广西壮族自治区河池市八校2021-2022学年高一下学期5月第二次联考数学试卷（含答案）

这是一份广西壮族自治区河池市八校2021-2022学年高一下学期5月第二次联考数学试卷（含答案），共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

广西壮族自治区河池市八校2021-2022学年高一下学期5月第二次联考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题
1、复数满足，则( )
A. B. C.2 D.
2、已知，，且，则( )
A. B.10 C. D.
3、欧拉公式（e为自然对数的底数，i为虚数单位）由瑞士数学家Euler（欧拉）首先发现.它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中的天桥”，则( )
A. B.1 C. D.i
4、某高中学校高二和高三年级共有学生2400人，为了解该校学生的视力情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本，其中高一年级抽取25人，则高一年级学生人数为( )
A.1000 B.800 C.200 D.600
5、如图，网格中小正方形边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )

A. B. C. D.
6、设一组样本数据，，，的方差为0.01，则数据，，，的方差为( )
A.0.01 B.0.1 C.1 D.10
7、如图，在长方体中，，M、N分别是、的中点.则直线CN与DM是( )

A.相互垂直的相交直线 B.相互垂直的异面直线
C.相互不垂直的异面直线 D.夹角为的异面直线
8、在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为线段AB，BC的中点，连接DE，DF，EF，将，，分别沿DE，DF，EF折起，使A，B，C三点重合，得到三棱锥，则该三棱锥外接球的表面积为( )

A. B. C. D.
二、多项选择题
9、已知向量，，，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是( )
A. B. C.1 D.
10、在中，已知，给出下列结论，其中正确的结论是( )
A.由已知条件，这个三角形被唯一确定
B.若，则的面积是
C.
D.一定是钝三角形
11、中国正在从电影大国迈向电影强国，图是2017至2021年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片（含合拍片）与进口影片数量统计图，则下列说法中正确的是( )

A.2017至2021年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量占比不低于50%
B.2017至2021年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量占比逐年提高
C.2017至2021年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量的平均数大于进口影片数量的平均数
D.2017至2021年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量的方差等于进口影片数量的方差
12、在正方体中，E是棱的中点，F是侧面内的动点，且平面，如图所示，下列说法正确的是( )

A.点F的轨迹是一条线段 B.与BE是异面直线
C.三棱锥的体积为定值 D.与不可能平行
三、填空题
13、若复数是正实数，则实数m的值为______.
14、学校给每班发了5张电影票，大家都想去观影，某班文娱委员按学号将全班同学编成01，02，…，50号，用随机数表来确定人选，从随机数表第9行11列向右开始读数，抽到的第5个人选的号码是______（以下是随机数表第6行至10行）.
16，22，77，94，39，49，54，43，54，82，17，37，93，23，78，87，35，20，96，43，84，26，34，91，64，84，42，17，53，31，57，24，55，06，88，77，04，74，47，67，21，76，33，50，25，83，92，12，06，76，63，01，63，78，59，16，95，55，67，19，98，10，50，71，75，12，86，73，58，07，44，39，52，38，79，33，21，12，34，29，78，64，56，07，82，52，42，07，44，38，15，51，00，13，42，99，66，02，79，54，57，60，86，32，44，09，47，27，96，54，49，17，46，09，62，90，52，84，77，27，08，02，73，43，28，
15、已知圆锥的高为，其侧面展开图为一个半圆，则圆锥的体积为______.
四、双空题
16、在中，已知，，，I为的内心，CI的延长线交AB于点D，则的外接圆的面积为__________，______.

五、解答题
17、在中，已知，，P在线段BC上，且，，设，.
（1）用向量，表示；
（2）若，求.

