2022-2023学年河南省安阳市滑县实验学校等校八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2022-2023学年河南省安阳市滑县实验学校等校八年级（下）月考数学试卷（3月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列二次根式中，能与合并的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  在平面直角坐标系中有一点，其到轴的距离为，与原点的距离为，则点到轴的距离是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，正方形网格中的，若小方格边长为，则的形状为(    )

A. 直角三角形
B. 锐角三角形
C. 钝角三角形
D. 以上答案都不对

6.  实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  在长为，宽为的长方形硬纸板中剪掉一个直角三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所示的数据单位：不正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  计算的结果估计在(    )

A. 至之间 B. 至之间 C. 至之间 D. 至之间

9.  如图，等边三角形和长方形具有一条公共边，长方形内有一个正方形，其四个顶点都在长方形的边上，等边三角形和正方形的面积分别是和，则图中阴影部分的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图所示的是一种机器人行走的路径，机器人从处先往东走，又往北走，遇到障碍后又往西走，再转向北走后往东一拐，仅走就到达了则点与点之间的直线距离是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  计算： ______ ．

12.  已知命题：若，则该命题的逆命题是______填“真命题”或“假命题”

13.  如图，在四边形中，，分别以，，，为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用，，，来表示它们的面积，则 ______ 填，或．

14.  若实数、满足：，则 ______ ．

15.  如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
先化简，再求值：，其中，，．

17.  本小题分
观察下图，每个小正方形的边长均为．
图中阴影部分面积正方形的面积是______，边长是______．

作图，在数轴上作出边长的对应点要求保留作图痕迹．
 

18.  本小题分
为了加大绿化力度，某公园有一块如图所示的四边形空地，现计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需要元，求这块地种植草皮需要投入多少元？

19.  本小题分
已知的值．

20.  本小题分
定义：如图，点、把线段分割成、、，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割点．
已知、把线段分割成、、，若，，，则点、是线段的勾股分割点吗？请说明理由．
已知点、是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长．

21.  本小题分
阅读材料把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化通常把分子，分母同时乘以同一个不等于的数，以达到化去分母中根号的目的．
例如：化简
解：．
理解应用
化简：；
若是的小数部分，化简；
化简：．

22.  本小题分
我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作周髀算经作注解时，用个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”它体现了中国古代的数学成就，是我国古代数学的骄傲．正因为此，这个图案被选为年在北京召开的国际数学家大会的会徽．
请回答下列问题：
请叙述勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么______；
请你利用会徽中的“弦图”证明勾股定理．

23.  本小题分
在中，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动．设点的运动时间为秒．
求斜边上的高；
当点在上时，______；用含的代数式表示
若点在的角平分线上，求的值．
 

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：二次根式在实数范围内有意义，
，
解得：．
故选D．
由二次根式在实数范围内有意义，可得，继而求得答案．
此题考查了二次根式有意义的条件．注意二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 

2.【答案】 

【解析】解：原式，故不能合并，
原式，故不能合并，
原式，故能合并，
原式，故不能合并，
故选：．
将各式化为最简二次根式后即可判断．
本题考查最简二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型
 

3.【答案】 

【解析】解：．，故此选项不合题意；
B.无法合并，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项符合题意；
故选：．
直接利用二次根式的乘除运算法则以及二次根式的加减运算法则分别计算，进而判断即可．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：点到轴的距离为，与原点的距离为，
点到的距离为，
故选：．
根据勾股定理求出点到轴的距离即可．
本题考查了点的坐标，勾股定理，熟练掌握平面直角坐标系是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：正方形小方格边长为，
，
，
，
在中，
，，
，
所以，
是直角三角形．
故选：．
根据勾股定理求得各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状．
考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．
 

6.【答案】 

【解析】解：由数轴可知：，
，，
原式

，
故选：．
根据二次根式的性质以及绝对值的性质即可求出答案．
本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了矩形的性质，勾股定理，正确的分析图形是解题的关键．
根据勾股定理进行计算判断即可．
【解答】
解：．，故A正确，不符合题意；
B.，故B错误，符合题意；
C.，故C正确，不符合题意；
D.，故D正确，不符合题意．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：原式
，
，
，
，
故选：．
根据二次根式的乘法化简，然后根据无理数的估算即可得出答案．
本题考查了无理数的估算，二次根式的混合运算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：设等边三角形的边长为，
则等边三角形的高为，
等边三角形的面积为，
，
解得：，
长方形的长为，
正方形的面积为，
正方形的边长为，
正方形的四个顶点都在长方形的边上，
长方形的宽为，
长方形的面积为，
阴影部分的面积为．
故选：．
设等边三角形的边长为，根据等边三角形的性质可得其高为，则，解得，即长方形的长为，根据正方形的面积为可得长方形的宽为，根据阴影部分的面积长方形的面积正方形的面积即可求解．
本题主要考查等边三角形的性质、二次根式的应用，解题关键在于利用等边三角形和正方形的面积求出长方形的面积．
 

