2022-2023学年广西贺州市富川县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广西贺州市富川县八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  化简的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列各组数是勾股数的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

3.  已知关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  一元二次方程的根是(    )

A.  B.
C. ， D.

6.  已知三角形的三边长分别为，，，则它的最长边上的高是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  关于的一元二次方程根的情况是(    )

A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 无实数根 D. 无法判断

8.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  用配方法解方程，配方后可得(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，中，，是的平分线．已知，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小，若设个位上的数字为，则根据题意可列方程(    )

A.  B.
C.  D.

12.  定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程，已知是凤凰方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）

13.  的倒数是______ ．

14.  在平面直角坐标系中，点到原点的距离是______．

15.  已知是方程的一个根，则代数式的值是______ ．

16.  某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支个数是______．

17.  若，满足实数，则的值是______ ．

18.  观察一列数：，，，，，，，按此规律，这列数的第个数是          结果需化简

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
用适当的方法解下列一元二次方程：
；
．

21.  本小题分
如图，将，的矩形纸片，沿过顶点的直线为折痕折叠时，顶点与边上的点重合，求、的长．

22.  本小题分
求代数式的值，其中．

23.  本小题分
已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长．
如果是方程的一个根，试判断的形状，并说明理由；
如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

24.  本小题分
如图，在中，，是中线，，垂足为点，求证：．

25.  本小题分
为增强同学们的体质，丰富校园文化体育生活，富川县某校八年级举行了篮球比赛，比赛以循环赛的形式进行，即每个班级之间都要比赛一场，共比赛了场．
问该校八年级共有几个班？
篮球比赛胜一场得分，负一场得分，小奉同学所在的班要想获得不低于分的积分，至少要取得多少场胜利？

26.  本小题分
阅读材料：
材料：若一元二次方程的两个根为，，则
材料：已知实数，满足，，且，求的值．
解：由题意可知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料，得，．
所以．
根据上述材料解决下面的问题：
一元二次方程的两个根为，，则 ______ ， ______ ；
已知实数，满足，，且，求的值；
已知实数，满足，，且，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据算术平方根的定义解答即可．
此题考查了算术平方根．解题的关键是掌握算术平方根的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，，都不是正整数，故不是勾股数，不符合题意；
B、不是正整数，故不是勾股数，不符合题意；
C、，不能构成直角三角形，故不是勾股数，不符合题意；
D、，能构成直角三角形，故是勾股数，符合题意；
故选：．
根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数判定则可．
本题考查了勾股数的定义，注意：一组勾股数必须同时满足两个条件：三个数都是正整数；两个较小数的平方和等于最大数的平方．
 

3.【答案】 

【解析】解：关于的方程是一元二次方程，
，
，
故选：．
根据一元二次方程的定义判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：二次根式在实数范围内有意义，
，
解得．
故选：．
先根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
即，．
故选：．
先移项，再两边开平方即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：三角形的三边长分别为，，，符合勾股定理的逆定理，
此三角形为直角三角形，则为直角三角形的斜边，
设三角形最长边上的高是，
根据三角形的面积公式得：，
解得．
故选：．
先根据勾股定理的逆定理判定其形状，再根据三角形的面积公式求得其高．
本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．解答此题的关键是先判断出三角形的形状，也考查了三角形的面积．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，，

所以方程有两个不相等的实数根．
故选：．
计算出方程的根的判别式，只要得到根的判别式的符号，即可作出判断．
总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．
 

8.【答案】 

【解析】解：不能合并，故选项A错误，不符合题意；
，故选项B错误，不符合题意；
，故选项C正确，符合题意；
，故选项D错误，不符合题意；
故选：．
计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
则，即，
故选：．
将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，即可得．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
 

