2022-2023学年河南省安阳市重点学校八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年河南省安阳市重点学校八年级（下）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年河南省安阳市重点学校八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列四组线段中，能组成直角三角形的是(    )
A. 3，4，5 B. 2，3，4 C. 6，8，11 D. 7，23，25
2. 下列计算正确的是(    )
A. 3+ 5= 8 B. (−π)2=π
C. 8=4 D. 3 2×5 2=15 2
3. 函数y= x+2x−1中，自变量x的取值范围是(    )
A. x>−2且x≠1 B. x≥2且x≠1 C. x≥−2且x≠1 D. x≠1
4. 函数①y=5x；②y=2x−1；③y=−3x；④y=13x+3；⑤y=x2−2x+1，是一次函数的有(    )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5. 已知一次函数y=kx−1，若y随x的增大而减小，则它的图象经过(    )
A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限
6. 已知一次函数y=3x−5与x轴，y轴分别交于点A，B，则△AOB的面积为(    )
A. 253 B. 2512 C. 256 D. 2524
7. 一次函数y1=kx+b和y2=2x的图象如图所示，则kx+b≥2x的解集是(    )

A. x≥1 B. x≤2 C. x<1 D. x≤1
8. 如图是一个瓶子盛入某种液体时，总质量y(kg)与所盛液体体积x(L)的关系图象，请根据图象所提供信息计算空瓶子的质量(    )
A. 0.5kg
B. 1kg
C. 1.5kg
D. 2kg
9. 如图，在矩形纸片ABCD中，已知AD=8，AB=6.折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，则EF的长为(    )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
10. 甲、乙两人从A地出发去B地，甲先出发，中途休息片刻后继续以原速前进，随后乙骑自行车出发.如图，l1，l2分别表示甲与乙的路程y(千米)随时间x(分钟)变化的图象.下列结论不正确的是(    )

A. 甲的速度是0.1千米/分钟 B. 乙的速度是0.3千米/分钟
C. 甲在出发19分钟后与乙相遇 D. 乙比甲早到10分钟
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 任写一个“图象经过点(1,3)的一次函数”的解析式为______ ．
12. 如图，在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，连接CD，若BC=6，AC=8，则CD的长______ ．


13. 将直线y=2x−4的图象向上平移3个单位长度后，所得的直线的解析式是______．
14. 已知函数y=(k−4)x|k−3|+3是一次函数，则k的值为______ ．
15. 如图，直线AB的解析式为y=−x+4，分别与x轴，y轴交于A，B两点，过点B的直线交x轴负半轴于点C，且OB：OC=4：1.若在x轴上方存在点D，使以A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，则点D的坐标为______ ．


三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题10.0分)
(1)计算： 48−( 8+ 18)− 27；
(2)计算：− 2×(2 2− 6)+ 48÷ 3．
17. (本小题9.0分)
已知一次函数y=(k+2)x−2k2+8的图象经过原点．
(1)求该函数的解析式；
(2)判断点(5,15)是否在该函数图象上；
(3)该函数图象上有M(x1,y1)，N(x2,y2)两点，且满足x1>x2，试比较y1，y2的大小．
18. (本小题9.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，AB>AD．
(1)尺规作图：作∠DAB的平分线AE，交DC边于点E(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)的条件下，作EF//AD交AB于点F，请判断四边形AFED的形状，并说明理由．

19. (本小题9.0分)
已知y是关于x的一次函数，点(−1,−2)，(1,10)在函数图象上．
(1)求该函数的解析式；
(2)当x=3时，求y的值；
(3)当y>0时，求x的取值范围．
20. (本小题9.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=3x+4交y轴于点C，直线y=−x+b交x轴于点B(2,0)，交直线y=3x+4于点M．
(1)求点M的坐标；
(2)连接OM，求△MOC的面积．

21. (本小题9.0分)
开学之际，某文具店老板选购A，B两种型号的笔记本，B型号的进货单价是A型号进货单价的2倍，考虑各种因素，购进B型号笔记本的数量y(个)与A型号笔记本的数量x(个)之间满足一次函数关系，其对应值如表所示.当购进的A，B两种型号的笔记本中，A型号有50个时，购进A，B型号笔记本共需8250元．
A型号笔记本的数量x/个
250
200
150
100
B型号笔记本的数量y/个
50
100
150
200
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)求A，B两种型号的笔记本进货单价．
22. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，函数y=−12x+4的图象分别与x轴，y轴交于点B，C，且与直线y=13x交于点A．
(1)求点A，B，C的坐标；
(2)在x轴上方是否存在点P，使以O，A，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

