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2022-2023学年浙江省金华市七年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年浙江省金华市七年级（下）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省金华市七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本题共10小题，共30分）
1. 如图，直线a，b被直线l所截，∠1与∠2是一对( )
A. 同位角
B. 内错角
C. 对顶角
D. 同旁内角
2. 下列调查中，适用抽样调查的是( )
A. 某公司对职工进行健康检查 B. 疫情期间，对某单位员工进行体温检测
C. 了解当代青年的主要娱乐方式 D. 对乘坐飞机的乘客进行安检
3. 10月1日，小明在网络上查到了小区PM2.5的平均浓度为0.000042克/立方米，0.000042用科学记数法表示为( )
A. 4.2×10-4 B. 4.2×104 C. 4.2×10-5 D. 4.2×105
4. 若分式x2-x有意义，则x的值不能取( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
5. 下列运算正确的是( )
A. (3a)3=9a B. (a3)2=a6 C. a8÷a4=a2 D. a⋅a5=a5
6. 下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是( )
A. m2-4 B. -m2-4 C. m2+4 D. m2+m
7. 如图，已知∠1=85°，∠2=95°，∠3=86°，则∠4的度数为( )
A. 86° B. 88° C. 92° D. 94°
8. 已知x=2y=a是二元一次方程2x-3y=5的解，则a的值为( )
A. -1 B. 13 C. -13 D. 3
9. 如图在△ABC中，已知AB=8，点D、E分别在边AC、AB上，现将△ADE沿直线DE折叠，使点A恰好落在点F处，若将线段BC向左平移刚好可以与线段EF重合，连结CF，若2BC+CF=15，则BC-2CF的值为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
10. 定义：两个自然数的平方和加上这两个自然数乘积的两倍即可得到一个新的自然数，我们把这个新的自然数称为“完全数”.例如：22+32+2×2×3=25，其中“25”就是一个“完全数”，则任取两个自然数可得到小于200且不重复的“完全数”的个数有( )
A. 14个 B. 15个 C. 26个 D. 60个
二、填空题（本题共10小题，共30分）
11. 因式分解：m2+3m= ．
12. 如图，已知a//b，∠1=100°，则∠2= ______ 度.
13. 某校数学兴趣小组对收集到的60个数据进行整理、分组并绘制成一个扇形统计图，若某组数据的频数为15，则表示这组数据的扇形圆心角度数为______ 度.
14. 如图，点A，B在数轴上所对应的数分别为-3和aa-2，且点A，B到原点的距离相等，则a的值为______ ．
15. 已知2a=8b+1，则3a÷27b= ______ ．
16. 小明想玩一个折纸游戏，分以下三步进行：第一步，将长方形纸条ABCD向上翻折，记点C、D的对应点分别为C'、D'，折痕为EF，且C'E交AD于点G(如图1)；第二步，将四边形GFD'C'沿GF向下翻折，记C'、D'的对应点分别为C″、D″(如图2)；第三步，将长方形ABCD向下翻折，记A、B的对应点分别为A'、B'，折痕为HM(如图3)．
(1)若∠CEF=20°，则∠EFD″= ______ 度；
(2)若∠CFF=17°，则当A'H//C″G时，∠EMB'= ______ 度.
三、解答题（本题共8小题，共52分）
17. 计算：
(1)x2⋅x3-x5；
(2)(a+1)2+2a(a-1)．
18. 解下列方程(组)：
(1)x+2y=3x-4y=9；
(2)x+2x2-2x+1+3x-1=0．
19. 先化简，再求值：(4-3a)(1+2a)-3a(1-2a)，其中a=-12．
20. 某校为七年级学生提供了“篮球”、“绘画”、“编程”、“手工“四种课后服务项目，为了解学生最喜欢哪个项目，随机抽取了该校部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了如下两幅尚不完整的统计表和扇形统计图．
学生最喜欢的项目统计表
项目
篮球
绘画
编程
手工
人数(人)
18
12
a
b
根据以上信息回答下列问题：
(1)b= ______ ；
(2)“编程”项目所对应的扇形圆心角度数为______ 度；
(3)若该校学生有2000人，则最喜欢“绘画”项目的学生有多少人？
21. 如图，在△ABD中，点C是边BD上一点，点E是△ABD外一点，连结AC、AE、CE，使得CE//AB，且∠EAC=∠BAD．
(1)∠ACE与∠EAD相等吗？请说明理由；
(2)若AE//BD，∠BAC=2∠CAD，∠D=48°，求∠B的度数．
22. 某商铺准备在端午节前购进一批肉粽和蜜枣粽，已知肉粽的单价比蜜枣粽的单价多2.5元，且花300元购买的肉粽数刚好是花100元购买的蜜枣粽数的2倍．
(1)求肉粽和蜜枣粽的单价分别是多少元？
(2)若该商铺一次性购进100个蜜枣粽和200个肉粽，并分别以6元/个和10元/个的定价按以下方式销售：端午节前肉粽涨价10%，端午节后肉粽打九折，蜜枣粽的售价始终保持不变.若两种粽子全部售出后共获利570元，求端午节前肉粽售出的个数．
23. 完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2是多项式乘法中的重要公式之一，它经过适当变形可以解决很多数学问题．
例如：若a+b=2，ab=1，求a2+b2的值．
解：a2+b2=(a+b)2-2ab=22-2×1=2．
根据以上信息回答下列问题：
