沪教版（五四学制）初中数学 八年级上册 第8讲：一元二次方程的应用学案-教师版(1)

这是一份沪教版（五四学制）初中数学 八年级上册 第8讲：一元二次方程的应用学案-教师版(1)，共25页。
一元二次方程应用（二）

内容分析




解一元二次方程的应用题一般步骤是“审、设、列、解、答”，本节主要针对解决利率、利润经营决策、面积、动点等问题，进行分析讲解，通过建立一元二次方程，得到要求结果．本章节的内容综合性较强．
知识结构






模块一：传播问题


知识精讲



1、比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环 ．
2、传播问题：
，a表示传染前的人数，x表示每轮每人传染的人数，n表示传染的轮数或天数，A表示最终的人数．

例题解析



【例1】 某次会议中，参加的人员每两人握一次手，共握手190次，求参加会议共有多少人．
【难度】★
【答案】20
【解析】设参加会议有人，依题意可得方程为，整理得：， 解得：，（舍），即参加会议的共有20人．
【总结】比赛问题，注意本题每两人握手一次，相当于单循环．


【例2】 一个QQ群中有若干好友，每个好友都分别给群里其他好友发送了一条信息，这样共有756条信息，这个QQ群中共有多少个好友?
【难度】★
【答案】28
【解析】设这个QQ群共有个好友，依题意可得，
解得：，（舍）， 即这个QQ群中共有28个好友．
【总结】列方程解应用题，比赛问题，注意本题每个人分别发一条消息，相当于复循环．



【例3】 学校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间都进行了一次比赛），共进行了15场比赛，那么有几个球队参加了这次比赛?
【难度】★
【答案】6
【解析】设参加比赛有个球队，依题意可得方程为，整理得， 解得：，（舍），即参加比赛的共有6个球队．
【总结】考查二次方程解应用题中的比赛问题，注意本题是单循环赛制．



【例4】 参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订一份合同，所有的公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会?
【难度】★★
【答案】10
【解析】设参加展会共有家公司，依题意可得方程为，整理得：， 解得：，（舍），即参加展会共有10家公司．
【总结】考查二次方程解应用题中的比赛问题，注意本题可视作单循环赛制．


【例5】 某实验室需要培养一群有益菌，现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达到24000个，其中每个益生菌一次可以分裂出若干个相同数目的有益菌．求每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌?
【难度】★★
【答案】19
【解析】设每轮分裂中可分裂出个有益菌，一轮培植后共有个有益菌，二轮培植 后共有个有益菌，依题意可得：，整理得：， 解得：，（舍），即每轮可分裂出19个有益菌．
【总结】二次方程解应用题中的传播问题．


【例6】 我们知道传销能扰乱一个地方的正常的经济秩序，是国家法律明令禁止的，如图是某传销公司的发展模式，该传销模式经两轮发展后，共有传销人员111名，问该传销公司要求每人发展多少名下家?
【难度】★★
【答案】10
【解析】设每人发展名下家，依题意可得，
整理得：，解得：，（舍）
即每人要求发展10名下家．
【总结】二次方程解应用题中的传播问题，
注意二次发展过程中头目不参与发展下家．

模块二：利率、利润问题


知识精讲



1、利率问题
基本公式：利息=本金*利率*期数
2、利润问题
基本公式：
单件利润=售价-成本；
利润=（售价-成本）*销售的件数．

例题解析



【例7】 小明同学将1000元压岁钱第一次按一年定期储蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下降到第一次存款时年利率的60%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率．（利息税为20%，只需要列式子）
【难度】★★
【答案】．
【解析】设第一次存款年利率为，则第二次存款年利率为，第一年本金为1000元， 则第二年本金为元，依题意可得相应的方程即为
．
【总结】利息问题，关键点是考虑清楚本金和相应的年利率．



【例8】 某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元?
【难度】★★
【答案】4
【解析】设每件应降价元，则每件盈利为元，销量为元，依题意可得方 程即为，整理即为，解得：，， 降价幅度不超过10元，可知应舍去，即每件应降价4元．
【总结】利润问题，总利润=单个利润×销量，确定单个利润的前提下确定相应销量即可．