23. (本小题10.0分)
问题探究：
(1)如图1，M，N分别是正方形ABCD的边BC，CD上的动点，∠MAN=45°，DN=2，BM=3，求MN的长；
深入探究：
(2)若把(1)中的条件改为5DN=CD=5，∠DAM=∠AMN，求MN的长；
类比探究：
(3)在(2)的条件下，如图2，当点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD的延长线上时，请直接写出MN的长度．


答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：A、∵32+42=25，52=25，
∴32+42=52，
∴能组成直角三角形，
故A符合题意；
B、∵32+22=13，42=16，
∴32+22≠42，
∴不能组成直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵62+82=100，112=121，
∴62+82≠112，
∴不能组成直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵72+232=578，252=625，
∴72+232≠252，
∴不能组成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：A．
根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．

2.【答案】B 
【解析】解：A． 3与 5不能合并，所以A选项不符合题意；
B. (−π)2=π，所以B选项符合题意；
C. 8= 4×2= 4× 2=2 2，所以C选项不符合题意；
D.3 2×5 2=15×2=30，所以D选项不符合题意；
故选：B．
根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的性质对B选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对C、D选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．

3.【答案】C 
【解析】解：根据题意得：x+2≥0x−1≠0，
解得：x≥−2且x≠1．
故选C．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不为0，列不等式组可求得自变量x的取值范围．
本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

4.【答案】C 
【解析】解：①y=5x；②y=2x−1；③y=−3x；④y=13x+3；⑤y=x2−2x+1，其中，是一次函数的有：①y=5x；②y=−2x−1；④y=13x+3共3个．
故选：C．
直接利用一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b(k≠0,k、b是常数)的函数，进而判断得出答案．
此题主要考查了一次函数的定义，正确把握一次函数的定义是解题关键．

5.【答案】D 
【解析】解：∵一次函数y=kx−1中，y随x的增大而减小，
∴k<0，
∴此函数图象必过二、四象限；
∵b=−1<0，
∴此函数图象与y轴相交于负半轴，
∴此函数图象经过二、三、四象限．
故选：D．
先根据一次函数y=kx−1中，y随x的增大而减小判断出k的符号，再根据一次函数的性质判断出此函数的图象所经过的象限，进而可得出结论．
本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b(k≠0)中，当k<0时，此函数图象经过二、四象限；当b<0时，此函数图象交y轴于负半轴．

6.【答案】C 
【解析】解：当y=0时，3x−5=0，
解得：x=53，
∴点A的坐标为(53,0)，
∴OA=53；
当x=0时，y=3×0−5=−5，
∴点B的坐标为(0,−5)，
∴OB=5，
∴△AOB的面积为12OA⋅OB=12×53×5=256．
故选：C．
利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B的坐标，进而可得出OA，OB的长，再利用三角形的面积公式，即可求出△AOB的面积．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征及三角形的面积，求出△AOB的面积是解题的关键．

7.【答案】D 
【解析】解：当x≤1时，kx+b≥2x，
所以不等式kx+b≥2x的解集为x≤1．
故选：D．
利用函数图象，写出直线y=2x在直线y=kx+b的下方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．

8.【答案】C 
【解析】解：设总质量y(kg)与所盛液体体积x(L)之间的函数关系式为y=kx+b，
将点(1,2)，(5,4)代入，得k+b=25k+b=4，
解得：k=12b=32，
∴y=12x+32，
令x=0，得y=32，
∴空瓶子的质量为32(即1.5)kg．
故选：C．
由图可设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，利用待定系数法求得y=12x+32，当x=0，即瓶中液体质量为0时，此时y表示空瓶的质量，将x=0代入计算即可．
本题主要考查一次函数的应用，利用待定系数法正确求一次函数解析式，理解题中变量的实际意义是解题关键．