(1)若m+n=3，m2+n2=52，求mn的值；
(2)若a-2b=3，ab=1，求a2+4b2的值；
(3)如图，点E、F分别是正方形ABCD的边AD与AB上的点，以AE、AF为边在正方形内部作面积为8的长方形AFGE，再分别以FG、EG为边作正方形FGPH和正方形GRQE.若图中阴影部分的面积为20，求长方形AFGE的周长．
24. 佛堂古镇的万善浮桥，其夜晚的灯光秀美轮美奂，两岸景观照明还荣获了中国照明学会第十六届照明奖的一等奖.如图所示，记浮桥两岸所在直线分别为PQ、RS，且PQ//RS，浮桥上装有两种不同的激光灯A和激光灯B(假设PQ、RS以及由A、B两点发出的光射线始终在同一平面内).灯A的光射线以2度每秒的速度从射线AQ顺时针旋转至射线AP后继续回转，灯B的光射线以5度每秒的速度从射线BR顺时针旋转到射线BS后也继续回转.当打开激光灯的总开关时，激光灯A和激光灯B同时开始转动．
(1)若购买2盏灯A和4盏灯B共需10万元，购买3盏灯A和2盏灯B共需8.6万元，请问：购买灯A和灯B的单价分别是多少万元？
(2)打开总开关，当灯A的光射线第一次从射线AQ旋转至射线AP的过程中，求灯A和灯B的光射线恰好互相垂直时所需要的时间．
(3)如图，打开总开关，当灯B的光射线第一次从射线BR旋转至射线BS的过程中，若灯A和灯B的光射线有交点(记为点O)，延长BA至点E，作∠EAQ与∠ABO的角平分线并交于点F，求∠F与∠RBO的数量关系．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∠1和∠2是同位角，
故选：A．
根据同位角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同位角判断即可．
本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，能熟记同位角、内错角、同旁内角的定义的内容是解此题的关键，注意数形结合．
2.【答案】C
【解析】解：A.某公司对职工进行健康检查，适合全面调查，故本选项不合题意；
B.疫情期间，对某单位员工进行体温检测，适合全面调查，故本选项不合题意；
C.了解当代青年的主要娱乐方式，适合抽样调查，故本选项符合题意；
D.了对乘坐飞机的乘客进行安检，适合全面调查，故本选项不合题意；
故选：C．
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
3.【答案】C
【解析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10 -n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：0.000042=4.2×10-5．
故选：C．
4.【答案】B
【解析】解：要使分式x2-x有意义，必须
2-x≠0，
解得：x≠2，
故选：B．
根据分式有意义的条件得出2-x≠0，再求出答案即可．
本题考查了分式有意义的条件，能根据分式有意义的条件得出2-x≠0是解此题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：A、(3a)3=9a3，故A不符合题意；
B、(a3)2=a6，故B符合题意；
C、a8÷a4=a4，故C不符合题意；
D、a⋅a5=a6，故D不符合题意；
故选：B．
利用同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
6.【答案】A
【解析】解：m2-4=(m+2)(m-2)，它是利用平方差公式进行因式分解的，则A符合题意；
-m2-4=-(m2+4)，它是利用提公因式法进行因式分解的，则B不符合题意；
m2+4无法因式分解，则C不符合题意；
m2+m=m(m+1)，它是利用提公因式法进行因式分解的，则D不符合题意；
故选：A．
将各项因式分解后进行判断即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：如图，
∵∠1=85°，
∴∠5=85°，
∵∠2=95°，
∴∠5+∠2=180°，
∴l3//l4，
∴∠3+∠6=180°
∵∠3=86°，
∴∠6=∠4=94°．
故选：D．
先计算∠1+∠2=180°，则根据平行线的判定方法可判断l3//l4，然后根据平行线的性质可得到∠4的度数．
本题考查了平行线的判定与性质：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
8.【答案】C
【解析】解：将x=2y=a代入原方程得：2×2-3a=5，
解得：a=-13，
∴a的值为-13．
故选：C．
将x=2y=a代入原方程，可列出关于a的一元一次方程，解之即可求出a的值．
本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵将△ADE沿直线DE折叠，使点A恰好落在点F处，
∴AE=EF，
∵将线段BC向左平移刚好可以与线段EF重合，
∴BC=EF，BC//EF，
∴四边形EFCB是平行四边形，
∴CF=BE，
∵AB=8，
∴AE+BE=8，
∵2BC+CF=15，
∴BC+BC+CF=15，
∴BC+AE+BE=15，
∴BC=7，
∴CF=1
∴BC-2CF=7-2=5．
故选：B．
根据折叠的性质及平移的性质可知四边形EFCB是平行四边形，再根据平行四边形的性质可知CF=BE即可解答．
本题考查了折叠的性质，平移的性质，平行四边形的判定与性质，线段和差倍关系，掌握折叠的性质及平移的性质是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：设任取的两个自然数为a，b，
则可得到的“完全数”为：a2+b2+2ab=(a+b)2，
∵(a+b)2<200，且a+b为非负整数，
∴a+b可取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14．
∴任取两个自然数可得到小于200且不重复的“完全数”的个数有15个．
故选：B．
