2022-2023学年度吉林省长市第五十二中学赫行学校九年级上学期期中数学试题

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吉林省长市第五十二中学赫行学校九年级上学期期中数学试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 下列四个方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义分别分析解答．
【详解】解析：A选项：一元一次方程，故本选项错误；
B选项：符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
C选项：含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误；
D选项：是分式方程，故本选项错误；
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2. 已知（a≠0，b≠0），下列变形错误是（　　）
A. B. 2a=3b C. D. 3a=2b
【答案】B
【解析】
【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：由得，3a=2b，
A、由比例的基本性质得： 3a=2b，正确，不符合题意；
B、由比例的基本性质得3a=2b，错误，符合题意；
C、由比例的基本性质得：3a=2b，正确，不符合题意；
D、由比例的基本性质得：3a=2b，正确，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积．
3. 下列二次根式中能与2合并的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先化简选项中各二次根式，然后找出被开方数为3的二次根式即可．
【详解】A、＝2，不能与2合并，故该选项错误；
B、能与2合并，故该选项正确；
C、＝3不能与2合并，故该选项错误；
D、＝3不能与2合并，错误；
故选B．
【点睛】本题主要考查的是同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
4. 如图，直线l1∥l2∥l3，若AB=2，BC=3，DE=1，则EF的值为（ ）

A. B. C. 6 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例求解即可．
【详解】解：∵直线l1∥l2∥l3，
∴，
∵AB=2，BC=3，DE=1，
∴，
∴EF=，
故选B．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的应用，注意：一组平行线截两条直线，所截的对应线段成比例．
5. cos30°=（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据特殊角的锐角三角函数值求解即可.
【详解】
故选C.
【点睛】考点：特殊角的锐角三角函数
点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握特殊角的锐角三角函数值，即可完成.
6. 某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（ ）

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出AB的长．
详解】解：作AD⊥BC于点D，
则BD＝＋0.3＝，
∵cosα＝，
∴cosα＝，
解得，AB＝米，
故选B．

【点睛】本题考查解直角三角形的应用、轴对称图形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7. 如图，在菱形中，，，点、分别为边、的中点，则的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接、，先说明是等边三角形，即，然后根据中点的性质得到CE、CF、EF都等于2，然后在Rt△CHE中使用勾股定理求出CH，最后根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：连接、，
四边形是菱形，
，，，
是等边三角形，

、是、中点，
，，
是等边三角形，

，，
在中，，
．
故答案为C．

【点睛】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定及性质、勾股定理的应用以及三角形的面积公式，灵活应用相关知识是解答本题的关键．
8. 如图，形如的方程的图解是：画，使，，，再以B为圆心，长为半径画弧，分别交边及延长线于点D、E，则该方程的一个正根是（ ）

A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据勾股定理求出AB，然后根据求根公式得出方程的根，根据等式，即可得解.
【详解】∵，，，，
∴
又∵
∴
∴该方程的正根为
∴
∵
∴x即为AE的长
故答案为A.
【点睛】此题主要考查勾股定理以及方程两根公式的运用，熟练掌握，即可解题.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9. 二次根式有意义的条件是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的定义即可求解．
【详解】解：由二次根式有意义的条件可知，，
解得
故答案为：
【点睛】本题考查了二次根式定义，二次根式的被开方数非负是解此题的关键．
10. 以m=_____为反例，可以证明命题“关于x的一元二次方程x2+x+m=0必有实数根”是错误的命题（写出一个m值即可）．
【答案】2
【解析】
【分析】由方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出m的范围即可做出判断．
【详解】解：∵方程x2+x+m=0，必有实数解，
∴△=1﹣4m≥0，
解得：m≤，
则命题“关于x的一元二次方程x2+x+m=0，必有实数解．”是假命题．则可以作为反例的是m=2，
故答案为2．
【点睛】此题考查了命题与定理，以及根的判别式，熟练掌握举反例说明命题为假命题的方法是解本题的关键．
11. 如图是用杠杆撬石头的示意图，是支点，当用力压杠杆的端时，杠杆绕点转动，另一端向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的端必须向上翘起，已知杠杆的动力臂与阻力臂之比为，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端向下压_____.