【例9】 某商场按标价销售某种工艺品时，按照标价出售，每件可获利45元，并且商场每天可售出该工艺品100件，若每件工艺品降价1元，则每天可多售出该工艺品4件．
（1） 每件工艺品应降多少元出售，可使每天获得的利润为4900？
（2） 若已知按标价的八五折销售该工艺品8件与标价降低35元销售工艺品12件所获得的利润相等，则工艺品每件的进价为多少元?
【难度】★★
【答案】（1）10；（2）255
【解析】（1）设每件工艺品应降价元，总利润=单个利润×销量，依题意可列相应方程即为 ，解得：，即每件工艺品应降价10元；
（2）设每件工艺品进价为元，依题意可得，
解得：，即得每件工艺品进价为155元．
【总结】考查利润问题各个量之间的关系．


【例10】 某化工材料销售公司购进了一种化工原料，进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元．市场调查发现：单价每千克70元时日均销售60kg；单价每千克降低一元，日均多售2kg．在销售过程中．每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按一天计算）．如果日均获利1950元，求销售单价．
【难度】★★
【答案】65
【解析】设销售单价为元，依题意有，
整理得：，解得：，即销售单价为65元．
【总结】利润问题，总利润=总收入-总支出，注意不要遗漏．

【例11】 某单位组织员工去天河湾旅游度假，咨询了几家旅行社，定价相当，可有不同的优惠方案．稍后见到某旅行社的广告：基价1000元/人，若单位组织超过25人，每增加1人可将人均定价降低20元，结合单位员工人数进行比较，发现这家旅行社价格明显优于其他的旅行社，最终选择了这家旅行社．　
旅行结束后，单位经办人员按照这一标准，准备了2.7万元的支票前去结账，却被告知金额不止2.7万元，并取出合同，指明在有关旅游景点、食宿标准、自费项目等附则最后一项约定：优惠后的价格以人均不低于700元为限．
双方对此发生争执，经当地消费者协会调查，调解，认为旅行社未在广告、合同明显位置明确这一约定，且不能提供证明在签字合同时尽到了告知的义务，存在欺诈行为；但鉴于消费者在签订合同时的失误，也应承担双方争执差额的30%的责任．
（1） 这家单位还应补缴多少金额?
（2） 对这一场消费纠纷，你有什么想法?
【难度】★★★
【答案】（1）1350；（2）略．
【解析】（1）设这家单位有人，依题意可得，解得：，
，由题意知，由此可得，取，即该单位共有
45人，根据调解方案公司应补缴金额为元；
（2） 答案不唯一，如：签订合同一定要仔细阅读每一项条款、作为单位不能做虚假宣传，
实事求是，履行告知义务等．
【总结】找准问题的关键点在于总人数的求取．


【例12】 利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．
（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；
（2）在遵循“薄利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为9000元．
（3）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．
【难度】★★★
【答案】（1）60；（2）200元；（3）不对．
【解析】（1）每吨售价240元时，月销量为；
（2）设每吨售价为元，依题意可得：，由此可整理得
，解得：，，销售遵循“薄利多销”，可知取
时，销量更大，即每吨材料售价应为200元；
（3） 由（2）可知月利润，时
有最大月利润，月销售额，时
有最大月销售额，两种情况下售价不同，可知小静的说法不对．
【总结】考查利润问题，注意区分开来销售总额和总利润之间的联系和差别，根据题意写出相应函数解析式即可进行判断求解．


模块三：面积问题



知识精讲



1、面积问题：
判断清楚要设的未知数是关键点，找出题目中的等量关系，列出方程．
例题解析



【例13】 一个直角三角形的两条直角边的和是，面积是，两条直角边的长分别是____________．
【难度】★
【答案】和．
【解析】设直角三角形其中一条直角边长为，则另一条直角边长为，依题意
可得：，解得：，，即两直角边长分别为和．
【总结】按照方程解应用题的一般方法，两个条件一个用来作设，一个用来列式，解方程解决问题．
【例14】 一个长方形的对角线长的是，面积是48，长方形的周长是________．
【难度】★
【答案】28．
【解析】设长方形一条直角边长为，另一条直角边长为，根据勾股定理可得
，长方形面积为48，即得，则有，
由此两边长和，则长方形周长为．
【总结】本题考查注意公式的灵活运用，不用直接算出两直角边长，运用相关公式即可进行直接求解解决问题．


A
B
C
D
E
F
【例15】 利用22米长的墙为一边，用篱笆围成一个长方形的养鸡场，中间用篱笆分割出两个小长方形，总共用去篱笆36米，为了使这个长方形ABCD的面积为96平方米，问AB和BC边各应为多少?
【难度】★★
【答案】，．
【解析】设，则有，
依题意可得：，
解得：，，利用墙的长最大为，则有
，得，取，则有，．
【总结】注意题目隐含条件，篱笆的长度决定了其中相关长度取值．