18、已知复数，.
（1）若对应复平面上的点在第四象限，求m的范围；
（2）若是纯虚数，求m的值.
19、某城市计划对居民生活用气（天然气）按年采用三阶式收费：75%的用户在最低气价一档，18%的用户用气量超出一阶气价的临界值而未超过二阶气价的临界值，超过一阶临界值的用气量按二阶气价缴费，7%的用户用气量超过二阶气价的临界值，超过二阶临界值的用气量按三阶气价缴费.为此，当地燃气公司调查了100户居民一年的用气量（单位：），并排序如下：
105
120
140
142
146
155
160
165
178
187
192
199
200
206
206
213
220
223
225
230
233
239
241
245
248
249
252
254
256
256
258
260
263
265
266
267
270
271
272
273
275
278
280
283
286
287
290
290
290
299
300
303
304
305
306
308
310
311
313
316
316
318
321
323
325
326
326
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329
330
332
333
335
336
336
337
338
340
341
385
396
413
420
428
431
443
454
456
460
465
470
475
480
485
490
497
500
510
520
536








（1）阶梯气价的临界点如何确定？
（2）若第一档气价为，第二档气价为，第三档气价为，某户居民今年用气，则应缴纳多少燃气费？
20、如图，在棱长为2的正方体中，设E是的中点.
（1）过点A，C且与平面平行的平面与此正方体的面相交，交线围成一个三角形，在图中画出这个三角形（说明画法，不用说明理由）；
（2）求四棱锥的体积.

21、某校为了解疫情期间学生线上学习效果，进行一次摸底考试，从中选取60名同学的成绩(百分制，均为正数)分成，，，，，六组后，得到部分频率分布直方图(如图)，观察图形，回答下列问题：

(1)求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图；
(2)根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的均值；
(3)根据评奖规则，排名靠前10%的同学可以获奖，请你估计获奖的同学至少需要多少分？
22、如图所示，矩形ABCD中，，.E、F分别在线段BC和AD上，，将矩形ABEF沿EF折起.记折起后的矩形为MNEF，且平面平面ECDF.

(1)求证：平面MFD；
(2)若，求证：；
(3)求四面体NFEC体积的最大值
参考答案
1、答案：A
解析：通解：因为，所以，
所以，故选A.
优解：因为，所以，所以，故选A.
2、答案：D
解析：，，所以，，，则.
3、答案：A
解析：由题意，得.故选A.
4、答案：B
解析：因为高二和高三年级人数占总人数的，所以总人数为，所以高一人数为.
5、答案：C
解析：根据三视图复原出几何体后，按照体积公式计算即可.

根据三视图可知，几何体是正方体的左上角切掉了一个三棱锥.故体积为.
6、答案：C
解析：解法一：由已知条件可知样本数据，，，的平均数，方差，
则数据，，，的平均数为.
所以这组数据的方差，故选C.
解法二：由已知条件可知样本数据，，，的方差为0.01，所以，，，的方差为.故选C.
7、答案：B
解析：设，连接BM，MN，BD，，

