2019烟台市初中学业水平考试数学试题

2019年烟台市初中学生学业考试数学试题

注意事项：

1. 本试卷共8页，共120分；考试时间120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2. 答题前，务必用0.5毫米黑色的签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上。

3. 选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

4. 非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

5. 考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验。

6. 写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效。

一、选择题(本题共12个小题，每小题3分，满分36分)每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的．

1. －8的立方根是(　　)

A. 2　 　B．－2　 　C．±2　 　D．－2

2. 下列智能手机的功能图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)

3. 如图所示的几何体是由9个大小相同的小正方体组成的，将小正方体①移走后，所得几何体的三视图没有发生变化的是(　　)

第3题图

A. 主视图和左视图

B. 主视图和俯视图

C. 左视图和俯视图

D. 主视图、左视图、俯视图

4. 将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率为(　　)

第4题图

A.

B.

C.

D. 无法确定

5. 某种计算机完成一次基本运算的时间约为1纳秒(ns)，已知1纳秒＝0.000000001秒，该计算机完成15次基本运算，所用时间用科学记数法表示为(　　)

A. 1.5×10－9秒  B. 15×10－9秒

C. 1.5×10－8秒  D. 15×10－8秒

6. 当b＋c＝5时，关于x的一元二次方程3x2＋bx－c＝0的根的情况为(　　)

A. 有两个不相等的实数根

B. 有两个相等的实数根

C. 没有实数根

D. 无法确定

7. 某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他39人的平均分为90分，方差s2＝41.后来小亮进行了补测，成绩为90分，关于该班40人的测试成绩，下列说法正确的是(　　)

A. 平均分不变，方差变大

B. 平均分不变，方差变小

C. 平均分和方差都不变

D. 平均分和方差都改变

8. 已知∠AOB＝60°，以O为圆心，，以任意长为半径作弧，交OA，OB于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于MN的长度为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，以OP为边作∠POC＝15°，则∠BOC的度数为(　　)

A. 15°  B. 45°

C. 15°或30°  D. 15°或45°

9. 南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了(a＋b)n(n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”．

(a＋b)0＝1

(a＋b)1＝a＋b

(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2

(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3

(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4

(a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5

…

则(a＋b)9展开式中所有项的系数和是(　　)

A. 128  B. 256  C. 512  D. 1024

10. 如图，面积为24的▱ABCD中，对角线BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点E，DE＝6，则sin∠DCE的值为(　　)

第10题图

A.

B.

C.

D.

11. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表：

下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x＝2；③当0＜x＜4时，y＞0；④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4；⑤若A(x1，2)，B(x2，3)是抛物线上两点，则x1＜x2.

其中正确的个数是(　　)

A. 2  B. 3  C. 4  D. 5

12. 如图，AB是⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点C，过点A，B分别作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足为点D，E，连接AC，BC.若AD＝，CE＝3，则的长为(　　)

第12题图

A.

B. π

C. π

D. π

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，满分18分)

13. |－6|×2－1－cos45°＝________．

14. 若关于x的分式方程－1＝有增根，则m的值为________．

15. 如图，在直角坐标系中，每个小正方的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别为A(－2，－1)，B(－2，－3)，O(0，0)，△A1B1O1的顶点坐标分别为A1(1，－1)，B1(1，－5)，O1(5，1)，△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形，则P点的坐标为________．

第15题图

16. 如图，直线y＝x＋2与直线y＝ax＋c相交于点P(m，3)，则关于x的不等式x＋2≤ax＋c的解为________．

第16题图

17. 小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时(机翼间无缝隙)，∠AOB的度数是________．

第17题图

18. 如图，分别以边长为2的等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径作弧，三段弧所围成的图形是一个曲边三角形，已知⊙O是△ABC的内切圆，则阴影部分面积为________．

第18题图

三、解答题(本大题共7个小题，满分66分)

19. (本题满分6分)

