和3点整）．
①时针恰好与分针重叠，则这一时刻是 ；
②时针恰好与分针垂直，求此时对应的时刻．
B类：（4）在某一天的下午2点到3点之间（不包括2点整和3点整）
①若钟面角为30°，求此时对应的时刻；
②记钟面上刻度为3的点为C，当钟面角的两条边OA、OB所在射线与射线OC中恰有一条是另两条射线所成角的角平分线时，请直接写出此时对应的时刻．
【分析】（1）根据1小时＝60分解答即可；
（2）钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，找到时针和分针相隔3个数字的时刻和相隔6个数字的时刻即可；
（3）钟表12个数字，每相邻两个数字之间有5格，钟表上8点04分，时针转了（60×8+4）格，分针指向4，根据时针和分针的速度即可求解；
A类：（4）①设此时对应的时刻是2点x分，根据时针和分针转动的角度相同即可求解；
②设此时对应的时刻是2点y分，根据时针和分针转动的角度相差90°即可求解；
B类：（4）①设此时对应的时刻是2点m分，根据时针和分针转动的角度相差30°即可求解；
②令时针所在直线为OA，分针所在直线为OB，分两种情况求解即可．
【解答】解：（1）∵时针每小时转动的角度是30°，分针每小时转动一周，角度为360°．
∴时针每分钟转动30°÷60＝0.5°，分针每分钟转动360°÷60＝6°，
故答案为：0.5；6；
（2）①某个时刻的钟面角α为90°，可为3：00，②某个时刻的钟面角α为180°，可为6：00，
故答案为：①3：00；②6：00；
（3）钟表12个数字，每相邻两个数字之间有5格，钟表上8点04分，时针转了（60×8+4）格，分针指向4，
则时针转动的角度是（60×8+4）×0.5°＝242°，分针转动的角度是6°×4＝24°，
此时钟面角∠AOB＝242°﹣24°＝218°，
∵0°≤∠AOB≤180°，
∴∠AOB＝360°﹣218°＝142°，
故答案为：142°；
A类：（4）①设此时对应的时刻是2点x分，
60+0.5x＝6x，解得：x＝，
∴这一时刻是2点分，
故答案为：2点分；
②设此时对应的时刻是2点y分，
6x﹣60﹣0.5x＝90或6x﹣60﹣0.5x＝270，
解得：x＝或x＝60，
∵x＝60时为3点整，不合题意，舍去，
∴此时对应的时刻是2点分；
B类：（4）①根据时针和分针转动的角度相差30°得：
60+0.5m﹣6m＝30或6m﹣60﹣0.5m＝30，
解得：m＝或m＝，
∴此时对应的时刻是2点分或2点分；
②令时针所在直线为OA，分针所在直线为OB，设此时对应的时刻是2点m分，
OA为OC和OB角平分线时：
＝90﹣60﹣0.5m，
解得：m＝6；
OC为OA和OB角平分线时：
90﹣60﹣0.5m＝6m﹣90，
解得：m＝；
OA为时针，OB为分针，OB平分∠AOC时：
∠BOC＝90﹣6m，
∠AOC＝30﹣0.5m，
∵OB平分∠AOC，
∴∠AOC＝2∠BOC，
∴30﹣0.5m＝2（90﹣6m），
解得：m＝，
答：当钟面角的两条边OA、OB所在射线与射线OC中恰有一条是另两条射线所成角的角平分线时，此时对应的时刻在2点6分和2点分，2点分．
类型二 与角有关的折叠问题
【知识点睛】
v 有折叠必有角度相等→折叠所形成的角与原角相等→折痕所在直线为角平分线；
v 成一条直线的几个角组成平角——即和为180°；
v 正方形、长方形的一个角均为90°；
【类题训练】
1．如图，把一长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D'落在∠BAC内部．若∠CAE＝2∠BAD'，且∠CAD'＝15°，则∠DAE的度数为（ ）
A．12° B．24° C．39° D．45°
【分析】由折叠性质得∠DAE＝∠EAD′，由长方形的性质得∠DAE+∠EAD′+∠BAD′＝90°，根据角的和差倍分关系得∠BAD′＝12°，最后根据∠DAE＝∠EAD′＝∠CAE+∠CAD′可得答案．
【解答】解：∵长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，
∴∠DAE＝∠EAD′，
∵ABCD是长方形，
∴DA⊥AB，
∴∠DAE+∠EAD′+∠BAD′＝90°，即2∠EAD′+∠BAD′＝90°，
∴2（∠CAE+∠CAD′）+∠BAD′＝90°，
∵∠CAE＝2∠BAD′，∠CAD′＝15°，
∴2（2∠BAD′+15°）+∠BAD′＝90°，
∴30°+5∠BAD′＝90°，
∴∠BAD′＝12°，
∴∠DAE＝∠EAD′＝∠CAE+∠CAD′
＝2∠BAD′+∠CAD′
＝2×12°+15°
＝39°，
