沪教版（五四学制）初中数学 八年级上册 第3讲：二次根式的综合教师版

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二次根式的综合

内容分析



本章节的综合性较强，首先讲解的是分母有理化，它是数与代数的重要内容，是二次根式运算的依据；其次是综合运算，融合了加、减、乘、除四种运算以及化简求值类，解题的技巧和计算的准确度是关键点；再次是复习与提高，二次根式这章节的主要内容做一整体的回顾和提升， 针对重难点及易错、常考的进行总结，帮助学生更好的巩固本章所学的内容．
知识结构



模块一：分母有理化


知识精讲



1. 分母有理化：
（1） 把分母中的根号化去就是分母有理化，即是指分母中不含二次根式的运算．
（2） 分母有理化的方法：是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．
2. 有理化因式：
（1） 两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式．


例题解析


【例1】 下列各式中，不是互为有理化因式的是（ ）
A． B．
C． D．
【难度】★
【答案】B
【解析】互为有理化因式指两个含有二次根式的代数式乘积不再含有二次根式，B选项不满 足定义，对于单独的二次根式，常见的有理化因式是它本身，对于二次根式的和差， 可以利用平方差公式找它的二次根式．
【总结】本题考察了有理化因式的概念．


【例2】 下列各式分母有理化正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【难度】★
【答案】D
【解析】选项A应为：；B选项正确； C选项应为：，D选项应为．
【总结】本题考察了分母有理化的概念及运用．


【例3】 把下列各式分母有理化．
（1）； （2）；
（3）； （4）．

【难度】★
【答案】（1）； （2）； （3）； （4）．
【解析】（1）原式=；
（2）原式=；
（3）原式=；
（4）原式=．
【总结】本题考察了分母有理化，注意分子分母同乘有理化因式．


【例4】 已知： 是一元二次方程的解，求的值．
【难度】★★
【答案】．
【解析】由已知得：，代入方程得：，
即，所以，
化简，得：．
【总结】本题考察了含有二次根式的方程的解法．

【例5】 实数的整数部分是，小数部分是，求的值．
【难度】★★
【答案】．
【解析】由已知得：． 原式=
= =．
【总结】本题考察了二次根式的估算和代值求解问题．
【例6】 比较下列各式的大小．
（1）； （2）．
【难度】★★★
【答案】（1）； （2）．
【解析】（1），，
又，；
（2），，又，
，所以．
【总结】本题考察了二次根式的大小比较，常见的方法为平方法和倒数法．

【例7】 计算：．
【难度】★★★
【答案】；
【解析】原式=
=
=．
【总结】本题考察了利用分母有理化简化运算．

【例8】 先化简，再求值．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】原式= = =，
当时，原式．
【总结】本题考察了二次根式的混合运算．
模块二：二次根式混合运算


知识精讲



1、二次根式的混合运算
（1）实数的运算律、运算性质以及运算顺序规定，在二次根式运算中都适用；
（2）二次根式的运算中要灵活运用运算律、运算性质、乘法公式等进行解题．
例题解析



【例9】 化简求值：
（1）； （2）．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）1．
【解析】（1）原式=；
（2）原式=．
【总结】本题考察了含有根式的平方差公式．

【例10】 计算：
（1）；
（2）．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）．
【解析】（1）原式= =
= =；
（2） ．
【总结】本题考察了二次根式的混合运算．

【例11】 化简
（1）；
（2）．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）．
【解析】（1）原式==
= =；
（2）原式==
=．
【总结】本题考察了二次根式的混合运算．

【例12】 已知．
【难度】★★
【答案】或－6；
【解析】由已知得：（舍去）
原式==
= =
当时，原式=．
【总结】本题考察了代值求解问题以及分式的除法运算，注意分式有意义的条件．




【例13】 解下列方程或方程组：
（1）；
（2）．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）．
【解析】（1），，，
；
（2）①－②得：，所以，
①+②得：，所以，
所以原方程组的解为： ．
【总结】本题考察了含有二次根式的方程以及方程组的解法，注意计算过程中的符号变化．