先化简(x＋3－)÷，再从0≤x≤4中选一个适合的整数代入求值．

20. (本题满分8分)

十八大以来，某校已举办五届校园艺术节．为了弘扬中华优秀传统文化，每届艺术节上都有一些班级表演“经典诵读”、“民乐演奏”、“歌曲联唱”、“民族舞蹈”等节目．小颖对每届艺术节表演这些节目的班级数进行统计，并绘制了如图所示不完整的折线统计图和扇形统计图．

第20题图

(1)五届艺术节共有________个班级表演这些节目，班级的中位数为________，在扇形统计图中，第四届班级数的扇形圆心角的度数为________；

(2)补全折线统计图；

(3)第六届艺术节，某班决定从这四项艺术形式中任选两项表演(“经典诵读”、“民乐演奏”、“歌曲联唱”、“民族舞蹈”分别用A，B，C，D表示)．利用树状图或表格求出该班选择A和D两项的概率．

21. (本题满分9分)

亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作．某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位．

(1)计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？

(2)若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？

22. (本题满分9分)

如图，在矩形ABCD中，CD＝2，AD＝4，点P在BC上，将△ABP沿AP折叠，点B恰好落在对角线AC上的E点．O为AC上一点，⊙O经过点A，P.

(1)求证：BC是⊙O的切线；

(2)在边CB上截取CF＝CE，点F是线段BC的黄金分割点吗？请说明理由．

第22题图

23. (本题满分10分)如图所示，一种适用于笔记本电脑的铝合金支架，边OA，OB可绕点O开合，在OB边上有一固定点P，支柱PQ可绕点P转动，边OA上有六个卡孔，其中离点O最近的卡孔为M，离点O最远的卡孔为N.当支柱端点Q放入不同卡孔内，支架的倾斜角发生变化．将电脑放在支架上，电脑台面的角度可达到六档调节，这样更有利于工作和身体健康，现测得OP的长为12 cm，OM为10 cm，支柱PQ为8 cm.

第23题图

(1)当支柱的端点Q放在卡孔M处时，求∠AOB的度数；

(2)当支柱的端点Q放在卡孔N处时，∠AOB＝20.5°，若相邻两个卡孔的距离相同，求此间距．(结果精确到十分位)

(参考数据表)

24. (本题满分11分)

【问题探究】

(1)如图①，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点B，D，E在同一直线上，连接AD，BD.

①请探究AD与BD之间的位置关系：________；

②若AC＝BC＝，DC＝CE＝，则线段AD的长为________；

【拓展延伸】

(2)如图②，△ABC和△DEC均为直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1.将△DCE绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角∠BCD为α(0°≤α＜360°)，作直线BD，连接AD，当点B，D，E在同一直线上时，画出图形，并求线段AD的长．

第24题图

25. (本题满分13分)

如图，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A(－1，0)，B两点，与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x轴，垂足为点E，双曲线y＝(x＞0)经过点D，连接MD，BD.

(1)求抛物线的表达式；

(2)点N，F分别是x轴，y轴上的两点，当以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，F的坐标；

(3)动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，∠BPD的度数最大？(请直接写出结果)