设任取的两个自然数为a，b，根据题意可得“完全数”为(a+b)2，再根据“完全数”小于200且a+b为非负整数即可求出共有15个．
本题考查因式分解的应用，设任取的自然数为a，b，表示出“完全数”后对这个式子因式分解是本题的关键．
11.【答案】m(m+3)
【解析】
【分析】
直接利用提取公因式法分解因式即可．
此题考查的是提公因式法分解因式，能够得到公因式是解决此题的关键．
【解答】
解：原式=m(m+3)．
故答案为：m(m+3)．
12.【答案】80
【解析】解：∵a//b，∠1=100°，
∴∠3=180°-100°=80°，
∴∠2=∠3=80°．
故答案为：80．
先根据平行线的性质得出∠3的度数，再根据对顶角相等即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
13.【答案】90
【解析】解：表示这组数据的扇形圆心角度数为360°×1560=90°，
故答案为：90．
用360°乘以这组数据频数占样本容量的比例即可．
本题主要考查频数分布直方图和扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数(单位1)，用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
14.【答案】3
【解析】解：由题意可得aa-2-3=0，
即aa-2=3，
解得：a=3，
经检验，a=3是分式方程的解，
即a的值为3．
故答案为：3．
由题意列得分式方程，解方程并检验即可．
本题考查数轴与实数的关系及解分式方程，由题意列得分式方程是解题的关键，特别注意解分式方程时必须进行检验．
15.【答案】27
【解析】解：∵2a=8b+1，
∴2a=23b+3，
∴a=3b+3，
则a-3b=3，
故3a÷27b=3a÷33b=3a-3b=33=27．
故答案为：27．
直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则计算，进而得出答案．
此题主要考查了同底数幂的除法运算以及幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．
16.【答案】120 34
【解析】解：(1)由翻折可知，
∠C'EF=∠CEF=20°．
又D'F//C'E，
∴∠C'EF+∠D'FE=180°．
∴∠D'FE=160°．
又AD//BC，
∴∠AFE=∠FEC=20°，
∴∠GFD'=160°-20°=140°．
又由第二次翻折，
得∠GFD''=∠GFD'=140°．
∴∠EFD'=140°-20°=120°．
故答案为：120．
(2)过程同第(1)题，可求得∠GFD'=146°．
又GC'//FD'，
∴∠GFD'+∠C'GF=180°．
∴∠C'GF=34°．
又A'H//C''G，AG//BE．
∴∠GHA'=∠C'GF=34°．
同理∠EMB'=∠GHA'=34°．
故答案为：34．
(1)根据翻折前后的两个图形全等，再结合平行线，可求出∠GFD'的度数，即∠GFD''的度数，最后减去∠GFE的度数即可．
(2)同第(1)的方法，可求出∠GFD''的度数，再由平行线可求得∠FGC''，最后利用平行线求得∠EMB'的度数．
本题考查了翻折的有关性质，主要利用翻折前后的对应角相等，以及将线平行转化为角相等来解决问题．
17.【答案】解：(1)x2⋅x3-x5
=x5-x5
=0；
(2)(a+1)2+2a(a-1)
=a2+2a+1+2a2-2a
=3a2+1．
【解析】(1)先算同底数幂的乘法，再合并同类项即可；
(2)先算完全平方，单项式乘多项式，再合并同类项即可．
本题主要考查完全平方公式，同底数幂的乘法，单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
18.【答案】解：(1)x+2y=3①x-4y=9②，
①-②得：6y=-6，
解得：y=-1，
将y=-1代入①得：x-2=3，
解得：x=5，
故原方程组的解为x=5y=-1；
(2)原分式方程变形为x+2(x-1)2+3x-1=0，
两边同乘(x-1)2，去分母得：x+2+3(x-1)=0，
去括号得：x+2+3x-3=0，
移项，合并同类项得：4x=1，
系数化为1得：x=14，
检验：将x=14代入(x-1)2得：(14-1)2=916≠0．
故原分式方程的解为：x=14．
【解析】(1)利用加减消元法解方程组即可；
(2)根据节分式方程的步骤解方程后进行检验即可．
本题考查解二元一次方程组及解分式方程，熟练掌握解方程组及分式方程的方法是解题的关键，特别注意解分式方程时必须进行检验．
19.【答案】解：(4-3a)(1+2a)-3a(1-2a)
=4+8a-3a-6a2-3a+6a2
=4+2a，
当a=-12时，原式=4+2×(-12)=4+(-1)=3．
【解析】先去括号，再合并同类项，然后把a的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算-化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】6 100.8
【解析】解：(1)由题意得，样本容量为：18÷36%=50，
故b=50×12%=6．
故答案为：6；
(2)a=50-12-18-6=14，
“编程”项目所对应的扇形圆心角度数为：360°×1450=100.8°，
故答案为：100.8；
(3)2000×1250=480(人)，
答：最喜欢“绘画”项目的学生大约有480人．
(1)用篮球的人数除以它所占百分比可得样本容量，再用样本容量乘手工所占百分比可得b的值；
(2)用360°乘编程所占百分比可得答案；
(3)用总人数乘样本中最喜欢“绘画”项目所占百分比即可．
本题考查扇形统计图及用样本估计总体，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小，其中用样本估计总体是统计的基本思想是解题关键．
21.【答案】解：(1)∠ACE=∠EAD，
理由：∵∠EAC=∠BAD，