∴∠DAE＝39°．
故选：C．
2．如图，长方形ABCD沿直线EF、EG折叠后，点A和点D分别落在直线l上的点A′和点D′处，若∠1＝30°，则∠2的度数为（ ）
A．30° B．60° C．50° D．55°
【分析】根据折叠的性质和平角的定义，先求出∠1+∠4的度数，再确定∠2的度数．
【解答】解：由折叠的性质知：∠1＝∠3＝∠AED′，∠2＝∠4＝∠DED′，
∵∠AED′+∠DED′＝180°，
∴∠1+∠4＝90°．
即∠1+∠2＝90°．
当∠1＝30°时，
∠2＝60°．
故选：B．
3．如图，将一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠后，点C落在点E处，连接BE交AD于F，再将三角形DEF沿DF折叠后，点E落在点G处，若DG刚好平分∠ADB，那么∠ADB的度数是（ ）
A．18° B．20° C．36° D．45°
【分析】根据折叠的性质可得∠BDC＝∠BDE，∠EDF＝∠GDF，由角平分线的定义可得∠BDA＝∠GDF+∠BDG＝2∠GDF，然后根据矩形的性质及角的运算可得答案．
【解答】解：由折叠可知，∠BDC＝∠BDE，∠EDF＝∠GDF，
∵DG平分∠ADB，
∴∠BDG＝∠GDF，
∴∠EDF＝∠BDG，
∴∠BDE＝∠EDF+∠GDF+∠BDG＝3∠GDF，
∴∠BDC＝∠BDE＝3∠GDF，
∠BDA＝∠GDF+∠BDG＝2∠GDF，
∵∠BDC+∠BDA＝90°＝3∠GDF+2∠GDF＝5∠GDF，
∴∠GDF＝18°，
∴∠ADB＝2∠GDF＝2×18°＝36°．
故选：C．
4．如图，将长方形纸片翻折，若∠1＝52°，则∠2的度数为 ．
【分析】根据翻折的性质得到∠1+∠2＝∠AMN，根据平行线的性质得到∠2＝∠MNC，∠AMN+∠MNC＝180°，据此即可得解．
【解答】解：
根据翻折的性质得到，∠1+∠2＝∠AMN，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠MNC，∠AMN+∠MNC＝180°，
∴∠AMN+∠MNC＝∠1+∠2+∠2＝180°，
∵∠1＝52°，
∴2∠2＝128°，
∴∠2＝64°，
故答案为：64°．
5．如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠AED′＝68°，则∠AEF＝ ．
【分析】设∠DEF＝x，根据折叠的性质得到∠D′EF＝∠DEF＝x，利用平角的定义列方程即可得到结论．
【解答】解：设∠DEF＝x，
∵把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，
∴∠D′EF＝∠DEF＝x，
∵∠AED′＝68°，∠AED′+∠D′EF+DEF＝180°，
∴x+x+68°＝180°，
∴x＝56°，
∴∠DEF＝∠D′EF＝56°，
∴∠AEF＝∠AED′+∠D′EF＝124°，
故答案为：124°．
6．如图，将书页的一角斜折过去，使角的顶点A落在A′处，BC为折痕，BD平分∠A′BE．
（1）求∠CBD的度数．
（2）若∠A′BE＝120°，求∠CBA的度数．
【分析】（1）由翻折的性质可知∠ABC＝∠A'BC，所以，再根据角平分线的定义可得，然后根据角的和差关系解答即可；
（2）由∠A′BE＝120°，再根据∠ABC＝∠A'BC解答即可．
【解答】解：（1）由翻折的性质可知∠ABC＝∠A'BC，
所以，
又因为BD平分∠A'BE，
所以，
因为∠A'BA+∠A'BE＝180°，
所以∠CBD＝＝＝90°；
（2）∠ABA′＝180°﹣∠A′BE＝60°，
因为∠ABC＝∠A'BC，
所以∠CBA＝30°．
类型三 与角有关的旋转问题
【知识点睛】
v 图形的旋转也就是其中线段/射线的旋转，审题中先考虑“旋转三要素”——旋转中心、旋转方向、旋转角度；
v 旋转角度=射线转动的速度×转动的时间；故常引入字母，用代数式表示角度；
v 根据角度间的数量关系，多用方程思想解决动角问题；
v 常见的角度间的数量关系表述：∠A=∠B，∠A=2∠B，∠A与∠B互余（或互补）等
v 角的边的位置不确定时，需要分类讨论
【类题训练】
1．如图，∠AOB＝90°．∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．
（1）求∠MON的度数；
（2）若∠BOC＝60°，其他条件不变，则∠MON＝ 45° ；
（3）若∠AOB＝α，其他条件不变，求∠MON的度数；
（4）从上面的结果能看出什么规律？
【分析】（1）根据角的平分线定义和角的和差即可求解；
（2）理由同（1）；