【答案】．
【解析】
【分析】首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点向下压的长度．
【详解】解：如图；都与水平线垂直，即；
易知：；
，
杠杆的动力臂与阻力臂之比为
，即；
当时，；
故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点向下压．
故答案为．

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，正确的构造相似三角形是解题的关键．
12. 如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为______．

【答案】1
【解析】
【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求．
【详解】
解：连接，
由网格可得 ，，
即，
∴为等腰直角三角形，
∴，
则，
故答案为1.
【点睛】此题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
13. 某商品的标价为元/件，经过两次降价后的价格为元/件，并且两次降价的百分率相同，设该种商品每次降价的百分率为，则可列方程_______．
【答案】
【解析】
【分析】设该商品每次降价的百分率为x，根据该商品的标价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】解：设该种商品每次降价的百分率为，
依题意得：
故答案为：
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14. 如图，在中，，，的平分线交于点，若，，则_______．

【答案】5
【解析】
【分析】首先由勾股定理求出AC，再证明，得到，进而列方程求解即可．
【详解】解析：，，，
，
设，则，
平分，
，
又，
，
，
，
，
∴，


解得，

故答案为：．
【点睛】此题主要考查了相似三角形和判定与性质，熟练掌握并能灵活运用相似三角形和判定与性质定理是解答此题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15. 计算：4sin30°﹣cos45°+tan260°．
【答案】4.
【解析】
【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【详解】原式．
【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16. 解方程：．
【答案】，．
【解析】
【分析】利用配方法可以求解．
【详解】解：，
，

，
所以，
【点睛】本题考查了解一元二次方程，灵活运用解一元二次方程的方法是解题的关键．
17. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(－2，1)，B(－1，4)，C(－3，2)．
(1)以原点O为位似中心，位似比为1∶2，在y轴的左侧，画出△ABC放大后的图形△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；
(2)如果点D(a，b)在线段AB上，请直接写出经过(1)的变化后点D的对应点D1的坐标．


【答案】(1)图见解析，C1(－6，4)；(2)D1(2a，2b)．
【解析】
【分析】（1）连接OB并延长，使BB1=OB，连接OA并延长，使AA1=OA，连接OC并延长，使CC1=OC，确定出△A1B1C1，并求出C1点坐标即可；
（2）根据A与A1坐标，B与B1坐标，以及C与C1坐标的关系，确定出变化后点D的对应点D1坐标即可．
【详解】（1）根据题意画出图形，如图所示：

则点C1的坐标为（-6，4）；
（2）变化后D的对应点D1的坐标为：（2a，2b）．
【点睛】运用了作图-位似变换，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
18. 某中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上划出二分之一的区域种花，某同学设计方案如图所示，求此方案中花带的宽度．

【答案】
【解析】
【分析】根据剩余空白区域的面积=矩形空地的面积可得方程，求解方程即可．
【详解】解：设花带的宽度为，则可列方程为：
，
整理得，
解得，．（不合题意舍去），
故花带的宽度为
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的相等关系．
19. 如图，在四边形中，，，点、分别在边，上，且．

（1）求证：；
（2）若，，，则的长为______．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）首先证明，再根据相似三角形的判定定理证明即可；
（2）根据，利用相似三角形的性质即可求出AE的长．
【详解】解析（1），
，
又，
，
又，
．
（2）

即
，
，


故答案为：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定与性质．
20. 图1是一辆在平地上滑行的滑板车，图2是其示意图．已知车杆长，车杆与脚踏板所成的角，前后轮子的半径均为，求把手离地面的高度（结果保留小数点后一位；参考数据：，，）

【答案】92.5
【解析】
【分析】过点作于点，延长交地面于点，利用即可进行求解.
【详解】过点作于点，延长交地面于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴把手离地面的高度为.