∴∠EAC-∠CAD=∠BAD-∠CAD，
∴∠BAC=∠EAD，
∵CE//AB，
∴∠ACE=∠BAC，
∴∠ACE=∠EAD；
(2)∵AE//BD，
∴∠EAD=∠D=48°，
∵∠BAC=∠EAD，
∴∠BAC=∠EAD=48°，
∵∠BAC=2∠CAD，
∴∠CAD=12∠BAC=24°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=72°，
∴∠B=180°-∠D-∠BAD=60°，
∴∠B的度数为60°．
【解析】(1)根据等式的性质可得∠BAC=∠EAD，然后利用平行线的性质可得∠ACE=∠BAC，从而利用等量代换可得∠ACE=∠EAD，即可解答；
(2)根据平行线的性质可得∠EAD=∠D=48°，从而可得∠BAC=∠EAD=48°，进而根据已知可得∠CAD=12∠BAC=24°，然后利用角的和差关系可得∠BAD=72°，从而利用三角形内角和定理进行计算，即可解答．
本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设蜜枣粽的单价是x元，则肉粽的单价是(x+2.5)元，
由题意可得：300 x+2.5=2×100x，
解得：x=5，
经检验，x=5是原方程的解，且符合题意；
∴x+2.5=7.5元，
答：蜜枣粽的单价是5元，则肉粽的单价是7.5元；
(2)设端午节前肉粽售出的m个，则端午节后肉粽售出的(200-m)个，
由题意可得：(6-5)×100+(10+10×10%-7.5)m+(200-m)(0.9×10-7.5)=570，
解得：m=85，
答：端午节前肉粽售出的85个．
【解析】(1)设蜜枣粽的单价是x元，则肉粽的单价是(x+2.5)元，由花300元购买的肉粽数刚好是花100元购买的蜜枣粽数的2倍，列出方程，可求解；
(2)设端午节前肉粽售出的m个，则端午节后肉粽售出的(200-m)个，由两种粽子全部售出后共获利570元，列出方程可求解．
本题考查了分式方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵(m+n)2=m2+2mn+n2，
∴2mn=(m+n)2-(m2+n2)，
又∵m+n=3，m2+n2=52，
∴2mn=32-52=-16，
∴mn=-8，
(2)∵a-2b=3，
∴(a-2b)2=32，
∴a2-4ab+4b2=9，
∴a2+4b2=9+4ab，
∵ab=1，
∴a2+4b2=9+4ab=13，
(3)设AE=a，EG=b，
∵长方形AFGE的面积为8，
∴ab=8，
又∵四边形FGPH和GRQE均为正方形，且面积之和为20，
∴a2+b2=20，
∵(a+b)2=a2+b2+2ab，
∴(a+b)2=20+2×8=36，
∵a，b均为正数，
∴a+b=6，
∴长方形AFGE的周长为：2(a+b)=12．
【解析】(1)先由(m+n)2=m2+2mn+n2，得2mn=(m+n)2-(m2+n2)，再将m+n=3，m2+n2=52代入计算即可得出mn的值；
(2)先由a-2b=3得(a-2b)2=32，进而得a2+4b2=9+4ab，再将ab=1代入计算即可得出答案；
(3)设AE=a，EG=b，依题意可得ab=8，a2+b2=20，然后根据(a+b)2=a2+b2+2ab可求出a+b的值，进而可得长方形AFGE的周长．
此题主要考查了完全平方公式，解答此题的关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征．
24.【答案】(1)设购买灯A的单价是x万元，购买灯B的单价是y万元，根据题意得，
2x+4y=103x+2y=8.6，解得x=1.8y=1.6，
答：购买灯A的单价是1.8万元，购买灯B的单价是1.6万元；
(2)设灯A和灯B转动的时间是t秒，
当灯A的光射线第一次从射线AQ旋转至射线AP的过程中，0≤t≤90，
①如图1，灯B的光射线从射线BR第一次旋转到射线BS，即0≤t≤36时，
∵PQ//RS，
∴∠QAM=∠AMR=2t°，
∵AM⊥BN，∠MBN=180°-∠RBN=180°-5t°，
∴∠MBN+∠AMR=90°，
即180°-5t°+2t°=90°，解得t=30；
②如图2，灯B的光射线从射线BS旋转回到射线BR，即36
∴∠AMB+∠QAM=180°，
∴∠AMB=180°-∠QAM=180°-2t°，
∵∠MBN=180°-(5t°-180°)=360°-5t°，AM⊥BN，
∴∠AMB+∠MBN=90°，
即180°-2t°+(360°-5t°)=90°，解得t=4507；
③如图3，灯B的光射线从射线BR第二次旋转到射线BS，即72
∴∠AMB+∠QAM=180°，
∴∠AMB=180°-∠QAM=180°-2t°，
∵∠MBN=5t°-360°，AM⊥BN，
∴∠AMB+∠MBN=90°，
即180°-2t°+(5t°-360°)=90°，解得t=90，
∵0≤t≤90，
∴t=30，t=4507，t=90，都符合题意．
综上所述，当灯A和灯B的光射线恰好互相垂直时所需要的时间为30秒或4507秒或90秒；
(3)∵∠EAF是△ABF的外角，
∴∠F=∠EAF-∠ABF，
∵AF平分∠EAQ，BF平分∠ABO，
∴∠EAF=12∠EAQ，∠ABF=12∠ABO，
∵PQ//RS，
∴∠EAQ=∠ABS，
∵∠ABS=180°-∠ABR，
∴∠F=∠EAF-∠ABF=12(180°-∠ABR)-12∠ABO=12(180°-∠ABR-∠ABO)=12(180°-∠RBO)=90°-12∠RBO，
即∠F+12∠RBO=90°．
【解析】(1)设购买灯A的单价是x万元，购买灯B的单价是y万元，根据题意得等量关系式为：2×灯A的单价+4×灯B的单价=10万元，3×灯A的单价+2×灯B的单价=8.6万元，列出方程组求解即可；
(2)设灯A和灯B转动的时间是t秒，当灯A的光射线第一次从射线AQ旋转至射线AP的过程中，0≤t≤90，分类讨论：①灯B的光射线从射线BR第一次旋转到射线BS，即0≤t≤36时，②灯B的光射线从射线BS旋转回到射线BR，即36
