初中数学人教版九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径同步练习题

2022-2023学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

24.1.2  垂直于弦的直径

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题型变式

【题型1】利用垂径定理求值

1．（2020·内蒙古·阿荣旗孤山学校九年级期中）如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，M是AB上任意一点，且OM的最小值为3，则⊙O的半径为（　　）

A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm

【变式1-1】

2．（2022·江苏·九年级）在⊙O中，弦AB＝16cm，弦心距OC＝6cm，那么该圆的半径为__cm．

【题型2】利用垂径定理求平行弦问题

1．（2022·黑龙江·一模）如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD =______．

【变式2-1】

2．（2021·湖北·武汉市第四中学九年级阶段练习）如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB∥CD，经过AB中点E的直径MN与CD交于F点，求证：CF＝DF

【题型3】利用垂径定理求同心圆问题

1．（2021·全国·九年级课时练习）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm.

A．6 B． C． D．

【变式3-1】

2．（2021·全国·九年级专题练习）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．

求证：AC=BD．

【题型4】利用垂径定理求解其他问题

1．（2022·安徽合肥·九年级期末）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝6，P是弦AB上的一个动点（不与A、B重合），下列符合条件的OP的值可以是（　　）

A．3.1 B．4.2 C．5.3 D．6.4

【变式4-1】

2．（2022·山东烟台·九年级期中）如图，AB是半圆O的直径，以弦AC为折痕折叠后，恰好经过点O，则等于（       ）

A．120° B．125° C．130° D．145°

【题型5】垂径定理的推论

1．（2021·贵州·黔西南州金成实验学校九年级阶段练习）如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点E，AE=2，则下列结论正确的是（       ）

A． B．

C．垂直平分 D．垂直平分

【变式5-1】

2．（2022·湖南长沙·中考真题）如图，A、B、C是上的点，，垂足为点D，且D为OC的中点，若，则BC的长为___________．

【题型6】垂径定理的实际应用

2．（2022·湖北荆州·中考真题）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，底面直径BC＝12cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为______cm（玻璃瓶厚度忽略不计）．

【变式6-1】

2．（2022·内蒙古呼和浩特·三模）河面上有两座桥：一座抛物型拱桥，一座圆弧型拱桥．受降雨影响，河水的水位持续上涨．上午8:00，两座桥的水面宽均为，1小时后，水面上涨了，此时水面宽都变为．假设水位上涨的速度保持不变，先被淹没的桥是_________，比另一座桥被淹没早__________小时．

专项训练

一．选择题

1．（2018·山东枣庄·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（　　）

A． B．2 C．2 D．8

2．（2021·全国·九年级课时练习）如图，矩形中，，，，分别是，边上的动点，，以为直径的与交于点，．则的最大值为（       ）．

A．48 B．45 C．42 D．40

3．（2020·广东广州·中考真题）往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（   ）

A． B． C． D．

4．（2022·北京市第十三中学分校九年级开学考试）在⊙O中按如下步骤作图：

（1）作⊙O的直径AD；

（2）以点D为圆心，DO长为半径画弧，交⊙O于B，C两点；

（3）连接DB，DC，AB，AC，BC．

根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中错误的是（　　）

A．∠ABD＝90° B．∠BAD＝∠CBD C．AD⊥BC D．AC＝2CD

5．（2021·全国·九年级课时练习）如图，AB是的直径，点B是弧CD的中点，AB交弦CD于E，且，，则（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

6．（2021·福建省福州第十六中学三模）如图，在平面直角坐标系中，已知，点是以为直径的半圆上两点，且四边形是平行四边形，则点的坐标是（       ）

A． B． C． D．

二、填空题

7．（2021·全国·九年级课时练习）如图，是的直径，弦，垂足为点H．若，，则的半径长为____________．

8．（2021·全国·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，1）、B（0，﹣1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴于点C、D，则CD的长是____．

9．（2021·全国·九年级课时练习）如图，，在射线AC上顺次截取，，以为直径作交射线于、两点，则线段的长是__________cm．

10．（2015·宁夏·中考真题）如图，在⊙O中，CD是直径，弦ABCD，垂足为E，连接BC，若AB=cm，，则圆O的半径为_______cm．

11．（2021·全国·九年级单元测试）如图，在中，点是的中点，连接交弦于点，若，，则的长是______．

12．（2021·全国·九年级课时练习）如图，在中，半径，是半径上一点，且．，是上的两个动点，，是的中点，则的长的最大值等于__________．

三、解答题

13．（2022·全国·九年级专题练习）如图，OC为⊙O的半径，弦AB⊥OC于点D，OC＝10，CD＝4，求AB的长．

14．（2021·全国·九年级专题练习）如图，的两条弦（AB不是直径），点E为AB中点，连接EC，ED．

（1）直线EO与AB垂直吗？请说明理由；

（2）求证：．

15．（2021·全国·九年级专题练习）如图,在上,经过圆心的线段于点，与交于点.

(1)如图1,当半径为,若,求弦的长;

(2)如图2,当半径为 ,,若,求弦的长.

16．（2022·江苏·九年级专题练习）如图所示，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度AB＝32米，拱高CD＝8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．

（1）求该圆弧所在圆的半径；

（2）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，求桥墩的高度．