中考数学一轮知识点梳理五：四 边 形 课件

这是一份中考数学一轮知识点梳理五：四 边 形 课件，共43页。PPT课件主要包含了对角线交点，两边中点，平行于，第三条边的一半，例1图，第8题，第9题，第10题，相等且互相平分，三个角等内容，欢迎下载使用。
第23课时　平行四边形
1. 掌握平行四边形的概念,探索并证明平行四边形的性质、判定定 理,会用其性质和判定定理进行有关的计算和证明.2. 理解三角形中位线的概念及性质,并用它们去解决线段平行和长 度的问题.
知识点1　平行四边形的概念及性质1. 概念: 两组对边分别　　　　的四边形叫做平行四边形. 2. 性质:
知识点2　平行四边形的判定知识点3　中位线定义及性质1. 三角形的中位线: 连接三角形　 　　　的线段叫做三角形的中位线. 2. 三角形中位线的性质: 三角形的中位线　　 　三角形的第三条边,且等于　 　　　　 　.
考点一　平行四边形的性质例1 (2022·湘潭)在▱ABCD中(如图),连接AC.已知∠BAC=40°,∠ACB=80°,则∠BCD的度数为 (　　)A. 80° B. 100° C. 120° D. 140°[非常点评] 平行四边形对边平行,结合平行线的性质是解决与求角度相关问题的重要工具.
∵ 四边形ABCD是平行四边形,∠BAC=40°,∴ AB∥CD.∴ ∠ACD=∠BAC=40°.∵ ∠ACB=80°,∴ ∠BCD=∠ACB+∠ACD=120°.故选C.
例2 (2022·梧州)如图,在▱ABCD中,E,G,H,F分别是AB,BC,CD,DA上的点,且BE=DH,AF=CG.求证:EF=HG. [思路点拨] 由平行四边形的性质得出AB=CD,∠A=∠C,再结合题中条件证明△AEF≌△CHG,从而证得结论.[非常点评] 本题考查了平行四边形的性质,平行四边形的对边相等、对角相等为全等三角形提供了必要的条件.
考点二　平行四边形的性质与判定的综合应用例3 (2022·内江)如图,在▱ABCD中,点E,F在对角线BD上,且BE=DF.求证:(1) △ABE≌△CDF;(2) 四边形AECF是平行四边形.[思路点拨] (1) 根据平行四边形的性质得到AB=CD,AB∥CD,进而得到∠ABE=∠CDF,利用“SAS”证得结论;(2) 由(1),知△ABE≌△CDF,可得AE=CF,∠AEB=∠CFD,再证AE∥CF,从而可得四边形AECF是平行四边形.
[方法归纳] 判定一个四边形是平行四边形的三种途径 (1) 两组对边分别平行的四边形是平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.(2) 两组对角分别相等的四边形是平行四边形.(3) 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.
考点三　三角形的中位线例4 (2022·沈阳)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,D,E分别是直角边AC,BC的中点,连接DE,则∠CED的度数是 (　　)　　 　　A. 70° B. 60° C. 30° D. 20°[非常点评] (1) 三角形的中位线体现了线段间的位置关系与数量关系,一般求角度时运用位置关系解题,求线段长度时运用数量关系解题;(2) 当题目涉及中点时就要想到三角形的中位线定理.
∵ 在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,∴ ∠B=90°-∠A=60°.∵ D,E分别是边AC,BC的中点,∴ DE是△ABC的中位线.∴ DE∥AB.∴ ∠CED=∠B=60°.故选B.
1. (2022·广东)如图,在▱ABCD中,一定正确的是 (　　) A. AD=CDB. AC=BD C. AB=CDD. CD=BC2. (2022·河北)依据所标数据,下列一定为平行四边形的是 (　　)
3. (2022·眉山)在△ABC中,AB=4,BC=6,AC=8,D,E,F分别为边AB,AC,BC 的中点,则△DEF的周长为 (　　) A. 9 B. 12 C. 14 D. 164. (2022·嘉兴)如图,在△ABC中,AB=AC=8,点E,F,G分别在边AB,BC,AC 上,EF∥AC,GF∥AB,则四边形AEFG的周长是 (　　) A. 32 B. 24 C. 16 D. 8
5. (2022·邵阳)如图,在等腰三角形ABC中,∠A=120°,顶点B在▱ODEF的 边DE上.若∠1=40°,则∠2=　　　　. 6. (2022·梧州)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D,E分别是边AB,AC的中 点,连接CD,DE.如果AB=5m,BC=3m,那么CD+DE的长是　　　　m. 　　　