9.【答案】A 
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，AD=8，AB=6，
∴BC=AD=8，∠B=90°，
∴AC= AB2+BC2= 62+82=10，
由折叠得EF=EB，∠AFE=∠B=90°，
∴CE=8−EB=8−EF，EF⊥AC，AB⊥CE，
∵12AC⋅EF=12CE⋅AB=S△ACE，
∴12×10EF=12×6(8−EF)，
解得EF=3，
故选：A．
由矩形的性质得BC=AD=8，∠B=90°，则AC= AB2+BC2=10，由折叠得EF=EB，∠AFE=∠B=90°，则CE=8−EB=8−EF，即可由12×10EF=12×6(8−EF)=S△ACE求出EF的长，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、三角形的面积公式、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，根据12AC⋅EF=12CE⋅AB=S△ACE正确地列出方程是解题的关键．

10.【答案】C 
【解析】解：∵1÷10=0.1(千米/分钟)，
∴甲的速度是0.1千米/分钟，故A正确，不符合题意；
∵3÷(23−13)=0.3(千米/分钟)，
∴乙的速度是0.3千米/分钟，故B正确，不符合题意；
设甲在出发x分钟后与乙相遇，可列方程：
0.1(x−3)=0.3(x−13)，
解得x=18，
∴甲在出发18分钟后与乙相遇，故C不正确，符合题意；
甲到达B地时x=30.1+3=33，
∵33−23=10，
∴乙比甲早到10分钟，故D正确，不符合题意；
故选：C．
用路程除以时间可得速度，从而判断A，B正确，设甲在出发x分钟后与乙相遇，列方程可求出甲在出发18分钟后与乙相遇，判断C不正确；求出甲到达B地时x的值，可判断D正确．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．

11.【答案】y=x−2 
【解析】解：设一次函数解析式为y=x+b，
把(1,3)代入得1+b=3，解得b=−2，
所以一次函数解析式为y=x−2．
故答案为y=x−2．
令k=1，则可设一次函数解析式为y=x+b，然后把已知点的坐标代入求出b即可．
本题考查了定系数法求一次函数解析式：(1)先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；(2)将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；(3)解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．

12.【答案】5 
【解析】解：在Rt△ABC中，BC=6，AC=8，
∴AB= AC2+BC2= 82+62=10，
∵D是斜边AB的中点，
∴CD=12AB=5，
故答案为：5．
先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的长，然后利用直角三角形斜边上的中线性质进行计算，即可解答．
本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握勾股定理，以及直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．

13.【答案】y=2x−1 
【解析】解：由题意得，向上平移3个单位后的解析式为：y=2x−4+3，
即y=2x−1．
故答案为：y=2x−1．
根据平移的性质，向上平移n个单位，b的值就加n．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．

14.【答案】2 
【解析】解：∵y=(k−4)x|k−3|+3是一次函数，
∴|k−3|=1，
∴k=4或2，
当k=4时，k−4=0，
∴k=2．
故答案为：2．
根据一次函数的定义求出k的值，但要符合条件：比例系数不为0．
本题考查了一次函数定义，一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．

15.【答案】(5,4)或(4,5) 
【解析】解：令y=0，x=4，
∴A(4,0)，
令x=0，y=4，
∴B(0,4)，
∵OB：OC=4：1，
则OC=1，
即点C(−1,0)；
①如图，当BD平行x轴时，
点A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，则四边形BDAC为平行四边形，
则BD=AC=1+4=5，则点D(5,4)，
②当BD不平行x轴时，
则S△ABD=S△ABD′，则点D、D′到AB的距离相等，

则直线DD′//AB，
设直线DD′的表达式为：y=−x+n，
将点D的坐标代入上式并解得：n=9，
直线DD′的表达式为：y=−x+9，
设点D′(n,9−n)，
A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，
则BD′=BC= 1+42= n2+(9−n−4)2，
解得：n=4，
故点D′(4,5)；
故答案为：(5,4)或(4,5)．
求出B(0,4)、点C(−1,0)，分当BD平行x轴、BD不平行x轴两种情况，分别求解即可．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，涉及到三角形全等、平行线的性质、勾股定理的运用等，并注意分类求解，题目难度较大．