本题主要考查了平行线的性质，二元一次方程组的应用，角平分线的定义，三角形外角的性质，利用分类讨论思想和方程思想解决问题是解题关键．
2022-2023学年浙江省金华市七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本题共10小题，共30分）
1. 如图，直线a，b被直线l所截，∠1与∠2是一对( )
A. 同位角
B. 内错角
C. 对顶角
D. 同旁内角
2. 下列调查中，适用抽样调查的是( )
A. 某公司对职工进行健康检查 B. 疫情期间，对某单位员工进行体温检测
C. 了解当代青年的主要娱乐方式 D. 对乘坐飞机的乘客进行安检
3. 10月1日，小明在网络上查到了小区PM2.5的平均浓度为0.000042克/立方米，0.000042用科学记数法表示为( )
A. 4.2×10-4 B. 4.2×104 C. 4.2×10-5 D. 4.2×105
4. 若分式x2-x有意义，则x的值不能取( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
5. 下列运算正确的是( )
A. (3a)3=9a B. (a3)2=a6 C. a8÷a4=a2 D. a⋅a5=a5
6. 下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是( )
A. m2-4 B. -m2-4 C. m2+4 D. m2+m
7. 如图，已知∠1=85°，∠2=95°，∠3=86°，则∠4的度数为( )
A. 86° B. 88° C. 92° D. 94°
8. 已知x=2y=a是二元一次方程2x-3y=5的解，则a的值为( )
A. -1 B. 13 C. -13 D. 3
9. 如图在△ABC中，已知AB=8，点D、E分别在边AC、AB上，现将△ADE沿直线DE折叠，使点A恰好落在点F处，若将线段BC向左平移刚好可以与线段EF重合，连结CF，若2BC+CF=15，则BC-2CF的值为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
10. 定义：两个自然数的平方和加上这两个自然数乘积的两倍即可得到一个新的自然数，我们把这个新的自然数称为“完全数”.例如：22+32+2×2×3=25，其中“25”就是一个“完全数”，则任取两个自然数可得到小于200且不重复的“完全数”的个数有( )
A. 14个 B. 15个 C. 26个 D. 60个
二、填空题（本题共10小题，共30分）
11. 因式分解：m2+3m= ．
12. 如图，已知a//b，∠1=100°，则∠2= ______ 度.
13. 某校数学兴趣小组对收集到的60个数据进行整理、分组并绘制成一个扇形统计图，若某组数据的频数为15，则表示这组数据的扇形圆心角度数为______ 度.
14. 如图，点A，B在数轴上所对应的数分别为-3和aa-2，且点A，B到原点的距离相等，则a的值为______ ．
15. 已知2a=8b+1，则3a÷27b= ______ ．
16. 小明想玩一个折纸游戏，分以下三步进行：第一步，将长方形纸条ABCD向上翻折，记点C、D的对应点分别为C'、D'，折痕为EF，且C'E交AD于点G(如图1)；第二步，将四边形GFD'C'沿GF向下翻折，记C'、D'的对应点分别为C″、D″(如图2)；第三步，将长方形ABCD向下翻折，记A、B的对应点分别为A'、B'，折痕为HM(如图3)．
(1)若∠CEF=20°，则∠EFD″= ______ 度；
(2)若∠CFF=17°，则当A'H//C″G时，∠EMB'= ______ 度.
三、解答题（本题共8小题，共52分）
17. 计算：
(1)x2⋅x3-x5；
(2)(a+1)2+2a(a-1)．
18. 解下列方程(组)：
(1)x+2y=3x-4y=9；
(2)x+2x2-2x+1+3x-1=0．
19. 先化简，再求值：(4-3a)(1+2a)-3a(1-2a)，其中a=-12．
20. 某校为七年级学生提供了“篮球”、“绘画”、“编程”、“手工“四种课后服务项目，为了解学生最喜欢哪个项目，随机抽取了该校部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了如下两幅尚不完整的统计表和扇形统计图．
学生最喜欢的项目统计表
项目
篮球
绘画
编程
手工
人数(人)
18
12
a
b
根据以上信息回答下列问题：
(1)b= ______ ；
(2)“编程”项目所对应的扇形圆心角度数为______ 度；
(3)若该校学生有2000人，则最喜欢“绘画”项目的学生有多少人？
21. 如图，在△ABD中，点C是边BD上一点，点E是△ABD外一点，连结AC、AE、CE，使得CE//AB，且∠EAC=∠BAD．
(1)∠ACE与∠EAD相等吗？请说明理由；
(2)若AE//BD，∠BAC=2∠CAD，∠D=48°，求∠B的度数．
22. 某商铺准备在端午节前购进一批肉粽和蜜枣粽，已知肉粽的单价比蜜枣粽的单价多2.5元，且花300元购买的肉粽数刚好是花100元购买的蜜枣粽数的2倍．
(1)求肉粽和蜜枣粽的单价分别是多少元？
(2)若该商铺一次性购进100个蜜枣粽和200个肉粽，并分别以6元/个和10元/个的定价按以下方式销售：端午节前肉粽涨价10%，端午节后肉粽打九折，蜜枣粽的售价始终保持不变.若两种粽子全部售出后共获利570元，求端午节前肉粽售出的个数．
23. 完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2是多项式乘法中的重要公式之一，它经过适当变形可以解决很多数学问题．
例如：若a+b=2，ab=1，求a2+b2的值．
解：a2+b2=(a+b)2-2ab=22-2×1=2．
根据以上信息回答下列问题：
(1)若m+n=3，m2+n2=52，求mn的值；
(2)若a-2b=3，ab=1，求a2+4b2的值；
(3)如图，点E、F分别是正方形ABCD的边AD与AB上的点，以AE、AF为边在正方形内部作面积为8的长方形AFGE，再分别以FG、EG为边作正方形FGPH和正方形GRQE.若图中阴影部分的面积为20，求长方形AFGE的周长．