第25题图

2019年烟台市初中学生学业考试数学答案

一、选择题

1. B　【解析】∵(－2)3＝－8，∴－8的立方根是－2.

2. C　【解析】A是中心对称图形但不是轴对称图形；B是轴对称图形但不是中心对称图形；C既是轴对称图形又是中心对称图形；D是轴对称图形但不是中心对称图形．故选C.

3. A　【解析】主视图和左视图没有发生变化，俯视图发生了变化，故选A.

4. B　【解析】由正六边形的性质知，白色区域的面积是整个正六边形面积的1/2，∴飞镖落在白色区域的概率为1/2.

5. C　【解析】15×0.000000001＝1.5×10－8.

6. A　【解析】∵b＋c＝5，∴c＝5－b.∴b2－4×3×(－c)＝b2＋12c＝b2＋12×(5－b)＝b2＋60－12b＝b2－12b＋36＋24＝(b－6)2＋24>0.  ∴方程有两个不相等的实数根．

7. B　【解析】由平均数和方差的计算公式知平均分不变，方差变小．

8.  D　【解析】由作图可知OP为∠AOB的角平分线，∴∠BOP＝30°.又∵OC可能在OP的两侧，如解图所示，当点C在OP上方时，∠BOC1＝30°＋15°＝45°，当点C在OP下方时，∠BOC2＝30°－15°＝15°，故选D.

第8题解图

9. C　【解析】解法一：取a＝1，b＝1，则可以计算(a＋b)9展开式中所有项的系数和是29＝512.

解法二：(a＋b)0的展开式中所有项的系数和为1，(a＋b)1的展开式中所有项的系数和为2，(a＋b)2的展开式中所有项的系数和为4，(a＋b)3的展开式中所有项的系数和为8，(a＋b)4的展开式中所有项的系数和为16，…，(a＋b)9的展开式中所有项的系数和为29＝512.

10. A　【解析】如解图，连接AC交BD于点O，过点D作DF⊥BE于点F.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD. ∴∠ADB＝∠CBD.∴∠ABD＝∠ADB.  ∴AB＝AD. ∴▱ABCD是菱形. ∴AO垂直平分BD. ∵DE⊥BD，∴OC∥DE.∴OC＝DE＝×6＝3.∴AC＝2OC＝6.∵菱形ABCD的面积为24，∴BD＝8. ∴BO＝4. ∴DC＝BC＝＝5.∵DF·BC＝24，∴DF＝. ∴sin∠DCE＝＝.故选A.

第10题解图

11. B　【解析】将点(－1，5)，(0，0)，(2，－4)代入y＝ax2＋bx＋c，得解得∴抛物线的解析式为y＝x2－4x，∴抛物线开口向上，故①正确；抛物线的对称轴为直线x＝－＝2，故②正确；∵抛物线开口向上，与x轴交于(0，0)，(4，0)，∴当0<x<4时，y<0，故③错误；∵抛物线与x轴交于(0，0)，(4，0)，∴抛物线与x轴的两个交点间的距离为4，故④正确；对于⑤，当B位于抛物线对称轴的左侧时，x1>x2，故⑤错误. 故选B.

12. D　【解析】如解图，连接OC.∵直线DE与⊙O相切，∴OC⊥DE.∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴AD∥OC∥BE.∴＝，∵AO＝OB，∴DC＝CE＝3，在Rt△ACD中，tan∠ACD＝＝，∴∠ACD＝30°，∴∠ACO＝90°－∠ACD＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC为等边三角形，∴OA＝OC＝AC＝2AD＝2，∠AOC＝60°.∴l＝＝π.故选D.

第12题解图

二、填空题

13. 2　【解析】原式＝6×－×＝3－1＝2.

14. 3　【解析】去分母，得3x－(x－2)＝m＋3，去括号，得3x－x＋2＝m＋3，合并同类项，得2x＝m＋1，∴m＝2x－1.∵原分式方程有增根，∴x－2＝0.∴x＝2.∴m＝2x－1＝2×2－1＝3.

15. (－5，－1)　【解析】如解图，作直线AA1、BB1，两直线交于一点P，设点P的坐标为(x，y). ∵△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形，且直线AA1平行于x轴，∴＝＝＝，＝，∴PA＝3.∴x＝－2－3＝－5，∵y＝－1，∴P点坐标为(－5，－1)．

第15题解图

16. x≤1　【解析】将点P(m，3)代入y＝x＋2，得3＝m＋2，∴m＝1.∴点P坐标为(1，3)．由题可知，x＋2≤ax＋c的解即为直线y＝ax＋c的图象在直线y＝x＋2的上方时x的取值范围，且包含交点的横坐标，∴x＋2≤ax＋c的解为x≤1.