16.【答案】解：(1)原式=4 3−2 2−3 2−3 3
= 3−5 2；
(2)原式=−2×2+ 2×6+ 48÷3
=−4+2 3+4
=2 3． 
【解析】(1)先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
(2)先根据二次根式的乘法法则和除法法则运算，然后化简后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键．

17.【答案】解：(1)∵一次函数y=(k+2)x−2k2+8的图象经过原点，
∴0=−2k2+8且k+2≠0，
解得k=2，
即该函数解析式为y=4x；
(2)当x=5时，y=4×5=20≠15，
∴点(5,15)不在该函数图象上；
(3)∵y=4x，
∴y随x的增大而增大，
∵该函数图象上有M(x1,y1)，N(x2,y2)两点，且满足x1>x2，
∴y1>y2． 
【解析】(1)根据一次函数y=(k+2)x−2k2+8的图象经过原点，可以求得k的值，从而可以写出该函数的解析式；
(2)将x=5代入(1)中的函数解析式，求出相应的y的值，再与15对比，即可解答本题；
(3)根据正比例函数的性质，可以比较y1，y2的大小．
本题考查待定系数法求一次函数解析式、正比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用正比例函数的性质解答．

18.【答案】解：(1)如图所示，AE即为所求：

(2)如图，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∵EF//AB，
∴四边形AFED是平行四边形，
∵AE是角平分线，
∴∠DAE=∠EAF，
∵∠EAF=∠DEA，
∴∠DAE=∠DEA，
∴DA=DE，
∴四边形AFED是菱形． 
【解析】(1)根据角平分线的作图方法作图即可；
(2)四边形AFED是菱形，由题意可得四边形AFED是平行四边形，又有一组邻边相等即可得出是菱形．
本题考查平行四边形的性质和角平分线的性质，菱形的判定，熟练掌握以上知识是解题关键．

19.【答案】解：(1)设y=kx+b，
∵点(−1,−2)，(1,10)在函数图象上，
∴−k+b=−2k+b=10，
解得k=6b=4，
即该函数的解析式为y=6x+4；
(2)当x=3时，y=6×3+4=22；
(3)令6x+4>0，
解得x>−23，
即当y>0时，x的取值范围是x>−23． 
【解析】(1)先设出函数解析式，然后根据点(−1,−2)，(1,10)在函数图象上，即可求得该函数的解析式；
(2)将x=3代入(1)值的函数解析式求出相应的y的值即可；
(3)令(1)中的y>0，即可得到关于x的不等式，然后求解即可．
本题考查待定系数法求一次函数解析式、一次函数与一元一次不等式的关系，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．

20.【答案】解：(1)∵直线y=−x+b交x轴于点B(2,0)，
∴−2+b=0，
解得b=2，
∴直线y=−x+b的解析式为y=−x+2，
∴y=3x+4y=−x+2，
解得x=−12y=52，
∴M(−12,52)；
(2)∵直线y=3x+4交y轴于点C，
∴C(0,4)，
∵M(−12,52)，
∴△MOC的面积=12×4×12=1． 
【解析】(1)把点B(2,0)代入直线y=−x+b求出b的值即可得出直线的解析式，联立两直线的解析式即可得出点M的坐标；
(2)求出C点坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论．
本题考查的是两条直线相交或平行问题，根据题意得出M、C点的坐标是解题的关键．

21.【答案】解：(1)∵y与x满足一次函数关系，
∴设y与x之间的函数解析式为y=kx+b，
把x=250，y=50和x=200，y=100代入得：
250k+b=50200k+b=100，
解得k=−1b=300，
∴y与x之间的函数解析式为y=−x+300；
(2)设A型号进货单价为m元，则B型号进货单价是2m元，
在y=−x+300中，令x=50得y=250，
∵当购进的A，B两种型号的笔记本中，A型号有50个时，购进A，B型号笔记本共需8250元，
∴50m+250×2m=8250，
解得m=15，
∴2m=2×15=30，
∴A型号进货单价为15元，则B型号进货单价是30元． 
【解析】(1)用待定系数法可得y与x之间的函数解析式；
(2)设A型号进货单价为m元，根据当购进的A，B两种型号的笔记本中，A型号有50个时，购进A，B型号笔记本共需8250元，列方程可解得答案．
本题考查一元一次方程的应用和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式．