24. 佛堂古镇的万善浮桥，其夜晚的灯光秀美轮美奂，两岸景观照明还荣获了中国照明学会第十六届照明奖的一等奖.如图所示，记浮桥两岸所在直线分别为PQ、RS，且PQ//RS，浮桥上装有两种不同的激光灯A和激光灯B(假设PQ、RS以及由A、B两点发出的光射线始终在同一平面内).灯A的光射线以2度每秒的速度从射线AQ顺时针旋转至射线AP后继续回转，灯B的光射线以5度每秒的速度从射线BR顺时针旋转到射线BS后也继续回转.当打开激光灯的总开关时，激光灯A和激光灯B同时开始转动．
(1)若购买2盏灯A和4盏灯B共需10万元，购买3盏灯A和2盏灯B共需8.6万元，请问：购买灯A和灯B的单价分别是多少万元？
(2)打开总开关，当灯A的光射线第一次从射线AQ旋转至射线AP的过程中，求灯A和灯B的光射线恰好互相垂直时所需要的时间．
(3)如图，打开总开关，当灯B的光射线第一次从射线BR旋转至射线BS的过程中，若灯A和灯B的光射线有交点(记为点O)，延长BA至点E，作∠EAQ与∠ABO的角平分线并交于点F，求∠F与∠RBO的数量关系．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∠1和∠2是同位角，
故选：A．
根据同位角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同位角判断即可．
本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，能熟记同位角、内错角、同旁内角的定义的内容是解此题的关键，注意数形结合．
2.【答案】C
【解析】解：A.某公司对职工进行健康检查，适合全面调查，故本选项不合题意；
B.疫情期间，对某单位员工进行体温检测，适合全面调查，故本选项不合题意；
C.了解当代青年的主要娱乐方式，适合抽样调查，故本选项符合题意；
D.了对乘坐飞机的乘客进行安检，适合全面调查，故本选项不合题意；
故选：C．
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
3.【答案】C
【解析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10 -n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：0.000042=4.2×10-5．
故选：C．
4.【答案】B
【解析】解：要使分式x2-x有意义，必须
2-x≠0，
解得：x≠2，
故选：B．
根据分式有意义的条件得出2-x≠0，再求出答案即可．
本题考查了分式有意义的条件，能根据分式有意义的条件得出2-x≠0是解此题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：A、(3a)3=9a3，故A不符合题意；
B、(a3)2=a6，故B符合题意；
C、a8÷a4=a4，故C不符合题意；
D、a⋅a5=a6，故D不符合题意；
故选：B．
利用同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
6.【答案】A
【解析】解：m2-4=(m+2)(m-2)，它是利用平方差公式进行因式分解的，则A符合题意；
-m2-4=-(m2+4)，它是利用提公因式法进行因式分解的，则B不符合题意；
m2+4无法因式分解，则C不符合题意；
m2+m=m(m+1)，它是利用提公因式法进行因式分解的，则D不符合题意；
故选：A．
将各项因式分解后进行判断即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：如图，
∵∠1=85°，
∴∠5=85°，
∵∠2=95°，
∴∠5+∠2=180°，
∴l3//l4，
∴∠3+∠6=180°
∵∠3=86°，
∴∠6=∠4=94°．
故选：D．
先计算∠1+∠2=180°，则根据平行线的判定方法可判断l3//l4，然后根据平行线的性质可得到∠4的度数．
本题考查了平行线的判定与性质：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
8.【答案】C
【解析】解：将x=2y=a代入原方程得：2×2-3a=5，
解得：a=-13，
∴a的值为-13．
故选：C．
将x=2y=a代入原方程，可列出关于a的一元一次方程，解之即可求出a的值．
本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵将△ADE沿直线DE折叠，使点A恰好落在点F处，
∴AE=EF，
∵将线段BC向左平移刚好可以与线段EF重合，
∴BC=EF，BC//EF，
∴四边形EFCB是平行四边形，
∴CF=BE，
∵AB=8，
∴AE+BE=8，
∵2BC+CF=15，
∴BC+BC+CF=15，
∴BC+AE+BE=15，
∴BC=7，
∴CF=1
∴BC-2CF=7-2=5．
故选：B．
根据折叠的性质及平移的性质可知四边形EFCB是平行四边形，再根据平行四边形的性质可知CF=BE即可解答．
本题考查了折叠的性质，平移的性质，平行四边形的判定与性质，线段和差倍关系，掌握折叠的性质及平移的性质是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：设任取的两个自然数为a，b，
则可得到的“完全数”为：a2+b2+2ab=(a+b)2，
∵(a+b)2<200，且a+b为非负整数，
∴a+b可取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14．
∴任取两个自然数可得到小于200且不重复的“完全数”的个数有15个．
故选：B．
设任取的两个自然数为a，b，根据题意可得“完全数”为(a+b)2，再根据“完全数”小于200且a+b为非负整数即可求出共有15个．
本题考查因式分解的应用，设任取的自然数为a，b，表示出“完全数”后对这个式子因式分解是本题的关键．