17. 45°　【解析】由题图可知，正方形纸片共经过3次折叠，则由折叠可知，∠AOB＝2×＝45°.

18. π－2.　【解析】如解图，令⊙O的半径为r，过点O作OD⊥BC于点D，连接OB.∵⊙O是等边三角形ABC的内切圆，∴∠OBD＝∠ABC＝30°.∴OB＝2r，BD＝r＝BC＝1.∴r＝.由题意可知，S扇形ABC＝＝π，S△ABC＝AB2·sin60°＝，S⊙O＝πr2＝π.∴S弓形AB＝S弓形BC＝S弓形AC＝S扇形ABC－S△ABC＝π－，∴S阴影＝3S弓形AB＋S△ABC－S⊙O＝3×(π－)＋－π＝π－2.

第18题解图

三、解答题

19.  解：原式＝·

  ＝·

  ＝·

  ＝.

由于x≠0，3，4，∴x只能取1或2.

当x＝1时，原式＝.(当x＝2时，原式＝)

20. 解：(1)40，7，81°；

【解法提示】第五届班级数所占有比例为×100%＝32.5%，∴总班级数为：＝40(个)，∴第四届班级数为：40×22.5%＝9(个)，第五届班级数为：40×32.5%＝13(个)，将五届艺术节表演的班级数按从小到大排列为：5，6，7，9，13，∴中位数为7.第四届班级数的扇形圆心角的度数为：360°×22.5%＝81°.

(2)补全折线统计图如解图；

第20题解图

(3)列表如下：

由上表可知，共有12种等可能结果，其中选择A和D两项的情况有2种，

∴P(该班选择A和D两项)＝＝.

21. 解：(1)设计划调配36座新能源客车x辆，则该大学志愿者有36x＋2名，根据题意，得

36x＋2＝22 (x＋4)－2，

解得 x＝6.

∴36x＋2＝218.

答：计划调配36座新能源客车6辆，该大学共有218名志愿者．

(2)设租用36座新能源客车m辆，22座新能源客车n辆，依题意得

36m＋22n＝218，即18m＋11n＝109，

其正整数解为m＝3, n＝5.

∴租用36座新能源客车3辆，22座新能源客车5辆，既保证每人有座，又保证每车不空座．

22. (1)证明：如解图，连接OP，则OA＝OP，∴∠OAP＝∠OPA.

第22题解图

由折叠知∠BAP＝∠OAP，∴∠OPA＝∠BAP. 

∴AB∥OP.

又∵AB⊥BC，

∴OP⊥BC.

∵OP为⊙O的半径，

∴BC是⊙O的切线；

(2)解：点F是线段BC的黄金分割点，理由如下：

在矩形ABCD中，∵AB＝CD＝2，BC＝AD＝4，

∴AC＝＝＝2.

又∵AE＝AB＝2，

∴CE＝CF＝2－2.

∴BF＝BC－CF＝6－2.

∴＝＝，＝＝，即＝＝

∴点F是线段BC的黄金分割点．

23. 解：(1)如

第23题解图①

解图①，过点P作PC⊥OM于点C，设OC＝x，则CM＝10－ x，

在Rt△POC中，PO2－ OC2＝PC2，

在Rt△PMC中，PM2－ MC2＝PC2，

∴PO2－ OC2＝PM2－ MC2，即122－ x2＝82－(10－ x)2，

解得x＝9.

在Rt△POC中，cos∠POC＝＝＝0.75，

∴∠POC≈41°，

即∠AOB的度数约为41°；

(2)如解图②，过P作PD⊥ON于点D，

第23题解图②

则sin∠PON＝，即sin20.5°＝，

∴PD≈12×0.35＝4.2.

在Rt△PDN中，ND＝≈＝≈6.8.

在Rt△POD中，OD＝OP·cos∠PON ＝ OP·cos20.5°≈12×0.937≈11.24.