10.【答案】 

【解析】解：，是的平分线，
，，
在中，，，
，
，
故选：．
先利用等腰三角形的三线合一性质可得，，然后在中，利用勾股定理求出的长，进行计算即可解答．
本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：个位上的数字比十位上的数字小，且个位上的数字为，
十位上的数字为．
根据题意得：．
故选：．
由十位及个位数字间的关系，可得出十位上的数字为，结合个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小，即可列出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：一元二次方程有两个相等的实数根，
，
又，即，
代入得，
即，
．
故选：．
因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式，又，即，代入得，化简即可得到与的关系．
本题主要考查一元二次方程判别式与根的情况的判定，由条件到知和是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：的倒数是．
故答案为：．
由倒数的定义可得出．
本题考查了倒数的定义，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：在平面直角坐标系中，点到原点的距离为，
故答案为：．
点到原点的距离为点横坐标与纵坐标的平方和的算术平方根．
此题考查了勾股定理，以及坐标与图形的性质，勾股定理为：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，灵活运用勾股定理是解本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：是方程的一个根，
，


．
故答案为：．
因为是方程的一个根，所以，然后把代入即可．
本题考查了一元二次方程的解以及代数式求值，注意解题中的整体代入思想．
 

16.【答案】 

【解析】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是，
依题意得：，
整理得：，
解得：不合题意，舍去，．
故答案为：．
设这种植物每个支干长出的小分支个数是，根据主干、支干和小分支的总数是，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，，
解得：，，
．
故答案为：．
将已知等式变形，根据算术平方根和平方的非负性得出，，求出、的值，再代入所求式计算即可．
本题考查了解一元一次方程，算术平方根和完全平方公式等知识点，能得出关于、的方程是解此题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：该列数化为，，，，，，，
这列数第个数为：，
故答案为：．
根据题意可知：奇数项的符号为正，偶数项的符号为负，然后这列数化为带根号后，被开方数的规律是，，，，，，从而可判断该列数的第个数．
本题考查数字的变化，解题的关键是正确找出题中给出的规律，本题属于基础题型．
 

19.【答案】解：．

． 

【解析】先根据二次根式的性质，完全平方公式和二次根式的除法法则进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算和完全平方公式，能正确根据二次根式的运算性质进行计算是解此题的关键．
 

20.【答案】解：，
，
，
，；
，
，
，
，
或，
，． 

【解析】利用解一元二次方程公式法，进行计算即可解答；
利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
 

21.【答案】解：由折叠的性质可知，
四边形是矩形，
，
，
，
，
设，则，
，
，
解得：，
，
、的长分别为、． 

【解析】根据翻折的性质和勾股定理求出，设，则，再利用勾股定理列出方程求出的值，即可解决问题．
本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
 

22.【答案】解：原式

，
当时，原式． 

【解析】根据平方差公式、单项式乘多项式的运算法则、合并同类项法则把原式化简，把的值代入计算即可．
本题考查的是二次根式的化简求值，掌握平方差公式、单项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
 

23.【答案】解：是等腰三角形，
理由：是方程的根，
，
，
，
，
是等腰三角形；

如果是等边三角形，则，
原方程可化为：，
，
解得：，． 

【解析】把代入方程，整理后得出，求出，根据等腰三角形的判定得出即可；
根据等边三角形的性质得出，代入方程得出，再求出方程的解即可．
本题考查了等腰三角形的判定，等边三角形的性质，一元二次方程的解和解一元二次方程等知识点，能熟记等腰三角形的判定定理和等边三角形的性质是解此题的关键．
 

24.【答案】证明：于，
，
，
又，

，
又，
，
即． 

【解析】在直角三角形和中利用勾股定理可以得到，，然后得到；又在直角三角形中，，代入前面的式子中即可得出结论．
本题考查了勾股定理、三角形的中线；熟练掌握勾股定理，并能进行推理论证是解决问题的关键．
 

25.【答案】解：该校八年级共有个班，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：该校八年级共有个班；
设小奉同学所在的班胜了场，则负了场，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为．
答：小奉同学所在的班至少要取得场胜利． 

【解析】该校八年级共有个班，利用比赛的总场数该校八年级的班数该校八年级的班数，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
设小奉同学所在的班胜了场，则负了场，利用积分胜的场数负的场数，结合积分不低于分，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

26.【答案】   

【解析】解：在中，，，，
，．
故答案为：，；
，满足，，，
，可以看作的两个不等的实数根，
，，
；
由题意知与即为方程的两个不等的实数根，
，，
．
中，，，，则，．
由题意，可以看作的两个不等的实数根，由此可得结论；
由题意知与即为方程的两个不等的实数根，由此可得结论．
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学知识解决问题．