高考数学二轮复习课时跟踪检测 14圆锥曲线中的最值范围证明问题大题练（含答案解析）

课时跟踪检测 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题（大题练）

A卷——大题保分练

1．已知椭圆C的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且经过E.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若=λ，

且2≤λ<3，求直线l的斜率k的取值范围．

2．已知椭圆＋=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1和F2，由M(－a，b)，N(a，b)，F2和F1这4个点构成了一个高为，面积为3的等腰梯形．

(1)求椭圆的方程；

(2)过点F1的直线和椭圆交于A，B两点，求△F2AB面积的最大值．

3．已知圆C：x2＋y2＋2x－2y＋1=0和抛物线E：y2=2px(p>0)，圆心C到抛物线焦点F的距离为.

(1)求抛物线E的方程；

(2)不过原点O的动直线l交抛物线于A，B两点，且满足OA⊥OB，设点M为圆C上一动点，求当动点M到直线l的距离最大时的直线l的方程．

4．已知斜率为k的直线l与椭圆C：＋=1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m>0)．

(1)证明：k<－；

(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且＋＋=0.证明：||，||，||成等差数列，并求该数列的公差．

B卷——深化提能练

1．已知椭圆Ω：＋=1(a>b>0且a，b2均为整数)过点，且右顶点到直线l：x=4的距离为2.

(1)求椭圆Ω的方程；

(2)过椭圆的右焦点F作两条互相垂直的直线l1，l2，l1与椭圆Ω交于点A，B，l2与椭圆Ω交于点C，D.求四边形ACBD面积的最小值．

2．设椭圆C：＋=1(a>b>0)，定义椭圆C的“相关圆”方程为x2＋y2=.若抛物线y2=4x的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形．

(1)求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程；

(2)过“相关圆”E上任意一点P作“相关圆”E的切线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点．证明：∠AOB为定值．

3．已知椭圆C1：＋=1(a>b≥1)的离心率为，其右焦点到直线2ax＋by－=0的距离为.

(1)求椭圆C1的方程；

(2)过点P的直线l交椭圆C1于A，B两点．证明：以AB为直径的圆恒过定点．

4．已知椭圆＋=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=6，直线y=kx与椭圆交于A，B两点．

(1)若△AF1F2的周长为16，求椭圆的标准方程；

(2)若k=，且A，B，F1，F2四点共圆，求椭圆离心率e的值；

(3)在(2)的条件下，设P(x0，y0)为椭圆上一点，且直线PA的斜率k1∈(－2，－1)，试求直线PB的斜率k2的取值范围．

答案解析

A卷——大题保分练

1．解：

(1)由解得

所以椭圆C的方程为＋=1.

(2)由题意得直线l的方程为y=k(x＋1)(k>0)，

联立方程整理得y2－y－9=0，Δ=＋144>0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2=，y1y2=，

又=λ，所以y1=－λy2，所以y1y2=(y1＋y2)2，

则=，λ＋－2=，

因为2≤λ<3，所以≤λ＋－2<，

即≤<，且k>0，解得0<k≤.

故直线l的斜率k的取值范围是.

2．解：

(1)由已知条件，得b=，且×=3，

∴a＋c=3.

又a2－c2=3，∴a=2，c=1，∴椭圆的方程为＋=1.

(2)显然直线的斜率不能为0，

设直线的方程为x=my－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．

联立方程消去x得，(3m2＋4)y2－6my－9=0.

∵直线过椭圆内的点，∴无论m为何值，直线和椭圆总相交．

∴y1＋y2=，y1y2=－.

∴S△F2AB=|F1F2||y1－y2|=|y1－y2|

==12

=4=4，

令t=m2＋1≥1，设f(t)=t＋，易知t∈时，函数f(t)单调递减，

t∈时，函数f(t)单调递增，

∴当t=m2＋1=1，即m=0时，f(t)取得最小值，f(t)min=，此时S△F2AB取得最大值3.

3．解：(1)x2＋y2＋2x－2y＋1=0可化为(x＋1)2＋(y－1)2=1，

则圆心C的坐标为(－1,1)．

∵F，∴|CF|= =，解得p=6.

∴抛物线E的方程为y2=12x.

(2)显然直线l的斜率非零，设直线l的方程为x=my＋t(t≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．

由得y2－12my－12t=0，

Δ=(－12m)2＋48t=48(3m2＋t)>0，

∴y1＋y2=12m，y1y2=－12t，

由OA⊥OB，得·=0，∴x1x2＋y1y2=0，

即(m2＋1)y1y2＋mt(y1＋y2)＋t2=0，

整理可得t2－12t=0，∵t≠0，∴t=12，满足Δ>0，符合题意．

∴直线l的方程为x=my＋12，故直线l过定点P(12,0)．

∴当CP⊥l，即线段MP经过圆心C(－1,1)时，动点M到动直线l的距离取得最大值，

此时kCP==－，得m=，

此时直线l的方程为x=y＋12，即13x－y－156=0.