∴ON＝OD＋ND≈11.24＋6.8＝18.04.

∴MN＝ON－OM≈8.04

∴相邻两个卡孔的距离为：≈1.6(cm)．

24. 解：(1)①垂直；

【解法提示】∵∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝90°＋∠BCD，∠BCE＝∠DCE＋∠BCD＝90°＋∠BCD，

∴∠ACD＝∠BCE.

∵在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE.

∴∠ADC＝∠BEC＝45°.

∴∠ADE＝90°.

∴AD⊥BE.

②4；

【解法提示】由AC＝BC＝，DC＝CE＝，得AB＝2，DE＝2. 

在Rt△ADB中，设AD＝x，则BD＝BE－DE＝AD－DE＝x－2，

∴由勾股定理得x2＋(x－2)2＝(2)2.

解得x＝4. (负值舍去)．

∴AD＝4.

(2)①画图如解图①所示：

第24题解图①

∵∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝90°＋∠BCD，∠BCE＝∠DCE＋∠BCD＝90°＋∠BCD，

∴∠ACD＝∠BCE.

∵AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1，

∴AB＝2，DE＝2, ＝＝.

∴△ACD∽△BCE.

∴∠ADC＝∠E，＝＝.

又∵∠CDE＋∠E＝90°，∴∠ADC＋∠CDE ＝90°，即∠ADE＝90°.

∴AD⊥BE.

设BE＝x，则AD＝x.

在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2，即(x)2＋(x－2)2＝(2)2.

解得x＝3(负值舍去)．

∴AD＝3；

②画图如解图②所示：

第24题解图②

∵∠ACD＝∠BCD－∠ACB＝∠BCD－90°，

∠BCE＝∠BCD－∠DCE＝∠BCD－90°，

∴∠ACD＝∠BCE.

同①可得△ACD∽△BCE，且＝＝，

∴∠CAD＝∠CBE.

又∵∠APD＝∠BPC，

∴△APD∽△BPC.

∴∠ADP＝∠BCP＝90°.

设BE＝x，则AD＝x.

在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2，即(x)2＋(x＋2)2＝(2)2.

解得x＝2(负值舍去)．

∴AD＝2.

综上可得，线段AD的长为3或2

25. (1)由题意知C的坐标为(0，3)，则D点的纵坐标为3.

∵点D在反比例函数y＝上，

∴当y＝3时，3＝，解得x＝2.

 ∴D 的坐标为(2，3)．

将A(－1，0)，D(2，3)代入y＝ax2＋bx＋3，得

 解得

∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3；

(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，

∴顶点M的坐标为(1，4)．

如解图①，点M关于y轴的对称点为点M′，则点M′的坐标为(－1，4)．

同理D点关于x轴对称点D′的坐标为(2，－3)．

第25题解图①

在以M，D，N，F为顶点的四边形中，线段MD的长不变，要使四边形的周长最小，只需使得其余三边之和最小即可．

根据两点之间线段最短可知，连接M′D′，则M′D′与x轴的交点即为点N，与y轴的交点即为点F.

设直线M′D′为y＝kx＋b，将M′(－1，4)，D′(2，－3)代入y＝kx＋b，得  解得

∴直线M′D′的表达式为y＝－x＋.

当x＝0时，y＝－x＋＝，

当y＝0时，0＝－x＋，解得x＝，

∴直线M′D′交x轴于点(，0)，交y轴于点(0，)．

∴当以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，点N的坐标为(，0)，F的坐标为(0，)；

(3)t＝9－2.

【解法提示】如解图②所示，过B、D两点作⊙Q，当⊙Q与y轴相切时，切点即为点P(0，n)．

第25题解图②

设圆心的坐标为Q(m，n)，则由勾股定理，得

解得n＝9±2，

根据题意取较小值，∴当t＝9－2时，∠BPD的度数最大．