【例14】 判断下列三个等式是否成立，并解答以下两个问题：
（1）；（2）；（3）．猜想一下变形后的结果，并加以说明；试用含（为大于1的自然数）的式子表示这一规律．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】成立，则，（为大于1的自然数）
证明：．
【总结】本题考察了二次根式的化简以及对规律的总结与归纳．
【例15】 计算：
（1）（）（）；
（2）－－.
【难度】★★★
【答案】（1）； （2）1；
【解析】（1）原式===；
（2）原式==1．
【总结】本题考察了二次根式的混合运算．


【例16】 已知x＝，y＝，求的值．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】由已知得：，，
原式=．
【总结】本题考察了代值求解问题和二次根式的化简．


【例17】 计算：（＋＋＋…＋）．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】原式=
=
=．
【总结】本题考察了二次根式的运算，分母有理化时注意符号问题．
【例18】 计算：
（1）；
（2）．
【难度】★★★
【答案】（1）； （2）．
【解析】（1）原式=；
（2）原式=
=
=
=．
【总结】本题考察了二次根式的混合运算．

师生总结
1、 二次根式混合运算的法则是什么？








模块三：复习与提高


知识精讲



1、二次根式的概念
2、二次根式的性质
3、分母有理化
4、二次根式的混合运算
例题解析



【例19】 使等式成立的条件时________．
【难度】★
【答案】．
【解析】由已知得：， 解得： ， ．
【总结】本题考察了二次根式成立的条件．

【例20】 下列运算中正确的是 （ ）
A． B．
C． C．
【难度】★
【答案】B
【解析】A选项不是同类二次根式，不能运算； C选项结果应为；
D选项根号内不含平方式不能化简．
【总结】本题考察了二次根式的运算．

【例21】 根据下列计算，确定字母的取值范围：
（1）＝；
（2）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由已知得： ， 解得：；
（2）由已知得： ； 解得：．
【总结】本题考察了二次根式有意义的条件．

【例22】 如果最简二次根式和能够合并，求的值．
【难度】★★
【答案】－2．
【解析】由已知得：，解得：．
【总结】本题考察了同类二次根式的概念．

【例23】 已知的值．
【难度】★★
【答案】．
【解析】由已知得：，
当时，原式化为：，矛盾，舍去；
当时，原式化为：，则=．
【总结】本题考察了完全平方公式的应用和二次根式的化简．


【例24】 已知，求代数式的值．
【难度】★★
【答案】．
【解析】由已知得：，解得：．
∴原式=．
【总结】本题考察了二次根式有意义的条件，当两个二次根式的被开方数互为相反数时，这个被开方数等于0．





【例25】 化简：
（1） ； （2） ．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）．
【解析】（1）原式=；
（2）原式=．
【总结】本题考察了二次根式的化简，注意被开方数的正负．



【例26】 解下列方程或方程组：
（1）； （2） ．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）．
【解析】（1），；
（2）由①－②得：，则；
由 ①－②得：，则，
所以原方程组的解为：．
【总结】本题考察了含有根式的方程的解法．


【例27】 实数中，大于0.2且小于0.3的数有哪些？分别求出，并写出做法．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】，又，
．
【总结】本题考察了二次根式比较大下，被开方数越大，二次根式的值越大．


【例28】 计算： ．
【难度】★★★
【答案】2015．
【解析】原式=
=
=．
【总结】本题考察了二次根式的化简与计算．



【例29】 观察与思考：
因为；同样，因为．试根据以上规律，
化简下列各式：
（1）； （2）．
【难度】★★★
【答案】（1）； （2）．
【解析】（1）原式=；
（2）原式=．
【总结】本题考察了多重根号的化简，关键是对二次项的拆分．


随堂检测



【习题1】 直接写出下列各式的取值范围．
（1）； （2）； （3）； （4）．
【难度】★
【答案】（1）； （2）y取任意实数；（3）；（4）．
【解析】（1）由，得：；
（2）恒成立，∴取任意实数；
（3）由，得：；
（4）由已知，得：， 所以①或， 解得：．
【总结】本题考察了二次根式有意义的条件．

【习题2】 化简：
（1）；
（2）；
（3）．
【难度】★
【答案】（1）； （2）； （3）．
【解析】（1）由，得：，，∴原式=；
（2）由，得：，取任意实数，∴原式=；
（3）由，得：，原式=．
【总结】本题考察了二次根式的化简，注意二次根式有意义的条件．