【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是根据图形构造直角三角形进行求解.
21. 如图，已知一等腰三角形铁板余料，其中，．若在上截出一矩形零件，使在上，点、分别在边、上．

（1）设，，求与之间的函数关系式；
（2）当矩形的面积等于三角形铁板余料面积的一半时，分别求截得矩形的长和宽．
【答案】（1）；（2）和．
【解析】
【分析】（1）过点作于点，交于点，即；再求出CH、AH,然后再证，利用相似三角形得性质得到JH，最后根据矩形的面积公式解答即可；
（2）根据列方程解答即可．
【详解】解：（1）过点作于点，交于点．
四边形是矩形，
，
．
，，


，，







（2），



．


矩形的面积能等于三角形铁板面积的一半，此时矩形的长和宽分别为和．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用、等腰三角形的性质、一元二次方程的应用等知识点，灵活应用相关知识是解答本题的关键．
22. 数学阅读：在《九章算术》中有求三角形面积公式“底乘高的一半”，但是在实际丈量土地面积时，量出高并非易事，所以古人想到了能否利用三角形的三条边长来求面积．我国南宋著名的数学家秦九韶（年年）提出了“三斜求积术，阐述了利用三角形三边长求三角形面积方法，简称秦九韶公式，在海伦（公元年左右，生平不详）的著作《测地术》中也记录了利用三角形三边长求三角形面积的方法，相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德（公元前年公元前年）得出的，故我国称这个公式为海伦-秦九韶公式，它的表述为：三角形三边长分别为、、，则三角形的面积，其中．
请利用海伦-秦九韶公式解决以下问题：
如图①，在中，，，．

图①
（1）的面积；
（2）设边上的高为，求的值；
（3）如图②，、分别为的两条角平分线，它们的交点为，则的面积为______．

图②
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】
【分析】（1）把a、b、c的长代入求出p，再代入S计算即可得解；
（2）根据面积公式，结合（1）中的结果可列等式，即可求出结果；
（3）过作于，于，于，根据角平分线的性质定理可得：IK=IH=IG，并根据三角形面积计算IK的长，根据三角形面积公式可得结论．
【详解】解：（1），，，
即，，，


，

，
=
的面积为．
（2）由（1）知，
又，
，
．
（3）连接，过作于，于，于，

平分，，，
，
同理
，
，，，





故答案为：.
【点睛】本题考查了二次根式的应用和角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，并根据新公式代入计算．
23. 我们知道，解一元二次方程，可以把它转化为两个一元一次方程来解，其实用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解．

（1）方程的解是，______，_______；
（2）用“转化”思想求方程的解；
（3）如图，已知矩形草坪的长，宽，小华把一根长为的绳子的一端固定在点处，沿草坪边沿、走到点处，把长绳段拉直并固定在点处，然后沿草坪边沿、走到点处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点处，求的长．
【答案】（1）；；（2）；（3）或．
【解析】
【分析】（1）先将该方程转化成，然后再求解即可；
（2）由可得且x＞0，然后解出x即可；
（3）设，则，然后根据勾股定理求得PB和PC，然后再根据列方程求出x即可．
【详解】解：（1），
．
，
则或或，
解得：、、．
故答案为：；；
（2），
，即，
，
则或，
解得：，，
又∵，
∴；
（3）设，则，
，，
，，
，
，

两边平方，整理可得：
再两边平方，整理可得：，
解得、，
则的长为或．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用以及转换法的应用，掌握转换法是解答本题的关键．
24. 如图，在中，，，．点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点运动（不与点、重合）．过点作，交折线于点，点为线段的中点，以、为边作矩形．设点的运动时间为（秒）．

（1）直接写出矩形的边的长（用含的代数式表示）；
（2）当点落在边上时，求的值；
（3）当矩形与重叠部分图形是四边形时，设重叠部分图形的面积为（平方单位）．求与之间的函数关系式；
（4）当的重心落在矩形的内部时，直接写出此时的取值范围．
【答案】1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】
【分析】（1）分两种情况讨论：当点Q在线段AC上时；当点Q在线段BC上时；
（2）当点落上，显然在上，利用正切定义，列方程即可求解；
（3）分情况讨论：当时， 时，时，分别求得S与t的关系式即可；
（4）根据题意不难写出t的取值范围即可．
【详解】解析（1）①当点在边上时，
点速度为，时间为，


．

②，作于，

且，
，，
，，
，
，，
，
，，


（2）当点落在上，如图，

此时，，
，即，
解得：
（3）当时，如图，

此时，，


当时，如图，

此时重叠部分为五边形，不考虑．
当时，如图，

此时，，
．
（4）如图，建立坐标系点为原为，点，点，
由重心坐标公式可知，



重心
①第一次进入矩形时在上，
此时，
②第一次出去矩形时，在上，
此时
③在上时，，，
此时不满足题意不考虑；
当在矩形内部时，（不含边长），．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形的应用，矩形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．