22.【答案】解：(1)联立y=−12x+4和y=13x得：−12x+4=13x，
解得：x=245，则点A(245,85)，
对于y=−12x+4，当x=0时，y=4，即点C(0,4)，
令y=−12x+4=0，则x=8，即点B(8,0)，
故点A、B、C的坐标分别为：(245,85)、(8,0)、(0,4)；

(2)设点P(x,y)，y>0，
当AB为对角线时，由中点坐标公式得：
8+245=x85=y，解得：x=645y=85，
即点P的坐标为：(645,85)；
当AP为对角线时，由中点坐标公式得：
x+245=8y+85=0，此时y<0，不合题意；
当AO为对角线时，由中点坐标公式得：
245=x+885=y，解得：x=−165y=85，
即点P的坐标为：(−165,85)；
综上，点P的坐标为：(645,85)或(−165,85). 
【解析】(1)联立y=−12x+4和y=13x得：−12x+4=13x，求出A(245,85)，进而求解；
(2)当AB为对角线时，由中点坐标公式列出方程组，即可求解；当AP、AO为对角线时，同理可解．
本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质平行四边形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．

23.【答案】解：(1)如图1，延长CB至E使得BE=DN，连接AE，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠D=∠ABC=90°=∠ABE，
在△ABE和△ADN中，
AD=AB∠D=∠ABE=90°DN=BE，
△ABE≌△ADN(SAS)，
∴∠BAE=∠DAN，AE=AN，
∴∠EAN=∠BAE+∠BAN=∠DAN+∠BAN=90°，
∵∠MAN=45°，
∴∠EAM=∠MAN，
∴△EAM≌△NAM(SAS)，
∴MN=ME，
∵ME=BM+BE=BM+DN，
∴MN=BM+DN=3+2=5；
(2)∵5DN=CD=5，
∴DN=1，
∴CN=4，
∵∠D=90°，
∴AN= AD2+DN2= 52+12= 26，
∵AD//BC，
∴∠DAM=∠AMB，
∵∠DAM=∠AMN，
∴∠AMN=∠AMB，
如图1−b，延长CB到G使MG=MN，连接AG，

∵AM=AM，
∴△AMG≌△AMN(SAS)，
∴MG=MN，AG=AN= 26，
∴BG= AG2−AB2=1，
设MG=MN=x，
∴CM=6−x，
∵CM2+CN2=MN2，
∴(6−x)2+42=x2，
解得x=133，
∴MN的长为133；
(3))∵5DN=CD=5，
∴DN=1，
∴CN=4，
∵∠D=90°，
∴AN= AD2+DN2= 52+12= 26，
∵AD//BC，
∴∠DAM=∠AMB，
∵∠DAM=∠AMN，
∴∠AMN=∠AMB，
如图2，在BM上截取MG=MN，连接AG，

∵AM=AM，
∴△AMG≌△AMN(SAS)，
∴MG=MN，AG=AN= 26，
∴BG= AG2−AB2=1，
设MG=MN=x，
∴CM=6−x，
∵CM2+CN2=MN2，
∴(x−4)2+62=x2，
解得x=132，
∴MN的长为132． 
【解析】(1)如图1−a，延长CB至E使得BE=DN，连接AE，根据正方形的性质得到AB=AD，∠D=∠ABC=90°=∠ABE，根据全等三角形的性质得到∠BAE=∠DAN，AE=AN，MN=ME，于是得到结论；
(2)根据5DN=CD=5，求得DN=1，CN=4，根据勾股定理得到AN= AD2+DN2= 52+12= 26，求得∠AMN=∠AMB，如图1−b，延长CB到G使MG=MN，连接AG，根据全等三角形的性质得到MG=MN，AG=AN= 26，根据勾股定理得到BG= AG2−AB2=1，设MG=MN=x，求得CM=6−x，根据勾股定理即可得到结论；
(3)根据5DN=CD=5，求得DN=1，CN=4，根据勾股定理得到AN= AD2+DN2= 52+12= 26，求得∠AMN=∠AMB，如图1−b，延长CB到G使MG=MN，连接AG，根据全等三角形的性质得到MG=MN，AG=AN= 26，根据勾股定理得到BG= AG2−AB2=1，设MG=MN=x，根据勾股定理即可得到结论．
本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．