8. (2022·宿迁)如图,在▱ABCD中,E,F分别是边AB,CD的中点.求证:AF=CE.
∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ AB∥CD,AB=CD.∵ E,F分别是边AB,CD的中点,∴ AE=BE=CF=DF.∴ 四边形AECF是平行四边形.∴ AF=CE
9. (2022·株洲)如图,点E在四边形ABCD的边AD上,连接CE,并延长CE交BA 的延长线于点F,已知AE=DE,FE=CE. (1) 求证:△AEF≌△DEC; (2) 若AD∥BC,求证:四边形ABCD为平行四边形.
10. (2022·扬州)如图,在▱ABCD中,BE,DG分别平分∠ABC,∠ADC,交AC于点E,G.(1) 求证:BE∥DG,BE=DG.(2) 过点E作EF⊥AB,垂足为F.若▱ABCD的周长为56,EF=6,求△ABC的面积.
第24课时　矩形、菱形、正方形
1. 理解矩形、菱形、正方形与一般平行四边形之间的共性、特性和 从属关系.2. 探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理及它们的判定定理, 会利用这些性质定理与判定定理进行计算与推理.
知识点1　矩形的性质和判定1. 定义:有一个角是直角的平行四边形叫矩形.2. 性质:(1) 边:对边平行且相等,即AB∥CD,AD∥BC,AB=CD,AD=BC;(2) 角:四个角都是　　　　　,即∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°;(3) 对角线:对角线　 　　　　,即AC=BD,OA=OC=OB=OD; (4) 对称性:既是　　　 　对称图形,又是　　　 　对称图形,有　　　　条对称轴. 
3. 判定:(1) 有一个角是　　　　的平行四边形是矩形(定义); (2) 有　　　　是直角的四边形是矩形; (3) 对角线　　　　的平行四边形是矩形. 4. 周长、面积计算:C=2(a+b),S=ab(a>b,a,b分别为矩形的长和宽).
知识点2　菱形的性质和判定1. 定义:有一组邻边相等的平行四边形叫菱形.2. 性质:(1) 边:四条边都　 　,即AB=BC=CD=AD;对边平行,即AB∥CD,AD∥BC.(2) 角:对角相等,即∠DAB=∠DCB,∠ADC=∠ABC.(3) 对角线:对角线　　　　　　　　 ,并且每一条对角线平分　 　 ,即AC⊥BD,OA=OC,OD=OB,AC平分∠DAB与∠BCD,BD平分∠ABC与∠ADC. (4) 对称性:既是　　　 　对称图形,又是　　　 　对称图形,有　　　　条对称轴. 
知识点3　正方形的性质和判定1. 定义:有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形叫正方形.2. 性质:(1) 边:四条边都　　 ,即AB=BC=CD=AD;对边平行,即AB∥CD,AD∥BC.(2) 角:四个角都是　　　　,即∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°. (3) 对角线:对角线互相垂直平分且　 　　　,每一条对角线都平分　　　　　　(对角线与边的夹角为45°),即AC⊥BD,AC平分BD,BD平分AC,AC=BD,∠DAC=∠CAB=∠DCA=∠ACB=45°,∠ADB=∠BDC=∠ABD=∠DBC=45°. (4) 对称性:既是　　 　　对称图形,又是　　　 　对称图形,有　　　　条对称轴. 
知识点4　平行四边形、矩形、菱形、正方形四者之间的关系中点四边形:对角线互相平分的四边形的中点四边形是平行四边形;对角线互相平分且相等的四边形的中点四边形是菱形;对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形;对角线互相垂直平分且相等的四边形的中点四边形是正方形.