11.【答案】m(m+3)
【解析】
【分析】
直接利用提取公因式法分解因式即可．
此题考查的是提公因式法分解因式，能够得到公因式是解决此题的关键．
【解答】
解：原式=m(m+3)．
故答案为：m(m+3)．
12.【答案】80
【解析】解：∵a//b，∠1=100°，
∴∠3=180°-100°=80°，
∴∠2=∠3=80°．
故答案为：80．
先根据平行线的性质得出∠3的度数，再根据对顶角相等即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
13.【答案】90
【解析】解：表示这组数据的扇形圆心角度数为360°×1560=90°，
故答案为：90．
用360°乘以这组数据频数占样本容量的比例即可．
本题主要考查频数分布直方图和扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数(单位1)，用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
14.【答案】3
【解析】解：由题意可得aa-2-3=0，
即aa-2=3，
解得：a=3，
经检验，a=3是分式方程的解，
即a的值为3．
故答案为：3．
由题意列得分式方程，解方程并检验即可．
本题考查数轴与实数的关系及解分式方程，由题意列得分式方程是解题的关键，特别注意解分式方程时必须进行检验．
15.【答案】27
【解析】解：∵2a=8b+1，
∴2a=23b+3，
∴a=3b+3，
则a-3b=3，
故3a÷27b=3a÷33b=3a-3b=33=27．
故答案为：27．
直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则计算，进而得出答案．
此题主要考查了同底数幂的除法运算以及幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．
16.【答案】120 34
【解析】解：(1)由翻折可知，
∠C'EF=∠CEF=20°．
又D'F//C'E，
∴∠C'EF+∠D'FE=180°．
∴∠D'FE=160°．
又AD//BC，
∴∠AFE=∠FEC=20°，
∴∠GFD'=160°-20°=140°．
又由第二次翻折，
得∠GFD''=∠GFD'=140°．
∴∠EFD'=140°-20°=120°．
故答案为：120．
(2)过程同第(1)题，可求得∠GFD'=146°．
又GC'//FD'，
∴∠GFD'+∠C'GF=180°．
∴∠C'GF=34°．
又A'H//C''G，AG//BE．
∴∠GHA'=∠C'GF=34°．
同理∠EMB'=∠GHA'=34°．
故答案为：34．
(1)根据翻折前后的两个图形全等，再结合平行线，可求出∠GFD'的度数，即∠GFD''的度数，最后减去∠GFE的度数即可．
(2)同第(1)的方法，可求出∠GFD''的度数，再由平行线可求得∠FGC''，最后利用平行线求得∠EMB'的度数．
本题考查了翻折的有关性质，主要利用翻折前后的对应角相等，以及将线平行转化为角相等来解决问题．
17.【答案】解：(1)x2⋅x3-x5
=x5-x5
=0；
(2)(a+1)2+2a(a-1)
=a2+2a+1+2a2-2a
=3a2+1．
【解析】(1)先算同底数幂的乘法，再合并同类项即可；
(2)先算完全平方，单项式乘多项式，再合并同类项即可．
本题主要考查完全平方公式，同底数幂的乘法，单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
18.【答案】解：(1)x+2y=3①x-4y=9②，
①-②得：6y=-6，
解得：y=-1，
将y=-1代入①得：x-2=3，
解得：x=5，
故原方程组的解为x=5y=-1；
(2)原分式方程变形为x+2(x-1)2+3x-1=0，
两边同乘(x-1)2，去分母得：x+2+3(x-1)=0，
去括号得：x+2+3x-3=0，
移项，合并同类项得：4x=1，
系数化为1得：x=14，
检验：将x=14代入(x-1)2得：(14-1)2=916≠0．
故原分式方程的解为：x=14．
【解析】(1)利用加减消元法解方程组即可；
(2)根据节分式方程的步骤解方程后进行检验即可．
本题考查解二元一次方程组及解分式方程，熟练掌握解方程组及分式方程的方法是解题的关键，特别注意解分式方程时必须进行检验．
19.【答案】解：(4-3a)(1+2a)-3a(1-2a)
=4+8a-3a-6a2-3a+6a2
=4+2a，
当a=-12时，原式=4+2×(-12)=4+(-1)=3．
【解析】先去括号，再合并同类项，然后把a的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算-化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】6 100.8
【解析】解：(1)由题意得，样本容量为：18÷36%=50，
故b=50×12%=6．
故答案为：6；
(2)a=50-12-18-6=14，
“编程”项目所对应的扇形圆心角度数为：360°×1450=100.8°，
故答案为：100.8；
(3)2000×1250=480(人)，
答：最喜欢“绘画”项目的学生大约有480人．
(1)用篮球的人数除以它所占百分比可得样本容量，再用样本容量乘手工所占百分比可得b的值；
(2)用360°乘编程所占百分比可得答案；
(3)用总人数乘样本中最喜欢“绘画”项目所占百分比即可．
本题考查扇形统计图及用样本估计总体，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小，其中用样本估计总体是统计的基本思想是解题关键．
21.【答案】解：(1)∠ACE=∠EAD，
理由：∵∠EAC=∠BAD，
∴∠EAC-∠CAD=∠BAD-∠CAD，
∴∠BAC=∠EAD，
∵CE//AB，
∴∠ACE=∠BAC，
∴∠ACE=∠EAD；
(2)∵AE//BD，
∴∠EAD=∠D=48°，
∵∠BAC=∠EAD，