因为平面，平面，，故直线CN与DM异面直线.
在矩形中，因为M，N为所在棱的中点，故，，而，，故，，故四边形BCNM为平行四边形，故，所以或其补角为异面直线CN与DM所成的角，在中，，，，故，故.
8、答案：C
解析：在正方形ABCD中，，，，折起后OD，OE，OF两两垂直，
故该三棱锥外接球即以OD，OE，OF为棱的长方体外接球.
因为，，，
所以，
所以.
所以该三棱锥外接球的表面积为，
9、答案：ABD
解析：若点A，B，C三点不共线，则此时可构成三角形，
，，，，
当点A，B，C三点共线时，，可得，
当时，A，B，C三点不共线，
A：，此时A，B，C三点不共线，则可构成三角形该选项正确；
B：，此时A，B，C三点不共线，则可构成三角形，该选项正确；
C：，此时A，B，C三点共线，则不能构成三角形，该选项错误；
D：，此时A，B，C三点不共线，则可构成三角形该选项正确，
10、答案：CD
解析：由可设：
()，
所以，，，
对A，只知道各边的比值关系，并不能确定大小，
所以这个三角形不能被唯一确定，故A错误；
对B，若，即，
所以，所以，，，
所以，
所以，所以，故B错误；
对C，，故C正确；
对D，由，
所以为钝角，故D正确.
故选：CD.
11、答案：ACD
解析：对于A，2017至2021年各年国内电影票房前十名影片中，每年的国产影片数量均大于等于5部，故国产影片数量每年的占比都不低于，A正确：
对于B，2020年国产影片占比为，2021年国产影片占比为，故国产影片数量占比并非逐年提高，B错误；
对于C，2017至2021年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量平均数为，进口影片数量平均数为，C正确；
对于D，2017至2021年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量的方差为
；进口影片数量的方差为
，D正确.
12、答案：ABC
解析：分别取，的中点M，N，连接，MN，，如图，，平面，平面，
平面，同理可得平面，又，MN是平面内的两条相交直线，平面平面，
而平面，平面，得点F的轨迹是一条线段，故A正确；
并由此可知，当F与M重合时，与平行，
故D错误；平面平面，BE和平面相交，与BE是异面直线，故B正确，
，则点F到
平面的距离为定值，三棱锥的体积为定值，故C正确.
13、答案：3
解析：因为复数是正实数，
由，解得或
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意
所以实数m的值为3.
14、答案：15
解析：第9行第11列的数为7，依次读出在01—50内的数并舍弃重复的数为07，42，44，38，15，所以第5个人选得号码为15.
15、答案：
解析：侧面展开图的半径为母线长l，弧长为，其为半圆，则
有，解得
体积）
16、答案：；
解析：由余弦定理得，
所以
设三角形的外接圆的半径为R，所以，
所以
所以的外接圆的面积为.
由余弦定理得，
所以，
所以
由正弦定理得
所以
17、答案：（1）
（2）
解析：（1）由题得
（2）由已知得
所以

18、答案：（1）
（2）
解析：（1）因为对应复平面上的点在第四象限，
所以，解得
所以
（2）因为是纯虚数，
所以，
所以
19、答案：（1）见解析
（2）957元
解析：（1）因为，所以，要使75%的用户在最低气价一档，
则应把一阶气价的临界值定为第75户居民和第76户居民的平均数，
由表可知，第75户居民用气量为，第76户居民的用气量为，
因此，一阶气价的临界点为.
因为，所以，要使75%的用户在最低气价一档，18%的用户用气量超出一阶气价的临界值而未超过二阶气价的临界值，
则应把二阶气价的临界值定为第93户和第94户居民用气量的平均值.
由表可知，第93户居民的用气量为，第94户居民的用气量为，
所以，二阶气价的临界点为
因此，一阶气价的临界点为，二阶气价的临界点为
（2）因为，故该居民处于第一档气价中，所以应缴元燃气费
20、答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）取的中点M，连接AM，CM，
易知为所作三角形.

（2）因为且，四边形为平行四边形.

故四棱锥的体积为
21、答案：(1)，频率分布直方图见解析
(2)分
(3)获奖的同学至少为88分
解析：(1)设分数在内的频率为x，
根据频率分布直方图，可得，
解得，所以分数在内的频率为0.25，
所以补全这个频率分布直方图，如图所示：

(2)根据频率分布直方图得：
均值为：，
即估计本次考试成绩的均值为70.5分.
(3)因为分数在内的频率为0.25，内的频率为0.05，
而，
所以排名前10%的分界点为，则，解得，
所以排名前10%的分界点为88分，即获奖的同学至少为88分.
22、答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)2
解析：（1）证明：四边形MFEN，ECDF都是矩形，
，，四边形MNCD是平行四边形，
，平面MFD，平面MFD；
（2）证明：连接ED，设，
平面平面ECDF，且，
平面ECDF，，
又，四边形ECDF为正方形，，
平面NED，又平面NED，，
（3）设，则，其中，
由（1）得平面FEC，
四面体NFEC的体积为：
，
时，四面体NFEC的体积最大，其最大值为2.