例2 (2022·云南)如图,在▱ABCD中,连接BD,E为线段AD的中点,延长BE,与CD的延长线交于点F,连接AF,∠BDF=90°.(1) 求证:四边形ABDF是矩形;(2) 若AD=5,DF=3,求四边形ABCF的面积.[思路点拨] (1) 已知∠BDF=90°,只要再证明四边形ABDF是平行四边形即可;(2) 由(1),知四边形ABDF是矩形,由条件易知矩形ABDF的面积,因此只要求出△BCD的面积即可.
[非常点评] 在证明一个四边形是矩形时,若题设与这个四边形的对角线有关,通常先证明这个四边形是平行四边形,再证明其对角线相等.若题设与角度有关,通常考虑用矩形的定义或者依据“有三个角是直角的四边形是矩形”来证明(若容易证出有三个直角,则用后者证明;若容易证出有一个直角,则用前者证明).
考点二　菱形的性质和判定例3 (2021·连云港)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,OE⊥AD,垂足为E,AC=8,BD=6,则OE的长为　　　　. [思路点拨] 根据菱形的性质和勾股定理,可以求得AD的长,再根据等面积法即可求得OE的长.[非常点评] 利用菱形的性质可证得线段相等、角相等、对角线互相垂直平分,从而借助勾股定理解决与线段长度有关的问题.另外菱形的面积等于对角线乘积的一半,利用等面积法也可解决该类问题.
例4 (2022·郴州)如图,四边形ABCD是菱形,E,F是对角线AC上的两点,且AE=CF,连接BF,FD,DE,EB.求证:四边形DEBF是菱形. [思路点拨] 由四边形ABCD是菱形,AE=CF,可证得△ADE≌△ABE≌△CBF≌△CDF,从而由菱形的定义证得四边形DEBF是菱形.
[方法归纳] 判定一个四边形是菱形的三种证明思路 一是先证明四边形是平行四边形,再证明一组邻边相等;二是先证明四边形是平行四边形,再证明对角线互相垂直;三是证明四条边都相等.解题时要灵活选用判定方法进行证明.
考点三　正方形的性质和判定例5 (2022·无锡)如图,正方形ABCD的边长为8,E是CD的中点,HG垂直平分AE且分别交AE,BC于点H,G,则BG=　　　　. [思路点拨] 连接AG,EG,由HG垂直平分AE可知AG=EG,从而可利用勾股定理构造方程求解.
如图,连接AG,EG.∵ 四边形ABCD为正方形,∴ ∠B=∠C=90°,BC=CD=8.∵ E是CD的中点,∴ DE=CE=4.设CG=x,则BG=8-x.∵ HG垂直平分AE,∴ AG=EG.在Rt△ABG和Rt△GCE中,根据勾股定理,得AB2+BG2=CE2+CG2,即82+(8-x)2=42+x2,解得x=7.∴ CG=7.∴ BG=BC-CG=8-7=1.
[非常点评] 由正方形可知与边、角、对角线有关的结论,这些结论同学们必须记牢,同时这些结论又服务于全等三角形的判定,还可以利用勾股定理求线段长或构造方程.
例6 (2022·邵阳)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD上,且BE=DF,OE=OA.求证:四边形AECF是正方形. [思路点拨] 本题可先证明四边形AECF是菱形,再证明EF=AC,即可证得结论.
∵ 四边形ABCD是菱形,∴ AC⊥BD,OA=OC,OB=OD.∵ BE=DF,∴ OB-BE=OD-DF.∴ OE=OF.∴ 四边形AECF是菱形.∵ OE=OA,∴ OE=OF=OA=OC.∴ EF=AC.∴ 四边形AECF是正方形.
[方法归纳] 判定一个四边形是正方形的三种方法 一是有一个角是直角的菱形是正方形;二是有一组邻边相等的矩形是正方形;三是对角线相等的菱形是正方形.
1. (2022·陕西)下列条件中,能够判定▱ABCD为矩形的是 (　　) A. AB=ADB. AC⊥BD C. AB=ACD. AC=BD2. (2022·自贡)如图,菱形ABCD的两条对角线的交点与坐标原点O重合, 点A的坐标为(-2,5),则点C的坐标为 (　　) A. (5,-2)B. (2,-5) C. (2,5)D. (-2,-5)　　
7. (2022·泰州)如图,线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线.(1) 求证:AF与DE互相平分.(2) 当线段AF与BC满足怎样的数量关系时,四边形ADFE为矩形?请说明理由.