【例16】 如图，如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用木栏围成，木栏长35m．
（1） 养鸡场的面积能达到150吗？
（2） 养鸡场的面积能达到180吗？如果能，
请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
（3） 若墙长为，另三边用竹篱笆围成，
题中的墙长度对题目的解起着怎样的作用？
【难度】★★
【答案】（1）能；（2）不能；（3）略．
【解析】（1）设养鸡场宽为，依题意则有，解得：，，
根据墙长，可知，得，取，即养鸡场面积能达到150；
（2） 设养鸡场宽为，依题意得，整理即为，方程
，方程无解，即养鸡场面积不能达到180；
（3） 方程有两解的前提下，需判定两解是否符合题意，此时必有，，
判定木栏长度是否能符合题意．
【总结】考查方程与实际问题的结合应用，注意题目包含的限制条件．


【例17】 有一面积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长33米．求鸡场的长和宽各多少米?
【难度】★★
【答案】鸡场长为，宽为．
【解析】设鸡场宽为，则鸡场长为，依题意有，解得：，，根据墙长，可知，得，取，即鸡场长为，宽为．
【总结】考查方程与实际问题的结合应用，注意题目包含的限制条件．

【例18】 如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）?
【难度】★★
【答案】上下边衬宽度约为，左右边衬宽度约为
【解析】封面正中央是一个与整个封面长宽比例相同，即为，可设上下边衬宽度为，则左右边衬宽度为，依题意可得：，整理得：，
解得：，，由，可得，取，由此可得上下边衬宽度为，左右边衬宽度为．
【总结】考查二次方程的面积问题，注意边衬与原矩形边长成等比例．
【例19】 如图，某中学为方便师生活动，准备在长30 m，宽20 m的矩形草坪上修两横两纵四条小路，横纵路的宽度之比为2∶1，若使余下的草坪面积是原来草坪面积的三分之二，则路宽应为多少（精确到0.1m）?
【难度】★★
【答案】横路宽为，纵路宽为
【解析】设纵路宽度为，则横路宽为，
依题意可得，
解得：，，由，
得，取，
所以纵路宽为，横路宽为．
【总结】二次方程解应用题中的面积问题，将四条路平移成一个长方形即可求解．



A
B
C
D
P
Q
【例20】 要对一块长60米、宽40米的矩形荒地ABCD进行绿化和硬化，设计方案如图所示，矩形P、Q为两块绿地，其余为硬化路面，P、Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD面积的，求P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽度．
【难度】★★
【答案】硬化路面宽度为．
【解析】设硬化路面宽度为，
依题意可得：，
解得：，，由，可得，
取，即得硬化路面宽度为．
【总结】二次方程解应用题中的面积问题，将两块绿地平移成一个长方形即可求解．





模块五：动态几何类问题



知识精讲

传播问题

1、动态几何类问题：
（1）若动态图形比较特殊，思考用基本几何图形的面积公式找等量关系列方程或函数关系式；  
（2）如动态图形不特殊，则思考用组合图形的面积和差找等量关系列方程或函数关系式
例题解析



【例21】 如图，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，当点P到达B点或点Q到达C点时，两点停止移动，如果P、Q分别是从A、B同时出发，t秒钟后． 
（1）求出△PBQ的面积； 
（2）当△PBQ的面积等于8平方厘米时，求t的值； 
（3）是否存在△PBQ的面积等于10平方厘米，若存在，求出t的值，若不存在，说明理由．
A
B
C
D
P
Q
【难度】★★
【答案】（1）；（2）或；（3）不存在．
【解析】（1）根据题意可得，，则有
；
（2） 令，解得：，；
（3） 令，方程无解．
【总结】考查几何类问题中的动点问题，根据题意把图像中的相应线段长度用字母表示出来根据题意求解即可．


A
B
C
D
P
Q
【例22】 在矩形ABCD中，AB=9cm，BC=15cm，点P从点A开始以3cm/s的速度沿AB边向点B移动，点Q从点B开始以5cm/s的速度沿BC边向点C移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，P、Q两点同时停止运动，试求△PQD的面积S与P、Q两个点运动的时间t之间的函数关系式 ．
【难度】★★
【答案】．
【解析】依题意可得：，，
则有， ，
则有，
，
，
则有
【总结】考查几何类问题中的动点问题，本题采用割补法即可对相应面积进行求解．