（3）理由同（1）把∠AOB换成字母表示即可求解；
（4）根据（1）、（2）、（3）的结论即可发现规律．
【解答】解：（1）根据题意，得
∵∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝120°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC＝∠AOC＝60°，∠CON＝BOC＝15°，
∴∠MON＝∠MOC﹣∠CON＝60°﹣15°＝45°．
答：∠MON的度数为45°．
（2）∠MON＝（150﹣60）＝45°．
故答案为45°．
（3）∵∠AOB＝α，∠BOC＝30°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝α+30°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC＝∠AOC＝α+15°，∠CON＝BOC＝15°，
∴∠MON＝∠MOC﹣∠CON＝+15°﹣15°＝．
答：∠MON的度数为．
（4）∠MON的度数始终是∠AOB的一半，与∠BOC的大小没有关系．
2．如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2．
（1）求∠AOC，∠BOC的度数；
（2）作射线OM平分∠AOC，在∠BOC内作射线ON，使得∠CON：∠BON＝1：3，求∠MON的度数；
（3）过点O作射线OD，若2∠AOD＝3∠BOD，求∠COD的度数．
【分析】（1）根据∠AOC：∠BOC＝1：2，即可求解；
（2）先求出∠COM，再求出∠CON，相加即可求解；
（3）分OD在∠AOB内部和外部两种情况分类讨论即可求解．
【解答】解：（1）∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠AOB＝×120°＝40°，
∠BOC＝∠AOB＝×120°＝80°；
（2）∵OM平分∠AOC，
∴∠COM＝∠AOC＝×40°＝20°，
∵∠CON：∠BON＝1：3，
∴∠CON＝∠BOC＝×80°＝20°，
∴∠MON＝∠COM+∠CON＝20°+20°＝40°；
（3）如图，当OD在∠AOB内部时，
设∠BOD＝x°，
∵2∠AOD＝3∠BOD，
∴∠AOD＝x°，
∵∠AOB＝120°，
∴x+x＝120，
解得：x＝48，
∴∠BOD＝48°，
∴∠COD＝∠BOC﹣∠BOD＝80°﹣48°＝32°，
如图，当OD在∠AOB外部时，
设∠BOD＝y°，
∵2∠AOD＝3∠BOD，
∴∠AOD＝y°，
∵∠AOB＝120°，
∴y+y+120°＝360°
解得：y＝96°，
∴∠COD＝∠BOD+∠BOC
＝96°+80°
＝176°，
综上所述，∠COD的度数为32°或176°．
3．已知∠AOB与∠COD互补，射线OE平分∠COD，设∠AOC＝α，∠BOD＝β．
（1）如图1，∠COD在∠AOB的内部，
①当∠COD＝45°时，求α+β的值．
②当α＝3β时，求∠BOE的度数．
（2）如图2，∠COD在∠AOB的外部，∠BOE＝45°，求α与β满足的等量关系．
【分析】（1）①根据补角的定义以及角的和差关系解答即可；②结合①的结论求出3β，再根据角的和差关系解答即可；
（2）根据角平分线的定义以及补角的定义求解即可．
【解答】解：（1）①∵∠AOB与∠COD互补，
∴∠AOB+∠COD＝180°，
∵∠COD＝45°，
∴∠AOB＝135°，
∵∠AOC+∠BOD+∠COD＝135°，
∴α+β+45°＝135°，
∴α+β＝90°；
②设∠DOE＝∠x，
∵∠AOB与∠COD互补，且∠α＝3∠β，
∴4∠β+4∠x＝180°，
即∠β+∠x＝45°，
∴∠BOE＝∠BOD+∠DOE＝∠β+∠x＝45°；
（2）∵∠BOE＝45°，
∴∠DOE＝∠BOD﹣∠BOE＝β﹣45°，
∵射线OE平分∠COD，
∴∠COD＝2∠DOE＝2β﹣90°，
∵∠AOB与∠COD互补，
∴∠AOB+∠COD＝180°，
∴∠AOB＝180°﹣∠COD＝270°﹣2β，
∵∠BOC＝∠BOD﹣∠COD＝β﹣（2β﹣90°）＝90°﹣β，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝270°﹣2β+90°﹣β＝360°﹣3β，
∴α＝360°﹣3β，
∴α+3β＝360°．
4．将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O．
（1）如图1，若∠AOD＝35°，求∠BOC的度数．