∴∠BAC=∠EAD=48°，
∵∠BAC=2∠CAD，
∴∠CAD=12∠BAC=24°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=72°，
∴∠B=180°-∠D-∠BAD=60°，
∴∠B的度数为60°．
【解析】(1)根据等式的性质可得∠BAC=∠EAD，然后利用平行线的性质可得∠ACE=∠BAC，从而利用等量代换可得∠ACE=∠EAD，即可解答；
(2)根据平行线的性质可得∠EAD=∠D=48°，从而可得∠BAC=∠EAD=48°，进而根据已知可得∠CAD=12∠BAC=24°，然后利用角的和差关系可得∠BAD=72°，从而利用三角形内角和定理进行计算，即可解答．
本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设蜜枣粽的单价是x元，则肉粽的单价是(x+2.5)元，
由题意可得：300 x+2.5=2×100x，
解得：x=5，
经检验，x=5是原方程的解，且符合题意；
∴x+2.5=7.5元，
答：蜜枣粽的单价是5元，则肉粽的单价是7.5元；
(2)设端午节前肉粽售出的m个，则端午节后肉粽售出的(200-m)个，
由题意可得：(6-5)×100+(10+10×10%-7.5)m+(200-m)(0.9×10-7.5)=570，
解得：m=85，
答：端午节前肉粽售出的85个．
【解析】(1)设蜜枣粽的单价是x元，则肉粽的单价是(x+2.5)元，由花300元购买的肉粽数刚好是花100元购买的蜜枣粽数的2倍，列出方程，可求解；
(2)设端午节前肉粽售出的m个，则端午节后肉粽售出的(200-m)个，由两种粽子全部售出后共获利570元，列出方程可求解．
本题考查了分式方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵(m+n)2=m2+2mn+n2，
∴2mn=(m+n)2-(m2+n2)，
又∵m+n=3，m2+n2=52，
∴2mn=32-52=-16，
∴mn=-8，
(2)∵a-2b=3，
∴(a-2b)2=32，
∴a2-4ab+4b2=9，
∴a2+4b2=9+4ab，
∵ab=1，
∴a2+4b2=9+4ab=13，
(3)设AE=a，EG=b，
∵长方形AFGE的面积为8，
∴ab=8，
又∵四边形FGPH和GRQE均为正方形，且面积之和为20，
∴a2+b2=20，
∵(a+b)2=a2+b2+2ab，
∴(a+b)2=20+2×8=36，
∵a，b均为正数，
∴a+b=6，
∴长方形AFGE的周长为：2(a+b)=12．
【解析】(1)先由(m+n)2=m2+2mn+n2，得2mn=(m+n)2-(m2+n2)，再将m+n=3，m2+n2=52代入计算即可得出mn的值；
(2)先由a-2b=3得(a-2b)2=32，进而得a2+4b2=9+4ab，再将ab=1代入计算即可得出答案；
(3)设AE=a，EG=b，依题意可得ab=8，a2+b2=20，然后根据(a+b)2=a2+b2+2ab可求出a+b的值，进而可得长方形AFGE的周长．
此题主要考查了完全平方公式，解答此题的关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征．
24.【答案】(1)设购买灯A的单价是x万元，购买灯B的单价是y万元，根据题意得，
2x+4y=103x+2y=8.6，解得x=1.8y=1.6，
答：购买灯A的单价是1.8万元，购买灯B的单价是1.6万元；
(2)设灯A和灯B转动的时间是t秒，
当灯A的光射线第一次从射线AQ旋转至射线AP的过程中，0≤t≤90，
①如图1，灯B的光射线从射线BR第一次旋转到射线BS，即0≤t≤36时，
∵PQ//RS，
∴∠QAM=∠AMR=2t°，
∵AM⊥BN，∠MBN=180°-∠RBN=180°-5t°，
∴∠MBN+∠AMR=90°，
即180°-5t°+2t°=90°，解得t=30；
②如图2，灯B的光射线从射线BS旋转回到射线BR，即36
∴∠AMB+∠QAM=180°，
∴∠AMB=180°-∠QAM=180°-2t°，
∵∠MBN=180°-(5t°-180°)=360°-5t°，AM⊥BN，
∴∠AMB+∠MBN=90°，
即180°-2t°+(360°-5t°)=90°，解得t=4507；
③如图3，灯B的光射线从射线BR第二次旋转到射线BS，即72
∴∠AMB+∠QAM=180°，
∴∠AMB=180°-∠QAM=180°-2t°，
∵∠MBN=5t°-360°，AM⊥BN，
∴∠AMB+∠MBN=90°，
即180°-2t°+(5t°-360°)=90°，解得t=90，
∵0≤t≤90，
∴t=30，t=4507，t=90，都符合题意．
综上所述，当灯A和灯B的光射线恰好互相垂直时所需要的时间为30秒或4507秒或90秒；
(3)∵∠EAF是△ABF的外角，
∴∠F=∠EAF-∠ABF，
∵AF平分∠EAQ，BF平分∠ABO，
∴∠EAF=12∠EAQ，∠ABF=12∠ABO，
∵PQ//RS，
∴∠EAQ=∠ABS，
∵∠ABS=180°-∠ABR，
∴∠F=∠EAF-∠ABF=12(180°-∠ABR)-12∠ABO=12(180°-∠ABR-∠ABO)=12(180°-∠RBO)=90°-12∠RBO，
即∠F+12∠RBO=90°．
【解析】(1)设购买灯A的单价是x万元，购买灯B的单价是y万元，根据题意得等量关系式为：2×灯A的单价+4×灯B的单价=10万元，3×灯A的单价+2×灯B的单价=8.6万元，列出方程组求解即可；
(2)设灯A和灯B转动的时间是t秒，当灯A的光射线第一次从射线AQ旋转至射线AP的过程中，0≤t≤90，分类讨论：①灯B的光射线从射线BR第一次旋转到射线BS，即0≤t≤36时，②灯B的光射线从射线BS旋转回到射线BR，即36
本题主要考查了平行线的性质，二元一次方程组的应用，角平分线的定义，三角形外角的性质，利用分类讨论思想和方程思想解决问题是解题关键．
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