A
B
C
Q
P
R
【例23】 等腰直角三角形ABC中，AB=BC=8cm，动点P从A点出发，沿AB向B移动，通过点P引平行于BC、AC的直线与AC、BC分别交于R、Q．当AP等于多少厘米时，平行四边形PQCR的面积等于16?
【难度】★★
【答案】．
【解析】四边形PQCR为平行四边形，易得、
都为等腰直角三角形，则有，
，由此可得：
，
令，可得：．
【总结】考查几何类问题中的动点问题，根据题意把图像中的相应线段长度用字母表示出来根据题意求解即可．


A
B
C
D
P
Q
R
L
【例24】 有一边为8cm的正方形ABCD和等腰三角形PQR，PQ＝PR＝5cm，QR＝cm，点B、C、Q、R在同一直线l上，当C、Q两点重合时，等腰三角形PQR以1cm/s的速度沿直线l按箭头方向匀速运动，t秒后正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的面积为5，求时间t．
【难度】★★★
【答案】或．
【解析】重合部分面积先逐渐增大，然后逐渐
减小，面积增大过程中，阴影部分为
等腰直角三角形时，
则有，得，此时则有；面积减小过程中，阴影部分为等
腰直角三角形时，则有，得，此时则有．
【总结】考查几何图形中的动点问题，注意面积的变化趋势和相应问题的多解性．

模块六：其他类问题

例题解析



【例25】 已知竖直上抛物体离地高度h（米）和抛出瞬间的时间t（秒）的关系是，是抛出时的瞬时速度，常数取10米/秒．一枚爆竹以=30米/秒的速度从地面上升，试求：
（1） 隔多少时间爆竹离地面高度是25米?
（2） 多少时间以后爆竹落地?
【难度】★★
【答案】（1）或后；（2）．
【解析】（1）令，即，整理得：，
解得：，；
（2）令，即，解得：，，即爆竹落地．
【总结】运动问题转化为实际问题，根据题意转化为解方程即可．



【例26】 象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分．如果平局，两个选手各记1分，有四个同学统计了比赛中全部选手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误，其他三名同学均有错误.试计算这次比赛共有多少个选手参加．
【难度】★★★
【答案】45．
【解析】设共有个选手参加比赛，则比赛总场次为，每局总得分2分，则总得分
为分，两相邻数字相乘末尾只能是0，2，6，可知正确分数1980，，
解得：，（舍），即共有45个选手参加．
【总结】考查比赛问题，结合末尾数字分析准确分数是解题的关键．

【例27】 一个容器内乘有60升纯酒精，倒出若干升后用水加满，第二次倒出比第一次多14升的溶液，再用水加满．这时容器内纯酒精和水正好各占一半，问第一次倒出了多少的纯酒精?
【难度】★★★
【答案】10．
【解析】设第一次倒出了纯酒精，依题意可得：，
整理得：，解得：，，由，取，
即第一次倒出了纯酒精．
【总结】转化为类似浓度问题的类型，即可进行求解．


随堂检测



【习题1】 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场，比赛组织者应邀请多少个队参赛．
【难度】★
【答案】8
【解析】设参加比赛有个球队，依题意可得方程为，整理得
，解得：，（舍），即应邀请8支球队参赛．
【总结】考查二次方程解应用题中的比赛问题，注意本题是单循环赛制．


【习题2】 用20厘米长的铁丝能否折成面积为30平方厘米的矩形，若能够，求它的长与宽；若不能，请说明理由．
【难度】★
【答案】不能．
【解析】设折成矩形的长为，则其宽为，依题意可得：，
方程无解，即不能折出这样的矩形．
【总结】本题主要考查一元二次方程在面积问题中的应用．


【习题3】 小华勤工俭学挣的100元钱按一年期存入银行，到期后取出50元来购买学习用品，剩下的50元和所得的利息又全部按一年定期存入银行，若存款的年利率又下调到原来的一半，这样到期后可得本息和为63元，求第一次存款的年利率（不计利息税）
【难度】★
【答案】．
【解析】设第一次存款年利率为，则第二次存款年利率为，第一年本金为100元，
则第二年本金为元，依题意可得，整理
即为，解得：，，即第一次存款年利率为．
【总结】利息问题，关键点是考虑清楚本金和相应的年利率．