（2）若三角板AOB保持不动，将三角板COD的边OD与边OA重合，然后将其绕点O旋转．试猜想在旋转过程中，∠AOC与∠BOD有何数量关系？请说明理由．
【分析】（1）由于是两直角三角形板重叠，根据∠AOD的度数可得∠BOD，再根据∠DOC＝90°可得∠BOC；
（2）当分两种情况：∠AOB与∠DOC有重叠部分时和当∠AOB与∠DOC没有重叠部分时．
【解答】解：（1）若∠AOD＝35°，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠BOD＝90°﹣35°＝55°，
∴∠BOC＝90°﹣∠BOD＝90°﹣55°＝35°；
（2）∠AOC与∠BOD互补．
当∠AOB与∠DOC有重叠部分时，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC＝180°．
∵∠AOD+∠BOD+∠BOC＝∠AOC，
∴∠AOC+∠BOD＝180°，
当∠AOB与∠DOC没有重叠部分时，
∠AOB+∠COD+∠AOC+∠BOD＝360°，
又∵∠AOC＝∠BOD＝90°，
∴∠AOB+∠DOC＝180°．
5．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使得∠AOC＝120°，将一个有一个角为30°直角三角板的直角顶点放在点O处，使边ON在射线OA上，另一边OM在直线AB的下方，将图中的三角板绕点O按顺时针方向旋转180°．
（1）三角板旋转的过程中，当ON⊥AB时，三角板旋转的角度为 90° ；
（2）当ON所在的射线恰好平分∠BOC时，三角板旋转的角度为 150° ；
（3）在旋转的过程中，∠AOM与∠CON的数量关系为 当0°＜α≤90°时，∠CON﹣∠AOM＝30°，
当90°＜α≤120°时，∠AOM+∠CON＝30°，
当120°＜α≤180°时，∠AOM﹣∠CON＝30° ；（请写出所有可能情况）
（4）若三角板绕点O按每秒钟20°的速度顺时针旋转，同时射线OC绕点O按每秒钟5°的速度沿顺时针方向，向终边OB运动，当ON与射线OB重合时，同时停止运动，直接写出三角板的直角边所在射线恰好平分∠AOC时，三角板运动时间为 t＝s或t＝s ．
【分析】（1）根据旋转的性质知，旋转角∠MON＝90°；
（2）根据角平分线的定义求解即可；
（3）根据旋转角的大小画出图形，分别计算即可．
【解答】解：（1）依题意知，旋转角是∠MON，且∠MON＝90°．
故答案为：90；
（2）当ON所在的射线恰好平分∠BOC时，三角板旋转的角度为150°．
故答案为：150°；
（3）设旋转角是α，
当0°≤α≤90°时，如图，
∵∠AON＝90°﹣α，∠CON＝120°﹣α，
∴∠CON﹣∠AOM＝30°；
当90°＜α≤120°时，如图，
∵∠AOM＝α﹣90°，∠COM＝120°﹣α
∴∠AOM+∠CON＝30°；
当120°＜α≤180°时，
∵∠AOM＝α﹣90°，∠CON＝α﹣120°，
∴∠AOM﹣∠CON＝30°；
综上，当0°＜α≤90°时，∠CON﹣∠AOM＝30°，
当90°＜α≤120°时，∠AOM+∠CON＝30°，
当120°＜α≤180°时，∠AOM﹣∠CON＝30°．
（4）设三角板运动的时间为t，
∴∠AOC＝120+5t，
∵OD平分∠AOC时，
∴∠AOD＝，∠AON＝20t，
∴当ON平分∠AOC时，60＝20t，解得t＝s，
当OM平分∠AOC时，90t＝20t，解得t＝s．
6．已知：如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒4°的速度旋转，如图2，设旋转时间为t（0秒≤t≤45秒）．
（1）则∠MOA＝ ，∠NOB＝ ．（用含t的代数式表示）
（2）在运动过程中，当∠AOB达到60°时，求t的值．
（3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角（指大于0°而不超过180°的角）的平分线？如果存在，直接写出t的值；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）∠AOM的度数等于OA旋转速度乘以旋转时间，∠NOB的度数等于OA旋转速度乘以旋转时间；
（2）当∠AOB第二次达到60°时，射线OB在OA的左侧，根据∠AOM+∠BON﹣∠MON＝60°列方程求解可得；
（3）射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线有三种情况：
①OB两次平分∠AOM时，根据∠AOM＝∠BOM，列方程求解，