4．证明：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则＋=1，＋=1.

两式相减，并由=k得＋·k=0.

由题设知=1，=m，于是k=－.①

由题设得0<m<，故k<－.

(2)由题意得F(1,0)．设P(x3，y3)，

则(x3－1，y3)＋(x1－1，y1)＋(x2－1，y2)=(0,0)．

由(1)及题设得x3=3－(x1＋x2)=1，

y3=－(y1＋y2)=－2m<0.

又点P在C上，所以m=，从而P，||=，

于是||===2－.

同理||=2－.所以||＋||=4－(x1＋x2)=3.

故2||=||＋||，即||，||，||成等差数列．

设该数列的公差为d，

则2|d|=|||－|||=|x1－x2|=.②

将m=代入①得k=－1，所以l的方程为y=－x＋，

代入C的方程，并整理得7x2－14x＋=0.

故x1＋x2=2，x1x2=，代入②解得|d|=.

所以该数列的公差为或－.

B卷——深化提能练

1．解：(1)由题意，得＋=1，且|4－a|=2，若a=2，则b2=3；若a=6，则b2=(舍去)，所以椭圆Ω的方程为＋=1.

(2)由(1)知，点F的坐标为(1,0)．

当l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，可得|AB|=4，|CD|=3或者|AB|=3，|CD|=4，此时四边形ACBD的面积S=×4×3=6.

当l1，l2的斜率均存在时，设直线l1的斜率为k，则k≠0，且直线l2的斜率为－.

直线l1：y=k(x－1)，l2：y=－(x－1)．

联立得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12=0.

由直线l1过椭圆内的点，知Δ>0恒成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2=，x1x2=.

|AB|=|x1－x2|=

=·=.

以－代替k，得|CD|=.

所以四边形ACBD的面积S=|AB|·|CD|

=≥==，

当且仅当k2=1，即k=±1时等号成立．

由于<6，所以四边形ACBD面积的最小值为.

2．解：(1)因为抛物线y2=4x的焦点(1,0)与椭圆C的一个焦点重合，所以c=1.

又椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以b=c=1，

故椭圆C的方程为＋y2=1，“相关圆”E的方程为x2＋y2=.

(2)证明：当直线l的斜率不存在时，不妨设直线AB的方程为x=，

A，B，则∠AOB=.

当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

联立得x2＋2(kx＋m)2=2，即(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2=0，

Δ=16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)=8(2k2－m2＋1)>0，即2k2－m2＋1>0，

因为直线l与“相关圆”E相切，

所以==，即3m2=2＋2k2，

所以x1x2＋y1y2=(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2=－＋m2

==0，所以⊥，所以∠AOB=.

综上，∠AOB=，为定值．

3．解：(1)由题意，e==，e2==，a2=2b2.

所以a=b，c=b.

又=，a>b≥1，所以b=1，a2=2，

故椭圆C1的方程为＋y2=1.

(2)证明：当AB⊥x轴时，以AB为直径的圆的方程为x2＋y2=1.

当AB⊥y轴时，以AB为直径的圆的方程为x2＋2=，

由可得

由此可知，若以AB为直径的圆恒过定点，则该定点必为Q(0,1)．

下证Q(0,1)符合题意．

当AB不垂直于坐标轴时，设直线AB方程为y=kx－，A(x1，y1)，B(x2，y2)．

由得(1＋2k2)x2－kx－=0，

由根与系数的关系得，x1＋x2=，x1x2=－，

∴·=(x1，y1－1)·(x2，y2－1)

=x1x2＋(y1－1)(y2－1)

=x1x2＋

=(1＋k2)x1x2－k(x1＋x2)＋

=(1＋k2)－k·＋

==0，

故⊥，即Q(0,1)在以AB为直径的圆上．

综上，以AB为直径的圆恒过定点(0,1)．

4．解：(1)由题意得c=3，根据2a＋2c=16，得a=5.结合a2=b2＋c2，解得a2=25，b2=16.

所以椭圆的方程为＋=1.

(2)由得x2－a2b2=0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)．所以x1＋x2=0，x1x2=，

由AB，F1F2互相平分且共圆，易知，AF2⊥BF2，

因为=(x1－3，y1)，=(x2－3，y2)，

所以·=(x1－3)(x2－3)＋y1y2=x1x2＋9=0.

即x1x2=－8，所以有=－8，结合b2＋9=a2，解得a2=12，

所以离心率e=.

(3)由(2)的结论知，椭圆方程为＋=1，

由题可知A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，k1=，k2=，

所以k1k2=，

又==－，即k2=－，

由－2<k1<－1可知，<k2<.

即直线PB的斜率k2∈.