【习题4】 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题： 
（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润． 
（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式． 
（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少．
【难度】★★
【答案】（1），元；（2）；（3）80．
【解析】（1）销售单价55元时，相应销量为，月销售利润为
元；
（2） 总利润=单利×销量，得：；
（3） 令，整理得：，解得：，
，月销售成本不超过10000，即有，得，
取，即销售单价应为80元．
【总结】考查利润问题，总利润=单个利润×销量，根据题目条件确定相应的单个利润和销量即可．

【习题5】 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果四周金色纸边的面积是1400，求金色纸边的宽．
【难度】★★
【答案】．
【解析】设金色纸边宽为，依题意可得：，
整理得：，解得：，（舍），即金色纸边宽为．
【总结】面积问题，根据变化后的图像面积即可求解．


【习题6】 课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块空地，开辟一个面积为130平方米的花圃，打算一面利用长为15米的仓库墙面，三面利用长为31米的旧围栏，并且在花圃的较长的一面留一个2米门，求花圃的长和宽．
【难度】★★
【答案】花圃长，宽．
【解析】设花圃宽为，则花圃长为，得，
解得：，，由，得，取，
即花圃宽为，长为．
【总结】面积问题，注意题目的隐含条件确定相应量的取值．


【习题7】 如图，用总长为54米的篱笆，在一面靠墙的空地上围成由八个小矩形组成的矩形花圃ABCD，并使面积为72平方米，求AB和BC的长．
A
B
C
D
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】设，则有，
根据题意，得：，解得，，所以的值或．
当墙的长度大于15等于米时，或，；
当墙的长度大于等于4.8米小于15米时，，；
当墙的长度小于4.8米时，无解．
【总结】本题考查一元二次方程在面积问题中的应用，由于本题没有告知墙的长度，因此要分类讨论．
【习题8】 某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m． 
    （1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少? 
    （2）如果计划每天挖土48，需要多少天才能把这条渠道挖完．
【难度】★★
【答案】（1）上口宽，渠底宽；（2）25天
【解析】（1）设渠深为，则道上口宽为，渠底宽为，依题意可得
，解得：（舍），，
即得渠道上口宽为，渠底宽为；
（2）挖土天数为天．
【总结】考查工程问题的简单应用，根据面积进行计算即可．



【习题9】 一个容器盛满纯药液63L，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是28L，设每次倒出液体xL，求每次倒出的药液量．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】依题意可得，整理得：，由，
可得：，解得：，即每次倒出药液量为．
【总结】转化为类似浓度问题的类型，即可进行求解．


【习题10】 某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，乙种贺年卡平均每天可售出200张，每张盈利0.75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张；如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元，那么商场平均每天可多售出40张．如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大?
【难度】★★★
【答案】乙
【解析】设甲种贺年卡降价元，依题意可得：，
整理得：，解得：，（舍）；
设乙种贺年卡降价元，依题意可得：，
整理得：，解得：，（舍）；
由此知甲贺卡降价元，乙贺卡降价元，故乙贺卡降价绝对量大．
【总结】总利润=单个利润×销量，根据题意列出方程即可求解．


【习题11】 如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10cm，BC=6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度，沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ．设动点运动时间为x秒． 
（1）用含x的代数式表示BQ、PB的长度； 
（2）当x为何值时，△PBQ为等腰三角形； 
（3）是否存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20？若存在，请求出此时x
A
B
C
P
Q
的值；若不存在，请说明理由
【难度】★★★
【答案】（1），；（2）；（3）
【解析】（1）根据题意可得，，勾股定理可得
，则有；
（2） △PBQ为等腰三角形，仅可能，即，
解得：；
（3） ，即，由此可得：，
整理得：，解得：，此时．
【总结】考查几何图形中的动点问题，把相应的线段长度用含有字母的代数式表示出来再根据题意即可进行求解．


课后作业



【作业1】 从正方形的铁片上，截去宽为2厘米的一个长方形，余下的面积是48平方厘米，则原来的正方形铁片的面积是________．
【难度】★
【答案】．
【解析】设原正方形边长为，依题意可得，解得：（舍），，
由此可得正方形铁皮面积为．
【总结】考查几何图形面积问题，根据面积公式进行相应计算即可．


【作业2】 有46米长的竹篱笆，要围成一边靠墙（墙长25米）的矩形鸡场，其面积是260平方米，则鸡场的长为______米，宽为______米．
【难度】★
【答案】20，13．
【解析】设鸡场宽为，则长为，依题意可得：，
解得：，，由，得，取，
即得鸡场宽为，长为．
【总结】面积问题，先把相应的长宽表示出来，再根据题意计算即可，注意题目的隐含条件．