②OB两次平分∠MON时，根据∠BOM＝∠MON，列方程求解，
③OB平分∠AON时，根据∠BON＝∠AON，列方程求解．
【解答】解：（1）∠MOA＝2t，∠NOB＝4t；
故答案为：2t，4t；
（2）如图，
根据题意知：∠AOM＝2t，∠BON＝4t，
当∠AOB第一次达到60°时，∠AOM+∠BON+60°＝180°
即2t+4t+60°＝180°，
∴t＝20秒，
故t＝20秒时，∠AOB第一次达到60°；
当∠AOB第二次达到60°时，∠AOM+∠BON﹣∠MON＝60°，
即2t+4t﹣180＝60，解得：t＝40，
故t＝40秒时，∠AOB第二次达到60°；
（3）射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线有以下三种情况：
①OB平分∠AOM时，∵∠AOM＝∠BOM，
∴t＝180﹣4t，
解得：t＝36；
②OB平分∠MON时，∵∠BOM＝∠MON，即∠BOM＝90°，
∴4t＝90，或4t﹣180＝90，
解得：t＝22.5，或t＝67.5（舍）；
③OB平分∠AON时，∵∠BON＝∠AON，
∴4t＝（180﹣2t），
解得：t＝18；
综上，当t的值分别为18、22.5、36秒时，射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线．
7．【阅读理解】
射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝∠AOB，则我们称射线OC是射线OA的“友好线”．例如，如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，则∠AOC＝∠AOB，称射线OC是射线OA的友好线；同时，由于∠BOD＝∠AOB，称射线OD是射线OB的友好线．
【知识运用】
（1）如图2，∠AOB＝120°，射线OM是射线OA的友好线，则∠AOM＝ 40 °；
（2）如图3，∠AOB＝180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止；
①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是40°，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；
②当t为多少秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是另一条射线的友好线．（直接写出答案）
【分析】（1）根据新定义直接可得答案；
（2）①分两种情况：在OC、OD相遇前，180°﹣3t°﹣2t°＝40°，在OC、OD相遇后，3t°+2t°﹣180°＝40°，即可解得答案；
②分4种情况：相遇之前，（Ⅰ）OC是OA的友好线时，∠AOC＝∠AOD，即2t°＝（180°﹣3t°），（Ⅱ）OC是OD的友好线时，∠DOC＝∠AOD，即180°﹣3t°﹣2t°＝（180°﹣3t°），相遇之后：（Ⅲ）OD是OC的友好线∠COD＝∠AOC，即3t°+2t°﹣180°＝×2t°，（Ⅳ）OD是OA的友好线，∠AOD＝∠AOC，即180°﹣3t°＝×2t°，分别解方程即可．
【解答】解：（1）∵射线OM是射线OA的友好线，
∴∠AOM＝∠AOB＝40°，
故答案为：40；
（2）射线OD与射线OA重合时，t＝60（秒），
①存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是40°，有两种情况：
在OC、OD相遇前，180°﹣3t°﹣2t°＝40°，
∴t＝28；
在OC、OD相遇后，3t°+2t°﹣180°＝40°，
∴t＝44，
综上所述，当t为28秒或44秒时，∠COD的度数是40°；
②相遇之前，
（Ⅰ）如图：
OC是OA的友好线时，
∠AOC＝∠AOD，即2t°＝（180°﹣3t°），
∴t＝20；
（Ⅱ）如图：
OC是OD的友好线时，
∠DOC＝∠AOD，即180°﹣3t°﹣2t°＝（180°﹣3t°），
∴t＝30；
相遇之后：
（Ⅲ）
OD是OC的友好线，
∠COD＝∠AOC，即3t°+2t°﹣180°＝×2t°，
∴t＝，
（Ⅳ）
OD是OA的友好线，
∠AOD＝∠AOC，即180°﹣3t°＝×2t°，
∴t＝，
综上所述，当t为20秒或30秒或秒或秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是另一条射线的友好线．
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