【习题3】 下列各组根式是同类二次根式的是（ ）．
A、 B、 C、 D、
【难度】★
【答案】D
【解析】A、B、C选项化简后被开方数不相同，不符合同类二次根式的定义，故选择D．
【总结】本题考察了同类二次根式的概念．


【习题4】 化简下列各式（字母均为正数）．
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）； （3）； （4）．
【解析】（1）原式= ； （2）原式=；
（3）原式=；
（4）原式=．
【总结】本题考察了二次根式的化简．



【习题5】 将下列各式分母有理化．
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）；（3）； （4）．
【解析】（1）原式=； （2）原式=；
（3）原式=；
（4）原式=．
【总结】本题主要考察利用分母有理化化简二次根式．


【习题6】 计算．
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【难度】★★
【答案】（1）10； （2）； （3）； （4）．
【解析】（1）原式=；
（2）原式=；
（3）原式=；
（4）原式=．
【总结】本题考察了二次根式的混合运算，注意先化简再合并．

【习题7】 已知．
【难度】★★
【答案】483．
【解析】由已知，得：，
∴原式=．
【总结】本题考察了二次根式的化简求解问题，注意对所求的代数式进行变形，使计算变得简单．

【习题8】 先化简，再求值：，其中
，.
【难度】★★★
【答案】．
【解析】原式=
=
=，
当，时，原式=．
【总结】本题综合性较强，主要考察了二次根式的化简求值．
【习题9】 求值：
（1） 设的值；
（2）若的值．
【难度】★★★
【答案】（1）； （2）．
【解析】（1）由已知得：， ，
∴原式=；
（2）原式=．
【总结】本题考察了完全平方式的变形在二次根式中的应用．


【习题10】 若，求的值．
【难度】★★★
【答案】2016．
【解析】原式=，当时，
原式=．
【总结】本题考察了代值求解问题，通过恰当的变形，使计算变的简单．

课后作业



【作业1】 下列各式中一定正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
【难度】★
【答案】A
【解析】B选项：； C选项：当才成立；D选项：不能化简．
【总结】本题考察了二次根式的化简．
【作业2】 下列各式中是同类二次根式的是（ ）
A． B．
C． D．
【难度】★
【答案】B
【解析】A、C、D选项化简后被开方数不相同，不符合同类二次根式的定义，故选择B．
【总结】本题考察了同类二次根式的概念．
【作业3】 写出下列各式的有理化因式：
（1） ； （2）；
（3）； （4）．
【难度】★
【答案】（1）等； （2）等； （3）等； （4）等；
【解析】略．
【总结】本题考察了有理化因式的概念．

【作业4】 计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】（1）原式=；
（2）原式=；
（3）原式=；
（4）原式=
=
=
=．
【总结】本题考察了二次根式的混合运算，注意简便方法的运用．




【作业5】 计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】（1），，所以；
（2），即，所以；
（3），即，所以；
（4），所以．
【总结】本题考察了含有二次根式的不等式解法，注意符号的变化．


【作业6】 已知的值．
【难度】★★
【答案】．
【解析】由已知得：，原式=．
【总结】本题考察了二次根式的化简求解问题．

【作业7】 化简求值：
（1） 已知；
（2） 若．
【难度】★★
【答案】（1）； （2）．
【解析】（1）由已知得：，
∴原式=；
（2）由已知得：，
∴ =，
∴．
【总结】本题考察了二次根式的化简求解问题，注意计算时的符号问题．


【作业8】 已知的整数部分为，小数部分为，求的值．
【难度】★★
【答案】．
【解析】由已知得：，所以原式=．
【总结】本题考察了二次根式的估值及其计算．


【作业9】 已知互为倒数，求的关系．
【难度】★★
【答案】．
【解析】由已知得：， ∴，
∴．
【总结】本题考察了二次根式的运算．

【作业10】 ，，试比较A、B的大小．
【难度】★★★
【答案】．
【解析】∵， ，
∴， 又∵，∴．
【总结】本题考察了二次根式的比较大小，求倒数是比较大小常用的一种方法．