【作业3】 在一块长12m，宽8m的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为8的长方形花台，要使花坛四周的宽度一样，则这个宽度为多少?（结果保留根号）
【难度】★★
【答案】．
【解析】设这个宽度为，依题意可得，整理得：，
解得：，，由，得，取，
即花坛四周宽度为．
【总结】面积问题，先把相应的长宽表示出来，再根据题意计算即可．
F
E
A
B
C
D
【作业4】 如图所示的一防水坝的横截面（梯形），坝顶宽3m，背水坡度为1：2，迎水坡度为1：1，若坝长30m，完成大坝所用去的土方为4500，问水坝的高应是多少?（说明：背水坡度CF：BF=1：2，迎水坡度1：1=DE：AE，精确到0.1m）
【难度】★★
【答案】．
【解析】设水坝高度为，则有，
，则，依题意可得
，
解得：，（舍），由此可得水坝高度为．
【总结】考查坡度的概念，根据面积即可进行计算．


【作业5】 某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有256个细菌，每轮繁殖中平均一
个细菌繁殖了多少个细菌?
【难度】★★
【答案】15．
【解析】设每轮繁殖可繁殖个细菌，依题意可得，解得：，（舍），
即每轮可繁殖15个细菌．
【总结】二次方程解应用题中的传播问题．



【作业6】 从盛满20升纯酒精的容器里倒出若干升，然后用水注满，再倒出同样升数的混合液后，这时容器里剩下纯酒精5升．问每次倒出溶液的升数?
【难度】★★
【答案】．
【解析】设每次倒出纯酒精，依题意可得，整理得，
由，可得：，解得：，即每次倒出溶液．
【总结】转化为类似浓度问题的类型，即可进行求解．



【作业7】 为了测定一个矿井的深度，把一块石头从井口丢下去，7.26秒后听到它落地的声音，已知音速为330米每秒，石头从井口落下的距离s与时间t的关系式为（g=10米每二次方秒），求这个矿井的深度．
【难度】★★
【答案】．
【解析】设石头落到井底时间为，则传播回来的时间为，根据井深可列方程得
，解得：，（舍），
由此可得矿井深度为．
【总结】考查对题目的分析，理解题意的前提下列方程解题．


【作业8】 某同学在初二年级末，将500元班费存入了半年期的定期储蓄，到期后取出240元，其余的继续存半年定期，毕业时正好到期，取到本利和272.68，购买纪念品．求这种储蓄半年期的获利率?（只列方程并化成一般式，不需要求解）
【难度】★★
【答案】方程，一般式．
【解析】设半年期利率为，依题意可得，
整理成一般式即为．
【总结】考查利息问题，分析清楚相应的本金和利率即可．


【作业9】 将进价为40元的商品加价25%出售能卖出500个，若以后每涨1元，其销售量就减少10个，如果使利润为9000元，售价应该定为多少?
【难度】★★
【答案】70．
【解析】设售价应定为元，依题意可得：，
整理得：，解得：，即售价应定为70元．
【总结】利润问题，总利润=单个利润×销量，根据题意表示出单个利润和销量即可．


【作业10】 百货大搂服装柜在销售中发现：“七彩”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“元旦”，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．
（1）要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元? 
（2）用配方法说明：要想盈利最多，每件童装应降价多少元?
【难度】★★★
【答案】（1）20；（2）15．
【解析】（1）设每件童装降价元，依题意可得：，
解得：，，减少库存，则降价更多，可知每件童装应降价20元；
（2） ，时有最大值，
即要使盈利最多，每件童装降价15元．
【总结】利润问题，总利润=单个利润×销量，根据题意表示出单个利润和销量即可．


【作业11】 等腰直角三角形ABC中， ∠ BAC=45°，CD⊥ AB，垂足为D，CD=2，P是AB上的一动点(不与A、B重合)，且AP=x，过点P作直线l与AB垂直 ．
（1） 设三角形ABC位于直线l左侧部分的面积为S，写出S与x之间的函数关系式；
A
B
C
D
L
P
（2） 当x为何值时，直线l将三角形ABC的面积分成1:3的两部分．
【难度】★★★
【答案】（1）；
（2）或
【解析】（1）时，直线左侧部分是等腰直角三角
形，则有；时，直线右侧部
分是等腰直角三角形，则有；
（2） 时，得；
时，得．
【总结】注意特殊形状图形的面积，考虑题目中多解问题的存在性．