10.【答案】 

【解析】解：过点作于，
从图中可以看出，
，
在直角中，为斜边，
则．
答：从点到点之间的距离是，
故选：．
过点作于，则为直角三角形，读图可以计算出的长度，在直角中已知，，根据勾股定理即可计算．
本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，考查了学生的读图能力，本题中正确的读图读出，的长度是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案是：．
根据算术平方根的定义即可求解．
本题考查了二次根式的性质，理解算术平方根的定义是关键．
 

12.【答案】假命题 

【解析】解：若，则该命题的逆命题是若，则，是假命题；
故答案为：假命题．
分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 

13.【答案】 

【解析】解：连接，

，
，，
，
，
故答案为：．
连接，分别在和中，利用勾股定理可得，，从而可得，即可解答．
本题考查了勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意得，，，
解得，，
则，
，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件求出的值，进而求出，计算即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：设，则．
在中，，
，
，
解得：．
．
故答案为：．
设，则在中运用勾股定理列方程，就可以求出的长．
本题主要考查了折叠问题和勾股定理的综合运用．解题时，我们常常设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质，用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
 

16.【答案】解：原式


，
当，时，原式． 

【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把、的值代入进行计算即可
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
 

17.【答案】  

【解析】解：阴影部分的面积，
正方形的边长为．
故答案为：，；

如图，点即为所求．

阴影部分的面积大正方形的面积减去周围的四个三角形面积即可，再求出边长即可；
如图，根据直角三角形，使得，，则，以为圆心，为半径画弧交正半轴于点，点即为所求．
本题考查作图复杂作图，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

18.【答案】解：在直角中，，，，则由勾股定理知：，即，则．
在中，，，，则．
所以是直角三角形，且．
所以，
即
所以元．
答：这块地种植草皮需要投入元． 

【解析】在直角中，利用勾股定理求得；在中，利用勾股定理逆定理判定是直角三角形；然后利用直角三角形的面积公式求得两个直角三角形的面积，求其和；最后由面积单价总额计算这块地种植草皮需要投入的资金．
此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确得出是直角三角形是解题关键．
 

19.【答案】解：，，
，，，
；
． 

【解析】先利用、的值计算出，，的值，接着利用平方差公式和完全平方公式得到；，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．利用整体代入的方法可简化计算．
 

20.【答案】解：是．
理由：，，
，
、、为边的三角形是一个直角三角形，
点、是线段的勾股分割点．

设，则，
当为最大线段时，依题意，
即，
解得；
当为最大线段时，依题意．
即，
解得，
综上所述，或． 

【解析】根据勾股定理逆定理，即可判断点、是线段的勾股分割点．
设，则，分三种情形当为最大线段时，依题意，当为最大线段时，依题意，当为最大线段时，依题意，分别列出方程即可解决问题．
本题考查了勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：；
，
，即的整数部分为，
，
则原式；
原式

． 

【解析】原式分子分母同时乘以有理化因式，化简即可；
估算的整数部分，进而表示出小数部分确定出，代入原式计算即可求出值；
原式各项分母有理化，计算即可求出值．
此题考查了估算无理数的大小，平方差公式，二次根式的混合运算，以及规律型：数字的变化类，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
 

22.【答案】解：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么．
故答案为：．
，，，
，
即． 

【解析】用文字及符号语言叙述勾股定理即可；
如图，根据四个全等的直角三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积，代入数值，即可证明．
本题考查了勾股定理的证明．求面积时，利用了“分割法”．
 

23.【答案】解：在中，，，，
，
设边上的高为，
则，
，
．
答：斜边上的高为．
；
若点在的角平分线上时，过点作，如图：

平分，，，
．
由知：，，
，
在和中，
，
≌．
，
又，
．
在中，由勾股定理得：
，
解得：． 

【解析】

【分析】
本题考查勾股定理在动点问题中的应用，数形结合并熟练掌握勾股定理是解题的关键．
根据勾股定理求出的值，设斜边高为，由面积法可求得答案．
根据题意可知在上时，的路程为，所以；
当点在的角平分线上，过点作，可证≌，再在中由勾股定理得到关于的方程，进而可以求解．
【解答】
解：见答案；
当点在上时，点的运动长度为，
．
故答案为：．
见答案．